Logique et théorie des ensembles

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1 Chapitre 1 Logique et théorie des ensembles Les buts de ce chapitre sont : définir les énoncés que l on peut démontrer en mathématiques, être capable de comprendre un énoncé mathématique complexe, introduire des notations et des définitions essentielles, introduire des méthodes de démonstration et de rédaction qui doivent devenir des automatismes. $\ CC BY: Les notions peuvent sembler abstraites, il est donc important de s éloigner du formalisme pour ne retenir que les idées intuitives. Pour rendre les notions plus concrètes, j utilise dans les exemples des notations et des notions qui seront introduites plus tard. I Proposition I.1 Définition La première contrainte intuitive que l on peut fixer sur un énoncé mathématique est qu il est soit vrai soit faux. Cela signifie aussi qu il doit être bien défini. Définition 1. Une proposition P est une phrase qui est, sans ambiguïté, soit vraie soit fausse. Cette proposition peut dépendre d une (ou de plusieurs variables), on note alors P(x) où x est la variable. Si on remplace la variable x par une valeur, alors P(x) est vraie ou fausse. Les propositions sont donc les «briques de bases» pour construire l ensemble des énoncés que l on peut démontrer. Notons, qu une proposition P(x) dépend d une variable appartenant à un ensemble. Nous ne définirons pas précisément cette notion d ensemble : un ensemble est une collection d éléments, sans ordre. Pour les éléments x de cet ensemble, la proposition «l élément x appartient à E», noté «x E» a une valeur vraie. Exemple: P : «la fonction sin est une fonction continue», 1

2 CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES P : «est un nombre impair», P : «0 est le plus petit nombre entier». P(n) : «n est un nombre premier», Qu une proposition soit vraie ou fausse signifie que les termes qui la composent sont bien définis. Une proposition du type «π est un nombre plus intéressant que» n a de sens que si on a bien défini le «plus intéressant». Un autre exemple : «i > 0» n a aucun sens. La proposition P(n) : «n est un nombre premier», n a de sens que si n N. Remarque: On retrouve les variables booléennes en informatique qui valent vrai ou faux. En scilab, les variables booléennes sont %t et %f. I. Opérations sur les propositions Une fois ces objets introduits, on va les manipuler, c est-à-dire les combiner deux à deux pour obtenir de nouvelles propositions. Bien entendu, on cherche à modéliser des notions intuitives. négation La première opération naturelle sur une assertion est sa négation : Définition. Si P est une proposition, on appelle (non P) la négation de P : non P est la proposition fausse si P est vraie, elle est vraie si P est fausse. Exemple: non( est pair) est ( est impair), et, ou, équivalence Ensuite lorsqu on dispose de deux propositions, P et Q, il y a quatre possibilités selon les différentes valeurs de P et de Q. On peut les combiner soit avec ou soit avec et pour voir si l une ou l autre ou les deux sont vraies ou tester si elles ont la même valeur. Définition 3. Soient P et Q deux propositions, on définit : (P et Q) la proposition vraie si P est vraie et Q est vraie, fausse sinon, (P ou Q) la proposition fausse si P est fausse et Q est fausse, vraie sinon, (P Q) la proposition vraie si P et Q ont la même valeur, on dit «P est équivalent à Q». En général, pour définir ces nouvelles propositions, le plus simple est d utiliser une table de vérité qui contient la liste des valeurs possibles pour P et Q, et la valeur correspondante pour P et Q, etc. Cela est fait sur la figure 1.1. Remarque: En Scilab, lorsque a et b sont deux variables logiques, les variables a & b et a b sont les variables logiques a et b et a ou b respectivement. Ces notions n ont pas besoin d exemples, Elles correspondent à l idée intuitive que l on se fait de et et ou Remarquons quand même que le ou n est pas exclusif : si les deux propositions sont vraie, «P ou Q» est vraie, au contraire de la valeur de ou dans l expression formage ou dessert.

3 I. PROPOSITION 3 P V V F F Q V F V F P V F P ou Q V V V F non P F V P et Q V F F F P Q V F F V Table 1.1 Table de vérités de non, et, ou et La notion d équivalence peut être vue comme une égalité entre propositions. Cela sert par exemple à montrer certaines propriétés intuitives : Proposition 1. non (non P) P, (P et Q) (Q et P), donc l ordre des propositions dans les et ne compte pas. De même pour les ou. (P et Q) et R P et (Q et R). On n a donc pas besoin de parenthèse lors de plusieurs et consécutifs. De même pour les ou. (P ou Q) et R (P et R) ou (Q et R), (analogie avec (a + b)c ac + bc) (P et Q) ou R (P ou R) et (Q ou R). Ces propositions sont démontrées en considérant toutes les valeurs possibles de P, Q et R. Démonstration. Voici la démonstration de la première : P V F non P F V non (non P) V F Il suffit de constater que les lignes 1 et 3 sont identiques. Par exemple pour la dernière, on a : P V V V V F F F F Q V V F F V V F F R V F V F V F V F P et Q V V F F F F F F (P et Q) ou R V V V F V F V F P ou R V V V V V F V F Q ou R V V V F V V V F (P ou R) et (Q ou R) V V V F V V V F On constate bien que les lignes : (P et Q) ou R et (P ou R) et (Q ou R) sont identiques, ces deux propositions sont donc équivalentes. Application 1 Démontrer les autres. En utilisant des tables de vérités, on peut ensuite voir ce qui se passe lorsqu on nie une proposition formée par deux propositions assemblées par un ou ou et.

4 4 CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES Proposition. Soit P et Q deux propositions, on a : non(p ou Q) est équivalent à non(p) et non(q), non(p et Q) est équivalent à non(p) ou non(q). Ici encore, tout est intuitif. La démonstration rigoureuse se fait en considérant les tables de vérité. Exemple: non(«-1 est strictement négatif») est «-1 est positif ou nul», non(«1 < x 3») est «1 x ou x > 3», Si l est un nombre réel donné, et P(l) la proposition «l l», alors non(p(l)) non(«l l» et «l l») «l < l» ou «l > l». Ainsi lorsque l on suppose que deux nombres sont distincts, on peut toujours considérer que l un est supérieur strict à l autre. Si en informatique on écrit une boucle while (tant que) avec : while (x<>0 & x<>1), la sortie de la boucle aura lieu lorsque x vaudra 1 ou 0. On voit que les opérateurs et et ou sont duaux. Implication Maintenant, on voudrait donner un sens à l idée intuitive de «cette proposition entraîne celle-là», si cette proposition est vraie alors celle-là est vraie». On cherche donc à montrer que la proposition P est «plus forte» que la proposition Q, car dès que P est vrai Q l est automatiquement. Cela amène à la définition : Définition 4. Soient P et Q deux propositions, on note P Q et on lit «P implique Q», la proposition ((non P) ou Q). Cette proposition est fausse uniquement si Q est fausse et P vraie, elle est vraie dans tous les autres cas. La figure 1. montre la table de vérité correspondante. P V V F F Q V F V F P Q V F V V Table 1. Table de vérité de P Q Remarque: si P Q on dit que Q est une condition nécessaire à P, puisqu on ne peut avoir P que si on a Q. On dit aussi que P est une condition suffisante pour Q, puisqu il suffit d avoir P pour avoir Q. Exemple: «la fonction x x + 4 est un polynôme» «la fonction x x + 4 est dérivable». «Être un polynôme» est une condition suffisante pour «être dérivable». si P(f) est «f est une fonction dérivable», et Q(f) est «f est une fonction continue», alors P(f) Q(f), mais Q(f) P(f) est fausse. «Être continue» est une condition nécessaire pour «être dérivable» : ce n est pas la peine de chercher à dériver une fonction non continue. x > 5 x > 5. Remarque:

5 I. PROPOSITION 5 P Q est vrai dès que P est fausse, ainsi des propositions du type : «33 est pair» «33 se finit par 0,, 4, 6, ou 8» sont vraies. (cela permet d ailleurs de montrer que 33 est impair par l absurde) Enfin, P Q est évidement différent de Q P. Ne pas écrire à la place de donc. Ce symbole a un sens précis en mathématique, et n est donc à utiliser que dans ce cadre. Proposition 3. Soient P et Q deux propositions, alors on a : (P Q) (P Q) et (Q P). Autrement dit, pour montrer que P est équivalent à Q, on montre que P implique Q, puis que Q implique P, c est la double implication. Démonstration. Par table de vérité : P V V F F Q V F V F P Q V F V V Q P V V F V (P Q) et (Q P) V F F V (P Q) V F F V Lorsqu on nie une proposition d implication on a : Proposition 4. Soit P et Q deux proposition, la proposition non(p Q) s écrit : P et (non Q). Cette proposition est assez intuitive : le contraire que P entraîne Q c est d avoir P sans Q Démonstration. Il suffit de revenir à la définition : non(p Q) est non(non(p) ou Q), c est-à-dire P et non(q). Une autre égalité logique importante à connaître est la contraposé : Proposition 5 (Contraposé). Soient P et Q deux propositions, alors on a : (P Q) (non Q) (non P) Démonstration. La preuve se fait encore par table de vérité : P V V F F Q V F V F P Q V F V V non Q F V F V non P F F V V non Q non P V F V V On voit que les deux lignes correspondantes sont égales.

6 6 CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES Le principe de la contraposé est de considérer P Q sous la forme : Q est la conséquence de P. Par exemple : «si il pleut alors le trottoir est mouillé». La contraposé dit que l absence de la conséquence (non Q) est une preuve l absence de la cause (non P). Dans l exemple : «si le trottoir n est pas mouillé, alors il ne pleut pas». Exemple: L exemple qu il faut connaître est de démontrer que n pair n pair, en démontrant que si n est impair alors n est impair. I.3 Quantificateurs Soit E un ensemble, à partir d une proposition P(x), tel que P(x) a un sens pour tout élément x de E, on peut définir une proposition qui signifie «P(x) est vrai partout» ou «P(x) est vrai quelque part». Ces définitions font appel aux quantificateurs universels : «pour tout» et «il existe» : Définition 5. Soit P(x) une proposition tel que P(x) a un sens pour tout élément x de E, on définit : ( x E, P(x)), cette proposition signifie «pour tout élément x de l ensemble E, P(x) est vrai». ( x E, P(x)), cette proposition signifie «il existe un élément de E tel que P(x) est vrai». (!x E, P(x)), cette proposition signifie «il existe un unique élément de E tel que P(x) est vrai»». On peut mettre une virgule après, et deux points après. Remarque: La définition précise de (!x E, P(x)), est : ( x E, (P(x) et ( y E, P(y) y x)), autrement dit : x vérifie P et si un autre élément de E vérifie P alors c est forcément x. Ainsi, pour démontrer l unicité de x, on suppose qu une autre valeur y convient, et on montre qu en fait x y. Exemple: x R, x > 13 x > 13, x > 0, y R, x y, x > 0,!y R, x exp(y). Remarque: La variable est muette, x E, P(x) est la même proposition que ǫ E, P(ǫ). On essayera donc de donner un «sens» au choix du nom des variables. On utilisera ainsi n, p, q pour un entier, f pour une fonction, w pour une éventualité etc. Négation des quantificateurs Maintenant que l on a défini des propositions composés de quantificateurs, on peut combiner ces propositions. Aucune difficulté avec les et et ou, les propositions obtenues étant juste la combinaison des propositions. Il faut par contre définir la négation d une proposition composée d un quantificateur : nier un «quelque soit» c est trouver un élément qui ne vérifie pas la propriété, (donc trouver un contre-exemple),

7 I. PROPOSITION 7 nier un il existe c est démontrer que tous les éléments ne vérifient pas la propriété (donc qu aucun ne la vérifie). non( x E, P(x)) x E, non(p(x)) non( x E, P(x)) x E, non(p(x)) Par exemple : «non( x R, x > 13 x > 13)» est «x R, x > 13 et x 13». Application Quelle est la négation d un!? Ordre des quantificateurs Lorsqu on combine plusieurs propositions avec des quantificateurs, il faut faire attention à l ordre : les quantificateurs se mettent en début de proposition et se lisent de gauche à droite. Les variables introduite dépendent des précédentes. Exemple: Soit la proposition P : x > 0, a > 0 : a < x. il faut comprendre : pour tout x > 0, il existe un a > 0 (qui dépend donc de x), tel que a < x. Ce qui est vrai. En fait la proposition P s écrit : x > 0, Q(x), où Q(x) est le proposition : a > 0 : a < x. Par contre, soit la proposition P : a > 0 : x > 0, a < x. Il faut comprendre : il existe un a tel que tout x > 0 vérifie a < x, cette fois-ci, le a ne dépend pas de x. P se décompose en a > 0 : Q (a), où Q (a) est la proposition : x > 0, a < x. P est alors faux. Exemple: Par exemple, une fonction f : R R est solution de l équation différentielle y ay, si : λ R, x R, f(x) λe ax. dans cette écriture le λ ne dépend pas de x. si on change l ordre des quantificateurs : x R, λ R, f(x) λe ax, alors, toute fonction est solution : en effet, étant donné un x R, il suffit de poser λ f(x)e ax, qui vérifie bien : f(x) λe ax. On note souvent dans ce dernier cas λ x pour indiquer que λ dépend de x. D une manière générale, dans une proposition les variables dépendent des variables précédentes. I.4 Conclusion Cette partie clôt le premier but : l ensemble des énoncés que l on peut démontrer est constitué de propositions, de propositions avec quantificateurs et associés entre eux avec non, ou, et,, et. Par exemple, on peut maintenant définir la notion de suite convergente en disant : une suite u n est convergente si l R : ǫ > 0, N N : n N, n N u n l < ǫ. (1.1) Cet énoncé est une proposition qui dépend de la suite u n à qui on peut donner une valeur vraie ou fausse. Une représentation mentale satisfaisante pour ce type d énoncé est : «il existe un l, tel que pour toute précision ǫ, on peut trouver un rang N à partir duquel u n et l sont égaux à ǫ près». Application 3 Nier la définition d une suite convergente (1.1).

8 8 CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES Application 4 Traduire avec des quantificateurs : la fonction g s annule une fois et une seule sur l intervalle [0,1]. Application 5 Soit u n une suite réelle. Nier M R + : n N, u n M. Que veut dire cette phrase? Pour u n ( 1) n est-elle vraie? II II.1 Méthodologie Méthodes de démonstration Le but des mathématiques est maintenant de démontrer que certaines propositions sont vraies. Premièrement, certaines propositions sont vraies par choix, ce sont les axiomes : on décide que certaines propositions sont vraies, par exemple, on décide que «0 est le plus petit entier naturel», ou que «toute partie de R majorée possède une borne supérieure». On verra les axiomes au fur et à mesure du cours. Ensuite, on démontre des théorèmes, c est-à-dire des propositions vraies, que l on déduit d axiomes et d autres théorèmes selon plusieurs techniques : Déduction si P est vraie et si P implique Q alors Q est vraie. Transitivité de l implication si on a P Q et Q R alors on a P R. Contraposé P Q est équivalent à non Q non P. Raisonnement par l absurde si on suppose une proposition P et que l on obtient qu une autre proposition Q est vraie et fausse, alors c est que P est faux. Disjonction des cas Si l ensemble E est constitué de deux ensemble A et B, avec E A B c est-à-dire : x E, (x A) ou (x B), et si on a : x A, P(x) et x B, P(x), alors on a : x E, P(x). Variable muette Si on a x E, P(x), et si b E alors P(b), cela veut dire c est qu on peut remplacer x par n importe quelle valeur, en particulier, x, x etc. Exemple: Il est important de connaître ces techniques et de savoir les manipuler, on a «x > x > 4» et «x > 4 x >» donc «x > x >» «x > x > 4» est équivalent à «x 4 x», on a «x 0 x x» et «x < 0 x x», donc «x R, x x» Pour une fonction f donnée la proposition x, y D f, f(x) f(y) x y, est équivalente 1 à x, y D f, x y f(x) f(y). on a x R, sin(x) sin(x) cos(x), donc x R, sin(x) cos( x ) sin( x ) Note: À ces techniques de base s ajoutent d autres techniques, comme les démonstrations par récurrence (valable dans N). 1. Ceci est la définition d une fonction injective comme on le verra à la partie (IV.3)

9 II. MÉTHODOLOGIE 9 II. Méthodes de rédaction Démontrer consiste à expliquer le chemin qui permet de passer d une proposition vraie à une autre. Pour cela, il est important de déjà préciser la destination, c est-à-dire ce que l on veut démontrer. Avant de se lancer dans une démonstration, il est donc important de commencer par «Montrons que...». Ceci est aussi vrai en cours de raisonnement : on peut indiquer l endroit où on est «On a donc...» et les étapes intermédiaires, par exemple lorsqu on utilise la contraposée. Démontrer une implication Pour démontrer P Q, on voit que si P est faux il n y a rien à démontrer, P Q est automatiquement vrai, il faut donc supposer P vrai. On rédige donc en mettant :«Supposons...», et on montre que Q est vrai. Double implication Pour démontrer une équivalence, il faut démontrer successivement les deux implications. On doit donc séparer le cas P Q et Q P. Utiliser la disjonction des cas Il faut clairement indiquer «On sépare deux cas distincts», et indiquer les différents cas. Il doit être clair qu on distingue tous les cas possibles. Raisonnement par l absurde Bien indiquer la supposition que l on va nier, et à quel moment elle intervient. Ensuite, bien indiquer la contradiction, avant de conclure. Quelque soit Pour démontrer une proposition composé d une proposition avec un quantificateur «quelque soit», x E, P(x), on ne peut pas tester tous les éléments de E un par un. On utilise alors un élément générique x, qui appartient à E, sur lequel on ne fait aucune autre hypothèse. Si la proposition P(x) est vraie pour cet élément alors elle est vraie pour tout x de E. Il faut donc écrire, «Soit x appartenant à E», et on montre P(x). Il existe Pour une proposition composé d une proposition avec un quantificateur «il existe», x E, P(x), il faut trouver un élément de E pour lequel P(x) est vrai. Il faut donc écrire "on pose x :» et mettre la définition d un élément x qui convient, on peut soit construire x explicitement, soit démontrer qu il est possible de trouver un tel élément par l utilisation d une autre proposition. Pour consruire x explicitement, on peut être amené à utiliser une technique «d analyse-synthèse» : on suppose que l élément x existe et on essaie de trouver quels conditions sont vérifiés dans le but d isoler la ou les valeurs possibles (c est l analyse), S il y a plusieurs possibilités on en choisit une. Ensuite, on vérifie que cette valeur convient (c est la synthèse). Existence et unicité Pour une proposition composée d une proposition avec un quantificateur «il existe un unique»,!x E, P(x). Il faut prouver l existence et l unicité. Pour l unicité, le plus simple est de supposer qu il y a deux solutions et montrer qu elles sont égales. Il est souvent plus simple de commencer par l unicité qui donne des indications sur l existence. II.3 Exemples de démonstration On donne ici quelques exemples volontairement répétitifs et simplistes :. C est un bon réflexe d utiliser la notation «informatique» du : pour une définition, et donc dans les démonstrations lorsqu on propose une valeur.

10 10 CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES Montrons que x R, x > 4 x > 16. Soit x R, on suppose que x > 4. On a alors x > 4 > 0, et on sait 3 : a, b R, 0 < a < b 0 < a < b. On obtient ainsi x > 16. Montrons que Soit (a, b) R R, (a, b) R R,!(λ, µ) R R : (a λ + µ et b λ µ). Unicité Supposons qu il existe (λ, µ), et (λ, µ ), qui conviennent, et montrons que λ λ et µ µ. On a λ + µ λ + µ, et λ µ λ µ, d où en ajoutant : λ λ, et donc λ λ, puis µ µ. Existence Montrons que : (λ, µ) R R : (a λ + µ et b λ µ). On raisonne par anayse et synthèse. Analyse : on suppose que λ existe, on a alors a+b λ, donc λ a+b. On a aussi : a b µ, donc µ a b. C est les mêmes calculs que dans l unicité. Synthèse Posons λ a+b, µ a b, on a alors : λ + µ a + b Donc λ et µ conviennent. + a b Conclusion λ,et µ existent et sont uniques. Et donc : a, et λ µ a + b a b (a, b) R R,!(λ, µ) R R : (a λ + µ et b λ µ). Montrons que i / R. On raisonne par l absurde : supposons que i R, alors 1 > 0 car 1 i est le carré d un nombre réel. Contradiction avec 1 < 0. Donc i / R. Montrons que x, y R, x + y x + y. En utilisant la définition de la valeur absolue : b.. R n R n si n 0 n si n < 0 max(n, n) Quatre cas sont possibles : Si x et y sont positifs alors x + y est aussi positif, l inégalité s écrit alors : x + y x + y x + y x + y, Si x et y sont négatifs, alors x + y est aussi négatif, l inégalité s écrit alors : x + y x y x y x + y, Si x est négatif et y positif, alors x x et y y. Il y a deux sous cas, Soit x + y 0, et on a : x x, et x + y x + y x + y x + y, 3. Ici on montre que la «difficulté» consistait à vérifier que les nombre étaient positifs. D une manière générale, pour bien rédiger il faut indiquer au correcteur que l on a repéré (et résolu) la difficulté

11 III. ENSEMBLE 11 Soit x + y 0 et on a : y y donc x + y x y x + y x + y. Dans les deux cas, x + y x + y. Si x est négatif et x positif, alors la même étude permet de montrer que x + y x + y. Application 1 Démontrer ce résultat en utilisant la définition : x x. II.4 Conclusion On a vu ici les principales techniques de rédaction et comment rédiger une démonstration. Ces techniques doivent devenir des réflexes. On peut ajouter d autres conseils généraux de rédaction : Il est important de préciser et de rappeler dans une copie, les hypothèses importantes, au moment où elles interviennent. D une manière générale, on doit éviter de mélanger symbole mathématique et phrase en français 4. Bien mettre en évidence les étapes intermédiaires et les conclusions, encadrer les résultats. Pour démontrer, il faut faire appel à son imagination, Par exemple, pour démontrer une existence, il faut avoir une idée intuitive de la solution. Pour cela, il ne faut pas hésiter à utiliser des dessins. Application Pour a R, on considère la fonction f(x) ax + 1. Montrer que f garde un signe constant sur R si et seulement si : a 0. III III.1 Ensemble Définitions Comme on l a déjà indiqué : la notion d ensemble est intuitive, elle correspond à une collection d objets. Un ensemble E est donc la collection (i.e. sans ordre) d éléments a. Un ensemble peut contenir des nombres, des fonctions, des ensembles etc. Exemple: l ensemble vide noté est l ensemble qui ne contient aucun élément, l ensemble N est l ensemble des entiers naturels : 0, 1,, 3 etc. On note N, l ensemble des entiers naturels différents de 0, l ensemble Z est l ensemble des entiers : 0, 1, -1,,-, 3 etc. l ensemble Q est l ensemble des rationnels : p q, p Z, et q N. On montrera que l on peut supposer p et q premiers entre eux. Les nombres, et π n appartiennent pas à cet ensemble. l ensemble R est l ensemble des nombre réels : 0, 1,, π... R est l ensemble des réels non nuls, R + est l ensemble des réels positifs, R des négatifs, on définit aussi R + et R. C est l ensemble des nombres complexes. R[X] est l ensemble des polynômes, R N est l ensemble des suites. l ensemble C 0 est l ensemble des fonctions continues, on définit de même l ensemble des fonctions C 1, etc. 4. Je vais essayer d appliquer cette consigne dans ce document.

12 1 { } CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES l ensemble, {a}, {a, b, c} est une collection d ensemble, c est donc un ensemble qui contient des ensembles. Certains ensembles sont finis (ont un nombre fini d élements), certains sont infinis. Définition 6. Pour un élément a de l ensemble, on dispose de la notation a E pour dire «a est élément de E». La négation est a / E. Un ensemble F est un sous-ensemble de E si tout élément f de F vérifie f E, on note F E. Cela s écrit : F E f F, f E. On appelle ensemble des parties de E, l ensemble des sous-ensembles de l ensemble E (qui est aussi un ensemble), on le note P(E). Lorsque x est élément de E, on peut créer le singleton c est la partie de E constituée uniquement de l élément x, on le note {x} E. Il ne faut pas confondre x E et {x} E. Exemple: si a < b, l intervalle [a, b] est l ensemble des réels x tels que a x b, l intervalle ]a, + [ est l ensemble des réels x tels que a x, on définit de même ], a], [a, b[, ]a, b[ etc. Ceux sont des sous-ensembles de R. Application 1 Application Soit un ensemble E {a, b}, déterminer P(E) et P(P(E)). Soit un ensemble {a, b, c, d}, déterminer P(E). Ensemble et proposition Lorsqu une proposition P(x) est défini sur un ensemble E, alors on peut définir l ensemble {x E P(x)}, des valeurs x pour lesquelles P(x) est vrai, c est un sous-ensemble de E. Deux ensembles F et G sont égaux (noté F G) si F G et G F. Pour montrer que deux ensembles sont égaux, il y a donc une double implication à démontrer : partant d un élément générique f de F, montrer que l on f G, partant d un élément générique g de G, montrer que l on g F On voit le lien avec la double implication, car F G est équivalent à x E, (x F x G). De même, pour démontrer que F G, on part d un élément générique f de F, et on montre que l on f G. III. Opérations sur les parties Soient A et B deux sous-ensembles, comme on peut définir l ensemble A comme {x E x A}, et pareil pour B, on utilise les opérations sur les propositions pour créer de nouveaux ensembles : complémentaire d un ensemble défini par : intersection de deux ensembles définie par : { } Ā C E (A) x E x / A { } A B x E x A et x B,

13 III. ENSEMBLE 13 réunion de deux ensembles définie par : { } A B x E x A ou x B, Encore une fois, ce n est que la traduction d idées intuitives, il n y a que les notations qui sont nouvelles. Note: La notation C E (A) est plus précise que Ā, en effet elle indique dans quel ensemble est pris le complémentaire. Par exemple, le complémentaire du segment [0, 1] considéré comme un sous-ensemble de [ 1, 1] est [ 1, 0[, considéré comme un sous-ensemble de R + le complémentaire devient ]1, + [. La proposition suivante exprime ce qui se passe lorsqu on combine ces opérateurs. Ici encore, rien de très étonnant. Proposition 6. Soient A, B, et C trois sous-ensembles de E. On a : C E (C E (A)) A, C E ( ) E, C E (E), A B B A et A B B A A (B C) (A B) C, et A (B C) (A B) C relations appelées loi de Morgan : A (B C) (A B) (A C), A (B C) (A B) (A C). A B Ā B, et A B Ā B. Démonstration. Ces énoncés ne sont que la traduction de la proposition () en terme d ensemble et non de proposition. Par exemple, pour les lois de Morgan : De même : x A (B C) x A et (x B ou x C) x A et x B ou x A et x C x (A B) (A C) x A B non(x A B) non(x A ou x B) x A et x B x A B D une manière générale, il est inutile de retenir ces formules, il vaut mieux les retrouver rapidement sur un dessin. Note: Si A 1,... A n sont n sous-ensembles de E, on définit la réunion des ensembles (A i ) i1...n : n A i {x E i 1... n, x A i }. i1 Et l intersection des ensembles (A i ) i1...n : n A i {x E i 1... n, x A i }. i1

14 14 CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES Application 3 Soient A B et C trois sous-ensembles de E, simplifier : C E ((A B) C) Application 4 Montrer que A B B Ā. Quel est le lien avec la contraposé? III.3 Couples et produit cartésien Définition 7. Soit E et F deux ensembles, on appelle produit cartésien de E par F, l ensemble des couples (e, f), avec e E, et f F. On note cet ensemble E F, et on lit «E croix F» Les éléments de E F sont représentés par un couple (e, f), par exemple cela correspond aux deux coordonnées d un point du plan ou au deux coordonnée d un vecteur. Dans un couple, il y a donc un ordre, (e, f) (f, e). L ensemble E F est différent 5 de l ensemble F E. On note E E E, on généralise aux cas de E, pour N. Note: Par exemple lorsqu on écrit «Soit (x, y) R», cela signifie : «Soit x et y deux réels». IV IV.1 Fonctions Définition Définition 8. Soient E et F deux ensembles, on appelle fonction 6 de E dans F, un procédé qui associe à chaque élément x de E un unique élément f(x) de F. Les caractéristiques d une fonction sont donc d être définie sur un ensemble de départ, ou ensemble de définition E, c est-à-dire que tout élément de x a une image f(x), et que cette image est définie sans ambiguïté à partir de x. On appelle F l ensemble d arrivée. Si f(x) y, on dit que x est un antécédent de y (il peut en avoir plusieurs), tandis que y est l image de x (il n y en a qu une). Deux fonctions sont égales si elles ont les mêmes ensembles de départ, même ensemble d arrivée, et que x E, f(x) g(x). On note : { E F f : x f(x) À savoir sur les fonctions : La variable x est muette : la fonction x f(x) est rigoureusement la même que la fonction y f(y), on ne change de lettres dans les variables que pour pour rédiger plus clairement. L identité est la fonction qui a tout élement de E associe lui-même, on la note Id E, si y F, on peut définir la fonction constante x y de E dans F, c est à dire la fonction qui associe y à tous les éléments de E. Ce qui montre qu il peut y avoir des élément y de F qui ont plusieurs antécédents. 5. Si F E. 6. Certains font la différence entre applications (définies sur l ensemble de départ entier) et fonction (définie sur un sous-ensemble de l ensemble de départ appelé ensemble de définition). Nous ne ferons pas cette distinction : pour nous l ensemble de départ sera toujours l ensemble de définition.

15 IV. FONCTIONS 15 si on regarde les fonctions : f : { N N n n, g : { { { Z Z Z N R R p p, h : p p, i : x x. Rigoureusement, ces fonctions ne sont pas les mêmes (par exemple la première est injective, pas la deuxième). On appelle restriction d une fonction, la fonction obtenue en utilisant un ensemble de départ plus petit, et prolongement d une fonction, la fonction obtenue en utilisant un ensemble de départ plus grand : Par exemple : si R R f : x sin(x) x, alors le prolongement par continuité de f en 0 (que l on définira au chapitre??) est la fonction R R g : f(x) si x 0 x 1 sinon. Soit α R, on peut définir la fonction «évaluation en α», qui à un polynôme associe sa valeur en α { R[X] R f : P P(α), Les ensembles E et F ne sont pas toujours des parties de R, mais peuvent être des produits euclidiens d ensemble. On peut ainsi définir une fonction : { R R 3 f : (u, v) (u + v, u v, max(u, v)), Remarque: La partie important de la définition d une fonction est qu un élément de l ensemble de départ une seule image définie sans ambiguïté. On ne peut donc pas définir des fonctions n importe comment. Si on note E l ensemble des polynômes de degré exactement 3, on peut définir : { E R f : P min{x R P(x) 0}, Cette fonction existe car un polynôme de degré exactement 3 a toujours 1,, ou 3 racines, on peut donc choisir la plus petite. Par contre, on ne peut pas définir f sur l ensemble des polynômes de degré exactement, car certains n ont pas de racines dans R, ni même sur l ensemble des polynôme de degré inférieur ou égal à 3 qui ont des racines, à cause du polynôme nul qui a une infinité de racines. On ne peut pas non plus définir : { E R g : P l un des x R tel que P(x) 0. Car alors la fonction est mal définie (l image d un polynôme n est pas définie sans ambiguïté).

16 16 CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES Ainsi, lorsqu une question est : «montrer que l on définit une fonction f par la relation...» il faut montrer que l image d un élément x par f est bien définie. Remarque: La notion de fonction est très importante en informatique, une fonction est une suite d instruction permettant de construire des variables en sortie à partir de variable d entrée. On les considère souvent comme des boîte noire, puisqu elle peuvent être utilisé par d autres fonctions, de la même manière que l on compose les fonctions. Les principales différences sont : La plupart des fonctions informatiques ont plusieurs entrée (et plusieurs sorties). Comme l ensemble de définition n est pas indiqué dans la programmation de la fonction, si on utilise une fonction informatique en dehors de son domaine de définition on n est pas sûr du résultat. Donc lorsqu on écrit un programme informatique, il faut indiquer en entête le domaine de définition. IV. Image directe et réciproque Définition 9. Soit f une fonction de E dans F, A un sous-ensemble de E, et B un sous-ensemble de F. On appelle image directe de A par f, notée f(a), le sous ensemble de F : { } f(a) y F x A, f(x) y F { } f(x) y x A F On appelle image réciproque de B par f, notée f 1 (B), le sous ensemble de E : { } f 1 (B) x E f(x) B E Note: La notation f(a) correspond à identifier f avec une fonction de P(E) dans P(F). De même, la notation f 1 (B), ne signifie pas que f est inversible. Remarque: Autrement dit : pour un élément x E, et une partie B de F, pour une partie A de E et un élément x E, x f 1 (B) f(x) B, x A f(x) f(a). La réciproque étant fausse. On appelle aussi ensemble image de f, l image directe de l ensemble E entier, c est-à-dire f(e). Application 1 f 1 (] 1, 0[). Soit f : R R, avec f(x) x, déterminer : f([0, ]), f([ 1, 0]), f 1 (]0, ]), et IV.3 Injection, surjection Une fonction transforme un élément x de l ensemble de départ E, en un élément f(x) de l espace d arrivée F (son image). Il est naturel de se demander si tous les éléments de F ont un antécédent, et si deux éléments peuvent avoir la même image.

17 IV. FONCTIONS 17 Définition 10. Soit f : E F, on dit que la fonction f est injective si on a : (x, x ) E, f(x) f(x ) x x, autrement dit si les éléments de F ont au plus un antécédent. f est surjective si on a : y F, x E : f(x) y, autrement dit si tout élément de F admet au moins un antécédent. Notons qu être injective peut s écrire par contraposée : (x, x ) E, x x f(x) f(x ), et qu être surjective signifie que f(e) F. Remarque: Pour démontrer qu une fonction f est surjective, on part donc d un élément y appartenant à l ensemble d arrivée et on construit un antécédent x. Tandis que pour démontrer qu une fonction f est injective on part de deux éléments x et x appartenant à l ensemble de départ, qui ont la même image et on démontre qu ils sont égaux, ou (et c est équivalent) on part de deux éléments x et x appartenant à l ensemble de départ, dont on sait qu ils sont différents et on démontre que leurs images sont différentes. Application Si f(x) x, discuter selon l ensemble de départ et d arrivée si f est injective/surjective, même question avec : f(x) 3e x. Application 3 On dit que f est strictement croissante surr, si x, y R, x < y f(x) < f(y). Montrer que si f : R R est strictement croissante sur R alors f est injective. IV.4 Composition Une autre opération sur les fonctions est de les composer : on les applique les unes à la suite des autres. Définition 11. Soit f : E F, et g : F G, on définit la fonction composée g f par : { E G g f : x g f(x) g(f(x)). On applique donc f à x puis g au résultat. Bien entendu, f g g f dans le cas général. Par contre, on voit que si f, g et h sont trois fonctions, telles que (f g) h est bien défini. alors (f g) h est défini et égal à f (g h). En effet, si x est un élément de l ensemble de définition de h, on a : ((f g) h)(x) (f g)(h(x)) f[g(h(x))] f(g h(x)), et ces deux fonctions ont même ensemble de définition. Enfin, si on compose par l identité, on ne change pas la fonction :

18 18 CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES Proposition 7. Soit f : E F, on a alors : f Id E f et Id F f f IV.5 Bijection, fonction réciproque Si E est un ensemble, la fonction identité sur cette ensemble est notée Id E. Définition 1. Soit f : E F, on dit que f est bijective si il existe une fonction g telle que : f g Id F, et g f Id E. Dans ce cas, cette fonction est unique, on l appelle fonction réciproque de f, et on la note f 1. De plus, on a { f 1} 1 f. Démonstration. Si deux fonctions g et g vérifient les relation alors g(x) g f g (x) g f g (x) g (x). }{{}}{{} Id Id Donc les deux fonctions sont les mêmes, et donc la réciproque est unique. Pour la deuxième partie, on a : donc f est l inverse de f 1. f f 1 Id, et f 1 f Id E, Bien entendu il ne faut pas confondre f 1 et 1 f. Proposition 8. Soit f : E F, f est bijective, si et seulement si f est injective et f est surjective. Autrement dit, f est bijective, si tout élément de f a un antécédent et un seul, ce qui s écrit : y F,!x E : f(x) y Démonstration. Supposons f inversible, montrons que f est injective. Soit x et x des éléments de E, tels que f(x) f(x ), on a alors : f 1 (f(x)) f 1 (f(x )) x x. Montrons ensuite que f est surjective : soit y F, on pose x f 1 (y), alors f(x) y. Réciproquement, supposons f injective et surjective. Soit y F, y a alors un unique antécédent, on l appelle g(y), c est donc l unique élément x de E tel que f(x) y. On peut dire que g est la fonction F E, qui a y associe l unique solution de l équation f(x) y. La fonction g est alors définie, puisque x existe et est unique. Montrons que g est l inverse de f. Déjà, par construction f g(y) y. On a donc bien f g Id. Soit maintenant ξ E, et considérons z g(f(ξ)), par définition c est l unique solution de f(x) f(ξ). Or x est solution de cette équation, qui admet une solution unique, donc x ξ, ce qui s écrit : g(f(x)) x.

19 IV. FONCTIONS 19 On voit donc que pour montrer qu une fonction est bijective, on a deux possibilités : construire une fonction inverse et montrer qu on a les deux relations de la définition, ou montrer qu elle est injective et surjective (ce qui évite de donner une représentation explicite de f 1 ). Remarque: Si on part d une fonction injective f : E F, on peut définir une nouvelle fonction, ˆf : E f(e), cette fonction est alors bijective, car injective et surjective. Il arrive ainsi que l on change l ensemble de départ ou d arrivée d une fonction pour «la rendre bijective», dans ce cas, on précisera bien de quelle fonction on parle en donnant les ensembles de départ et d arrivée. Enfin, on peut voir ce qui se passe lorsqu on compose des applications bijectives et qu on les inverse : Proposition 9. Soit f et g deux bijections de E dans E, alors f g est une bijection et (f g) 1 g 1 f 1. Démonstration. Si x E, on a : f g(g 1 f 1 (x)) f g g 1 (f 1 (x)) f(f 1 (x)) x Application 4 Soit f une fonction bijective de E dans F, et B F. Montrer que l image directe de B par f 1 est l image réciproque de B : la notation est donc correcte puisque toutes les deux sont notés f 1 (B).

20 0 CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES Fiche méthodologique Algèbre générale, notation somme et produit BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Algèbre générale En algèbre, on considère des ensembles munis d opérations, c est-à-dire de moyens de combiner entre eux des éléments, et de les comparer. Par exemple : l ensemble N : N { 0, 1,,... } on peut ajouter des éléments et les multiplier, mais on ne peut pas prendre l opposé (i.e. si a N, l équation a + x 0 n a de solution que si a 0.) l ensemble Z : { } Z 0, 1, 1,,... on peut ajouter des éléments et prendre leur opposé, mais pas leur inverse (i.e. si a Z, l équation ax 1 n a de solution que si a ±1.) l ensemble Q : { } p Q (p, q) Z N. q ainsi que dans R, on peut ajouter ou multiplier deux éléments, mais aussi les diviser et les soustraire. l ensemble des vecteurs (x, y) de R : on peut ajouter (composante par composante) : (x, y) R, (x, y ) R, (x, y) + (x + y ) (x + x, y + y ) et multiplier (chaque composante) par un scalaire : (x, y) R, λ R, λ (x, y) (λx, λy). On dispose aussi du produit scalaire. Par contre, on ne peut pas multiplier deux vecteurs. L ensemble des polynômes R[X] : on peut ajouter et multiplier, mais aussi utiliser la composition, mais on ne peut pas diviser. Par contre, on ne peut pas composer toutes les fonctions numériques (à cause de leur ensemble de définition). Enfin, on peut comparer des réels (avec ), on peut comparer le degré de deux polynômes, mais on ne peut pas comparer des nombres complexes.

21 IV. FONCTIONS 1 Propriétés algébriques de R Pour introduire du vocabulaire, on rappelle les propriétés algébriques de R : Addition Commutativité : x 1, x R, x 1 + x x + x 1, Associativité : x 1, x, x 3 R, x 1 + (x + x 3 ) (x 1 + x ) + x 3, Élément neutre 0 : x, x + 0 x, Opposé : x R, x R, x + x 0 cet x est unique et est noté x. Multiplication Commutativité : x 1, x R, x 1 x x x 1, Associativité : x 1, x, x 3 R, x 1 (x x 3 ) (x 1 x )x 3, Élément neutre 1 : x R, 1x x, Inverse : x R, x R, xx 1 cet x est unique et est noté 1 x Distributivité : x 1, x, x 3 R, x 1 (x + x 3 ) x 1 x + x 1 x 3. Comparaison On peut aussi comparer deux réels avec, en utilisant les règles : (a, b, c, d) R, tels que a b et c d, on a a + c b + d On peut ajouter les inégalités mais pas les soustraire! (a, b, c) R, tels que a b et 0 c, on a ac bc On ne peut multiplier une inégalité que par une valeur positive! (a, b, c) R, tels que 0 a b, on a 0 1 b 1 a. Cela permet de montrer que : (a, b, c, d) R, tel que 0 a b et 0 c d, on a ac bd. Démonstration. On a 0 c, donc ac bc, puis de même 0 b, donc cb bd, d où ac bc bd. Notation somme et produit La notation somme correspond à additionner une liste de nombres : si (a )...n est une liste de n éléments (réels, entiers, complexes, etc.), on note : a a 1 + a +... a n. Le terme a est appelé terme général de la somme. Remarque: Une somme du type n p a avec p > n ne contient pas de terme. Par convention cette somme est alors nulle. Cette notation s étend naturellement à tout ensemble fini E. Par exemple : [1,n]], pair somme sur les entiers pairs de [[1, n]].

22 CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES Manipulation Cette somme ne dépend pas de (mais dépend de n). Ainsi, a a l. La variable est donc muette. Lorsqu on manipule les sommes, il est important de garder en tête quel est le premier terme, le dernier terme et le nombre de termes. n 1 La somme a contient n 1 n termes. En particulier : n 0 une somme de 0 à n contient n + 1 termes, tandis qu une somme de 1 à n contient n termes. En cas de doute, il faut revenir à la définition avec..., et/ou utiliser des valeurs de n petites. Il peut y voir des constantes dans le terme général, par exemple dans la formule : l1 n 1 a n b n (a b) a n 1 b, on voit que la somme de la puissance de a et celle de b fait n 1. Ce qui aide à vérifier les calculs lorsqu on manipule les sommes. Par exemple, si on veut faire le changement de variable j n 1, soit n 1 j, on obtient : n 1 a n b n (a b) a j b n 1 j. On constate qu on a le même invariant. L ordre dans lequel on fait la somme n intervient pas. On peut par exemple sommer en partant de la fin : j0 a a n + a n a + a 1 n 1 a n Il peut donc être intéressant d organiser les termes d une certaine manière. On peut aussi sommer tous les termes pairs puis tous les termes impairs. Par exemple : a a 1 + a + a 3 + a 4 + a 5 + a n 1 + a n a 1 + a 3 + a a n 1 + a + a a n n 1 a +1 + [0,n]], pair a a + a [0,n], impair Lorsqu une formule faisant intervenir des sommes est vraie pour toute valeur d une variable n, on n oubliera pas que l on peut l utiliser en remplaçant n par n 1, n + 1 etc. Par exemple de n(n + 1),

23 IV. FONCTIONS 3 on peut déduire en remplaçant n par n 1 : n 1 n(n 1). Si le premier terme est nul, on peut l enlever de la somme : n(n + 1). On a : mais (a + b ) a + b, a b ( a )( b ). Par contre, on peut factoriser dans une somme : factoriser par λ que parce que λ ne dépend pas de. λa λ Si [[1, n]] a a i.e. a ne dépend pas de, on a : n fois la valeur a. a. Attention : on ne peut a na, puisque cela revient à ajouter En particulier, il faut faire attention aux noms des indices : fait sur j et non sur. a j na j, puisque la somme se Changement de variable Pour faire un changement de variable dans une somme a, il faut : n 0 exprimer en fonction de et n (en écrivant on pose :... ), puis exprimer en fonction de et n (idem). trouver les bornes n 0 et n 1, telles que, à un [[n 0, n 1 ]] correspond un et un seul [[n 0, n 1 ]] et réciproquement, faire le changement de variable dans a. Les deux principaux changements de variables qu il faut savoir faire sont : Inverser l ordre a a n p. p0 n 1 n+1 Décalage a a p+1 a l 1. p0 l On peut aussi décaler de plus de termes, etc. n 1 Somme télescopique Voici une technique de calcul de somme à connaître. 1 Si on veut calculer : S n. On peut utiliser :

24 4 CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES Ce qui fait que : S n n 1 ( n n. ) ( n ) n Si on veut obtenir le même résultat avec la notation, on pose dans la première somme 1, soit + 1, le nouvel intervalle devient alors [[1, n 1]], et on a alors (en utilisant le fait que la variable est muette, et que l on peut par conséquence revenir à une somme sur ) : S n n 1 1 n 1 1 n 1 n 1 1 les termes pour allant de à n s annulant n La démonstration avec... est à connaître, mais il vaut mieux rédiger avec le changement de variables. La somme est dite télescopique, car un terme sur deux s annule. Application 5 Soit (u ) une liste d éléments de C, calculez : ( 1) (u + u +1 ). Somme avec double indices Si on a un tableau à n lignes et m colonnes de réels, soit n m éléments on peut on peut considérer la somme de tous ces termes : u p,q, 1 p n 1 q m qui est la somme des éléments du tableau u 1,1 u 1,... u 1,m u,1 u,... u,m u p,1 u p, u p,q u p,m u n,1 u n, u n,q u n,m

25 IV. FONCTIONS 5 Cette somme peut être obtenue en sommant d abord sur les lignes, puis sur les colonnes, ou l inverse. Ce qui s écrit : 1 p n 1 q m u p,q u p,q u p,q 1 p n 1 q m 1 q m 1 p n Le but est évidement de pouvoir «séparer» u p,q par exemple en une partie qui dépend de p et une partie qui ne dépend pas de p, que l on pourra sortir de la somme. Exemple: On veut calculer (p + pq). On a alors : 1 p 5 1 q 10 (p + pq) 1 p 5 1 p 5 1 p 5 1 p 5 p p 1 p 5 1 q 10 1 q 10 1 q 10 q 11 (p + pq) (1 + q) q 65p 65 1 p 5 1 p 5 1 p 5 1 q 10 ( 11 1 ) p 1 p p(1 + q) Une autre manière de faire le calcul est : 1 p 5 1 q 10 (p + pq) 1 q 10 1 q 10 1 p 5 (1 + q) (p + pq) 1 p 5 p... 1 q 10 1 p 5 p(1 + q) Application 6 Finir le calcul. On peut aussi considérer une liste de réels u p,q définie pour 1 p q n i.e. un «triangle» de nombres. Et la somme sur cette liste : u p,q. 1 p q n Il faut imaginer que l on fait une somme sur un «demi-tableau du type : u 1,1 u 1,... u 1,n 0 u,... u,n u n,n De même, on peut sommer sur les lignes puis sur les colonnes ou l inverse :

26 6 CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES 1 p q n u p,q 1 p n p q n u p,q 1 q n 1 p q u p,q Plutôt que de retenir par cœur ces formules, il est plus simple de dessiner un tableau contenant une croix lorsqu un terme existe. On retrouve alors facilement les bornes. Il est important de noter aussi que p q ce qui se retrouve sur toutes les formules. Une autre technique revient à se ramener à une somme double sur sur n n éléments complétée par des zéros. En effet en cas de doute, on peut écrire : 1 p q n u p,q 1 p n 1 q n u p,q 1 p q Où 1 p q est une fonction de p et q qui vaut 1 si p q, 0 sinon. Cette technique permet de se ramener à des sommes doubles. Exemple: pq 1 p q 10 1 p 10 1 q 10 1 q 10 pq 1 p q q 1 p q p 1 q 10 1 q 10 1 p 10 pq 1 p q q(q + 1) q 1 1 q 10 1 p q 1 q 10 qp (q 3 + q ) Exemple: Voici un exemple à connaître faisant appel à la notion d espérance : E(X) P(X 1) + P(X ) + 3P(X 3) +... np(x n) P(X 1) + P(X ) + P(X ) + P(X 3) + P(X 3) + P(X 3) +. + P(X n) + P(X n) P(X n) P(X > 0) + P(X > 1) + P(X > ) + + P(X > n 1) n 1 P(X > ).

27 IV. FONCTIONS 7 Ou de manière rigoureuse : E(X) P(X ) 1P(X ) j1 1 j P(X ) 1 j P(X ) j1 j1 P(X ) P(X j) j1 j j1 n 1 j0 P(X j + 1) n 1 j0 P(X > j) Autres notations similaires La notation produit est la même : n a a 1 a... a n. Cela permet entre autre de définir la factorielle. Si A 1,... A n sont n sous-ensembles de E, on définit la réunion des ensembles (A i ) i1...n : Et l intersection des ensembles (A i ) i1...n : n A i {x E i 1... n, x A i }. i1 n A i {x E i 1... n, x A i }. i1 Application 7 Comparer Comparer Simplifier Application 8 n (a + b ) et n n a b et ( λa, Calculer n n n a + a )( + 1. n b ), n b, Remarque: De même que pour les somme, on a : Calcul d une somme en Scilab Pour calculer S n de récurrence : S n S n 1 + a n avec S 0 1. Ainsi : n a qui vaut 1 si p > n. p a avec un ordinateur, on utilise la formule

28 8 CHAPITRE 1. LOGIQUE ET THÉORIE DES ENSEMBLES on initialise une variable S à 0, S contient la valeur de S n. on utilise une boucle for sur la variable, et on utilise l opération S S +... pour ajouter un terme. 0 Par exemple pour calculer on fait : S0; for :0 SS+^; end Exemples Calculer les sommes pour n N : ij, i1 j1 j 1 ij, i1 j1 (i + j), i1 j1 (i + j), i1 ji n 1 i1 ji+1 i+j, i. i0 ji

29 IV. FONCTIONS 9 Feuille d exercices Logique, équations, fonctions BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Exercice 1 Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Donnez leur négation : 1. x R, y R, x + y 0,. y R, x R, x + y > 0, 3. x R, y R, y > x, Correction : 1. FAUX. Négation : x R, y R, x + y < 0. Soit x R on pose y x 1 et on a bien x + y 1 < 0.. VRAI. Soit y R, on pose x 1 y on a alors x + y > 0. Négation : y R, x Rx + y 0 3. VRAI. On pose x 1 on a alors : soit y R, y > 1. Négation : x R, y R, y x. Exercice Démontrer : 1. n N, n est pair n est pair,. Si x et y sont deux réels tels que x + y > 1, alors l un des deux au moins est supérieur ou égal à 1/. 3. Il n existe pas de réel (a, b, c), tel que x R, e x ax + bx + c. On utilisera : N, lim x e x x Pour tout nombre complexe z, on a l équivalence : (z est réel positif ou nul) z R(z). Correction : 1. Soit n N, on démontre la contraposé : on suppose donc n impair. n s écrit alors n ( + 1) et n ( + 1) est impair.. Soit x et y réel, tel que x < 1 et y < 1. On a alors x + y < 1. (savoir comprendre l énoncé) 3. Technique classique : pour démontrer que quelque chose n existe pas (ou qu un ensemble est vide) on raisonne par l absurde. On suppose donc que a, b et c existent. On a alors : x R, ex x a + b x + c x. En prenant la limite au voisinage de +, on a a + ce qui est impossible. 4. Double implication : supposons z réel et positif, il est alors clair que z R(z). Réciproquement si z R(z), on écrit z sous la forme z a+ib. On démontre que b 0. On a : z a +b a donc b 0. Exercice 3 Un nombre n n est pas premier si il existe un avec 1 < < n tel que divise n. À priori, on doit donc tester n 1 valeurs. Montrer que si n n est pas premier, on peut trouver un entier qui divise n avec 1 < n. Correction : Soit n nombre non premier, on peut alors trouver [[, n 1]] tel que divise n, cela s écrit : n q. Deux cas sont possibles : si n, la proposition est alors démontrée, si > n, montrons que dans ce cas q n. Par l absurde, supposons q > n, on obtient alors pq n > n, contradiction. Ainsi, q n. Or q divise n