Les gâteaux. 1 Nombre de gâteaux obtenus par chaque joueur

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1 Séance Obiectifs Les gâteaux - Découvrir les fractions simples de l'unité (demi et quart) dans une situation de partage. - Introduire les écritures fractionnaires correspondantes. Matériel Par groupes de 4: Un dé. Un récipient contenant un paquet de 45 gâteaux. Une feuille de score et un stylo. Tâche Elle se déroule sous forme de jeu par équipe de 4 joueurs. Chaque élève lance le dé à tour de rôle et prend, pour l'équipe, un nombre de gâteaux (en papier) correspondant au nombre obtenu par le dé. Lorsque chaque joueur de l'équipe a joué deux fois, les élèves se partagent le nombre total de gâteaux de façon à ce que chaque joueur en ait le même nombre. Les élèves notent, sur leur feuille de score le nombre de gâteaux total pour l'équipe et le nombre de gâteaux obtenu par chaque joueur. Les équipes gagnantes sont celles qui ont réussi à partager tous les gâteaux obtenus par l'équipe de façon à ce que chaque joueur en ait le même nombre. Si le nombre d'élèves ne permet pas de faire exactement des équipes de 4, certaines équipes sont constituées de joueurs auquel on ajoute un joueur factice (par exemple: une poupée ou une peluche). Un des élèves de l'équipe joue à sa place. Feuille de score Noms des joueurs de l'équipe: Nombre total de gâteaux obtenus par l'équipe Nombre de gâteaux obtenus par chaque joueur Phase d'appropriation Le dé a trois faces sur chacune desquelles est inscrit le chiffre 4 et trois faces sur chacune desquelles est inscrit le chiffre 0. Les élèves jouent une partie et remplissent leur feuille de score. Le nombre total de gâteaux pouvant être obtenus par l'équipe est un multiple de 4. Par conséquent, le nombre de gâteaux obtenus par chaque joueur est nécessairement un nombre entier. Les élèves disposent des gâteaux pour partager la collection. Ils peuvent les distribuer un par un à chaque élève ou anticiper le partage à partir du nombre total de gâteaux. Cette phase permet de vérifier la compréhension de la règle du jeu. L'enseignant peut proposer ensuite aux élèves de jouer une seconde partie en remettant les gâteaux dans la boîte avant de recommencer à jouer. A la fin des parties, l'enseignant relève les feuilles de score de chaque équipe et les dés. Dans une feuille de score agrandie affichée au tableau, il note les résultats de la ère partie de chaque équipe. On vérifie que le partage a été correctement effectué en revenant sur le nombre total de gâteaux obtenus par l'équipe et le nombre de gâteaux obtenus par joueur.

2 ère phase d'action Le dé a deux faces sur chacune desquelles est écrit le chiffre 0, deux faces sur chacune desquelles est écrit le chiffre 2, une face sur laquelle est écrit le chiffre 4 et une face sur laquelle est écrit le chiffre 6. L'enseignant indique que de nouvelles parties vont être jouées mais avec un autre dé. " rappelle que tous les gâteaux doivent être partagés de façon à ce que chaque joueur de l'équipe en ait le même nombre. Les élèves jouent deux 'ou trois parties et remplissent leur feuille de score au fur et à mesure. Les équipes gagnantes sont celles qui ont réussi à partager tous les gâteaux obtenus par l'équipe de façon à ce que chaque joueur en ait le même nombre. Feuille de score Noms des joueurs de l'équipe: Nombre total de gâteaux obtenus par l'équipe ere partie 2 eme partie eme partie Nombre de gâteaux obtenus par chaque joueur Le nombre total de gâteaux pouvant être gagnés par l'équipe n'est plus nécessairement un multiple de 4, mais c'est un nombre pair. Par conséquent, le nombre de gâteaux obtenus par chaque joueur n'est pas toujours un nombre entier; partager un gâteau en deux parties égales peut s'avérer nécessaire. Les élèves disposent des gâteaux pour effectuer le partage. Ils peuvent les distribuer un par un à chaque élève. Deux cas se présentent: - soit le partage permet de donner à chaque membre de l'équipe un nombre entier de gâteaux, - soit il reste deux gâteaux après avoir donné un nombre entier identique de gâteaux à chaque membre de l'équipe. Dans ce cas, les élèves doivent découvrir le partage des deux gâteaux restants en deux parties égales. Il se peut que les élèves se contentent, dans un premier temps, de laisser de côté les deux gâteaux restants. L'enseignant peut, dans ce cas, intervenir auprès du groupe pour lui,'aire remarquer qu'il reste des gâteaux et lui rappeler que l'équipe gagnante est celle qui arrive à partager tous les gâteaux entre les joueurs de manière à ce qu'ils en aient chacun le même nombre. Il est possible que les élèves demandent s'ils ont le droit de partager les gâteaux, ce que l'enseignant doit confirmer. Les élèves notent ensuite le nombre de gâteaux obtenus par joueur sur leur feuille de score. Il est probable que la plupart d'entre eux utilisent le terme «moitié» ou «demi». Il est aussi possible que certains élèves utilisent une écriture à virgule, par exemple: 8,5. En effet, cette écriture peut être connue de quelques élèves en référence à la moitié. ére phase de mise en commun: L'enseignant relève les feuilles de score et les dés. Dans une feuille de score agrandie affichée au tableau, il note quelques résultats des groupes; en particulier ceux faisant intervenir les demis. Les diverses écritures proposées sont ainsi relevées. A chaque notation, l'enseignant propose aux élèves de vérifier que le nombre inscrit pour chaque joueur est en cohérence avec le nombre total de gâteaux. L'enseignant note (ou un élève du groupe) le nombre total de gâteaux et celui obtenu par chaque joueur. A ce moment, l'enseignant introduit la notation 2. L'enseignant demande aux élèves si l'un d'eux a une idée de la raison de cette écriture, en particulier de la signification du et du 2 dans cette écriture. Il se peut que certains élèves explicitent que le 2 représente le partage du gâteau en deux parts égales et la part prise. Sinon, l'enseignant l'explique. Si l'écriture 0,5 apparaît, elle est mentionnée comme correcte mais sans autre explication.la mise en commun permet de déterminer les équipes gagnantes. 2 éme phase d'action Un dé normal. Les élèves jouent deux ou trois parties et remplissent leur feuille de score au fur et à mesure. Les équipes gagnantes sont celles qui ont réussi à partager tous les gâteaux obtenus par l'équipe de façon à ce que chaque joueur en ait le même nombre. Le nombre total de gâteaux est un nombre inférieur ou égal à 48. Pour déterminer le nombre de gâteaux obtenus par chaque joueur, les élèves peuvent distribuer un à un les gâteaux tant que les nombres entiers peuvent être utilisés. Deux cas se présentent selon qu'il reste ou non des gâteaux. Le nombre de gâteaux restants est compris entre et. Si le reste est, les élèves doivent partager le gâteau en quatre parts égales.

3 Si le reste est 2, le partage des gâteaux peut s'effectuer: - soit en partageant chaque gâteau en quatre. Chaque joueur reçoit alors deux parts (deux quarts) de gâteaux, - soit en partageant chacun des gâteaux en deux. Chaque joueur reçoit alors une part de gâteau (la moitié). Si le reste est, le partage des gâteaux peut s'effectuer: - soit en partageant deux des trois gâteaux restants en deux parts égales pour distribuer une moitié de gâteau à chacun puis en partageant le dernier gâteau en quatre parts égales. - soit en partageant chacun des trois gâteaux en quatre. Chaque joueur reçoit alors parts de gâteau. 2 éme phase de mise en commun L'enseignant peut débuter la mise en commun en proposant quelques résultats erronés qu'il a pu observer lors de la phase d'action. Par exemple: Nombre total de gâteaux obtenus par l'équipe = 7 ; Nombre de gâteaux obtenus par chaque joueur = D'autres résultats faisant intervenir le quart sont ensuite présentés avec leurs écritures; par exemple: Nombre total de gâteaux obtenus par l'équipe = 2 ; Nombre de gâteaux obtenus par chaque joueur = 5 et le demi de la moitié. Le mot «quart» et sa notation sont introduits. Les élèves sont à nouveau questionnés sur la signification de cette écriture. Si personne ne la comprend, l'enseignant explique que le nombre 4 correspond au partage du gâteau en quatre parts égales et que le nombre correspond au nombre de parts prises par chaque joueur. La mise en commun peut continuer sur la signification de «trois quart» dans le cas où des élèves ont utilisé cette écriture mais on peut aussi attendre la séance suivante pour l'évoquer. Phase d'institutionnalisation L'enseignant revient sur les écritures fractionnaires 2 et 4 en précisant la signification du dénominateur: le nombre indiquant le partage du gâteau en parts égales. L'enseignera insiste sur le rôle du au «numérateur» qui fait référence au nombre de parts que chaque joueur a pris et non au nombre de gâteaux partagés (ici: gâteau). L'enseignant peut aussi, si les procédures des élèves le permettent, faire remarquer que certains joueurs ont obtenu deux parts d'un gâteau partagé en quatre (deux fois un quart de gâteau) et d'autres une part d'un gâteau partagé en deux (la moitié) et que la quantité de gâteau est la même, ce qui se traduit par l'écriture = 2

4 Séance 2 Obiectifs - Réinvestir l'écriture des fractions simples de l'unité (demi et quart) pour désigner une quantité ou réaliser une collection. - Introduire l'écriture 4 ère phase d'action Matériel: Par élève: une feuille de score où le nombre total de gâteaux obtenus par l'équipe est indiqué pour chaque partie; 0 gâteaux (taille réduite). Tâche : compléter la feuille de score. Feuille de score Nombre total de gâteaux obtenus par l'équipe ere partie 8 Nombre de gâteaux obtenus par chaque joueur 2 eme partie 2 eme partie 2 L'enseignant peut proposer des gâteaux à certains élèves pour faciliter la résolution et inviter d'autres élèves à résoudre la tâche sans l'aide des gâteaux mais en utilisant s'ils le souhaitent un crayon et une feuille de papier. Les première et deuxième parties permettent de réinvestir les écritures 2 et 4 trouver le nombre de gâteaux obtenus à la troisième partie peut soulever plus de difficultés puisque, après avoir distribué cinq gâteaux à chaque joueur, il reste trois gâteaux. Deux procédures sont possibles. L'une d'elles consiste à partager chacun des trois gâteaux restants en quatre pour en distribuer trois quarts à chaque joueur. L'autre procédure se base sur le partage de deux des trois gâteaux restants en deux pour en donner une moitié à chaque joueur puis le partage du dernier gâteau en quatre. Chaque joueur dispose donc de 4 gâteaux, d'un demi et d'un quart de gâteau. ère phase de mise en commun Une feuille agrandie est affichée au tableau (les gâteaux sont aussi agrandis). L'enseignant traite d'abord les erreurs qu'il aura repérées au cours de la phase d'action puis rappelle la signification des écritures fractionnaires. La troisième partie permet d'expliquer l'équivalence entre deux écritures: et éme phase d'action Matériel: Par élève: un tableau indiquant le nombre de gâteaux obtenus par chaque joueur et une colonne où coller la collection correspondante de gâteaux, 20 gâteaux de taille réduite par rapport à ceux utilisés à la séance précédente, de la colle et des ciseaux. Tâche: Chaque élève doit prendre le nombre indiqué de gâteaux, celui-ci étant désigné par une somme d'un nombre entier et d'une fraction simple. Chaque élève reçoit la feuille ( annexe) et 20 gâteaux sur papier. Les élèves doivent penser à partager les gâteaux en deux ou quatre parties égales puis en prendre le nombre de parts indiqué par le «numérateur». ( Le mot numérateur est entre guillemets puisqu'il n'est pas nécessaire de l'employer avec les élèves. )

5 Nombre de gâteaux obtenus par chaque joueur Coller les gâteaux correspondants éme phase de mise en commun Une feuille agrandie est affichée au tableau (les gâteaux sont aussi agrandis). L'enseignant qui a repéré les erreurs caractéristiques pendant la phase de recherche commence par exploiter ces dernières. Celles-ci sont principalement dues à deux causes: ne pas partager en parts égales et ne pas prendre le nombre de parts correspondant au «numérateur». La mise en évidence de ces erreurs peut s'effectuer en s'appuyant sur les réponses controversées des élèves. éme phase d'action Matériel: Une feuille correspondant à celle de l'exercice précédent où est indiquée le nombre de gâteaux obtenus par chaque joueur mais où les gâteaux sont déjà collés. Tâche :Chaque élève doit indiquer si le nombre de gateaux collés correspond au nombre indiqué L erreur attendue est que les élèves ne prennent pas en compte le partage inégalitaire des parts de gateaux.

6 ème phase de mise en commun Elle permet de revenir sur l'importance du partage en parts égales et sur l'équivalence entre Phase d'institutionnalisation Elle permet de revenir sur la signification de l'écriture fractionnaire, en particulier sur celle du «numérateur».

7 Séance Obiectifs - Réinvestir l'utilisation des fractions simples de l'unité (demi et quart) pour désigner une quantité ou réaliser une collection dans un contexte différent. - Découvrir ou réinvestir l'équivalence de quelques fractions usuelles. ère phase d'action: Cette phase consiste en une phase de réinvestissement du dernier exercice donné à la séance précédente dans un autre contexte. L'enseignant précise qu'il ne s'agit plus de gâteaux mais de bandes puis présente le but de l'exercice: déterminer si l'écriture fractionnaire désigne le nombre de bandes coloriées. Le nombre de bandes pointillées dans la deuxième colonne correspond-t-il au nombre indiqué dans la ère colonne?indiquer et justifier la réponse dans la ème colonne. Nombre de bandes Bandes pointillées OUI ou NON et pourquoi? ème phase de mise en commun: La mise en commun des trois premiers exercices permet de revenir sur la signification de l'écriture fractionnaire; en particulier sur l'importance du partage égalitaire. L'erreur attendue au dernier exercice (ne pas considérer le nombre de bandes pointillées en tant que 2 mais comme étant égal à 4 2 ) fait ressortir l'équivalence entre ces deux fractions. 2 éme phase d'action et de mise en commun Un autre exercice de ce type est proposé. Le nombre de bandes pointillées dans la deuxième colonne correspond-t-il au nombre indiqué dans la ère colonne?indiquer et justifier la réponse dans la ème colonne. Nombre de bandes Bandes pointillées OUI ou NON et pourquoi?

8 Séance 4 Obiectif Découvrir les fractions simples de l'unité (cinquième et dixième) dans une situation de partage Matériel: Une feuille de score à compléter par élève. 40 gâteaux. Des ciseaux et un stylo. Tâche: Chaque élève doit compléter sa feuille de score du jeu des gâteaux (sans jouer) pour déterminer le nombre de gâteaux obtenus par chaque joueur mais les équipes ne sont plus des équipes de quatre. ére phase d'action L'enseignant avec l'aide des élèves rappelle la règle du jeu des gâteaux puis indique que l'équipe est maintenant composée de cinq joueurs. Il précise ensuite le but de la tâche: déterminer la quantité de gâteaux obtenue par chacun des cinq joueurs de l'équipe à partir du nombre total de gâteaux de l'équipe. Les élèves reçoivent ensuite la feuille à compléter (à agrandir). Equipe de 5 joueurs Nombre total de gâteaux obtenus par l'équipe de 5 joueurs Coller le nombre de gâteaux obtenus par chaque joueur. Nombre de gâteaux obtenus par chaque joueur ere partie 5 2 eme partie eme partie L'enseignant vérifie que l'expression «chaque joueur» est comprise par les élèves avec la signification «un joueur de l'équipe». Pour cela, les résultats obtenus à la première partie sont corrigés dès que les élèves ont complété leur feuille. Cette première partie permet aux élèves de comprendre la consigne. L'enseignant indique ensuite que l'équipe a obtenu 6 gâteaux lors de la 2 éme partie. Les élèves complètent la 2 éme colonne du tableau avec ce nombre puis un temps de recherche leur est laissé. Il est probable que certains élèves demandent de l'aide pour compléter la 4 éme colonne. Comme la réponse à celle-ci fait l'objet de la mise en commun, l'enseignant peut plutôt prévoir des aides afin que les élèves puissent remplir correctement la ème colonne et dire aux élèves que la réponse à la 4 ème colonne sera expliquée ensuite. L'aide se centre sur le partage. L'enseignant rappelle qu'il y a cinq joueurs dans l'équipe, et que ces cinq joueurs doivent avoir chacun le même nombre de gâteaux. Certains élèves peuvent réinvestir le partage du gâteau en quart. L'enseignant devra, alors, leur montrer qu'un joueur n'a pas le même nombre de gâteaux que les autres. ère phase de mise en commun Une feuille agrandie est affichée au tableau. L'enseignant revient sur le partage en parts égales. A la deuxième partie, chaque élève a un gâteau puis il reste un gâteau à partager en 5 parts égales. Les bords du gâteau permettent d'effectuer ce partage correctement. L'enseignant s'appuie ensuite sur la connaissance des écritures 2 et 4 pour l'étendre à la signification de l'écriture 5 2 ème phase d'action puis de mise en commun L'enseignant indique que l'équipe a obtenu gâteaux lors de la troisième partie. Un temps de recherche est laissé aux élèves pour qu'ils réinvestissent le partage du gâteau en cinq parts égales et l'écriture fractionnaire 5 introduite précédemment. La mise en commun permet de revenir sur les erreurs que l'enseignant a repérées lors de la phase de recherche.

9 ème phase d'action et de mise en commun La tâche est identique à la ère phase mais l équipe est constituée de 0 joueurs Nombre total de gâteaux obtenus Equipe de 0 par l'équipe de 5 joueurs joueurs Coller le nombre de gâteaux obtenus par chaque joueur. Nombre de gâteaux obtenus par chaque joueur ere partie 2 eme partie eme partie La mise en commun, après la première partie, est l'occasion d'introduire le partage d'un gâteau en dix parts égales et l'écriture fractionnaire 0 correspondante. Selon les difficultés rencontrées par les élèves à la phase précédente, l'enseignant peut proposer la recherche pour une deuxième partie voire une troisième. Dans ce cas, le nombre proposé pour la 2 ème partie peut être 2 et pour la troisième partie. Phase d'institutionnalisation Cette phase permet à l'enseignant de revenir sur la signification du dénominateur d'une fraction.

10 Séance 5 Obiectif - Réinvestir les écritures fractionnaires de dénominateur 0 sur un contexte différent de celui des gâteaux. 5 - Découvrir l équivalence entre et 0 2 ère phase d'action Le nombre de bandes pointillées dans la deuxième colonne correspond-t-il au nombre indiqué dans la ère colonne?indiquer et justifier la réponse dans la ème colonne. Nombre de bandes Bandes pointillées OUI ou NON et pourquoi? ère phase de mise en commun: Cette phase permet de revenir sur les erreurs commises. Elle permet aussi de remarquer l'équivalence entre l'écriture 0 5 et 2 qui désignent le même nombre de bandes pointillées. 2 ème phase d'action et de mise en commun: Ecrire sous forme fractionnaire le nombre de bandes pointillées Bandes pointillées nombre de bandes pointillées