Etude de fonctions. lim x = + lim x = Opérations sur les limites

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1 Etude de fonctions I Limites 1) Rappels Limites de fonctions monômes k = k avec k constante x 2 = + x = + x = x 2= + x 3 = x 3 = + Photocopie du livre 1 ère ES page 98 Opérations sur les ites 2) Des nouveaux théorèmes sur les opérations Théorème : Une fonction polynôme a la même ite en +õ ou en -õ que son terme de plus haut degré. Preuve : P(=a n x n +a n-1 x n a 1 x+a 0 =x n (a n + a n-1 x + a n-2 x a 1 x n 1 + a 0 x n ) Or a a x x x x a + x a n 1 n an n 1 n =a n. Donc P( = anxn. Remarques : -Pas de restriction sur le signe de l õ. - Pas de restriction sur le signe de a n : cas général. Théorème : Une fonction rationnelle a la même ite en +õ ou -õ que le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Preuve : sur un exemple : 3x9+ 4x4 4x3 2x. x12 16x8+ 7x6 5x2+ 4 Théorème : Limite de la racine carrée d une fonction f positive. Rappel : x = +. Si = + alors = +.

2 Si = l alors = l. Avec a fini ou non. On notera -õâaâ+õ. 3) Théorèmes de comparaison Théorème : Soient f, g et h des fonctions définies sur l intervalle I= ] b[ -õâa<bâ+õ. Si pour tout x I, h(â et h( = + alors = +. a;, avec Si pour tout x I, Âg( et g( = alors Et il en est de même si on considère les ites en a. Preuve : Admis. =. Théorème des gendarmes : Soient f, g et h des fonctions définies sur l intervalle I=]a ;b[, avec -õâa<bâ+õ. Si pour tout x I, g(ââh( et g( = h( x b x b = l Alors = l. Et il en est de même si on considère les ites en a Preuve : Admis. Exemples : x+ sin( et x sin( x 4) Une application Soient f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative dans un repère (O,Åi,Åj ). La droite D d équation y=ax+b est asymptote oblique à C en +õ si et seulement si [ ( ax+ b)] = 0. Il en est de même en -õ. Si = b alors la droite d équation y=b est asymptote à C en +õ, de même en -õ. Si + = ou si = alors la droite d équation x=a est asymptote à C.

3 II Dérivation 1) Rappels Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. =a constante alors f (=0. =x n alors f (=nx n-1. = 1 x alors f (= Même formule qu au dessus. x = x 1 alors f (=. 2 x Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un réel. (u+v) =u +v (ku) =ku (uv) =u v+v u 2) Des nouveautés ( ) v u = u' v v' u v² Théorème : règle de la chaîne. Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I et ϕ une fonction dérivable sur u(i). Alors (u) ϕ est dérivable sur I, ( ( u) ) ' ϕ'( u). u' Application : Dérivée de u et de u n. ϕ =. Théorème : Soit C la représentation graphique d une fonction f dérivable sur un intervalle I et soit a I. Alors la tangente à C au point d abscisse a a pour coefficient directeur f (a). L équation de la tangente est donné par y=f (a)(x a)+a). Si f (a)=0, on dit que la tangente au point d abscisse a est horizontale. Théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f >0 sur I alors f est strictement croissante sur I. Si f =0 sur I alors f est constante sur I. Si f <0 sur I alors f est strictement décroissante sur I. lien avec la tangente et flèche.

4 3) En économie : On étudie la fonction C T qui donne le coût total de la production d une quantité q : C T (q). C T (0) est le coût occasionné par la production de 0 objet : les coûts fixes (salaires, charges, location ) Le coût moyen d un objet est le quotient du coût total par la quantité : C M (q)= C T(q). q Le coût marginal est le coût d une unité (objet) supplémentaire : C m (q)=c T (q+1) C T (q)óc T (q) pour q>>0 Théorème : Le coût moyen est minimal en q 0 si et seulement si C M( q 0 ) =C m( q 0 ) Démonstration : C M (q)= C T(q) donc CM (q)= q q CT (q) C T (q) q 2 Le coût moyen est minimal en q 0 donc C M ( q 0 ) =0 ñq 0 C T ( q 0 )-C T (q 0 )=0 C T( q 0 ) q 0 q 0 =C M( q 0 ) ñc T ( q 0 ) = ñc m( ) III Continuité Définition (intuitive) : Une fonction est dite continue sur un intervalle I lorsqu elle est définie sur I et que sa représentation graphique sur I est "d un seul tenant", "sans interruption", "d un trait continu, sans lever le crayon". Un nombre a étant dans l intervalle I, si x est un réel proche de a, sera proche de a). =a). x a Propriété : Toute fonction dérivable sur I est continue. Propriété : Les fonctions polynômes, racine carré, valeur absolue et leur composées, somme, produit, ou quotient, sont continues sur l intervalle où elles sont définies. Ex : qques dessins. Théorème des valeurs intermédiaires : Si f est continue sur [a;b] et que k est un réel compris entre a) et b) strictement alors l équation =k admet au moins une solution dans l intervalle ]a;b[. +dessin

5 TVI bis : Si f est continue et strictement monotone sur [a;b] et que k est un réel compris entre a) et b) strictement alors l équation =k admet une unique solution dans l intervalle ]a;b[. +dessin +2tabvar Cas particulier important : Si a) et b) sont de signes opposés alors il existe c ]a;b[ (unique ou pas ) tel que c)=0.