Leçon 10 Les suites réelles

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1 Leçon 1 Les suites réelles Voici quelques suites de nombres a) 1 5,5 1 14,5 19 etc. b) etc. c) etc. Pour décrire ces suites, nous leur donnons des noms : (u n ) ou (v n ) ou encore (w n ), n est un indice qui désigne le rang du terme, par exemple, pour a) si on prend n N (ensemble des entiers naturels), nous dirons : u = 1 (C est le premier terme souvent la valeur initiale.) u 1 = 5,5 (C est le terme de rang 1 mais attention ici, en fait le deuxième terme!) u 2 = 1 (C est le terme de rang 2, en fait le troisième terme de la suite.) etc. Il y a deux façons de décrire une suite On nous donne la fonction qui permet de fabriquer ces termes : u n = f (n), n N. exemple : u n = n² n N, cela donne ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 etc. exemple : v n = n n N, cela donne ; 1 ; 2 ; 3 ; 2 etc. Nous avons le premier terme et une relation permettant de passer d un terme au suivant. Cette définition s appelle définition par récurrence. Exemple : u = et u n+1 = u n + 1 pour tout n entier nous donne ;1 ;2 ;3 ;4 etc. Etudions les trois exemples donnés au début et trouvons les deux façons de les définir. Pour l exemple a), appelons cette suite (u n ) n N. Nous remarquons que l on passe d un terme à l autre en ajoutant 4,5. La définition par récurrence sera : u = 1 u n+1 = u n + 4,5 lorsque n varie dans N. n = donnera u +1 = u + 4,5 = 1 + 4,5 = 5,5 soit u 1 = 5,5. n = 1 donnera u 1+1 = u 1 + 4,5 = 5,5 + 4,5 = 1 ; u 2 = 1 etc. Si nous voulons donner la définition fonctionnelle, nous pouvons dire qu à partir du premier terme, nous ajoutons n fois 4,5 pour obtenir u n. u n = 1 + 4,5n avec n N. Pour l exemple b), appelons cette suite (v n ) n N. Nous remarquons que l on a passe d un terme à l autre en multipliant par 3. La définition par récurrence sera : v = 1 v n+1 = 3v n avec n N. Pour la définition fonctionnelle, utilisons les puissances de 3 : v n = 3 n n N.

2 Pour le 3 ième exemple, c est un plus difficile. Appelons cette suite (w n ) n N, nous aurons : w = 1 w n+1 = 1w n + 5 avec n N. Pour la définition fonctionnelle, nous aurons w n = n 9 9 n N. La démonstration de cette formule n est pas au programme de la classe mais vérifions qu elle fonctionne correctement. w = = 14 5 = 1 ; w1 = = = = 15 etc Ces suites vont nous permettre d étudier des modèles de croissance. La croissance linéaire c est-à-dire régulière dans l exemple a). La croissance exponentielle, celle de l exemple b). Ces deux modèles de croissance se retrouvent autour de nous, par exemple dans une épidémie, on a une croissance exponentielle ; de même, l action d un médicament sur un microbe. Par contre, si des salariés signent un contrat de travail dans lequel ils ont une prime fixe chaque année pendant n années, on a une croissance du salaire linéaire. (S n+1 = S n + p, p étant la prime.) Définition Une suite (u n ) n N est arithmétique si et seulement si u n+1 = u n + r, le réel u étant donné comme le premier terme. Le réel r s appelle la raison de la suite. Pour tout n N, u n peut se calculer directement en faisant u n = u + nr. Croissance ou décroissance sont alors régulières car nous ajoutons ou nous enlevons toujours la même quantité. En fait, si nous observons la formule u n = u + nr, elle ressemble à y = b + ax que nous connaissons bien et qui, dans les fonctions, caractérise les fonctions affines qui ont comme représentations des droites. Définition Une suite (v n ) n N est géométrique si et seulement si v n+1 = qv n,le réel v, premier terme étant donné. Le réel q s appelle aussi la raison de la suite, q R *. Pour tout n N, v n peut se calculer directement en faisant v n = v (q) n. Croissance ou décroissance sont alors exponentielles, c est-à-dire soit elle s accélère de plus en plus (On multiplie par exemple par 3 à chaque fois, 5 ; 15 ; 45 ; 135 etc.) soit elle diminue de moins en moins vite (On multiplie par exemple par,2 à chaque fois, 5 ; 1 ; 2 ;,4 etc.) Remarque : si la suite commence à n = 1 c est-à-dire n N * alors les formules directes changent, il faut bien lire les consignes. Suite arithmétique (n N * ), u n = u 1 + (n 1)r. Suite géométrique (n N * ), v n = v 1 (q) n 1.

3 Pour les suites géométriques, la raison q est en fait ce que nous avons appelé le facteur multiplicateur au début de ce cours, quand nous avons donné la formule des augmentations et celle des diminutions. En effet, si un prix augmente pendant 1 ans par exemple de 2% par an, on a une suite de prix pendant dix ans qui est géométrique. P est donné, P 1 = P (1 +,2) = 1,2 P, P 2 = P 1 (1 +,2) = 1,2 P 1 soit P 2 = 1,2(1,2 P ) = P (1,2) 2 etc. Nous retrouvons bien la formule générale P n = P (1,2) n. 1,2 est le facteur multiplicateur et la raison de cette suite qui est définie pour n variant de à 1. Nous avons bien une croissance exponentielle, prenons P = 12, nous aurons P 1 =122,4 (augmentation 2,4 ) puis P 2 =124,848 (augmentation 2,848 ) etc. Dans les mathématiques financières, il y a un cas célèbre de suite géométrique. Nous plaçons une somme C à la banque sur un livret à 2,5% par an. Nous aurons : C 1 = C (1 +,25) = 1,25 C C2 = C 1 (1 +,25) = 1,25 C 1 = 1,25 (1,25C ) = (1,25) 2 C. Etc.. Ceci nous donne la formule permettant de calculer la valeur d un capital au bout de n années, dite formule des intérêts composés. C n = C t 1 + n N 1 n C étant le capital déposé au départ, et t% le taux offert par la banque. La plupart du temps, dans la réalité, les intérêts sont calculés par quinzaine avec un taux de quinzaine et intégrés donc au capital.

4 Lycée Elève : Classe : Fiche n 21 Les suites Première STG Exercice 1 Deux enfants décident de faire chacun une tirelire. Le premier dépose le premier jour 15 dans sa tirelire et décide de mettre,1 par jour dans cette tirelire. Le deuxième ouvre un livret à la banque en déposant aussi 15, le taux journalier est de,68% environ. Caractériser ces deux placements et calculer la somme obtenue dans les deux cas au bout d un an (1 an commercial = 36 jours). Exercice 2 Un virus est apparu en Afrique, il y a 12 personnes contaminées au départ. Chaque jour, on considère qu une personne contamine 4 autres personnes en effet le virus se transmet par contact des mains. a) On appelle (a n ) la suite donnant le nombre de personnes contaminées. On demande de calculer a 1, a 2 et a 3. b) Donner la formule générale donnant a n en fonction de n et caractériser cette suite. c) Représenter graphiquement pour n {,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. d) Au bout du dixième jour, on arrive à stopper la progression du virus et on a un vaccin qui permet de diviser par 2 le nombre de personnes malades par jour. On appelle (bn) la suite donnant ce qui se passe pendant les vingt jours suivants, on pose b = a 9. Donner b n en fonction de n et calculer b 5 puis b 1.A-t-on complètement guéri tous les malades au bout de vingt jours? e) Représenter (b n ) sur le même graphique que (a n ) en décalant les indices ( n = 9 pour placer b, puis n = 14 pour placer b 5 etc.) Exercice 3 a) Deux personnes A et B comparent leurs courbes de poids en kg jour par jour. Caractériser ces deux évolutions. (On posera u = v = 7 ) b) Calculer u 3 et v 3 c) Représenter graphiquement ces deux évolutions et chercher en vous aidant du graphique et du calcul à quel moment la personne B dépassera la personne A si les deux évolutions persistent de la même manière pendant 91 jours n A (u n ) B (v n ) ,2 7, ,4 7, , ,6 7, , , ,985 (en abscisses 1 carreau pour 1 et en ordonnées 1 carreau pour 1 kg et on prendra 7 comme origine des ordonnées).

5 Exercice 4 Une personne perd 5% de ses globules blancs. On appelle (a n ) n N, la suite donnant le nombre de ses globules. Au départ, elle avait 6,5 millions de globules blancs par millilitre de sang. a) Calculer a 1 et a 2 (Calculs à,1 millions prés) b) Caractériser cette suite. c) Représenter là graphiquement (n variant de à 13). d) Au quatorzième jour, on trouve un traitement qui stoppe net la perte de globules blancs et qui apporte au contraire,2 millions de globules à ce patient par jour. On appelle alors (b n ) la suite qui donnera à partir du quatorzième jour, le nombre de ses globules. On posera b =a 13. Que peut-on dire de la suite (b n ). Donner b n en fonction de n et représenter cette suite sur le même graphique que celui contenant (a n ). (Pour placer b, on utilisera n = 13, puis b 1, n = 14 etc.) En utilisant ce graphique, indiquer le nombre de jours nécessaires à ce malade pour retrouver le nombre de globules qu il avait au départ. Exercice 5 Une balle est lancée vers le sol d une hauteur de 2 mètres. On note la hauteur des rebonds successifs et on obtient le tableau ci-dessous (n nombre de rebonds et H la hauteur en mètre). n H (en m) 2 1 1,5 2 1,125 3,844 On appelle (h n ) n(n, la suite des hauteurs. a) Caractériser cette suite. b) Représenter là graphiquement c) On sait qu une balle arrête de rebondir lorsque la hauteur du rebond est inférieure au diamètre de la balle (ici 16 cm). Déterminer le nombre de rebonds de cette balle.

6 Correction Fiche 21 Exercice 1 Enfant 1, c est une suite arithmétique croissante de raison r =,1. Appelons la (u n ) n N. Nous aurons u = 15, le dépôt initial et pour décrire la suite deux façons : u n+1 = u n +,1 ou u n = u + nr = 15 + n(,1) = 15 +,1n. Pour les suites arithmétiques, si la raison est positive, la suite est croissante et si la raison est négative, la suite est décroissante.,68 Enfant 2, c est une suite géométrique, raison q = 1 + =1,68. 1 Appelons la (v n ) n N. Nous aurons v = 15 et aussi deux façons de décrire cette suite : v n+1 = 1,68 v n ou v n = v (q) n = 15(1,68) n. Pour les suites géométriques, nous avons des suites croissantes (par exemple u > et q > 1), des suites décroissantes (par exemple u > et < q < 1) ; mais il existe aussi des suites alternées (si nous prenons q < a n = 5 ( 2) n, n N donne 5 ; 1 ; 2 ; 4 etc. Faisons un tableau de valeurs pour observer ce qui se passe. n u n v n ,1 15,12 etc ,3 15,363 etc ,2344 etc ,6 153,7172 Ces deux suites augmentent très peu! V n représente un placement à la caisse d Epargne à 2,5% l an, en effet 15 1,25 = 153,75. Si on ne fait pas de versement supplémentaire, c est dérisoire! Exercice 2 a) Nous avons a = 12 personnes, puis a 1 = 12 4 = 48 personnes. a 2 = 48 4 = 192 personnes; a 3 = = 768 personnes. b) Nous avons une suite géométrique qui augmente très vite et la formule permettant de décrire cette épidémie sera : a n = a (q) n = 12 (4) n. Elle est croissante et c est un exemple de croissance exponentielle. c) Représentation graphique. Nous allons faire un tableau de valeurs, nous pouvons utiliser Excel puis tracer la courbe avec l assistant graphique.

7 a n n Nous entrons et 12 puis dans A3 :=A2 + 1 puis recopie vers le bas et dans B3 : =B2*4. Nous voyons bien ici ce qu est une croissance exponentielle, c est assez terrifiant! La fonction dont la représentation serait obtenue en joignant les points est une fonction exponentielle que l on étudie dans les classes scientifique f(x) = 12 (4) x avec cette fois x R. Il est important de remarquer que la représentation d une suite est constituée par des points d) b = personnes, b 1 = ,5 = personnes. C est aussi une suite géométrique de raison q = 2 1 =,5. Elle est décroissante et b n = (,5) n n entier entre et 2. b 5 = (,5) 5 = personnes. b 1 = (,5) 1 = 3 72 personnes. Le vingtième jour sera en fait n = 19 pour la suite b car correspond au premier jour du traitement. b 19 = (,5) 19 = 6 personnes. Tout le monde est presque guéri. e) Représentation graphique, complétons le tableau dans Excel, nous obtenons :

8 Nous entrons dans B1 : = B9*,5 puis recopie jusqu'à 28 (9 +19). Ajoutons ces données au graphique, nous aurons : Exercice 3 a) Pour A, nous avons une suite arithmétique croissante de raison r =,2 kg, u n = u + nr = 7 + n(,2) = 7 +,2n. (ou u n+1 = u n +,2) Pour B, nous avons une suite géométrique croissante en effet : 7,196 = 1,28 (en fait une augmentation de,28%). 7 7, ,28 (C est le même facteur multiplicatif, q = 1,28). 7,196 v n = v (q) n = 7 (1,28) n (ou v n+1 = 1,28 v n ). b) u 3 = 7 +,2(3) = 76 kg et v 3 = 7 (1,28) 3 76,125 kg. c) Pour la représentation graphique prenons quelques valeurs. n u n v n 7 71,985 74,26 76,125

9 B en clair et A en dessous de B Les deux courbes sont très proches l une de l autre. B dépassera A à environ n = 16 donc au cours du 15 ième jour en effet : Pour n = 15, u 15 = 73 kg et v 15 = 72,988 kg. Pour n = 16, u 16 = 73,2 kg et v 16 = 73,23 kg. Exercice 4 a) Nous prenons (a n ) n N. Nous avons a = 6,5 (en millions par ml). a 1 = 5 6,5 1 = 6,5,95 = 6,175 6,2 (formule des diminutions) 1 5 a 2 = 6,175 1 = 6,175,95 = 5, ,9. 1 b) Nous avons une suite géométrique décroissante de raison q =,95. a n = 6,5 (,95) n pour tout n de N. c) Nous pouvons calculer pour le quatorzième jour (n = 13) et le nombre des globules sera de : a 13 = 6,5 (,95) 13 3,3 millions. 3,3 6,5 Cherchons la diminution en %,, 492 soit environ une baisse de 5%. 6,5 d) Voir à la fin pour le graphique complet. e) (b n ) est une suite arithmétique croissante car chaque jour, on a,2 millions de globules en plus. b = 3,3 ; b 1 = 3,3 +,2 = 3,5 etc. et donc b n = 3,3 +,2n. Par exemple calculons b 5 = 3,3 +,2(5) = 4,3 millions. Sur le graphique, au-delà de n = 13, les points seront alignés (augmentation régulière de,2). Pour n = 14, on prendra b 1 puis n = 15, b 2 etc.

10 y = 6, Pour déterminer le nombre de jours nécessaire pour retrouver 6,5, nous pouvons utiliser le graphique, en traçant y = 6,5, cela nous donne pour n la valeur 29. En fait, il s agit du seizième jour de traitement ( = 16). Vérifions, 3,3 +,2n 6,5,2n 6,5 3,3 soit n 16. Exercice 5 a) Il s agit d une suite géométrique car nous avons toujours le même facteur multiplicateur. h h 1 h h 2 1 1,5 = =,75 (en fait une diminution de la hauteur d un quart). 2 1,125 h 3,844 = =,75 et =, 75. La raison est,75. 1,5 h 1,125 Cette suite sera évidemment une suite décroissante. b) h n = h (q) n = 2 (,75) n. c) Représentation graphique. 2 2,5 2 1,5 1, Il faut chercher à quel moment la hauteur atteinte sera inférieure à,16 m. Nous ne savons pas faire cette inéquation dans cette classe. 2 (,75) n <,16. Nous pouvons procéder par tâtonnements en utilisant le graphique qui montre que la valeur cherchée est au voisinage de 1. Si n = 8, h 8 = 2 (,75) 8,2 m Si n = 9, h 9 = 2 (,75) 9,15 m. c est ici que la balle roule.

11 En TP, nous pouvons représenter grâce à Excel, des suites arithmétiques (croissante et décroissante) et des suites géométriques (croissante, décroissante et alternées). A B C D E F 1 n a n b n c n d n e n , ,75 51, , ,19 32, ,78 26, , ,26 16, ,89 13, ,3 1,7 512 Pour a n, premier terme 5 dans B2, dans B3 : =$B$2+3*A3, Le $ évite que la case se déplace dans la recopie vers le bas ou plus simplement : = B2+3 Pour bn, premier terme 14 dans C2, dans C3 : =$C$2-1*A3 ou =C2 1 Pour c n, 2 dans D2, dans D3 : =$D$2*(1.5)^A3 ou =D2*1.5 etc a n = 5 + 3n b n = 14 - n c n = 2 (1,5) n d n = 1 (,8) n

12 6 e n = 5 (- 2) n

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