CI-2 : MODÉLISER ET SIMULER LES SYS-
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- Matthieu Falardeau
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1 CI-2 : MODÉLISER ET SIMULER LES SYS- TÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS. CI-2-0 : SUPPORT DE COURS - MA- CHINES À COURANT CONTINU (MCC. Stator 2. Inducteur 3. Bobines de l inducteur 4. Rotor 5. Arbre 6. Champ magnétique 7. Bobinage Induit 8. Conducteur de l induit 9. Collecteur 0. Porte balais Objectifs MODELISER RESOUDRE A l issue de la séquence, l élève doit être capable, à partir des équations temporelles du moteur à courant continu de transposer les équations dans le domaine de Laplace construire le schéma bloc du système déterminer la réponse temporelle du système Table des matières Système d ouverture et de fermeture de portes de tramway 2 2 Moteur à courant continu 2 2. Technologie du moteur à courant continu Equations du modèle Equation électrique Equation mécanique Couplage électromoteur Force électromagnétique induite Schéma bloc Construction des blocs Schéma bloc du moteur à courant continu Fonction de transfert Réponses indicielle et fréquentielle 5 3. Pulsation propre et coefficient d amortissement Réponse temporelle à un échelon Réponse fréquentielle LYCÉE CARNOT (DIJON MPSI - PCSI GERMAIN GONDOR
2 2. MOTEUR À COURANT CONTINU 2/7 Système d ouverture et de fermeture de portes de tramway Les grandes métropoles répondent au problème du déplacement des populations par le développement des transports en commun. Dans ce contexte, il est possible d augmenter le débit des passagers en augmentant la vitesse de déplacement et en diminuant les temps d arrêt aux gares. Ce dernier point implique que les dispositifs d accès des passagers aux voitures soient optimisés. Le support de ce Cours-Td est le système d ouverture et de fermeture des portes de voitures développé par la société FAIVELEY qui équipe des tramways, des métropolitains ou des trains express régionaux. 2 Moteur à courant continu Un moteur électrique est utilisé pour convertir l énergie électrique du réseau en énergie mécanique. On considérera pour l étude, que l inertie sur l axe moteur vaut 0, 0 g.m 2. On considère alors les valeurs numériques suivantes pour le moteur: R=20Ω L=0, H =,2 V.(rad.s =,2 Nm.A J=0,0 g.m 2 2. Technologie du moteur à courant continu 2.2 Equations du modèle. Stator 2. Inducteur 3. Bobines de l inducteur 4. Rotor 5. Arbre 6. Champ magnétique 7. Bobinage Induit 8. Conducteur de l induit 9. Collecteur 0. Porte balai Ecrivons les modèles de connaissances pour déterminer les relations entre la tension d alimentation u(t, l intensité i(t, la vitesse de rotation ω(t et les couples moteur C m (t et résistant C r (t Equation électrique Pour alimenter le moteur on applique à ses bornes une tension u(t. Le moteur peut être modélisé par une résistance R en série avec une inductance L et une force électromotrice induite e(t.
3 2. MOTEUR À COURANT CONTINU 3/7 i(t > i(t > R u(t M u(t e(t L On obtient alors l équation électrique Equation mécanique u(t = R.i(t L. di dt e(t L application du moment dynamique sur l axe moteur soumis aux actions mécaniques du couple moteur C m et du couple J. dω = C m (t C r (t résistant C r conduit à dt Couplage électromoteur L action mécanique de la force de Laplace ( df #» = i(t. dl #» #» B et dφ = B.dS sur le rotor donne la relation entre le couple C moteur et l intensité m (t =.i(t Force électromagnétique induite La loi de Lenz conduit à la relation entre la vitesse de rotation et le force électromagnétique induite 2.3 Schéma bloc e(t =.ω(t Afin de trouver les lois d entrées-sorties, passons les équations temporelle dans le domaine symbolique de Laplace 2.3. Construction des blocs Le modèle de connaissance permet d obtenir 4 équations pour le moteur à courant continu: avec les conditions d Heaviside u(t = R.i(t L. dt di e(t = R.I(p L.p.I(p E(p J. dω = C dt m (t C r (t.ω(p = C m (p C r (p C m (t =.i(t C m (p =.I(p e(t =.ω(t E(p =.Ω(p Ce qui permet de construire les éléments du schéma bloc: I(p C m (p Ω(p E(p R L.p E(p I(p C r (p C m (p Ω(p
4 2. MOTEUR À COURANT CONTINU 4/ Schéma bloc du moteur à courant continu L assemblage des modèles de connaissances et de comportements (ici uniquement de connaissances permet de construire le schéma bloc complet: C r (p R L.p I(p C m (p Ω(p Fonction de transfert Il est possible de déterminer la fonction de transfert à partir des équations mais on peut également déplacer les blocs pour se ramener à un schéma bloc élémentaire. De plus à partir du principe de superposition : C r (p R L.p I(p C m (p c Ω (p R L.p I(p C m (p Ω 2 (p R L.p. Ω (p C r (p Ω 2 (p e. R L.p..(R L.p.(R L.p. Ω (p C r (p. e. R L.p Ω 2 (p D après le théorème de superposition :.(R L.p Ω(p = Ω (p Ω 2 (p =..(R L.p. Après simplifications: Ω(p =.(R L.p... e. R L.p.C r (p R L.p.(R L.p..C r (p ou bien: Ω(p = J.R..p J.L..p 2. R L.p.. J.R..p J.L.C r (p.p 2.
5 3. RÉPONSES INDICIELLE ET FRÉQUENTIELLE 5/7 La lecture directe du schéma bloc, conduit à : [ ] Ω(p = Cr(p. R L.p. (.Ω(p (..Ω(p =.(R L.p.(R L.p..Cr(p (.(R L.p..Ω(p =. (R L.p.Cr(p ce qui permet de retrouver le résultat précédent. 3 Réponses indicielle et fréquentielle 3. Pulsation propre et coefficient d amortissement D après l équation du moteur à courant continue établie précédemment, le système est du second ordre. Déterminons alors par identification les paramètres caractéristiques ξ et ω 0 : J.R.p J.L.p 2 = 2.ξ.p p2.. ω 0 ω 2 0 ω 0 = e. J.L et ξ = R 2. J L.. APPLICATION NUMÉRIQUE : ω 0 = 38 rad.s ξ = 2, Réponse temporelle à un échelon On impose un échelon de tension u(t = U 0 avec U 0 = 00 V. Par transformée de Laplace, = U 0 p Ω(p = U 0 J.R.p J.L. p 2 p =.U 0.. p. c 2.ξ.p p2 ω 0 ω 2 0 ω(t =.U 0 [. ( ] τ.e t/τ τ 2.e t/τ 2 τ 2 τ avec τ = ω = p = ( ω 0. ξ ξ 2 et τ 2 = ω 2 = p 2 = ( ω 0. ξ ξ 2 APPLICATION NUMÉRIQUE : ω = 7, 47 rad.s, ω 2 = 93 rad.s, τ = 0, 3 s et τ 2 = 5, 2 ms
6 3. RÉPONSES INDICIELLE ET FRÉQUENTIELLE 6/7 4 ω(t t ω(t t Réponse fréquentielle Soit la fonction de transfert H(p définie par: H(p = Ω(p = J.R..p Par définition du gain, G B ( jω vaut: G B (H( j.ω = 20. log (H( j.ω J.L =.p 2. ( τ.p( τ 2.p = 20. log( 20. log( j.τ.ω 20. log( j.τ 2.ω = 20. log( 20. log( (τ.ω log( (τ 2.ω 2 En ce qui concerne la phase: φ ω (H( j.ω = ( Im(H( j.ω arctan Re(H( j.ω = arctan (τ.ω arctan (τ 2.ω G B (H( j.ω = 20. log( 20. log( (τ.ω log( (τ 2.ω 2 φ ω (H( j.ω = arctan (τ.ω arctan (τ 2.ω Trois cas se présentent suivant les valeurs de ω ω ω ω 2 ω ω ω 2 ω 2 ω G B (H( j.ω 20. log( φ ω (H( j.ω = 0 G B (H( j.ω 20. log ( τ 20. log(ω φω (H( j.ω = π 2 G B (H( j.ω 20. log ( τ.τ log(ω φω (H( j.ω = π
7 3. RÉPONSES INDICIELLE ET FRÉQUENTIELLE 7/7 G db (ω 0 Gain de τ.p Gain de ω ω 0 τ 2.p ω 2 Gain statique Courbe réelle φ(ω Gain de ( τ.p.( τ 2.p ω ω 0 ω 2 Phase de τ.p Phase de τ 2.p ω -90 Courbe réelle -80 Phase de ( τ.p.( τ 2.p ω
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