I) Suites arithmétiques

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1 CHAPITRE 9 Suites arithmétiques et géométriques Capacités au programme : Modéliser et étudier ue situatio à l aide des suites. Mettre e œuvre des algorithmes permettat : d obteir ue liste de termes d ue suite ; de calculer u terme de rag doé. Établir et coaître les formules doat et + q + + q. I) Suites arithmétiques Défiitio : Ue suite arithmétique est ue suite u défiie par récurrece pour laquelle il existe u réel r, appelé la raiso, tel que, N, u + = u + r. Remarque : Il s agit du modèle le plus simple de suite récurrete : à partir d u terme, o obtiet le suivat e ajoutat r à chaque fois : Étape 0 O commece avec u 0 doé Étape O obtiet u e faisat u 0 + r Étape O obtiet u e faisat u + r Étape 3 O obtiet u 3 e faisat u + r Étape + O obtiet u + e faisat u + r Exemple : (Aboemet) O peut modéliser le coût total d u aboemet téléphoique avec l achat d u téléphoe à l aide d ue suite arithmétique si o suppose que le tarif e chage pas pedat la durée du cotrat. Par exemple u forfait «low cost» coûte 9, 90 par mois. La dépese iitiale correspod à l achat du téléphoe à 97 (certaiemet u mathphoe à ce prix là). Soit (u ) N ue suite modélisat la situatio : représete le ombre de mois à partir de l achat, u 0 est la dépese iitiale doc u 0 = 97, et N, u + = u +9, 90 puisque l o dépese chaque mois 9, 90. Pour tout etier aturel, u est doc la dépese totale (icluat l achat du téléphoe). O écrit doc schématiquemet : { u 0 = 97 N, u + = u + 9, 90 Propriété : (Caractérisatio) Ue suite (u ) N est arithmétique si et seulemet si il existe u réel r tel que N, u + u = r. Preuve : (u ) N arithmétique N, u + = u + r N, u + u = r.

2 9 Chapitre 9 : Suites arithmétiques et géométriques Exemple : 47 47, 75 48, 5 49, 5 50 est ue progressio arithmétique, ce sot les premiers termes d ue suite arithmétique de premier terme 47 et de raiso 0, 75 : 47, = 48, 5 47, 75 = 49, 5 48, 5 = 50 49, 5 = 0, 75. Propriété : (Expressio e foctio de ) Soit (u ) N ue suite arithmétique de raiso r R. Alors N, u = u 0 + r. Preuve : Soit N. Si = 0, la formule doe = u r qui vaut bie u 0. Si, u = u + r = u 0 + r + + r. O a bie prouvé la formule. fois Remarque : La propriété dit simplemet que pour calculer le -ième terme de la suite, il suffit d ajouter -fois la raiso au premier terme u 0. Exemple : Repreos l exemple du forfait téléphoique. O peut obteir directemet la formule suivate : N, u = , 9. Parmi toutes les suites arithmétiques, il e existe ue de particulière : celle dot le premier terme est 0 et qui à chaque étape ajoute à l étape précédete. E utilisat la formule classique, pour cette suite que l o peut oter u, o a N, u =. O va s itéresser à la somme des premiers termes d ue telle suite. Pour etier aturel supérieur à 3, o va calculer C est la somme des etiers cosécutifs jusqu à. Notatio : (Symbole ) Lorsqu o veut écrire ue somme du type + + +, o peut utiliser le symbole. C est la lettre grecque sigma e majuscule qui correspod au so s e grec que l o utilise pour écrire ue somme. O écrit alors : + + = L expressio k sigifie la somme pour k variat de à de k. Sous le symbole o positioe k= le poit de départ de la variable k (qui foctioe à la maière d ue variable d icrémetatio das ue boucle For e iformatique). Ici k = est le poit de départ. E haut du symbole o écrit la valeur de k à l arrivée, ici. Il est sous-etedu que k augmete de à chaque étape jusqu à atteidre k=. À droite du symbole o écrit ce que l o somme. Ici c est k. E décomposat étape par étape, o a bie k = k= k = k = k = k Exercice : Utiliser le symbole pour exprimer les sommes suivates. ) La somme des carrés des etiers etre 0 et 5. ) La somme des etiers pairs etre 0 et 5. 3) La somme des etiers impairs etre 0 et 5. S. Der Mosessia - dermo.fr

3 I) Suites arithmétiques 93 4) (u k ) k N état ue suite doée et u etier, la somme des termes cosécutifs de la suite jusqu au -ième terme. Solutio : ) ) 3) 4) 5 k. k. Ici o utilise le fait qu u etier pair est le double d u autre etier, c est à dire qu il peut s écrire sous la forme k. E décomposat la somme o a doc , c est à dire C est bie la somme recherchée. k +. O utilise ici quasimet la même idée que précédemmet. U etier impair est égal à u etier pair auquel o rajoute, et est doc de la forme k +. Grâce à la formule o obtiet ( 0 + ) + ( + ) + + ( + ), c est à dire u k Propriété 3 : Pour tout etier aturel, la somme des etiers cosécutifs de 0 à est égale à E symboles : k = ( + ) ( + ). Remarque : Avat de prouver ce résultat, o peut peut-être être choqué du fait qu ue somme d etiers ait pour résultat ue fractio de déomiateur. E réalité il e est rie. E effet, puisque et + sot deux etiers cosécutifs, l u des deux est pair et le produit est doc pair. Lorsqu o divise par o obtiet doc u ombre etier. Cotrairemet à ce que laisserait peser la formule, la preuve est très simple. Elle aurait été découverte par le mathématicie allemad Karl Friedrich Gauss ( ) à l école primaire. So professeur, excédé par le bavardage aurait demadé à la classe de faire la somme des etiers de 0 à 000. Gauss aurait trouvé la solutio ( ) e très peu de temps. Preuve : (Exigible) Soit N. Notos pour simplifier S = k. O peut écrire la somme S sous la forme ou bie e ses iverse E écrivat ces deux sommes l ue au dessus de l autre, o peut repérer que coloe par coloe les sommes fot toujours : S S = S + + Le double de la somme cherchée vaut doc + + et il y a das cette somme autat de termes que d etiers etre 0 et, c est à dire +. O a doc S = ( + ), ce qui se traduit bie par S = k = ( + ) S. Der Mosessia - dermo.fr

4 94 Chapitre 9 : Suites arithmétiques et géométriques Exemple : Pour calculer la somme des etiers cosécutifs de 0 à 000, o applique la formule : S 000 = = Exercice : (Somme d etiers cosécutifs pairs et impairs) ) Soit u ombre etier. Calculer la somme des etiers pairs etre 0 et puis e déduire la somme des etiers impairs etre 0 et. ) Applicatio : calculer la somme des etiers pairs puis impairs etre 0 et 000 et etre 0 et 05. Solutio : ) O ote S la somme des etiers cosécutifs de 0 à, P la somme des etiers pairs et I la somme des etiers impairs. O a automatiquemet S = P + I. O se place das deux cas de figures. Si est lui-même pair, il existe u etier p tel que = p et alors P est la somme des etiers pairs etre 0 et p, c est à dire P = p k. Chacu des termes de la somme état le double d u etier, o peut factoriser par deux et o obtiet P = p k et e utilisat la formule établie précédemmet, P = p(p+) = p(p + ). Mais S = p(p+) = p(p+) = p(p + ). Doc I = S P = p(p + ) p(p + ) et e factorisat,i = p(p + p ) = p. Si est impair, il existe u etier p tel que = p+. Alors de la même faço que précédemmet, P = p k = p(p + ). Or S = (+) = (p+)(p+) = (p+)(p+). Doc I = S P = (p+)(p+) p(p+), o factorise et I = (p + )(p + p) = (p + ). O peut résumer de la faço suivate : p N, P p = P p+ = p(p + ), et I p = p et I p+ = (p + ) ) O applique directemet les formules. Puisque 000 est pair, o utilise la première formule e utilisat le fait que 000 = 500. Doc P 000 = 500 (500 + ) = = Esuite o a I 000 = 500 = Au passage ce résultat est cohéret avec ce que l o a trouvé à l exemple précédet : P I 000 = = = S 000. Puisque 05 est impair, o utilise le fait que 05 = et les formules. P 05 = 007 ( ) = et I 05 = ( ) = 008 = Exercice 3 : (Somme et progressio arithmétique) Soit (u ) N ue suite arithmétique de raiso r R et soit N. Détermier ue expressio simple de u k. Solutio : Soit k u etier etre 0 et. Par défiitio, u 0 + kr et doc (u 0 + kr) = u 0 + S. Der Mosessia - dermo.fr kr

5 II) Suites géométriques 95 O a pu écrire la derière égalité parce que les opératios qui sot présetes sot des sommes et doc que l o peut regrouper les termes comme o le souhaite. O aalyse alors les deux parties. u 0 est ue somme de + termes qui sot tous égaux à u 0. O a doc u 0 = ( + )u 0 Le deuxième morceau, kr est ue somme de multiples de r : le premier terme est 0 r = 0, le secod r = r, le troisième r = r Doc o peut factoriser par r : kr = 0 + r + + r = r ( ) = r Or (+) k = et doc r(+) kr =. E regroupat les deux morceaux, o obtiet : k u 0 + kr = ( + )u 0 + r( + ) = ( + ) [u 0 + r ] Or r = u u 0 et doc u 0 + r = u 0 + u u 0 O peut doc coclure : = u 0+u. kr = ( + ) u 0 + u Autremet dit, la somme des termes cosécutifs d ue suite arithmétique est égale au ombre de termes ( + ) multiplié par la moyee du premier et du derier terme ( u 0 +u ). II) Suites géométriques Défiitio : Ue suite géométrique est ue suite défiie par récurrece pour laquelle il existe u certai réel q appelé la raiso tel que, N, u + = q u. Remarque : Il s agit ecore d u modèle simple de suite. O passe d ue étape à la suivate e multipliat le terme par la raiso. Exemple : (Itérêts composés) O place 00 à la baque à u taux mesuel de 0, 5 %. O veut pouvoir suivre l évolutio du capital. S il augmete chaque mois de 0, 5 %, c est que l o multiplie le capital par + 0,5 =, chaque mois. Autremet dit, o peut modéliser la situatio par ue suite géométrique de premier terme 00 et de raiso, 005. { u 0 = 00 N, u + =, 005u S. Der Mosessia - dermo.fr

6 96 Chapitre 9 : Suites arithmétiques et géométriques Exemple : (Radioactivité) O étudie ici u modèle de la trasformatio du carboe 4 e carboe. État doé u certai ombre d atomes de carboe 4, o estime qu il faut eviro aées pour que la moitié de ces atomes se soit trasformée e carboe. Rameé à 00 as, o estime que cela reviet à ue baisse du ombre d atomes de, %. O modélise cela par ue suite géométrique de raiso, = 0, Si o dispose d u ombre iitial N 0 d atomes, o peut doc poser : { v 0 = N 0 N, v + = 0, 988v Cette suite doe l évolutio siècle après siècle de la quatité de carboe 4. Propriété 4 : (Caractérisatio) Soit u ue suite ayat aucu terme ul. Elle est géométrique si et seulemet si il existe u réel q o ul tel que N, u + = q. u Preuve : Il s agit d ue applicatio directe de la défiitio. Propriété 5 : (Expressio e foctio de ) Soit (u ) N ue suite géométrique de raiso q R. Alors N, u = u 0 q. Preuve : Soit N. Si = 0 : La formule doe u 0 q 0 = u 0 = u 0. Si : O peut écrire u + = u q = u q = u 0 q q. O a doc bie N, u = u 0 q. fois Exemple : (Itérêts composés) E repreat l exemple précédet, o obtiet à l aide de la propriété que pour tout etier aturel, u = u 0 ( + 0,5 00 ) = 00, 005. E supposat que le taux reste le même, e mois, la somme e baque sera de 00, , 7. La somma aura augmeté d eviro 6, 7, et puisque l o était parti de 00, cela correspod à ue augmetatio de 6, 7 % eviro. Au bout de 5 as, la somme e baque sera de 00, , 5. Elle aura plus que quadruplé. Exemple : (Radioactivité) E partat d u ombre N 0 d atomes de carboe 4,, % se sera trasformé e carboe au bout d u siècle. O peut lire que la période de demi-vie (le temps mis pour que la quatité N 0 soit divisée par deux) du carboe 4 est de as. Doc e 57 siècles, la quatité d atomes v 57 doit être eviro égale à la moitié de N 0. Vérifios-le. v 57 = N 0 (, 00 )57 = N 0 0, , 505N 0. O obtiet doc bie u résultat cohéret avec la période de demi-vie puisque 0, 505 0, 5 =. O a doc v 57 N 0. S. Der Mosessia - dermo.fr

7 II) Suites géométriques 97 O va maiteat étudier e particulier ue suite géométrique de raiso q R et de premier terme égal à, ou plus précisémet pour u etier choisi à l avace, la somme des premiers termes d ue telle suite : + q + q + + q = qk. Propriété 6 : (Somme des termes cosécutifs) Soit q R et N. q k { + si q = = q + q + { = si q q q Preuve : (Exigible) Soit q R et N. Si q = : qk = + + =. fois Si q : O cosidère le produit ( q) qk qu il faut iterpréter comme ( q) fois le résultat du calcul. Tout se passe doc comme s il y avait des parethèses autour de la somme. O distribue : ( q) qk = qk q qk = qk qk+ = qk + k= qk. E effet, q qk = q qk = qk+. E regardat les premiers termes de la somme, o a q q + = q + + q + = + k= qk. Pour se représeter la situatio, o peut faire le calcul suivat (pourvu que soit suffisammet grad, i.e. ) : qk + q + q + + q + k= qk q + q + + q + q + = ( q) qk q + Autremet dit, ( q) qk = q +. Mais comme q, o peut diviser les deux membres de l égalité par q, et o obtiet le résultat voulu. Algorithme : (Scilab) Le programme suivat demade la raiso et le plus grad exposat pour calculer la somme. Il y a deux tests qui permettet d élimier le cas où est pas u etier aturel (si est différet de sa valeur approchée, c est qu il est pas etier) et de sélectioer e foctio de la valeur de q la boe formule. pritf("%s\"," Somme des termes cosécutifs d'' ue suite géométrique de premier terme ") q=iput(" Etrer la raiso :"); 3 =iput(" Etrer l'' exposat ( etier aturel) du derier terme :"); 4 if ((>0) & ( == roud())) the 5 if q= the 6 pritf(" La somme est égale à %f",+) 7 else 8 pritf(" La somme est égale à %f",(-q^( +))/(- q)) 9 ed 0 else pritf("l'' exposat doit être u etier aturel. Veuillez recommecer. ") ed Algorithme Scilab - Somme des termes cosécutifs d ue suite géométrique de raiso S. Der Mosessia - dermo.fr

8 98 Chapitre 9 : Suites arithmétiques et géométriques Exercice 4 : Calculer la somme des puissaces etières cosécutives de jusqu à 0. Solutio : O veut calculer 0 k. O utilise la formule et o obtiet : 0 k = = = 047 Remarque : O peut peser qu il est icohéret de tomber sur u résultat impair alors que l o ajoute des puissaces de deux qui sot e pricipe des ombres pairs Oui e pricipe parce que ce sot effectivemet des ombres pairs dès que l exposat est au mois : si k N est supérieur à, alors k = k. Mais lorsque k = 0, ce qui correspod au premier terme, o a 0 =. Doc il est bie ormal que le résultat soit impair. Exercice 5 : Soit u etier supérieur à. Simplifier k= 3 k puis calculer cette somme pour = 0. Solutio : O a k= 3 k =. Mais puisque la somme commece à k =, le premier terme k= 3k est. Pour se rameer à la formule, o factorise par le premier terme : 3 Or k= = k 3 3 k= 3 k = = k= 3 3 = k 3 k= 3 k. O utilise doc la formule de la propriété pour coclure. 3k k= 3 k = 3 k= = 3 3 E utilisat cette derière lige, 3 ( )+ 3 = k 3 3 = = 3 3 = 3 ( 3 ) k= 3 k = 30 = = = , 7 Exercice 6 : (Téléphoe orietal) Sarah viet d appredre ue ouvelle. Ethousiasmée par le scoop, elle décide d e parler à six amis. Le jour suivat, chacu de ces amis parlet à six ouvelles persoes (o suppose qu ils e parlet pas aux mêmes amis) qui le ledemai parlerot chacu à six ouvelles persoes et aisi de suite. La populatio modiale est de Combie de jours mettra la ouvelle pour être parveue aux oreilles du mode etier? Solutio : O modélise cette situatio par ue suite géométrique (u ) N de raiso 6 et de premier terme. Cette suite modélise, pour u jour doé (o compte les jours de la faço suivate : le jour zéro est le jour où Sarah appred la ouvelle, le jour u celui où elle le trasmet à ses six amis, ), le ombre de persoes u qui ot appris la ouvelle ce jour-là. E effet, pour N, u + = 6 u. Chaque persoe trasmettat à six ouvelles persoes, le ombre de persoes est multiplié par 6 d u jour à l autre. Les persoes au courat sot Sarah, ses six amis, leurs six amis respectifs, Et doc le ombre de persoes au courat est la somme des termes cosécutifs de la suite (u ) N. S. Der Mosessia - dermo.fr

9 II) Suites géométriques 99 Soit N, 6k = 6+ = 6 5 (6+ ). Il suffit d évaluer quelques fois ce résultat pour des valeurs de arbitraires, par exemple avec le programme Scilab ou à l aide d XCas : sum(6 k,k,,???) E exécutat plusieurs fois le programme, o arrive par tâtoemets à 6 k = et 3 6 k = O peut doc dire qu au bout du 3 e jour le mode etier est au courat. Exercice 7 : Trouver ue formule qui permet de calculer la somme des termes cosécutifs d ue suite géométrique. Solutio : Soit (u ) N ue suite géométrique de raiso q R. Soit N. Si q = : Pour tout k etier etre 0 et, u 0 q k = u 0. O a doc : Si q : Puisque = q + q, u 0 = ( + )u 0 O peut doc écrire : u 0 q k = u 0 q k q + = u 0 q { ( + )u 0 siq = q + { u 0 si q q S. Der Mosessia - dermo.fr