Produit scalaire de deux vecteurs de l espace. 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan

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1 Produit scalaire de deux vecteurs de l espace 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan 1.1 Définition Soit u et v deux vecteurs du plan. Si u = 0 ou v = 0, alors u v = 0 (Attention! On peut avoir u v = 0 dans d autres cas...) Si u 0 et v 0, u = AB, v = AC, H projeté orthogonal de C sur (AB), alors : u v = AB AH si AB et AH sont de même sens ; u v = AB AH si AB et AH sont de sens opposé ; u v = 0 si H = A, c est-à-dire si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires. Conséquences : Si u et v sont colinéaires, alors : u v = u v si u et v u v = u v si u et v u u = u 2, noté u 2 ; c est le carré scalaire du vecteur u. u v > 0 si u et v u v < 0 si u et v u v = 0 si u et v 1.2 Autres expressions du produit scalaire avec un cosinus Si u 0 et v 0, alors : avec des normes u v = u v = 1 2 ( u + v 2 u 2 v 2) ; u v = 1 2 Cette dernière égalité peut aussi s écrire : AB AC = 1 ( AB 2 + AC 2 BC 2). 2 ( u 2 + v 2 u v 2), dans un repère orthonormal Dans un repère orthonormal du plan, si les vecteurs u et v ont comme coordonnées respectives (x; y) et (x ; y ), alors : u v = 1

2 1.3 Propriétés u, v et w sont trois vecteurs du plan ; k est un nombre réel. v u = (k u) v = u ( v + w) = 2

3 Conséquences : «identités remarquables» ( u + v) 2 = u u v + v 2 ; ( u v) 2 = u 2 2 u v + v 2 ; ( u + v) ( u v) = u 2 v Orthogonalité u et v sont orthogonaux si et seulement si Remarques Le vecteur nul 0 est orthogonal à tout vecteur du plan. Si u 0 et v 0, u = AB, v = AC, u et v sont orthogonaux si et seulement si les droites (AB) et (AC) sont 1.5 Applications Théorème d Al-Kashi ABC est un triangle ; on note a = BC, b = AC, c = AB. Alors : a 2 = b 2 + c 2 2bc cos Â. Formule des sinus Mêmes notations que précédemment ; S est l aire du triangle ABC. a sin  = b sin B = c sin Ĉ = abc 2S. Théorème de la médiane A et B sont deux points du plan, I est le milieu du segment [AB]. Alors, pour tout point M du plan : MA 2 + MB 2 = 2MI AB2. 2 Applications : géométrie analytique dans le plan Dans tout ce paragraphe, le plan est muni d un repère orthonormal R = (O; i; j). 2.1 Vecteur normal à une droite Définition Soit D une droite du plan. On appelle vecteur normal à D tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de D, c est-à-dire tout vecteur directeur d une droite perpendiculaire à D Equation cartésienne Soit D une droite du plan et n(a; b) un vecteur normal à D. Alors D admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0. Réciproque Soit a, b et c trois réels tels que (a; b) (0; 0). L ensemble des points M(x; y) tels que ax + by + c = 0 est une droite D de vecteur normal n(a; b). 3

4 Théorème Soit A un point et n un vecteur non nul du plan. L ensemble des points M du plan tels que AM n = 0 est la droite passant par A et de vecteur normal n. 2.2 Distance d un point à une droite Soit D une droite d équation cartésienne ax + by + c = 0 et M(x 0 ; y 0 ) un point du plan. La distance du point M à la droite D est égale à : ax 0 + by 0 + c a2 + b Equation d un cercle défini par son centre et son rayon Soit C le cercle de centre Ω(a; b) et de rayon r. C a comme équation : défini par un diamètre Soit C le cercle de diamètre [AB]. C est l ensemble des points M du plan tels que 3 Produit scalaire de deux vecteurs de l espace 3.1 Définition Soit u et v deux vecteurs de l espace, u = AB, v = AC. Il existe au moins un plan P contenant les points A, B et C (ce plan est unique si et seulement si les points A, B et C ne sont pas alignés). Le produit scalaire des vecteurs u et v, noté u v, est égal au produit scalaire AB AC calculé dans le plan P. u et v sont orthogonaux si et seulement si u v = Propriétés Ce sont les mêmes que dans le plan (cf 1.3). 3.3 Expression dans un repère orthonormal R = (O; i; j; k) est un repère orthonormal de l espace. u et v sont deux vecteurs de coordonnées respectives (x; y; z) et (x ; y ; z ) dans ce repère. Alors : Conséquences Si u a comme coordonnées (x; y; z), alors : u v = xx + yy + zz. u = x 2 + y 2 + z 2. 4

5 Si A et B sont deux points de coordonnées respectives (x A ; y A ; z A ) et (x B ; y B ; z B ), alors : AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2. 4 Orthogonalité dans l espace 4.1 Orthogonalité de droites et de plans Deux droites Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs parallèles respectives passant par un point donné A (et donc coplanaires) sont perpendiculaires. Deux droites de l espace sont perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et coplanaires (c est-à-dire orthogonales et sécantes). Propriété Deux droites de l espace sont orthogonales si et seulement si un vecteur directeur de l une est orthogonal à un vecteur directeur de l autre Une droite et un plan Une droite D est orthogonale à un plan P si et seulement si elle est orthogonale à toute droite contenue dans le plan P. Condition suffisante La droite D est orthogonale (ou perpendiculaire) au plan P si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes contenues dans le plan P. Propriété 1 La droite D de vecteur directeur u est perpendiculaire au plan P si et seulement si il existe deux vecteurs i et j non colinéaires du plan P tels que u i = 0 et u j = 0. Propriété 2 Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles ; deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles Deux plans Deux plans P et P sont orthogonaux (ou perpendiculaires) si et seulement si il existe une droite D contenue dans P et orthogonale à P. 4.2 Projection orthogonale sur un plan Soit P un plan. Pour tout point M de l espace, on appelle projeté orthogonal de M sur P le point d intersection de P et de la droite perpendiculaire à P passant par M sur une droite Soit D une droite. Pour tout point M de l espace, on appelle projeté orthogonal de M sur D le point d intersection de D et du plan perpendiculaire à D passant par M. 5

6 4.3 Vecteur normal à un plan Soit P un plan. On appelle vecteur normal à P tout vecteur directeur d une droite perpendiculaire à P. Propriété 1 Soit A un point et n un vecteur non nul de l espace. L ensemble des points M de l espace tels que AM n = 0 est le plan passant par A et de vecteur normal n. Propriété 2 Soit P et P deux plans de vecteurs normaux respectifs n et n. P et P sont parallèles si et seulement si n et n sont colinéaires. P et P sont orthogonaux si et seulement si n n = Plan médiateur Soit A et B deux points de l espace, avec A B. Le plan médiateur du segment [AB] est le plan perpendiculaire à (AB) passant par le milieu de [AB]. Théorème Le plan médiateur du segment [AB] est l ensemble des points M de l espace tels que MA=MB, c est-à-dire l ensemble des points équidistants de A et de B. 5 Géométrie analytique dans l espace Dans tout ce paragraphe, le plan est muni d un repère orthonormal R = (O; i; j; k). 5.1 Equation cartésienne d un plan Soit P un plan de l espace et n(a; b; c) un vecteur normal à P. Alors P admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0. Réciproque Soit a, b, c et d quatre réels tels que (a; b; c) (0; 0; 0). L ensemble des points M(x; y; z) tels que ax + by + cz + d = 0 est un plan P de vecteur normal n(a; b; c). 5.2 Demi-espace Soit P un plan d équation cartésienne ax + by + cz + d = 0. L ensemble P 1 des points de coordonnées (x; y; z) telles que ax+by +cz +d > 0 (respectivement ax + by + cz + d 0) et l ensemble P 2 des points de coordonnées (x; y; z) telles que ax + by + cz + d < 0 (respectivement ax + by + cz + d 0) sont deux parties de l espace qui admettent P comme frontière commune, et appelées demi-espaces ouverts (respectivement demi-espaces fermés) de frontière P. 5.3 Distance d un point à un plan Soit P un plan d équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 et M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) un point de l espace. La distance du point M au plan P est égale à : ax 0 + by 0 + c 0 + d a2 + b 2 + c 2. 6

7 5.4 Equation d une sphère définie par son centre et son rayon Soit S la sphère de centre Ω(a; b; c) et de rayon r. S a comme équation : définie par un diamètre Soit S la sphère de diamètre [AB]. S est l ensemble des points M de l espace tels que 7

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