TS Exercices sur les nombres complexes (2) Corrigés. 5 1 z1 19 ; z2. ; z Calculer les modules des nombres complexes suivants z1 4 i 3 ; z2

Transcription

1 TS Exercices sur les nombres complexes () alculer les modules des nombres complexes suivants i ; i ; 6i. alculer le module des nombres complexes suivants en utilisant les propriétés des modules. 6 i i ; 6 i ; i i ; i ; Dans le plan complexe muni d un repère orthonormé direct, u, v ( + i) et (i). alculer et ; en déduire la nature de. Dans le plan complexe muni d un repère orthonormé direct, u, v i. i, on considère les points ( + i),, on considère les points M, M et M d affixes respectives i, i et i. ) Démontrer que les points M, M et M sont sur un même cercle de centre. Faire une figure en prenant deux centimètres (ou deux «gros» carreaux) pour unité de longueur. ) Démontrer que le quadrilatère M M M est un losange. Dans le plan complexe muni d un repère orthonormé direct, u, v l ensemble E des points M d affixe tels que i ; l ensemble E des points M d affixe tels que i ; l ensemble E des points M d affixe tels que i ; l ensemble E des points M d affixe tels que i. Faire une figure pour chaque ensemble., déterminer et tracer. 6 n se place dans le plan complexe muni d un repère orthonormé direct, u, v À tout point M du plan complexe d affixe i, on associe le point M d affixe ' i. n note et les points d affixes respectives et i. 9 ; ; 6 orrigés n applique la formule qui définit le module d un nombre complexe : Le module d un nombre complexe a + ib où a et b sont deux réels est le nombre onsigne de soin : tirer les traits de fraction à la règle. i 6 9 i 6 ; 9 ; ; ;. n applique les propriétés du module. 6 i i 6i a b. ) Démontrer que M '. M ) Déterminer et tracer l ensemble E des points M du plan tels que '. n applique la propriété : «Le module d un produit est le produit d un produit». 6 i i i n applique la propriété : «Le module d un carré est le carré du module» (cas particulier du module d une puissance). 6 i

2 i n applique la propriété du module d une puissance. i i n applique la propriété : «Le module d un complexe est égal au module de son conjugué». i i i i i i n peut écrire i i i mais ce n est pas vraiment utile. i n applique les propriétés du module d une puissance et du module d un quotient. i i i i ( + i), ( + i) ; (i) M i, M i, M i ) Démontrons que les points M, M et M sont sur un même cercle de centre. n calcule donc les distances M, M et M. M = i = = M = i = = M = i n a donc M M M. Par suite, on en déduit que les points sont situés sur le cercle de centre et de rayon. Rappel : le point a pour affixe 0. = Pour la figure, on sait que M et M appartiennent au cercle de centre et de rayon. omme leurs abscisses sont positives, ils appartiennent tous les deux au demi-cercle situé à droite de l axe des ordonnées. M a pour ordonnée ce qui permet de placer M précisément sur le cercle. M a pour ordonnée ce qui permet de placer M précisément sur le cercle. Figure : i i i 0 i i i 0 n a : = = 0 donc le triangle est isocèle en. M M v u v u M

3 ) Démontrons que le quadrilatère M M M est un losange. Rappels : Définition du losange Un losange est un quadrilatère dont les côtés sont de même longueur. Propriété caractéristique Un losange est un parallélogramme qui possède deux côtés consécutifs de même longueur. ère méthode : utilisation de la définition n calcule les quatre longueurs M, M M, M M, M à l aide des modules. n constate que ces quatre longueurs sont égales à. n en déduit que le quadrilatère M M M est losange. Recherche d ensembles de points L ensemble E est le cercle de centre ( + i) et de rayon. L ensemble E est la médiatrice du segment [] avec () et ( i). L ensemble E est le cercle de centre ( + i) et de rayon. L ensemble E est le disque fermé de centre avec ( i) et rayon. M E i avec ( + i) M = L ensemble E est le cercle de centre ( + i) et de rayon. e méthode : utilisation de la propriété caractéristique Pour démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme avec des affixes, on démontre que deux vecteurs sont égaux. M M 0 i M MM M i i i Donc d où M M M. M M M Donc le quadrilatère M M M est un parallélogramme. E v u De plus, d après la question ), on a : M = M =. n en déduit que le quadrilatère M M M est losange. N.. : Il ne s agit pas d un carré ; ça saute aux yeux sur la figure ; la démonstration est facile (mais l énoncé demande juste de démontrer que c est un losange donc ce n est pas la peine d en faire trop). Les points M, M, M appartiennent tous au cercle de centre et de rayon donc il n est pas possible que M M M soit un carré.

4 M E i avec () et ( i) M M M = M L ensemble E est la médiatrice du segment [] avec () et ( i). E M E conjugués) nombre) i i (en effet, i i et le conjugué d une somme est égal à la somme des i (le module du conjugué d un nombre complexe est égal au module de ce avec ( + i) M = utilisation du conjugué L ensemble E est le cercle de centre ( + i) et de rayon. v u E v u L idée est de se débarrasser de la barre de conjugaison au-dessus de.

5 M E i avec ( i) M L ensemble E est le disque fermé de centre ( i) et rayon. lassification des exercices par compétences ompétences alculer le module d un nombre complexe en utilisant la définition Exercices. Utiliser les propriétés du module. v u Utiliser le module en géométrie (calculs de longueurs, ensembles de points ) à. E 6 ) n a : ' i i n a donc : ' M M ) Déterminons l ensemble E des points M du plan tels que '. M E ' M M M = M onclusion : E est la médiatrice du segment []. E v u Tracé au compas ou à l équerre.