Génie Mécanique / Science et Génie des Matériaux Semestre d hiver

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1 EPFL - Section de Mathématiques Algèbre Linéaire Prof. E. Bayer-Fluckiger Génie Mécanique / Science et Génie des Matériaux Semestre d hiver Série Énoncés et corrigés Exercice 1 A l aide d opérations élémentaires sur les lignes (selon l algorithme d élimination de Gauss), écrire les matrices suivantes sous forme échelonnée puis sous forme échelonnée réduite : A =. 2. B = C = Sur chaque matrice échelonnée réduite, on identifiera les 1 directeurs. Rappel : Bien indiquer les opérations effectuées sur les lignes, à chaque étape. 1. On réduit d abord la matrice A sous sa forme échelonnée comme suit : L 1 L L 2 2L 1 + L L 3 L 3 4L L 3 L 3 + 2L On transforme ensuite la matrice sous sa forme échelonnée réduite : L 2 L 2, L 3 L 3 / L 2 L 2 + 7L L 1 L 1 2L 2 3L

2 On constate que chaque ligne contient un 1 directeur. Remarque : Attention! Ici, il ne s agit pas de matrice associée à un système. On considère uniquement la réduction d une matrice... La notion de variable libre n a en particulier pas de sens dans cet exercice. 2. On transforme d abord la matrice B sous sa forme échelonnée : L 2 L 2 2L L 3 L 3 + L L 3 L 3 + 4L On transforme ensuite la matrice sous sa forme échelonnée réduite : L 3 1 L /18 1/9 L 2 L 2 3L /6 5/3 L 1 L 1 L 2 L 3 1/18 1/ /9 29/ /6 5/3. 1/18 1/9 On obtient trois 1 directeurs, situés en première position sur chacune des lignes. 3. On réduit d abord la matrice C sous sa forme échelonnée : L 3 L 1 0 L 4 L 4 L On transforme ensuite la matrice sous sa forme échelonnée réduite : L 4 L 1 L Chaque ligne contient un 1 directeur. Exercice 2 On considère le système linéaire suivant : x + 3y + z = 2 S : 2x + 5y + 2z = 1 3x + 7y + 2z = Donner la matrice augmentée, notée M, du système S. 2. A l aide de l algorithme d élimination de Gauss, mettre la matrice M sous sa forme échelonnée réduite.

3 3. Résoudre le système S en identifiant les variables libres et les variables directrices. 1. La matrice augmentée du système S est définie par : M = On réduit d abord la matrice M sous sa forme échelonnée comme suit : L 2 L 2 2L 1, L 3 L 3 3L L 3 L 3 2L On transforme ensuite la matrice M sous sa forme échelonnée réduite : L 3 L 3, L 2 L L 1 L 1 3L 2 L D après la forme échelonnée réduite de la matrice M, le système S est équivalent au système suivant : x = 2 y = 3 z = 5. Toutes les variables sont directrices et le système S admet une unique solution : {(x = 2; y = 3; z = 5)}. Exercice 3 En appliquant l algorithme de Gauss, résoudre le système linéaire suivant : 2x 1 + 4x 2 6x 3 2x 4 = 2 3x 1 + 6x 2 7x 3 + 4x 4 = 2 5x x 2 11x 3 + 6x 4 = 3. On identifiera les variables libres et les variables directrices. On procède comme dans l exercice précédent. On écrit d abord la matrice augmentée du système :

4 Puis on transforme la matrice augmentée sous sa forme échelonnée réduite : L L 1 / L 2 L 2 3L L L 3 5L L 3 L 3 2L L L 3 / L 2 L 2 2L L 2 1L 2 2, L 1 L 1 + 3L / Les variables directrices sont x 1, x 3 et x 4 car les colonnes 1, 3 et 4 contiennent un 1 directeur. La variable x 2 est une variable libre ; on pose x 2 = t. Le système admet donc une infinité de solutions, il s agit de l ensemble des quadruplets : S = {( 1 2 2t; t; 1 ; 0), t R}. 2 Exercice 4 Soit a un nombre réel, on étudie le système linéaire suivant : x 2y + 3z = 2 S a : x + 3y 2z = 5 2x y + az = Déterminer les valeurs du paramètre a pour lesquelles le système S a : i. n admet aucune solution ; ii. admet exactement une solution ; iii. admet une infinité de solutions. 2. Résoudre le système S a dans les cas (ii) et (iii). 1. On réduit d abord la matrice augmentée du système S a sous sa forme échelonnée : L 2 L 2 L L 3 L 3 2L a a a 6 3 L 3 5L 3 3L (a 3) 24 La suite de la réduction dépend de la valeur du paramètre a.

5 La dernière ligne de la matrice échelonnée correspond à l équation : 5(a 3)z = 24. Si a = 3, cette équation devient 0 = 24 : elle n admet aucune solution et le système non plus. Si a 3, la réduction de la matrice sous forme échelonnée réduite peut se poursuivre, en divisant la dernière ligne par 5(a 3). On constate facilement que l on obtient une matrice dont chaque ligne contient un 1 directeur, i.e. toutes les variables du système sont directrices. Le système S a admet donc une unique solution dans cette situation. En particulier, il n existe aucune valeur du paramètre a pour laquelle le système admet une infinité de solutions. En résumé, les cas i, ii et iii correspondent aux valeurs de a suivantes : 2. Résolvons le système S a dans le cas ii. i. a = 3 ii. a 3 iii. aucune valeur de a. Cas ii. On suppose a 3, on peut donc diviser les coefficients de la dernière ligne de la matrice échelonnée du système S a par 5(a 3). La suite de sa réduction sous forme échelonnée réduite s écrit alors : (a 3) 24 L (L 2 + 5L 3 ) L L 3 /(5(a 3)) (a 11) L L 2 / (a 11) a (2a 3) L 1 L 1 + 2L 2 3L (a 11). D où l unique solution du système S a dans le cas ii : {(x = 24 8(2a 3) 3(a 11), y = 5(a 3) 5(a 3), z = 24 5(a 3) }. Exercice 5 Soient a, b et c trois nombres réels. 1. Quelle relation doivent satisfaire les paramètres a, b et c pour que le système suivant ait au moins une solution? S abc : x + 2y 3z = a 2x + 6y 11z = b x 2y + 7z = c. 2. Est-ce que le système S abc peut avoir une unique solution?

6 1. On réduit la matrice augmentée du système sous sa forme échelonnée (PAS échelonnée réduite) : a b L 2 L 2 2L a b 2a c c L 3 L 3 L a b 2a L 3 L 3 + 2L a b 2a c a a + 2b + c Clairement, le système S abc admet une solution si et seulement si la dernière équation n est pas impossible. Celle-ci s écrit : 0 = 5a + 2b + c. Le système S abc admet donc une solution si la relation 5a + 2b + c = 0 est vérifiée. 2. Si 5a + 2b + c 0, le système S abc n admet aucune solution. Si 5a + 2b + c = 0, alors le système S abc admet une infinité de solutions puisqu il admet une variable libre, précisément la variable z. Quelques soient les valeurs des paramètres a, b et c, le système S abc n a donc jamais une unique solution.