IV)Produit scalaire et angle

Transcription

1 ours I) Définition Produit scalaire Définition On considère deux points et distincts et un point du plan. On note H le projeté orthogonal du point sur la droite (). On appelle produit scalaire des vecteurs et le nombre réel noté et défini par : Si eth ont même sens : = H Si et H ont des sens contraires = H Si et sont confondus le produit scalaire est nul : 0 = 0 Schéma 1 W = H W = 0 2 W = H 2 H 1 1 H On considère quatre points distincts du plan,, et D. on note H et K les projetés orthogonaux respectifs des points et D sur la droite (). On a alors : D = HK H D K II)Lien entre produit scalaire et carré de la distance On a : = = 2 Dans la suite = pourra être noté 2 III)Produit scalaire et orthogonalité Définition Deux vecteurs u et v sont dits orthogonaux si et seulement si l une des affirmations ci-dessous est vérifiée : Leurs directions sont perpendiculaires lorsqu ils sont tous deux non nuls. L un au moins des deux vecteurs est nul Hervé Gurgey 1 21 janvier 2008

2 ours Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u v = 0 Démonstration du sens réciproque On considère deux vecteurs u et v tels que : u v = 0 1. Supposons que u et v soient tous les deux non nuls Soient, et tels que u = et v =. On note H le projeté orthogonal de sur (). On a par hypothèse u v = 0 si et seulement si H = 0 ou H = 0 si et seulement si H = 0 si et seulement si = 0 ou H = 0 si et seulement si H=0 car et sont distincts si et seulement si = H si et seulement si () perpendiculaire à () ( ar et sont distincts) si et seulement si les vecteurs u et v sont orthogonaux 2. Dés que l un des vecteurs u ou v est nul les vecteurs sont orthogonaux par définition. IV)Produit scalaire et angle 1. Une autre manière de calculer le produit scalaire Soient et deux vecteurs non nuls du plan. On a : s = cos( ) isocèle = = 7 = π 6 = équilatéral de côté 6 H milieu de [] = Hervé Gurgey 2 21 janvier 2008

3 ours =5 = 6 H=4 2. Et avec les angles orientés La fonction cosinus étant paire, on a : cos( ) = cos( ; ). Soient u et v deux vecteurs non nuls : On a : u v = u v cos( u; v) On a alors : u u = u u cos( u; u) = u 2 puisque : cos( u; u) = cos(0) = 1 s On considère deux vecteurs u et v tels que : (a) u = 5, v = 8 et( u; v) = 3π 4 calculer u v On considère deux vecteurs u et v tels que : u = 3, v = 8 et u v = 12 (b) Déterminer les mesures possibles de l angle ( u; v) V)s algébriques du produit scalaire 1. Le produit scalaire est commutatif on a : u v = v u En effet : cos( u; v) = cos( v; u) puisque la fonction cosinus est paire. 2. conséquence P our calculer le produit scalaire de deux vecteurs il est possible de projeter orthogonalement le premier vecteur sur le second ou le second sur le premier. insi, avec la configuration ci-dessous on a : K on a : = H ou : = = K H Hervé Gurgey 3 21 janvier 2008

4 ours 3. Produit scalaire et opération sur les vecteurs Quels que soient les vecteurs u et v du plan et pour tout nombre réel k on a : démonstration (k u) v = k u v et u (k v) = k u v 4. Distributivité admise Quels que soient les vecteurs u, v et w du plan on a : u ( v + w) = u v + u w et ( u + v) w = u w + v w 5. s On considère deux vecteurs u et v tels que u = 5, v = 8 et( u; v) = 3π 4. alculer (2 u v) (3 u + 2 v) 6. Identités remarquables On a : ( u + v) 2 = u u v + v 2 = u u v + v 2 ( u v) 2 = u 2 2 u v + v 2 = u 2 2 u v + v 2 ( u + v) ( u v) = u 2 v 2 = u 2 v 2 7. Dans la pratique On considère le triangle tel que : = 4 ; = 2 et = 3 Développer ( + ) 2, en déduire puis une valeur approchée en radian de la mesure de l angle Hervé Gurgey 4 21 janvier 2008

5 ours VI) Expression du produit scalaire dans une base orthonormée 1. Mise en place du calcul On considère une base orthonormée (O; i; j) On considère ensuite les vecteurs u et v de coordonnées respectives (x ; y ) et (x ; y ) On a : u v = (x i + y j) (x i + y vecj = Donc u v = 2. Expression du produit scalaire On considère une base orthonormée (O; i; j). On considère les vecteurs u(x; y) et v(x ; y ) dans cette base. On a alors u v = xx + yy 3. pplication Dans un repère orthonormé on considère les points (1 ;2) ; (-1 ;- 2 ) et (4 ; -1 ) alculer En déduire cos( ) puis une valeur approchée de à 1 degré près. On considère un carré EFGH de côté 1. On note I le milieu de [FG] ; On note R le repère (H; HG; HE) Déterminer les coordonnées de I. alculer EG EI alculer EG et EI. En déduire une valeur approchée à 1 degré près de l angle ÎEG H E F G I Hervé Gurgey 5 21 janvier 2008