Vecteurs et multiplications. Produit scalaire, longueur et orthogonalité Algèbre linéaire I MATH 1057 F. Produit scalaire (p. 375 dans David C.

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1 Vecters et mltiplications Prodit scalaire, longer et orthogonalité Algèbre linéaire I MATH 1057 F Jlien Dompierre Département de mathématiqes et d informatiqe Université Larentienne Sdbry, 15 février 011 Nom Notation Résltat Atre nom Page Mltiplication c Vecter 8 par n scalaire Prodit scalaire T v Scalaire Dot prodct 375 (Prodit interne) T v = v Prodit vectoriel v Vecter Cross prodct Prodit tensoriel v T Matrice v 117 (Prodit externe) Prodit scalaire (p. 178 dans Gareth Williams) Soient = ( 1,,..., n ) et v = (v 1, v,..., v n ), dex vecters de IR n. Le prodit scalaire de et v est noté v et est défini par v = 1 v 1 + v + + n v n. Le prodit scalaire assigne n nombre réel à chaqe pair de vecters de même dimension. Prodit scalaire (p. 375 dans David C. Lay) Si et v sont des vecters dans IR n, on pet considérer qe et v sont des matrices colonnes de taille n 1. Le vecter transposé T est ne matrice ligne de taille 1 n, et le prodit matricielle T v donne ne matrice de taille 1 1, q on écrit comme n simple nombre réel (n scalaire), sans crochets. Soient et v des vecters de IR n. Le nombre v 1 T v = [ ] v 1 n. = 1v 1 + v + + n v n v n est appelé le prodit scalaire, o le prodit interne de et v. Il est noté v (ce qi expliqe le nom dot prodct en anglais).

2 Propriétés d prodit scalaire (p. 376) La norme d n vecter (p. 376) Théorème (1) Soient, v et w des vecters dans IR n, et soit c n scalaire. Alors a. v = v b. ( + v) w = w + v w c. (c) v = c( v) = (cv) d. 0, et = 0 si et selement si = 0 Appliqées de façon répétée, les propriétés (b) et (c) condisent à la très tile règle sivante : (c c p p ) w = c 1 ( 1 w) + + c p ( p w) La norme eclidienne (o longer) d n vecter v = (v 1, v,..., v n ) dans IR n est le scalaire positif o nl v défini par v = v v = (v 1 ) + (v ) + + (v n ). Le carré de cette définition est sovent tilisé : v = v v. Qel qe soit le scalaire c, la norme de cv est égale à c fois la norme de v, ce qi s écrit cv = c v. Vecter nitaire (p. 377) Un vecter nitaire est n vecter dont la norme est 1. Si v est n vecter non nl, alors le vecter = 1 v v est n vecter nitaire dans la même direction qe v. Constrire = v/ v à partir de v de cette manière s appelle normer v. Distance entre dex points (p. 378) Soient a = (a 1, a,..., a n ) et b = (b 1, b,..., b n ), dex points dans IR n. La distance entre a et b, qe l on écrit d(a, b) (o dist(a, b)), est la norme d vecter a b, atrement dit, d(a, b) = a b. x b a x 1 b x b a a b d(a, b) = a b = (a b) (a b) = (a 1 b 1 ) + + (a n b n ). x 1

3 Propriétés de la norme et de la distance Propriétés de la norme et de la distance Propriétés de la norme 0 La longer d n vecter ne pet être négative. = 0 ssi = 0 La longer d n vecter est nlle si et selement si le vecter est nl. Propriétés de la distance d(a, b) = a b = 0, où = a b. La distance entre dex points a et b ne pet être négative. d(a, b) = 0 ssi a = b. La distance entre dex points a et b est nlle ssi les dex points coïncident. Propriétés de la norme c = c La longer de c est c fois la longer de. Propriétés de la distance d(a, b) = a b = ( 1) (b a) = 1 b a = b a = d(b, a). La distance entre a et b est la même qe la distance entre b et a. Les vecters orthogonax (p. 379) d(, v) = d(, v) (p. 379) Dex vecters et v de IR n sont orthogonax (l n à l atre) si v = 0. Note : Le vecter nl 0 est orthogonal à n importe qel vecter de IR n pisqe 0 v = 0 T v = 0 por tot v. A r M r B v v 0 v ( v) [d(, v)] = ( v) = + v définition, p. 378 = ( + v) ( + v) définition, p. 376 = ( + v) + v ( + v) théorème 1(b), p. 376 = ( + v) + ( + v) v théorème 1(a), p. 376 = + v + v + v v théorème 1(b), p. 376 = + v + v + v v théorème 1(a), p. 376 = + v + ( v) définition, p. 376 [d(, v)] = v définition, p. 378 = ( v) ( v) définition, p. 376 = ( v) v ( v) théorème 1(b), p. 376 = ( v) ( v) v théorème 1(a), p. 376 = v v + v v théorème 1(b), p. 376 = v v + v v théorème 1(a), p. 376 = + v ( v) définition, p. 376

4 d(, v) = d(, v) (p. 379) Le théorème de Pythagore (p. 380) On a donc qe si et selement si d(, v) = d(, v) Théorème () Soient et v des vecters dans IR n. v = 0 si et selement si + v = + v. + v + ( v) = + v ( v) si et selement si si et selement si ( v) = ( v) v = 0. + v = ( + v) ( + v) = + v + v v = + v + v Donc + v = + v si et selement si v = 0. Angle entre dex vecters (p. 381) Soient et v dex vecters non nls de IR n. Le cosins de l angle θ entre ces dex vecters est cos(θ) = v v v, 0 θ π. θ v Loi des cosins c = a + b ab cos(θ) v Angle entre dex vecters (p. 381) Démonstration (n = ). c = a + b ab cos(θ) v = + v v cos(θ) v cos(θ) = 1 ( + v v ) = 1 ( ( )) (1 + ) + (v1 + v ) ( 1 v 1 ) }{{} +( v ) = 1 ( v 1 + v ( 1 + v 1 1v v )) v = 1 v 1 + v = v

5 Inégalité de Cachy-Schwartz (p. 43) Inégalité trianglaire (p. 433) Théorème Si et v sont des vecters dans IR n alors v v. Ici, v signifie la valer absole de v. Por tot angle θ, on a 1 cos(θ) 1, soit cos(θ) 1. Donc v v 1 v v Théorème Soient et v des vecters de IR n. Alors + v + v + v = ( + v) ( + v) = + v + v v = + v + v + v + v + v + v (Cachy-Schwartz) = ( + v ) Propriétés de la norme et de la distance À retenir Propriété de la norme + v + v Inégalité trianglaire. Propriété de la distance d(a, b) = a b = a c + c b a c + c b = d(a, c) + d(c, b) Inégalité trianglaire. Prodit scalaire v Norme d n vecter =. Distance entre dex points. Dex vecters et v sont orthogonax ssi v = 0.