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1 rrs rrs rrs nrs Proprétés s rrs nrs rvrsés rrs Struturs onnés pour rrs rrs Un rp = (V,) onsst n un sér V SOMMS t un sér lns, v = {(u,v): u,v V, u v} Un rr st un rp onnté ylqu (sns yls) un mn ntr qu pr sommts SI510 1 SI510 rrs rmnolo rr F H Rn: nœu sns prnt () Nœus ntérurs: nœu v u mons un nnt (,,, F) Nœus xtérurs ( ou ulls): nœus sns nnts (, I, J, K,, H, ) Sous-rr: rr onsstnt n un nœu t ss snnts I J K SI510 3 nêtrs u nœu: prnt, rn prnt, rn-rn prnt, t. snnts u nœu: nnts, ptts-nnts, t. F H I J K Sous-rr SI510 4 SI510 1

2 stn ntr ux nœus: Proonur (pt) u nœu: rmnolo rr nomr lns ntr ux nomr nêtrs (= stn à l rn) L rrs (rs) Métos énérqus: sz(), smpty(), trtor(), postons() Métos mnpulton postons: swplmnts(p,q), rpllmnt(p,) Métos rquêt: sroot(p), sintrnl(p), sxtrnl(p) Hutur (t) l rr: proonur mxml n mport qul nœu ( 3) F I J K H Métos ssssurs: root(), prnt(p), lrn(p) SI510 5 SI510 6 rvrsé n pré-orr Un trvrsé vst ls nœus un rr ns un mnèr systémtqu ns un trvrsé n préorr, un nœu st vsté vnt ss snnts pplton: mprmr un oumnt struturé vté rvrsé rrs 1 nr l rnt l lortm prorr(v) vst(v) or l w o v prorr (w) Motvtons. Métos 3. Réérns Fru. Pyrm Ponz.3 Vol un nqu SI510 7 SI 510 ut09 - rrs 7 rvrsé rrs rvrsé n post-orr ns un trvrsé n postorr, un nœu st vsté près ss snnts pplton: lul l sp oupé pr ls rs ns un ossr t ss sous ossrs 1 1.o 3K 3 omworks/ 1n.o K 9 R.jv 10K s16/ lortm postorr(v) or l w o v postorr (w) vst(v) 7 prorms/ Stoks.jv 5K Root.jv 0K too.txt 1K SI510 8 SI 510 ut09 - rrs 8 8 SI510

3 rrs - Prours n Lrur ns un prours n lrur l rr st vsté nvu pr nvu n ommnçnt pr l rn rrs - Prours n Proonur ns un prours n proonur l rr st vsté n snnt vrs ls nvux ls plus s or ,,3,4,5,6,7,8,9,10,11 1 1,,5,10,1,3,6,7,11,4,8,9 SI510 9 SI nnt u rrs nrs nnt rot rr nr pln (ou propr ) qu nœu: { st un ull, ou ux nnts Ls nnts qu nœu sont oronnés qu nœu u plus ux nnts: [0, 1, ou ] rr nr prt st un rr nr pln où touts ls ulls sont u mêm nvu SI SI510 1 SI510 3

4 rr nr omplt rrs nrs Un rr nr omplt utur st ormé pr un rr prt utur -1 t pr un ou plusurs ulls u nvu plus ls ulls u rnr nvu sont plnmnt lnés pr l u - 1 SI ns l lvr tous ls rrs sont onsérés plns (ou sont rnus plns) SI xmpls rrs nrs rr éson rr nr ssoé à un proéé éson Nœus ntérurs : qustons v répons «ou ou non» Nœus xtérurs : ésons xmpl: éson ns un ju pokr Ou Jour rss? onn mn? Non lur? Ou Non Ou Non Rs ll/k ll n Fol SI xmpls rrs nrs xprsson rtmétqu rr nr ssoé v un xprsson rtmétqu Nœus ntérurs : oprturs Nœus xtérurs : opérns xmpl: rr xprsson rtmétqu pour l xprsson (( ( - 1)) (3 )) SI SI510 4

5 Proprétés s rrs nrs plns = 1 Proprétés s rrs nrs plns Notton n # nœus # ulls # nœus ntérurs utur Proprétés: = 1 n = - 1 (n - 1)/ lo lo (n 1) - 1 SI SI = 1 Proprétés s rrs nrs plns = 1 Proprétés s rrs nrs plns SI SI510 0 SI510 5

6 n = - 1 Proprétés s rrs nrs plns Proprétés s rrs nrs plns n = = 1 (prouvé just vnt) => = -1 uss: =n => = n = n- (n1)/ => = (n -n-1)/ n = - 1 =(n-1)/ SI510 1 = utur= L nomr mxml nêtrs qu put vor un s ulls (l nvu mxml un ull l rr) Il ot y vor u mons un nœu ntérur pour qu nvu (su l rnr)! x: =3, =7 x: =3, =3 SI510 Proprétés s rrs nrs plns nvu L nomr mxmum nœus st plus Proprétés s rrs nrs plns lo lo = 3 lo lo 3 ulls s touts u rnr nvu utrmnt mons SI510 3 Nous svons qu: = (n1)/ t on: lo[(n1)/] = lo(n1) -1 t: = (n-1)/ lo(n1) -1 (n-1)/ SI510 4 SI510 6

7 rrs nrs: proprétés - utur omm onséqun: ns un rr nr prt utur l y 1-1 nœus n = 1-1 À qu nvu l y l nœus, on l'rr : l = 1 4 = 1-1 l=0 l=1 l= l=3 ns un rr nr: n 1-1 n1 1 lo (n1) 1 lo (n1) -1 évmmnt n 1-1 l=0 SI510 5 SI510 6 rrs nrs : proprétés - utur Un rr nr omplt utur st ormé pr un rr nr prt utur -1 plus qulqus ulls => n > -1 => n - 1 n 1-1 n< 1 lo(n) < 1 Or st un ntr => = prt ntèr lo(n) - 1 SI510 7 rrs nrs: 1 n lo(n1) -1 n-1 rrs nrs plns: Proprétés s rrs 1 n lo(n1) -1 (n-1)/ SI510 8 SI510 7

8 rrs nrs : proprétés utur s pour rr nr Hutur un rr: nr: lo (n1) -1 nr pln: lo(n1) -1 (n-1)/ nr omplt: n = prt ntèr lo n Métos ssors -ltl(p), rtl(p), sln(p) Métos ms à jour -xpnxtrnl(p), rmovovxtrnl(p) nr prt: n = 1-1 = lo (n1)-1 utrs métos spéqus à l pplton SI510 9 SI Pré-, post-, n- (orr) S réérr à l'nrot u prnt rlt ux nnts pré st vnt: prnt, nnt, nnt post st près: nnt, nnt, prnt n rvrsé rrs nrs st ntr : nnt, prnt, nnt SI rvrsé rrs nrs Pré-orr, Post-orr lortm prorr(,v) vst(v) v s ntrnl: prorr (,.Ltl(v)) prorr (,.Rtl(v)) lortm postorr(,v) v s ntrnl: postorr (,.Ltl(v)) postorr(,.rtl(v)) vst(v) SI510 3 SI510 8

9 rvrsé rrs nrs In-orr (pt-rst) xprssons rtmétqus InOrr: u-mo-rot PrOrr: mo-u-rot PostOrr: u-rot-mo lortm norr(,v) v s ntrnl: norr (,.Ltl(v)) vst(v) v s ntrnl: norr(,.rtl(v)) In-orr: Post-orr: Pré-orr: 3 In-orr: 1 3 SI Post-orr: 1-3 SI Évlur s xprssons rtmétqus Spélston trvrsé n post-orr l méto réursv rtournnt l vlur 'un sous-rr n vstnt un nœu ntérur, omnr ls vlurs u sous-rrs 3 lortm vlxpr(v) sxtrnl (v) rturn v.lmnt () ls x vlxpr(ltl (v)) y vlxpr(rtl (v)) oprtor stor t v rturn x y Évlur Évlur Évlur Évlur 3 6 Évlur lortm vlxpr(v) sxtrnl (v) rturn v.lmnt () ls x vlxpr(ltl (v)) y vlxpr(rtl (v)) oprtor stor t v rturn x y Évlur SI SI SI510 9

10 Imprmr s xprssons rtmétqus Spélston trvrsé n n-orr mprmr l'opérn ou l'opértur n vstnt l nœu mprmr ( vnt l trvrsé u sous-rr u mprmr ) près l trvrsé u sous-rr rot 1 3 lortm prntinorr(v) sintrnl (v) prnt( ( ) prntinorr (ltl (v)) prnt(v.lmnt ()) sintrnl (v) prntinorr(rtl (v)) prnt ( ) ) 1 3 (( ( 1)) (3 )) SI lortm prntinorr(v) sintrnl (v) prnt( ( ) prntinorr (ltl (v)) prnt(v.lmnt ()) sintrnl (v) prntinorr(rtl (v)) prnt ( ) ) ( ) 1 3 SI ( ( x ( - 1 )) ( 3 x ) ) lortm prntinorr(v) sintrnl (v) prnt( ( ) prntinorr (ltl (v)) prnt(v.lmnt ()) sintrnl (v) prntinorr(rtl (v)) prnt ( ) ) lortm prorrrvrslwtstk() Stk S rno N S.pus() // poussr l réérn à ns l pl v Wl (not S.mpty()) (N!= null) { prnt(n.lm) // mprmr l'normton S.pus(N.rtl) // poussr l réérn à l'nnt rot S.pus(N.ltl) // poussr l réérn à l'nnt u } SI SI SI510 10

11 lortm prorrrvrslwtstk() S.pus() // poussr l réérn à ns l pl v prnt(n.lm) lortm prorrrvrslwtstk() S.pus() // poussr l réérn à ns l pl v prnt(n.lm) N SI SI510 4 lortm prorrrvrslwtstk() S.pus(N.rtl) // poussr l réérn à l'nnt u lortm prorrrvrslwtstk() S.pus(N.ltl) // poussr l réérn à l'nnt rot SI SI SI510 11

12 lortm prorrrvrslwtstk() lortm prorrrvrslwtstk() prnt(n.lm) S.pus(N.rtl) S.pus(N.ltl) N SI SI lortm prorrrvrslwtstk() lortm prorrrvrslwtstk() prnt(n.lm) prnt(n.lm) SI SI SI510 1

13 lortm prorrrvrslwtstk() S.pus(N.rtl) S.pus(N.ltl) lortm prorrrvrslwtstk() prnt(n.lm) SI SI lortm prorrrvrslwtstk() lortm prorrrvrslwtstk() prnt(n.lm) prnt(n.lm) SI SI510 5 SI510 13

14 lortm prorrrvrslwtstk() rvrsé pr tour ulr S.pus(N.rtl) S.pus(N.ltl) rvrsé énérqu un rr nr ls trvrsés pré-orr, n-orr t post-orr sont s s spéux l trvrsé pr tour ulr mr utour l rr t vst un s nœus à tros rprss: à l u pr-ssous à l rot L R 3 SI SI Rélston rr nrs lortm ulrour(,v) vst v (à l u) v s ntrnl: ulrour (,.Ltl(v)) vst v (pr-ssous) v s ntrnl: ulrour(,.rtl(v)) vst v (à l rot) SI SI SI510 14

15 Rélston rr nr v un strutur îné Un nœu st rprésnté pr un ojt qu ontnt: Élémnt Réérn u nœu prnt Réérn u nœu nnt u Réérn u nœu nnt rot rrs nrs: No L rr nr st ormé pr s nœus typ No mps: lmnt prnt lt rt SI Métos: stlmnt(ojt )/tlmnt() stprnt(ojt )/tprnt() stlt(ojt )/tlt() strt(ojt )/trt() lmnt SI rrs nrs: No rrs nrs: No lt (v) rturn v.lt rt(v) rturn v.rt swplmnts(v,w) tmp w.lmnt w.lmnt v.lmnt v.lmnt tmp lmnt sln(v) p prnt(v) q lt(p) (v = q) rturn rt(p) ls rturn q rpllmnt(v,oj) tmp v.lmnt v.lmnt oj rturn tmp SI ltl(p), rtl(p), sln(p): swplmnts(p,q), rpllmnt(p,) sroot(p), sintrnl(p), sxtrnl(p) omplxté O(1) SI SI510 15

16 rrs nrs: No xpnxtrnl(v): rnsormr v un nœu xtérur n un nœu ntérur n rént ux nouvux nnts xpnxtrnl(v): nw1 t nw sont ls nouvux nœus sxtrnl(v) v.lt nw1 v.rt nw sz sz nw1 nw SI rrs nrs: No rmovovxtrnl(v): F SI510 6 v p s v F p s rmovovxtrnl(v): sxtrnl(v) { p prnt(v) s sln(v) sroot(p) {s.prnt null n root s} ls { prnt(p) p slt() ls.rt s s.prnt }.lt s rrs nrs omplts: Implémntton v un tlu 1 H H I L O F H N 3 I L O F H N 0 1 sz sz - } SI SI SI510 16

17 ltl(p), rtl(p), sln(p): swplmnts(p,q), rpllmnt(p,) sroot(p), sintrnl(p), sxtrnl(p) 1 n = 11 I ltl(p), rtl(p), sln(p): swplmnts(p,q), rpllmnt(p,) sroot(p), sintrnl(p), sxtrnl(p) nnt u [] nnt rot [] Prnt [] L rn ull? [] [] s n [1] s 1 n [ v ] s > 1 [1] s 0 VRI s > n SI omplxté O(1) SI rrs énérux: Implémntton v un strutur îné Rprésntr un rr énérl v un rr nr Un nœu st rprésnté pr un ojt qu ontnt: Élémnt Réérn u nœu prnt Réérn un séqun nœus nnts rr F rr nr ' rprésntnt F SI SI SI510 17

18 RÈLS I u ns u ns stup H L l prmr nnt u ns st l'nnt u u ns F l prmr rèr u ns st l'nnt rot u ns F H I L SI SI RÈLS: à u ns orrspon u ns s u st un ull ns t n' ps rèr, lors ls nnts u sont s ulls L L S u st ntérur ns t v st son prmr nnt lors v st l nnt u u ns S v un rèr w qu l sut, w st l nnt rot v ns SI SI510 18

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