Minorations non triviales du plus petit commun multiple de certaines suites finies d entiers

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1 C R Acad Sci Paris, Sér I 34 (005), p Minorations non triviales du plus petit commun multiple de certaines suites finies d entiers Nontrivial lower bounds for the least common multiple of some finite sequences of integers Bair Farhi a a Département de Mathématiques, Université du Maine, Avenue Olivier Messiaen, 7085 Le Mans Cedex 9, France Résumé On présente ici une méthode permettant de minorer le plus petit commun multiple de certaines suites finies d entiers Nous obtenons des minorations efficaces (voir optimales en un certain sens) pour les progressions arithmétiques et des minorations moins efficaces (mais non triviales) pour une certaine classe de suites quadratiques La dernière partie de la note étudie l entier ppcm(n, n +,, n + ) ( N, n N ) On détermine pour cet entier, un diviseur d n, simple en sa dépendance en n et et un multiple m n, simple en sa dépendance en n et on montre que chacune des deux égalités : ppcm(n, n +,, n + ) = d n, et ppcm(n, n +,, n + ) = m n, a lieu pour une infinité de couples (n, ) Abstract We present here a method which allows to derive a nontrivial lower bounds for the least common multiple of some finite sequences of integers We obtain efficient lower bounds (which in a way are optimal) for the arithmetical progressions and lower bounds less efficient (but nontrivial) for some class of quadratic sequences In the last part of this note, we study the integer lcm(n, n +,, n + ) ( N, n N ) We show that it has a divisor d n, simple in its dependence on n and, and a multiple m n, also simple in its dependence on n In addition, we prove that both equalities: lcm(n, n +,, n + ) = d n, and lcm(n, n +,, n + ) = m n, hold for infinitely many pairs (n, ) address: BairFarhi@univ-lemansfr (Bair Farhi) Preprint submitted to Elsevier Science

2 Abridged English version log lcm{,,n} The prime numbers theorem (see eg []) implies that lim n + n = This is equivalent to the following statement: ε > 0, N = N(ε) / n N : (e ε) n ppcm{,, n} (e + ε) n Concerning the effective estimates of the numbers lcm{,, n} (n ), one has among others, two main results The first one is by Hanson [] which shows (by using the development of the number in Sylvester series) that lcm{,, n} 3 n for all n The second one is by Nair [3] which proves (by exploiting simply the integral 0 xn ( x) n dx) that one has lcm{,, n} n for all n 7 In this note, we present a method which allows to find a nontrivial lower bounds for the least common multiple of n consecutive terms (n N ) of some sequences of integers We obtain efficient lower bounds (which in a way are optimal) for the arithmetical progressions (see Theorem 4) Besides, we obtain also a less efficient lower bounds (but nontrivial) for the quadratic sequences whose general term has the form: u n = an(n + t) + b with (a, t, b) Z 3, a 5, t 0, pgcd(a, b) = (see Corollary 7) Our method is based on the use of some identities related to the sequences which we study More precisely, let (α i ) i I be a given finite sequence of nonzero integers, we see an identity of type i I α iβ i = γ where β i (i I) and γ are nonzero integers If lcm{β i, I I} is bounded (say by a real constant R > 0), one concludes that lcm{α i, I I} γ R (see Lemma ) It remains to chec whether this later estimation is nontrivial However, the point is that looing for types of the above identities is not easy the Theorem stems from concrete and interesting example of such identities Though, it is not liewise that we can find other nontrivial applications, than the ones presented here, for that specific example In order to have nontrivial lower bounds of least common multiple for other families of finite sequences, it could be necessary to see for new identities related to those sequences In the last part of this note, we study the least common multiple of some number of consecutive integers, larger than a given positive integer In Theorem 8, we show that the integer lcm{n, n +,, n + } (n N, N) has a divisor d n, simple in its dependence on n and and a multiple m n, simple in its dependence on n In addition, we prove that d n, and m n, are optimal in that sens that the equalities lcm{n,, n+} = d n, and lcm{n,, n+} = m n, hold for infinitely many pairs (n, ) More precisely, we show that both equalities are satisfed at least when (n, ) verifies some congruence modulo! Introduction Le théorème des nombres premiers (voir par exemple []) a pour conséquence le fait que lim n + log ppcm{,,n} n = Ce qui équivaut à dire que pour tout ε > 0, on a : (e ε) n ppcm{,, n} (e + ε) n dès que n est assez grand en fonction de ε Plusieurs travaux ont porté sur l estimation effective de l entier ppcm{,, n} (n ) Entre autres, le résultat de Hanson [] qui montre (en utilisant essentiellement le développement du nombre en série de Sylvester) que ppcm{,, n} 3 n pour tout n et celui de Nair [3] qui montre (en exploitant simplement l intégrale 0 xn ( x) n dx) que l on a ppcm{,, n} n pour tout n 7 Dans cette note, nous présentons une méthode permettant de minorer le plus petit commun multiple de n termes consécutifs de certaines suites d entiers Nous obtenons des minorations efficaces (voir optimales en un certain sens) pour le cas des progressions arithmétiques (voir Théorème 4 et les commentaires

3 qui le suivent) et des minorations moins efficaces (mais non triviales) pour le cas des suites quadratiques dont le terme général est de la forme : u n = an(n + t) + b avec (a, t, b) Z 3, a 5, t 0, pgcd(a, b) = (voir Corollaire 7) Notre méthode est basée sur l exploitation de certaines identités liées à la suite que nous voulons étudier Plus précisément, étant donnée (α i ) i I une suite finie d entiers non nuls, nous cherchons une identité du type i I α iβ i = γ où les β i (i I) et γ sont des entiers non nuls Si ppcm{β i, i I} est facilement majorable (disons par un réel R > 0), on conclut à la minoration ppcm{α i, i I} γ R (voir Lemme ) Il reste à voir si cette minoration est non triviale La recherche des identités du type sus-cité est le point délicat de la méthode Le Théorème provient d un exemple concret et intéressant de telles identités Cependant, il ne semble pas avoir d application non triviale autre que celles présentées ici Pour avoir d autres minorations non triviales du plus petit commun multiple d un nombre fini de termes consécutifs pour d autres familles de suites, il faudrait peut être chercher de nouvelles identités attachées à ces suites Dans la dernière partie de la note, nous étudions le plus petit commun multiple d un certain nombre d entiers consécutifs, plus grands qu un entier strictement positif donné Nous montrons (voir Théorème 8) que le nombre ppcm{n, n +,, n + } (n N, N) admet un diviseur d n, simple en sa dépendance en n et et un multiple m n, simple en sa dépendance en n L originalité dans ce résultat est notre preuve du fait que d n, et m n, sont optimaux dans le sens où chacune des égalités ppcm{n,, n + } = d n, et ppcm{n,, n + } = m n, a lieu pour une infinité de couples (n, ) Plus précisément, nous montrons que chacune des deux égalités précédentes se reproduit au moins lorsque (n, ) vérifie une certaine congruence modulo! Enoncés des résultats Résultats de base Lemme Soient (α i ) i I et (β i ) i I deux familles finies d entiers non nuls, vérifiant : = α i β i γ i I pour un certain entier non nul γ Alors, le nombre ppcm{α i, i I}ppcm{β i, i I} est un multiple de γ Théorème Soit (u ) N une suite strictement croissante d entiers non nuls Alors, pour tout n N, le nombre : ppcm {u 0,, u n } ppcm (u i u j ) ; j = 0,, n est un multiple du nombre (u 0 u u n ) 0 i n,i j Résultats sur les progressions arithmétiques Théorème 3 Soit (u ) N une progression arithmétique strictement croissante d entiers non nuls tel que u 0 soit premier avec u Alors, pour tout n N, le nombre entier ppcm{u 0,, u n } est un multiple du nombre rationnel u0un n! Si de plus, la congruence u 0 u n 0 mod(n!) est satisfaite, on a même : ppcm{u 0,, u n } = u 0u n n! Théorème 4 Soit (u ) N une progression arithmétique d entiers, de raison strictement positive r et dont le premier terme u 0 est strictement positif et premier avec r Alors : 3

4 ) Pour tout n N, on a : ppcm{u 0,, u n } u 0 (r + ) n et si de plus n est un multiple de (r + ), on a même : ) Pour tout n N, on a : 3) Pour tout n N, on a : ppcm{u 0,, u n } ppcm{u 0,, u n } u 0 (r + ) n ppcm{u 0,, u n } r(r + ) n 4) Pour tout n N satisfaisant n u 0 3r+, on a : n n + r { (r + ) n + (r ) n } ppcm{u 0,, u n } r(r + ) n + u 0 r π Conjecture 5 Dans la situation du Théorème 4, on a pour tout n N : Commentaires : ppcm{u 0,, u n } u 0 (r + ) n ) La Conjecture 5 améliore le point ) du Théorème 4, qui affirme d ailleurs qu elle est vraie dans le cas particulier où n est un multiple de (r + ) Cette même conjecture entraîne aussi le point ) du même théorème ) Les minorations des points ) et ) du Théorème 4 peuvent s assembler pour donner la minoration : ppcm{u 0,, u n } max{u 0, r}(r + ) n Cette dernière minoration est équivalente à la série de minorations : ppcm{u 0,, u n } u (r + )n ( N) + 3) Les points suivants sont faciles à vérifier : La minoration proposée par la Conjecture 5 est optimale en l exposant n de (r + ) La minoration du point ) du Théorème 4 est optimale en l exposant (n ) de (r + ) Pour les petites valeurs de n en fonction de r (plus précisément, lorsque n r log r), la minoration du point 3) du Théorème 4 améliore celle du point ) du même théorème Lorsque r u 0, la minoration du point 4) du Théorème 4 entraîne toutes les autres minorations du même théorème, ainsi que la minoration de la Conjecture 5 4) Les points suivants étudient l optimalité du point 4) du Théorème 4 Leurs démonstration (assez technique) est basée sur une construction de progressions arithmétiques particulières Le coefficient 3 affecté à r qui apparaît dans la condition n u 0 3r+ du point 4) du Théorème 4 est optimal La constante absolue optimale C pour laquelle l assertion : Pour toute progression arithmétique (u ) comme dans le Théorème 4 et pour tout entier positif n u 0 3r+, on a : ppcm{u 0,, u n } C r(r + ) n + u 0 r 4

5 est vraie, vérifie : π C 3 Plus généralement, étant donné n 0 N, la constante optimale C(n 0 ) (dépendant uniquement de n 0 ) pour laquelle l assertion : Pour toute progression arithmétique (u ) comme dans le Théorème 4 et pour tout entier n max{n 0, u 0 3r+ }, on a : ppcm{u 0,, u n } C(n 0 ) r(r + ) n + u 0 r est vraie, vérifie : 3 Résultats sur les suites quadratiques π C(n 0) < 4(n 0 + 4) n Théorème 6 Soit u = (u ) N une suite d entiers relatifs dont le terme général est de la forme : u = a( + t) + b ( N), avec (a, t, b) Z 3, a, t 0 et pgcd{a, b} = Soient aussi m et n (avec m < n) deux entiers positifs tels qu aucun terme u (m n) de la suite u ne soit nul Alors le nombre entier ppcm{u m,, u n } est un multiple du nombre rationnel : u 0 u n si (t, m) = (0, 0) (n)! A u (t, m, n) := (m + t )! u m u n sinon (n + t)! Corollaire 7 Soient u = (u ) N une suite d entiers relatifs comme dans le Théorème 6 précédent et n un entier strictement positif Alors, si les (n + ) premiers termes u 0,, u n de la suite u sont tous non nuls, on a : ( a ) n b si t = 0 ppcm{u 0,, u n } 4 b ( a ) n t t si t 4 4 Résultats sur le plus petit commun multiple d un nombre fini d entiers consécutifs Théorème 8 Pour tout N et tout n N, le nombre ppcm{n, n +,, n + } est multiple de l entier n ( ) ( n+ et divise l entier n n+ ) { ( ) ( ppcm 0, ) (,, ) } De plus : si la congruence n(n + ) 0 mod(!) est satisfaite, on a : ( ) n + ppcm{n, n +,, n + } = n, et si la congruence n mod(!) est satisfaite, on a : ( ) {( ) n + ppcm{n, n +,, n + } = n ppcm, 0 ( ),, ( )} De ce théorème s ensuit assez facilement l encadrement bien connu n ppcm{,, n} 4 n (pour tout n N ) 5

6 3 Une esquisse de la preuve de nos résultats Le Lemme est immédiat Le Théorème est une conséquence directe de l application du Lemme à l identité : n u j (u i u j ) =, u 0 u n j=0 0 i n,i j qui s obtient en substituant x par 0 dans la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle x (x+u 0 )(x+u n ) La première partie du Théorème 3 est une application directe du Théorème, quant à la deuxième partie du même théorème (prouvant l optimalité de la première partie), elle s obtient en montrant d abord l implication u 0 u n 0 mod(n!) u 0 0 mod(n) u n 0 mod(n), puis en manipulant les congruences modulo u 0 et u n Le Théorème le plus important 4 s obtient de la manière suivante : On part du fait que ppcm{u 0,, u n } est multiple de ppcm{u,, u n } pour tout {0,, n} et que (d après le Théorème 3) ce dernier nombre est multiple de v := u u n (n )! Par suite, pour tout 0 n, on a ppcm{u 0,, u n } v L idée consiste à choisir l entier (en fonction de n, r et u 0 ) qui maximise (ou presque) la quantité v Ainsi, la minoration du premier point du Théorème 4 s obtient en prenant = [ n n r+ +] (lorsque n est quelconque) et = r+ (lorsque n est multiple de (r +)) et la minoration du quatrième point du même théorème s obtient en prenant l entier positif le plus proche du réel n+r u0 r+ Quant aux minorations des points ) et 3) du Théorème 4, elles s obtiennent pour des valeurs non explicites de, elles proviennent plus exactement des minorations des moyennes arithmétiques des deux suites finies (v ) n et (v ) n, impair Le Théorème 6 est une application directe du Théorème 3 et le Corollaire 7 provient du Théorème 6 et des majorations simples de coefficients binomiaux Pour ce qui concerne le Théorème 8, le fait que d n, := n ( ) n+ soit un diviseur optimal de ppcm{n,, n + } est une conséquence immédiate du Théorème 3 et le fait que m n, := n ( ) ( n+ ppcm{ ) ( 0,, ) } soit un multiple de ppcm{n,, n + } s obtient assez facilement en utilisant une simple propriété des coefficients binomiaux L optimalité de m n, est un point réellement délicat du théorème Pour le prouver, on est amené à étudier la suite d applications (g l ) l N : N N définie n(n+l) par g l (n) := ppcm{n,,n+l} (pour tous l N, n N ) On a montré que (g l ) l N satisfait la relation de récurrence : g l (n) = pgcd {l!, (n + l)g l (n)} (pour tout (l, n) N ) qui, une fois itérée ( ) fois en partant de g (n), donne, sous l hypothèse n mod(!), le résultat ppcm{n,, n + } = m n, Références [] D Hanson On the product of the primes Canad Math Bull, 5 (97), p [] G H Hardy & E M Wright The theory of numbers Oxford Univ Press, London, 5th ed, (979) [3] M Nair On Chebyshev-type inequalities for primes Amer Math Monthly, 89 (98), n, p 6-9 6

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