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1 Formation accélérée CRPE Mathématiques Quelques éléments de numération Corrigés des exercices Exercice 1 Vrai ou Faux? a. Faux. Les chiffres sont des symboles qui permettent de désigner les nombres (il a existé plusieurs types de chiffres dans l Histoire). Avec dix symboles, on peut désigner tous les nombres entiers en les combinant selon des règles précises. Les nombres servent à désigner la taille de collections ou un rang dans une liste ordonnée. Le nombre huit s'écrit avec un seul chiffre dans notre numération décimale, 8, alors que le nombre trente-quatre s'écrit avec deux chiffres, 3. b. Vrai. Les dix chiffres sont 0,1,,3,,5,,7,8 et 9. Les 5 mots sont zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize, vingt, trente, quarante, cinquante, soixante, cent, mille, et. c. Vrai. Le chiffre des centaines du nombre 1 58 est 5. d. Faux. Le nombre de centaines du nombre 1 58 est 15. On peut faire 15 paquets de 100 si on a 1 58 objets. e. Vrai. abcabc = a b c + 100a + 10b + c = a b c ( a b c) ( a b c ) = = abcabc s écrit comme le produit de 13 par un nombre entier donc il est un multiple de 13. f. Vrai. aaa = 100a + 10a + a = 111a = 37 x 3a. Les nombres de la forme aaa s écrivent donc comme le produit de 37 par un nombre entier par conséquent ils sont divisibles par 37. g. Faux. On peut affirmer qu il n y a aucune retenue! En effet, les chiffres des unités des deux nombres sont au maximum égaux à 9, donc leur somme vaut au maximum 18. Le chiffre des unités de leur somme ne peut donc pas provenir du nombre 19 mais seulement de 9. Il n y a donc pas de retenue au rang des unités. Le même raisonnement reste valable à chaque rang de l addition, il n y a donc eu aucune retenue. h. Faux. En base six, il y a six symboles (chiffres) pour désigner tous les nombres : 0, 1,, 3, et 5. La désignation écrite chiffrée d un nombre ne peut donc comporter le chiffre «8». Exercice d + u = 9 N = du On sait que d + u = 9 On obtient donc le système : d u = 5 et du 5 = ud donc 10 d+ u-5=10 u+ d En ajoutant les deux équations on obtient : 10d d + u 10u = 5 d = 1 donc d = 7 d où u =. 9d 9u = 5 d u = 5 Par conséquent N = 7. Remarque : On pouvait aussi trouver la solution en essayant tous les nombres dont la somme des deux chiffres est 9. Exercice 3 Soit N le nombre cherché : N = cdu Septembre 010 1

2 du + 50 = dcu cdu 7 = cud c + d + u = 15 d = d u = 3 c + d + u = 15 = u = 5 d = 8 100c + 10d + u + 50 = 100d + 10c + u 90c 90d = c + 10d + u 7 = 100c + 10u + d 9d 9u = 7 c + d + u = 15 c + d + u = 15 = d u = d 3 d + d + d 3 = 15 donc N = 85. = d u = d 3 3d = = d u = d 3 d = 8 9c 9d = 5 9d 9u = 7 c + d + u = 15 = 8 u = 8 3 d = 8 Exercice 1. Le nombre cherché est de la forme du du = du 00 = 50d + 5u du = d + u = (10d + u) 00 = 5 (10d + u) Le nombre cherché est donc = 0d 10d + u u 00 : 5 = (10d + u). cdu = du si c = 0 alors du = c = 0 et N n a pas 3 chiffres si c = alors du = c = et N = 100c + 10d + u = ( 10d + u ) si c = 1 alors du = c = et du n a pas chiffres si c = 7 alors du = c = 8 et N = c + 10d + u = 0d + u si c = alors du = c = 8 et du n a pas chiffres si c = 8 alors du = c = 3 et N = c = 50d + 5u si c = 3 alors du = c = 1 et N = 31 si c = 9 alors du = c = 3 et N = 93 c = 10d + u si c = alors du = c = 1 et N = 1 c = du si c = 5 alors du = c = 0 et N = 50 Il y a 7 solutions Exercice n 95 donc 15 ( a5) 95 d où ( a ) Par conséquent le carré de a 5 a au plus chiffres.. ( ) 5 a = ( 10 5) a + = 100a 100a = ( a a) Cette dernière écriture nous permet de conclure que centaines est égal à a (a + 1). Exercice 1. N = du et N = du' et u + u = = a ( a ) n se termine par 5 et que le nombre des N N = du du' = (10d + u) (10d + u ) = 100 d + 10du + 10du + uu = 100 d + 10d(u + u ) + uu or u + u = 10 N N = 100 d + 100d + uu = 100 d (d + 1) + uu Le produit de N par N se termine par le produit de leurs chiffres des unités écrit avec deux chiffres et son nombre des centaines est égal au produit du chiffre des dizaines par son successeur : 5 = 0 et 1 9 = 09 donc = : 7 8 = 5 et 8 = 1 donc 7 78 = 5 1 Exercice a = 13 b = 371 c = d = A01E 5 3 a = b = c = d = a = 7 b = 307 c = 53 d = Septembre 010

3 . e = 7 = = = h = 17 = = j = 57 = x1 + 3x1 + 1 = 13 f = 17 = = 1 + 1= 1 11 i = 11 = = A = 1 3C 101 g = 95 = 1x 3 + 1x + 3x A 1 Exercice 8 1. Le nombre qui suit cinq est 10 cinq, une unité de plus fait qu il y a un groupement de 5 de plus. Le nombre qui suit 1 cinq est 0 cinq, celui qui suit cinq est 100 cinq et après 1 cinq c est 130 cinq.. Le nombre qui précède 10 cinq est cinq ; avant 00 cinq c est 1 cinq et avant 1300 cinq c est 1 cinq. 3. = = = 33 cinq. Exercice 9 a a a = étant donnée la présence du 3, a a a a a = soit a a = 0 soit a ( a ) = 0 soit a = 0 ou a = Une base ne peut être égale à 0 donc la base est. Il n'existe donc pas de base dans laquelle l'égalité est vraie. b b b. + 1 = 3 étant donnée la présence du, b 7 b + + b + = b + 3 soit 3b b = 3 soit b = 5 soit b = 5 Ce qui est incompatible avec l'affirmation du départ. Exercice 10 On cherche un nombre N tel que : N = mcdu N 7000 donc m est 7, 8 ou 9. D autre part le chiffre des milliers m est le double du chiffre des centaines donc m est pair d où m = 8 et de là c =. N est un multiple de 5 (9 5) donc c est un multiple de 9 et de 5. Il se finit donc par 0 ou 5 et comme N est impair, u = 5. Enfin il est divisible par 9 donc la somme de ses chiffres est aussi divisible par 9. On a déjà = 17 donc d = 1. Le nombre cherché est donc N = (8 15 = 5 187) Exercice 11 Si N contenait un 0 alors le produit de ses chiffres serait nul et non égal à 10. Si N contenait un 1 alors le produit de ses deux autres chiffres serait égal à 10. Or le plus grand produit possible des deux chiffres est 81 (9 x 9). Donc c est impossible. Si N contenait un alors le produit de ses deux autres chiffres serait 0. Or 0 = x x 3 x 5. Donc 0 = x 30 = 3 x 0 = x 15 = 5 x 1 = x 10 0 n est pas le produit de «deux chiffres». C est donc impossible. Remarque : on peut aussi en raisonner sur les sommes des chiffres, chercher les sommes qui sont égales à 1 (1 ) et vérifier qu aucun produit ne donne n est un multiple ni de 7 ni de 9 par conséquent aucun des chiffres de 10 ne peux être 7 ou Il reste finalement possible les chiffres 3,, 5, et 8. Les sommes de trois de ces chiffres égales à 1 sont : ; ++8 ; ++ ; Calculons les produits : 3x5x8=10 ; xx8=18 ; xx=1 et 5x5x=150. Le nombre 358 est donc solution du problème. Septembre 010 3

4 Remarque : on peut aussi en raisonner en cherchant les produits de 3 nombres à un seul chiffre égaux à 10 (en utilisant la décomposition de 10) et calculer ensuite les sommes pour les comparer à 1. On peut permuter les chiffres 3, 5 et 8 et trouver ainsi d autres solutions, par exemple D après la question précédente, le nombre ne peut s écrire qu avec les chiffres 3, 5 et 8, il s agit donc d écrire tous les nombres en permutant les chiffres : 358 ; 385 ; 538 ; 583 ; 835 et 853. Exercice = s écrit sous la forme d un produit de 11 par un entier, 1001 est donc divisible par m + 99c + 11d m + c d + u = 1000m + 100c + 10d + u = mcdu 3. a. mcdu = 11 (91 m + 9 c + d) m + c d + u = 11 (91 m + 9 c + d) (m c + d u) (91 m + 9 c + d) est un entier donc mcdu est un multiple de 11 si et seulement si m c + d u est un multiple de 11. Un nombre inférieur à 9999 est donc un multiple de 11 si et seulement si la somme algébrique de ses chiffres en alternant addition et soustraction est un multiple de 11. b. mcdu a mc centaines, il faut donc trouver 3 nombres de la forme 38du tels que d u est un multiple de 11. Il faut en donner trois parmi : 380, 3817, 388, 3839, 3850, 381, 387, 3883 et a. abmcdu = a b m + 99c + 11d a + b m + c d + u (même méthode qu au.) abmcdu = 11(9 091a +909b + 91 m + 9 c + d) (a b + m c + d u) On peut donc énoncer le critère de divisibilité du 3.a. pour les nombres à chiffres. b. 1, = = 1 50 x 10. Ce nombre est divisible par 11 si et seulement si 1 50 l est = 0 donc 1, est divisible par 11. Exercice 13 Dans cet exercice, a, b et c sont des chiffres compris entre 1 et 9. On considère des nombres écrits en base dix avec ces chiffres et on note, par exemple, bac le nombre dont b est le chiffre des centaines, a celui des dizaines et c celui des unités. Les questions sont indépendantes. 1) 57 n est pas un nombre premier. La somme de ses chiffres est 1 donc il est divisible par 3. (On peut aussi justifier en écrivant 57 = 3 x 19). ) a) Le nombre 3737 n est pas un nombre premier, en effet 3737 = 37 x 101, il a donc plus de diviseurs (il a au moins 37 et 101 en plus de 1 et lui-même). b) abab = 1 000a + 100b + 10a + b = 1 010a + 101b = 101(10 a + b) = 101 ab Un nombre de la forme abab ne peut pas être un nombre premier. Il admet toujours 101 et ab comme autre diviseur que 1 et lui-même. 3) a) ( ) abc + abb + acc = 100a + 10b + c + 100a + 10b + b + 100a + 10c + c = 300a + 1b + 1c = 3 100a + 7b + 7c Cette somme s écrit comme le produit de 3 par un nombre entier donc c est bien un multiple de 3. b) cba + bba = 100c + 10b + a + 100b + 10b + a = 100c + 10b + a Il s agit d ajouter un nombre de façon à ce que les coefficients de chaque chiffre soit un multiple de est déjà un multiple de 3, le nombre n a pas besoin de contenir le chiffre b. On peut ajouter 11c et 100a soit le nombre qui s écrit acc. cba + bba + acc = 100c + 10b + a + 100a + 10c + c = 10a + 10b + 111c = 3 ( 3a + 0b + 37c ) La somme est bien un multiple de 3. Septembre 010

5 Exercice = = 5. Ce nombre n est pas un multiple de mais est un multiple de = + + = 1 = = 10 Tous ces nombres sont pairs et seul 550 est multiple de 3. abc = a b c + + = 3a + b + c = (18a + 3b) + c (18a + 3b) est pair donc abc = 3a + b + c = (a + b) + c Donc chiffres vont de 0 à 5) abc est pair si c=0, c= ou c= abc est un multiple de si c = 0. (en base, les. Un nombre écrit en base est multiple de (ou divisible par ) si son dernier chiffre est 0, ou. Un nombre écrit en base est multiple de (ou divisible par ) s il se termine par a) 35 = 15 1 = = 15 Ces trois nombres sont des multiples de 5. b) abc = a + b + c = 3a + b + c = 35a + a + 5b + b + c = 5 ( 7a + b) + a + b + c Un nombre écrit en base est multiple de 5 (ou divisible par 5) si la somme de ses chiffres est divisible par 5. Septembre 010 5

6 Synthèse des connaissances utilisées dans les exercices précédents Notre système de désignation écrite chiffrée des nombres Le système de numération décimale permet avec un alphabet fini de dix chiffres [0, 1,, 3,, 5,, 7, 8, 9 ] d'écrire une infinité de nombres. Les chiffres sont au nombre ce que les lettres sont au mot. Pour écrire des mots, on dispose d'un alphabet de vingt-six lettres, mais il y a des mots d'une lettre. De même, il y a dix nombres d'un chiffre : 0, 1,, 3,, 5,, 7, 8, 9. Dans notre système de numération décimale, chaque chiffre a une valeur différente selon la position qu'il occupe dans l'écriture chiffrée du nombre. Notre numération est une numération de position. Dans notre système de numération décimale, dix unités d'un ordre donné constitue une unité de l'ordre immédiatement supérieur. On peut parler de la règle d'échange "dix contre un" : Dix unités contre une dizaine Dix dizaines contre une centaine Dix centaines contre une unité de mille. Tout nombre peut se décomposer selon les puissances de dix En décomposant de cette façon l'écriture d'un nombre, on met en évidence les groupements utilisés. 507 = x x x10 + 7x1 = x x10 + 0x x représente groupements de mille, 5 groupements de cent, 0 groupement de dix et 7 unités isolées soit unités de mille, 5 centaines, 0 dizaine, 7 unités Tout nombre entier N peut s'écrire sous la forme : N = Σ an10 n On appelle cette écriture, l écriture canonique. Le chiffre zéro indique l'absence de groupement d'un ordre donné Il est possible de choisir un autre règle d écriture des nombres en modifiant le nombre d éléments d un groupement: Par exemple, soit à organiser une collection de 183 objets représentés par des points en utilisant la règle de groupement par cinq. unités du ordre unités du 3 ordre unités du ordre unités du 1 ordre 1 groupement de 5 x 5 x 5 groupements de 5 x 5 1 groupements de 5 3 éléments isolés La quantité d'objets de cette collection s'écrira : 113 en base cinq. Septembre 010

7 Cette organisation peut être traduite par la division euclidienne : 183 = 5 x On peut organiser la collection d objets en faisant 3 paquets contenant 5 objets chacun et il reste 3 objets isolés (d ordre 1). 3<5 (on ne peut pas faire de paquet avec 3 objets) Puisque 3 > 5, on peut réitérer la règle de groupement par 5 aux 3 paquets, ce qui se traduit par la division euclidienne de 3 par 5 3 = 5x7 + 1 On peut organiser la collection de paquets en faisant 7 sachets contenant chacun 5 paquets et il reste 1 paquet isolé (d ordre ) (1<5, on ne peut pas faire de sachets avec 1 paquet) Puisque 7 > 5, on peut réitérer la règle de groupement par 5 aux 7 sachets, ce qui se traduit par la division euclidienne de 7 par 5 7 = 1x5 + On peut organiser la collection de sachets en faisant 1 boîte contenant 5 sachets et il reste sachets isolés (ordre 3) ( < 5, on ne peut pas faire de boîte avec sachets) On ne peut plus réitérer la règle de groupement par cinq aux boîtes puisqu il n en reste qu un nombre inférieur à 5 : 1 (ordre ) 3. On peut appliquer ce raisonnement à pour trouver son écriture chiffrée en base cinq : = 5 x 88 + il reste éléments isolés d ordre 1 88 = 5 x il reste 3 éléments isolés d ordre 17 = 5 x 3 + il reste éléments isolés d ordre 3 Et comme 3 est inférieur à 5, on ne peut plus réitérer la règle de groupement par 5, 3 désigne le nombre d éléments d ordre isolés. L écriture de en base cinq est donc 33 cinq. En combinant ces règles, on s'aperçoit qu'un groupement donné peut s'exprimer en fonction des groupements précédents. Par exemple, groupements de mille correspondent à 0 groupements de cent et à 00 dizaines. De cette façon le nombre 507 peut se lire et se comprendre comme 5 centaines et 7 unités ou encore comme 50 dizaines et 7 unités. Pour écrire en base b (en utilisant la règle de groupement par b) un nombre dont on connaît l'écriture en base dix, on utilise la méthode des divisions successives de ce nombre par b. Les différents restes correspondent aux chiffres de l'écriture du nombre en base b, le premier reste correspondant au chiffre de l'unité d'ordre le plus bas et le dernier quotient inférieur à b correspond au chiffre de l'unité d'ordre le plus élevé. Pour écrire un nombre en base dix dont on connaît l'écriture en base b, on utilise son écriture développée selon les puissances de b : Par exemple : 13 cinq = 1 x 5 3 = x 5² + 3 x 5 + = 15 + x x 5 + = 19 La désignation des nombres avec des mots Avec 3 mots, on peut dire et écrire en lettres tous les nombres de la classe des unités simples, de zéro à neuf cent quatre-vingt-dix-neuf Avec un mot de plus, mille, on peut énoncer autres nombres. Avec un mot de plus, million, on peut énoncer autres nombres. Tous les nombres inférieurs ou égaux à dix ainsi que certaines puissances de dix reçoivent un nom indépendant des autres, les noms des autres nombres sont composés à partir des précédents suivant un principe additif ou multiplicatif. dix-sept, dix-huit, dix-neuf, vingt-trois,..sont composés selon le principe additif. quatre-vingt, trois cent,... sont composés selon le principe multiplicatif. Depuis la IX conférence des Poids et Mesures en 198, la France a adopté le système suivant : 1 million = mille fois mille soit 10 unités 1 billion = 1 million de millions soit 10 1 unités 1 trillion = 1 million de billions soit unités... Septembre 010 7

8 Le mot milliard n'appartient plus à la terminologie légale. Il est cependant toujours utilisé. 1 milliard = mille millions soit 10 9 unités. Pour faciliter la lecture des grands nombres, on groupe les chiffres par classes. ex. : quatorze milliards deux cent trois millions quarante huit mille cinq cent deux quatorze mille deux cent trois millions quarante huit mille cinq cent deux De mille en mille, de millions en millions, nous utilisons des bases auxiliaires pour faciliter la communication sur les grands nombres. Septembre 010 8

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