Fiches de géométrie. Pour démontrer que deux droites sont parallèles. Pour démontrer...

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1 3 Pr démontrer... Fiches de géométrie Niveau 3ème...que deux droites sont parallèles... Fiche...que deux droites sont perpendiculaires... Fiche 2...que deux longueurs sont égales... Fiche 3...que deux angles sont de même mesure... Fiche 4...qu'un point est milieu d'un segment... Fiche 5... la nature d'un triangle... Fiche 6 Pr démontrer que deux droites sont parallèles Fiche Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. 2 Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. 3 Si deux droites et une sécante déterminent deux angles alternes-internes ( deux angles correspondants) de même mesure alors elles sont parallèles.... la nature d'un quadrilatère... Fiche 7 Pr calculer......la longueur d'un segment... Fiche 8...la mesure d'un angle... Fiche 9 Une démonstration de géométrie est constituée d'un plusieurs pas. Un pas de démonstration contient tjrs trois informations : Ce que je sais. Ce sont les informations du texte, du dessin (codage) et/ du pas précédent dont on a besoin. Ce que j'utilise. C'est une propriété un théorème contenu dans ces fiches. Ce que je conclus. C'est la conclusion du pas de démonstration. 4 Un parallélogramme ( rectangle / losange / carré) a ses côtés opposés parallèles. 5 Théorème de la droite des milieux Si dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté. 6 Réciproque du théorème de Thalès Si deux triangles ABC et AMN sont tels que : les points A, B, M d'une part et A, C, N d'autre part sont alignés dans le même ordre ; AM AB = AN AC. alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. A B C N A M C N B M

2 Pr démontrer que deux droites sont perpendiculaires Fiche 2 Pr démontrer que deux longueurs sont égales Fiche 3 La médiatrice d'un segment est perpendiculaire à ce segment. 2 Dans un triangle, la hauteur relative à un côté est perpendiculaire à ce côté. Le milieu d'un segment est équidistant des extrémités du segment. 2 Tt point de la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment. 3 Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. 3 4 Un triangle rectangle a deux côtés perpendiculaires. Une tangente à un cercle est perpendiculaire à un rayon du cercle. 4 Un triangle équilatéral a ts ses côtés de même longueur. 5 Les côtés opposés d'un parallélogramme ( rectangle) sont de même longueur. 6 Ts les côtés d'un losange ( carré) sont de même longueur. (d) est tangente en A au cercle C donc (d) (OA). 5 Si deux droites sont parallèles alors tte perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. 7 Les diagonales d'un rectangle ( carré) sont de même longueur. 8 Le centre du cercle circonscrit à un triangle (intersection des médiatrices) est équidistant des trois sommets. 9 Dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est équidistant des trois sommets. ABC rectangle en A D milieu de [BC] Donc DA = DB = DC 6 7 Un rectangle ( un carré) a ses côtés consécutifs perpendiculaires. Un losange ( un carré) a ses diagonales perpendiculaires. 0 Tt point situé sur la bissectrice d'un angle est équidistant des deux côtés de cet angles. Si (AT) et (AT') sont les tangentes en A à un cercle alors les longueurs AT et AT' sont égales.

3 Pr démontrer que deux angles sont de même mesure Fiche 4 Pr démontrer qu'un point est milieu d'un segment Fiche 5 Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure. Si A, M et B sont alignés et si MA = MB alors M est le milieu de [AB]. 2 Deux droites parallèles et une sécante déterminent : des angles alternes-internes de même mesure. 2 C est le symétrique de A par rapport à B donc B est le milieu de [AC]. des angles correspondants de même mesure. 3 Les diagonales d'un parallélogramme ( rectangle / losange / carré) ont le même milieu. 3 La bissectrice d'un angle partage celui-ci en deux angles de même mesure. 4 Les angles à la base d'un triangle isocèle sont de même mesure. 5 Ts les angles d'un triangle équilatéral mesurent Réciproque de la droite des milieux Si dans un triangle, une droite passe par le milieu d'un côté en étant parallèle à un autre côté alors elle cpe le troisième côté en son milieu. Dans le triangle ABC, D milieu de [AB] (DE) // (BC) Donc E est le milieu de [AC]. 6 Les angles opposés d'un parallélogramme ( losange) sont de même mesure. 7 Si dans un cercle, deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils ont la même mesure. Les angles BAC et BDC sont inscrits dans le cercle de centre O et interceptent l'arc de cercle ÈBC. Donc m (^BAC) = m (^BDC).

4 Fiche 6 Fiche 7 Pr démontrer la nature d'un triangle Pr démontrer la nature d'un quadrilatère Si un triangle a deux côtés de même longueur alors il est isocèle. Si un triangle a deux angles de même mesure alors il est isocèle. Si un triangle a ses côtés de même longueur alors il est équilatéral. Si un triangle a deux angles de 60 alors il est équilatéral. Si un quadrilatère a......ses côtés opposés parallèles ses côtés opposés de même longueur deux côtés opposés parallèles et de même longueur ses diagonales qui ont le même milieu ses angles opposés de même mesure......alors c'est un parallélogramme. 5 Si un triangle isocèle a un angle de 60 alors il est équilatéral. 6 Si un quadrilatère a trois angles droits alors c'est un rectangle. 6 Théorème du triangle inscrit Si un triangle inscrit dans un cercle a pr côté un diamètre du cercle alors il est rectangle. ABC inscrit dans le cercle [AB] diamètre du cercle Donc ABC est rectangle en C. 7 Théorème de la médiane Si un triangle a le milieu d'un côté équidistant des trois sommets alors il est rectangle. Dans le triangle ABC O milieu de [AB] OA = OB = OC Donc ABC est rectangle en C. 8 Réciproque du théorème de Pythagore Si dans un triangle, le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle. Si un parallélogramme a un angle droit ses diagonales de même longueur......alors c'est un rectangle. 9 Si un quadrilatère a ses côtés de même longueur alors c'est un losange. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur......ses diagonales perpendiculaires... Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur ses diagonales perpendiculaires... Si un losange a un angle droit ses diagonales de même longueur......alors c'est un losange....alors c'est un carré....alors c'est un carré.

5 Pr calculer la longueur d'un segment Fiche 8 Pr calculer la mesure d'un angle Fiche 9 Théorème du segment des milieux Si dans un triangle, un segment a pr extrémités les milieux de deux côtés alors sa longueur est la moitié de celle du troisième côté. 2 Théorème de Pythagore Si un triangle est rectangle alors le carré de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit. 3 Dans un triangle rectangle avec les lignes trigonométriques : côté adjacent à â côté opposé à â côté opposé à â cos (â ) = ; sin (â ) = ; tan (â ) = hypoténuse hypoténuse côté adjacent à â 4 Théorème de Thalès Si (BM) et (CN) sont sécantes en A et si (MN) et (BC) sont parallèles alors on a : AM AB = AN AC = MN BC. La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à La somme des mesures des angles d'un quadrilatère est égale à Les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires (somme des mesures égale à 90 ). 4 Les angles aigus d'un triangle isocèle-rectangle mesurent Les angles d'un triangle équilatéral mesurent Dans un triangle rectangle avec les lignes trigonométriques : Selon les cas, l'angle â est égal à......cos ( côté adjacent à â hypoténuse )...sin ( côté opposé à â hypoténuse )... tan ( côté opposé à â côté adjacent à â ) 5 Conséquences du théorème de Pythagore La diagonale d'un carré de côté a mesure a 2. La diagonale d'un cube de côté a mesure a 3. La hauteur d'un triangle équilatéral de côté a mesure a La mesure d'un angle inscrit dans un cercle est égale à la moitié de celle de l'angle au centre associé. L'angle ÂMB est inscrit dans le cercle de centre O. L'angle ÂOB est l'angle au centre associé (ils interceptent le même arc de cercle). Donc m (^AMB) = 2 m (^AOB).

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