Droites et plans dans l espace

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1 Droites et plans dans l espace Positions relatives de deux plans Définition Deux plans de l espace sont strictement s ils n ont aucun point en commun. Positions relatives de deux plans Plans Deux plans peuvent être strictement Deux plans peuvent être confondus Plans sécants Deux plans sont sécants selon une droite Si deux plans sont, alors tout plan parallèle à l un est parallèle à l autre. Si deux droites sécantes d 1 et d 2 d un plan P sont à deux droites sécantes d 1 et d 2 d un plan P alors P et P sont. Si deux plans P et P sont alors tout plan qui coupe l un coupe l autre et les droites d intersection sont. N. Duceux LFIB - TS 1

2 Positions relatives d une droite et d un plan Définition Une droite et un plan de l espace sont strictement s ils n ont aucun point en commun. Positions relatives d une droite et d un plan Plan et droite Plan et droite sécants Une droite peut être incluse dans un plan. Une droite et un plan peuvent être strictement. Leur intersection est vide. Une droite et un plan peuvent être sécants en un point. Si un plan P contient une droite d parallèle à une droite alors P et sont. Si une droite d et un plan P 1 sont alors tout plan P 2 contenant d et sécant à P 1 coupe P 1 selon une droite parallèle à d. Théorème du toit Si P et P sont deux plans sécants contenant deux droites d et d alors l intersection de P et P est une droite parallèle à d et d. Preuve par l absurde Soit u un vecteur directeur de et v un vecteur directeur de d et d. Supposons que d et ne soient pas. Alors u et v sont des vecteurs directeurs du plan P. et d ne sont également pas donc u et v sont des vecteurs directeurs du plan P. P et P ont des vecteurs directeurs en commun ils devraient donc être. Ce qui est contraire à l hypothèse de départ que les plans sont sécants. N. Duceux LFIB - TS 2

3 Définition Positions relatives de deux droites Deux droites de l espace sont strictement si elles sont coplanaires et n ont aucun point en commun. Remarque Dans l espace, deux droites n ayant aucun point en commun ne sont pas pour autant strictement. Position relative de deux droites Les deux droites sont strictement (ou confondues). Droites coplanaires Les deux droites sont sécantes (un seul point commun). Droites non coplanaires Aucun plan ne les contient toutes les deux. Elles n ont pas de point d intersection. Si deux droites sont, alors toute parallèle à l une est parallèle à l autre. Si deux droites sont, alors tout plan qui coupe l une coupe l autre. Exercice ABCD est un tétraèdre et I, J, K sont les milieux des arêtes respectives [AB], [BC], [CD]. Le plan (IJK) coupe [AD] en L. a) Démontrer que les droites (LK), (IJ) et (AC) sont. b) Démontrer de même que les droites (LI), (KJ) et (BD) sont. c) En déduire que IJKL est un parallélogramme. N. Duceux LFIB - TS 3

4 Orthogonalité dans l espace Propriété Orthogonalité de deux droites Dire que deux droites sont orthogonales signifie que leurs menées d un point quelconque de l espace sont perpendiculaires. Exemple Dans le cube ABCDEFGH, les droites (BC) et (EF) sont perpendiculaires car (BC) est parallèle à (EH) et (EH) est perpendiculaire à (EF). Définition Orthogonalité d une droite et d un plan Dire qu une droite d et un plan P sont orthogonaux signifie que la droite d est orthogonale à deux droites sécantes du plan P. Exemple Dans le cube ABCDEFGH, la droite (HG) est perpendiculaire au plan (BCG) car la droite (HG) est perpendiculaire aux droites (CG) et (GF). Théorème Une droite d est orthogonale à un plan P si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan P. Propriété et définition Projeté orthogonal sur un plan Soit P un plan et M un point de l espace. Il existe une unique droite d passant par M et orthogonale à P. Le point M intersection de la droite d avec le plan P est le projeté orthogonal de M sur P. Propriété et définition Projeté orthogonal sur une droite Soit d une droite et M un point de l espace. Il existe un unique plan P passant par M et orthogonal à d. Le point M intersection du plan P avec la droite d est le projeté orthogonal de M sur d. N. Duceux LFIB - TS 4

5 Exercice ABCD est un tétraèdre trirectangle en A, c est-à-dire que les triangles ABC, ACD et ABD sont rectangles en A. H est l orthocentre du triangle BCD. a) Démontrer que les droites (AH) et (BC) sont orthogonales. b) Démontrer que la droite (AH) est orthogonale au plan (BCD). 1. Si deux droites sont, tout plan orthogonal à l une est orthogonal à l autre. 2. Si deux droites sont orthogonales à un même plan alors elles sont. 3. Si deux plans sont, alors toute droite orthogonale à l un est orthogonale à l autre. 4. Si deux plans sont orthogonaux à une même droite alors ils sont. Exercice Dans le tétraèdre régulier ABCD, le point G est le centre de gravité du triangle ABC. 1) Montrer que les droites (AD) et (BC) sont orthogonales en montrant que les points A et D appartiennent au plan médiateur du segment [BC]. 2) Montrer que la droite (DG) et le plan (ABC) sont orthogonaux. N. Duceux LFIB - TS 5

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