II ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS

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1 Terminale S (3-4) I GÉNÉRALITÉS I. Présentation des nombres complexes Définition - Théorème : (admis) Il existe un ensemble noté C, contenant R, vérifiant les conditions suivantes : C est muni d une addition et d une multiplication qui prolongent celles de R et suivent les mêmes règles de calcul. Il existe un élément i de C tel que i =. (i est un nombre imaginaire) Tout élément de C s écrit de manière unique sous la forme = a + ib, où a et b sont des nombres réels. L écriture a + ib est appelée écriture algébrique de. Vocabulaire : C est l ensemble des nombres complexes. Si l écriture algébrique d un nombre complexe est = a+ib, alors le réel a est appelé partie réelle de et on note Re() = a et, le réel b est appelé partie imaginaire de et on note Im() = b. Re() et Im() sont des nombres réels. Si Re() =, on dit que est un... ( = ib, b R). Si Im() =, on dit que est un.... Exemple - = 3 i =... = 4 =... = 5i =... I. Égalité de deux nombres complexes Propriété : Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. En particulier, = Re() = Im() =. I.3 Calculs dans C On considère les deux nombres complexes = 3i et = 4+5i. + =... =... =... =... Propriété : Tout nombre complexe = a+ib non nul admet un inverse et = a ib a +b. =... =... I.4 Conjugué d un nombre complexe Définition : Soit = a+ib un nombre complexe écrit sous forme algébrique. On appelle conjugué de et on note, le nombre complexe = a ib. --

2 Terminale S (3-4) Exemple - = 3 i = =... = 4 = =... = 5i = =... Propriété 3 : Soit et deux nombres complexes. = ; + = + ; = ; ( ) = si ; ( ) = si ; ( n ) = n où n Z et si n ; si = a+ib sous forme algébrique, alors = a +b Théorème : Un nombre complexe est réel si, et seulement si =. Un nombre complexe est imaginaire pur si, et seulement si =. Application : On pose α = 3 i 5+7i et β = 3+i 5 7i. Montrer, sans calcul, que α+β est réel et que α β est imaginaire pur. II ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS Théorème 3 : On considère l équation a +b +c = où a,b et c sont des réels avec a. = b 4ac est le discrimant de l équation. Si >, l équation admet deux solutions réelles distinctes = b Si =, l équation admet une unique solution réelle, = b+ = b Si <, l équation admet deux solutions complexes conjuguées = b i, = b+i Si et sont les solutions de l équation, éventuellement égales, alors pour tout nombre complexe, Exemple 3 - Résoudre dans C l équation 3 +4 =. a +b +c = a( )( ) III INTERPRÉTATION GRAPHIQUE III. Affixe d un point et d un vecteur Le plan est muni d un repère orthonormal direct (O ; e #, e # ). Ce plan est appelé plan complexe. Au point M (a ; b), on associe le nombre complexe = a + ib et réciproquement. est appelé affixe de M et on note M. M est appelé point image de. On note M() et affixe est du genre féminin. b axe des imaginaires purs M( = a+ib) # w -- # e a axe des réels

3 Terminale S (3-4) De la même manière, on définit l affixe d un vecteur # w est l affixe de # w. Cas particulier : si = a+ib =... =... =... ( ) a : # b w = a+ib. w # est le vecteur image de w # et w # M () b e# # e a Théorème 4 : Soit A( A ) et B( B ) deux points du plan complexe; # u( # u ) et u # ( # u ) deux vecteurs et k un réel. A est l affixe du vecteur... 5 L affixe du milieu du segment [AB] est B A est l affixe du vecteur # u + # u est l affixe de... 6 L affixe du barycentre des points pondérés A(α) et B(β) (α+β ) est... 4 k # u est l affixe de... Remarque : M() M ( ) M() et M ( ) sont deux points distincts du plan complexe. + est l affixe de III. Module d un nombre complexe Définition 3 : Soit = a+ib un nombre complexe sous forme algébrique. On appelle module de le réel positif, noté, définit par = = a +b Exemple 4 - = 3 =... = 4i =... = 4 5i =... Remarque : Soit M() le point d affixe = a+ib. On a OM = Propriété 4 : Soit et deux nombres complexes. =... =... =... 3 =... 4 n =... où n Z et si n 5 =... si 6 =... si Cas particulier : si = alors... Propriété 5 : Soit A( A ) et B( B ) deux points du plan complexe. Alors B A = AB

4 Terminale S (3-4) IV FORME TRIGONOMÉTRIQUE D UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL IV. Coordonnées polaires d un point y = ρsinθ θ ρ = x +y M() x = ρcosθ IV. Argument d un nombre complexe Tout point M du plan, distinct de O est repéré par un couple unique de coordonnées polaires (ρ ; θ) : ρ = OM ; ( θ est une mesure de l angle e # ; # ) OM à kπ près (k Z). Si (x ; y) sont les coordonnées cartésiennes de M alors Réciproquement, on a ρ = { cosθ = x x +y ρ et sinθ = y ρ { x = ρcosθ y = ρsinθ Définition 4 : Soit un nombre complexe non nul, M le point d affixe et (ρ ; θ) le couple de coordonnées polaires de M. ρ est le module de : ρ = ; θ est un argument de. On note θ = arg() [π].. Remarques : le nombre complexe n a pas d argument. Si θ est un argument de, tout autre argument de est de la forme... Exemple 5 - arg() =... [π] arg( ) =... [π] si x R +, alors arg(x) =... [π] si x R, alors arg(x) =... [π] } = arg(i) =... [π] arg( i) =... [π] si y R +, alors arg(iy) =... [π] si y R, alors arg(iy) =... [π] } = Propriété 6 : Soit et deux nombres { complexes non nuls. = = arg() = arg( ; ) [π] arg() =... [π]; arg( ) =... [π]; arg( ) =... [π]. IV.3 Forme trigonométrique Définition - Théorème 8 : Soit un nombre complxe non nul d écriture algébrique = a+ib, ρ le module de et θ un argument de. Alors a = ρcosθ et b = ρsinθ. On a = ρ(cosθ+isinθ). L écriture ρ(cosθ +isinθ) est appelée forme trigonométrique de. Dans l écriture trigonométrique ρ(cosθ +isinθ), ρ est un réel strictement positif. Propriété 7 : Soit un nombre complxe non nul d écriture algébrique = a+ib, ρ le module de et θ un argument de. Alors ρ = { cosθ = a a +b ρ et sinθ = b. ρ Propriété 8 : Si = ρ(cosθ+isinθ) avec ρ >, alors = ρ et arg() = θ [π]

5 Terminale S (3-4) Application : Placer le point M d affixe = ( cos ( π ( 6) +isin π 6)). Donner la forme algébrique de. Déterminer l écriture trigonométrique de = 3+i.... e# IV.4 Propriétés de l argument Propriété 9 : Soit et deux nombres complexes non nuls. arg() =... [π]; arg( ) =... [π]; 3 arg( ) =... [π]; 4 arg ( ) =... [π]; 5 arg ( ) =... [π]; 6 arg( n ) =... [π], où n Z