Méthodes Mathématiques pour la Physique I. Transformée de Fourier des Fonctions

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1 Licences de Mécanique et de Physique et Applications Université Paris-Sud Méthodes Mathématiques pour la Physique I Transformée de Fourier des Fonctions

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5 Table des matières 1 Transformation de Fourier au sens des fonctions Introduction Intégrale de Lebesgue et mesure Mesure de Lebesgue Intégrale de Lebesgue et fonctions sommables Transformation de Fourier dans L 1 () Propriétés Dérivation et transformée inverse Dérivation Transformée de Fourier Inverse Transformée de Fourier d une convolution de fonctions Propriété de la convolution Transformation de Fourier dans L 2 () Transformées de Fourier dans S() Transformée de Fourier de fonctions à plusieurs variables Application aux EDO

6 6 TABLE DES MATIÈES

7 Chapitre 1 Transformation de Fourier au sens des fonctions 1.1 Introduction Il s agit d une transformation fonctionnelle c est-à-dire qu on associe à une fonction f une autre fonction notée f ou f. L idée est venue d une généralisation de la représentation des fonctions périodiques par un développement sinusoïdal (en série de Fourier) à des fonctions non périodiques. On utilisera les notations suivantes : f T F f = T F [f] tranformée de Fourier de f. La transformée de Fourier, notée f (lorsqu elle est possible), est définie pour tout k, par f(k) = e 2πikx f(x) dx. (1.1) De même, on définit la transformée de Fourier conjugée f par f (k) = T F [f](k) = e +2πikx f(x) dx. emarque : l intégrale e±2πikx f(x) dx n existe pas toujours. Il se peut que, tout simplement, la fonction f(k) n existe pas ou qu elle ne soit pas définie pour toutes les valeurs de k. Par exemple, e±2πikx x 2 dx n est définie pour aucune valeur de k, f(x) = x 2 n admet pas de transformée de Fourier. La transformée inverse, exprime f(x), x, comme une somme ou une superposition linéaire de contributions en fréquences ou pulsations ou modes k : f(x) = e 2πikx f(k) dk. (1.2)

8 8 CHAPITE 1. TANSFOMATION DE FOUIE AU SENS DES FONCTIONS Cette écriture n est valable que sous certaines conditions : elle prendra son sens surtout pour des phénomènes physiques mettant en jeu des périodicités (spaciale et/ou temporelle) et plus généralement des temps et/ou longueur caractéristiques. La transformée de Fourier f(k) représente l amplitude de la sinusoïde de fréquence k dans f. Nous allons voir le rôle des transformations de Fourier dans certaines applications physiques, pour cela il faut avoir une idée des fonctions f souvent rencontrées. Dans les milieux continus, on a affaire à des densités de champs, de masse,..., de quantité de mouvement ou même d énergie, densité = quantité physique unité de volume. En électrostatique, on calcule souvent l énergie électrique totale à partir d une densité d énergie électromagnétique dans le vide : 1 I = 2 ε 0 E }{{} (x) 2 dx, champ électrostatique où I doit être finie, autrement dit, E(x) doit être une fonction de carré sommable. En mécanique quantique, on adopte l interprétation probabiliste pour décrire une particule par une fonction (d onde) qui obéit à l équation de Schrödinger. On associe à une particule une fonction d onde telle qu elle représente l amplitude de probabilité pour la particule d exister à la position x et à l instant t de sorte que ψ( x, t) 2 soit la densité de probabilité et pour cela ψ( x, t) doit être de carré sommable, ψ( x, t) 2 d 3 x = 1. 3 Tous les phénomènes de diffusion du rayonnement (lumière, rayons X,...) mais aussi des particules e, neutrons... grâce à la dualité onde-corspuscule de la mécanique quantique,..., reposent sur la transformation de Fourier. En traitement du signal : les circuits électroniques fonctionnent comme des opérateurs dont on ne connaît le spectre (c est à dire l ensemble des valeurs propres) que par transformation de Fourier. En réalité, le traitement du signal discret a permis le développement de la transformation de Fourier directe. La transformation de Fourier est limitée à une analyse globale en temps ou en pulsation (ω) ou en fréquence : (filtre linéaire). La transformation de Fourier à fenêtre sert pour le traitement de l information : ondelettes.

9 1.2. INTÉGALE DE LEBESGUE ET MESUE 9 Comme on l a souvent réalisé, les équations décrivant la physique sont très souvent des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles. Voici quelques exemples : φ(x) = ρ(x), pour l équation de Poisson ou l équation de continuité ; ε 0 C(x, t) 2 C(x, t) t ψ( x, t) i = 2 t 2m 2 U(x, t) x U(x, t) v 2 t 2 x 2 = 0, pour l équation de diffusion de lumière ; ψ( x, t) + V ( x)ψ( x, t), pour l équation de Schrödinger ; = 0, pour l équation de propagation des ondes ; etc.. Si les équations sont linéaires et à coefficients constants, la transformation de Fourier de ces équations nous ramène à des équations algébriques simples. Pour notre étude de transformation de Fourier au sens des fonctions, on se limitera aux fonctions de puissances p sommables (p = 1 sommables, p = 2 de carré sommable,...). Le terme sommable fait référence à la théorie de l intégration. Comme nous allons voir, la transformée de Fourier s appuie sur une intégration, un bref rappel sur la mesure et intégrale est donc nécessaire. Nous allons rappeler les définitions importantes de l intégration au sens de Lebesgue. 1.2 Intégrale de Lebesgue et mesure L intégrale de Lebesgue est une extension de l intégrale de iemann. Toute fonction intégrable au sens de iemann l est aussi au sens de Lebesgue (et le résultat de l intégration est strictement identique). L ensemble des fonctions intégrables au sens de Lebesgue est plus large que celui des fontions intégrables au sens de iemann. Il existe plusieurs manuels dédiés qui permettent d en savoir plus sur la théorie de l intégrale et de la mesure au sens de iemann. Les définitions qui suivent sont nécessaires pour définir de manière rigoureuse les intégrales qu on utilise dans ce cours Mesure de Lebesgue La mesure est une fonction notée généralement µ, définie sur un ensemble de parties d un domaine (qu on appelle tribu, dont les membres sont dits mesurables ) à valeur positive ou nulle et qui possède les propriétés suivantes : µ( ) = 0 ; Pour toute famille dénombrable (c est à dire indexée sur les entiers) d ensembles (deux à deux) disjoints appartenant à la tribu, on a µ ( na n ) = n µ(a n ). (1.3) Par conséquent, la mesure est une fonction positive et croissante (par rapport à l inclusion des ensembles).

10 10 CHAPITE 1. TANSFOMATION DE FOUIE AU SENS DES FONCTIONS Définition 1 : fonction mesurable Une fonction f : = {, + } est dite mesurable si quelque soit a, l ensemble des x tels que f(x) = a est mesuré (c est à dire que sa mesure existe). Définition 2 : l intégrale d une fonction étagée ou fonction escalier La fonction f escalier ou étagée est une succession de fonctions indicatrices (ou portes) Π i (x) définies chacune sur son domaine E i : f = i α i Π i (x), avec α i, et Π i (x) = { 1 si x Ei = [a i, b i ], 0 partout ailleurs. (1.4) Intégrale de Lebesgue et fonctions sommables Si une fonction f étagée est à valeur positive, on définit son intégrale par fdµ = α i µ(e i ). (1.5) i Soit une fonction g positive, on définit son intégrale sur un intervalle E par E { gdµ = sup } fdµ ; f fonction escalier et 0 f g, (1.6) c est à dire la borne supérieure de l ensemble des valeurs des intégrales des fonctions escalier majorées par la fonction g. Considérons maintenant une fonction g mesurable et E un ensemble mesurable de. On peut définir les fonctions (positives) g ± (x) par : g + = max(g, 0), et g = max( g, 0). (1.7) Définition 3 : soient g une fonction mesurable et E un ensemble mesurable de. On appelle intégrale au sens de Lebesgue de g sur E, E g dµ, la quantité : g(x)dx = g + (x)dx g (x)dx. (1.8) E E E (Autrement dit, si g est intégrable, l intégrale de Lebesgue de g sur E est donnée par E g+ (x)dx E g (x)dx.)

11 1.3. TANSFOMATION DE FOUIE DANS L 1 () 11 Définition 4. Soit f(x) une fonction définie dans et à valeurs dans C, on dit qu elle est p sommable si : f(x) p dx <. (1.9) On note L p () l espace des fonctions p sommables. Dans ce chapitre nous consacrons la première partie aux fonctions L 1 () sommables, c est à dire intégrables au sens de Lebesgues. Le problème étant que la transfomée de Fourier d une fonction de L 1 () n existe pas toujours, on étendra dans la deuxième partie la notion de transformée de Fourier aux fonctions de carré sommables, qui sont des éléments de L 2 (). On verra en particulier que toute fonction de carré sommable possède une transformée de Fourier également de carré sommable - on dira que la transformation de Fourier laisse L 2 () stable Transformation de Fourier dans L 1 () Définition 5. Soit f L 1 () (f est sommable). On appelle f(k) la transformation de Fourier de f, la fonction à valeurs dans C définie k par : T F [f] f(k) = e 2iπkx f(x) dx. (1.10) emarque : de la définition Eq. (1.10), on remarque immédiatement que la transformée de Fourier, f(k), si elle existe, est bornée : en effet, f(k) = e 2iπkx f(x) dx f(x) dx < car f L 1 (). (1.11) emarque (un peu de physique) : en général x représente une longueur, un temps,... et comme ( 2iπk x) (argument de l exponentielle) doit être sans dimension, par conséquent, k représente la variable conjuguée de x : impulsion, ou vecteur d onde, ou même une pulsation si x est un temps. 1. Un (sous-) espace vectoriel (F de) E est dit stable par un endomorphisme α quand α(f ) F, autrement dit, si x F, α(x) F. Dans ce cours l endomorphisme est la transformation de Fourier. L 1 () n est pas stable sous la transformation de Fourier alors que L 2 () l est.

12 12 CHAPITE 1. TANSFOMATION DE FOUIE AU SENS DES FONCTIONS Convention : En physique on utilise plutôt cette convention : f(k) = T F [f](k) = 1 2π }{{} f(x) e ikx dx. (1.12) convention emarque : la transformation de Fourier, si elle existe, converge vers 0 à l infini d autant plus vite que la fonction est régulière 2. Exemples * Considérons la fonction porte Π(x) définie par Π(x) = { 1 si x [a, b] 0 partout ailleurs, (1.13) Dans le traitement du signal, la fonction porte est définie sur l intervalle [ 1/2, 1/2] et a pour transformée de Fourier : * La fonction définie sur tout par a pour transformée de Fourier f(k) = sin(πx) πx. (1.14) f(x) = exp ( α x ), 2α f(k) = α 2 + 4π 2 k 2. On constate sur ces exemples que ces transformées de Fourier sont bornées, continues et convergent vers 0 quand k ± Propriétés Les propriété suivantes sont très facile à établir, rien qu on appliquant la définition Eq. (1.10) et en supposant que la transformée de Fourier existe pour une fonction f(x) définie dans. 1. Parité : la transformée de Fourier d une fonction paire (impaire) est paire (impaire), autrement dit, la parité se conserve lors d une transformation de Fourier, paire impaire f f paire impaire 2. Une fonction régulière est une fonction dérivable, sans points de singularité. Par exemple, une fonction monotone est une fonction régulière.

13 1.3. TANSFOMATION DE FOUIE DANS L 1 () Si f est réelle alors f(k) = f ( k) ( désigne la conjugaison complexe) ; de plus, si f(x) = f ( x) alors f(k) est réelle. 3. Linéarité : T F [f(x) + g(x)] = f(k) + g(k). (1.15) 4. Translation : une translation dans la variable x revient à une modulation de la transformée de Fourier : T F [f(x x 0 )] = e 2iπx 0k f(k). (1.16) 5. Modulation : une modulation de la fonction f(x) revient à faire une translation dans la variable k de la fonction transformée de Fourier : [ ] T F e 2iπxk 0 f(x) = f(k k 0 ). (1.17) 6. Dilatation : très largement utilisée, T F [f(x/λ)] = λ f(λk). (1.18) Par conséquent, la transformation de Fourier d une fonction large est étroite et réciproquement. Ainsi, par exemple, en optique on observe que la tache de diffraction créée par un diaphragme est d autant plus grande que le rayon du diaphragme est petit. Théorème 1. (le plus important) : Lemme de iemann-lebesgue La transformation de Fourier d une fonction L 1 (), si elle existe, est bornée, continue et tend vers 0 à l infini. Démonstration : f(k) bornée : f(x)e 2iπxξ dx f(x) < e 2iπxξ dx = f(x) dx. De plus, f(x) sommable veut dire aussi que f(x) dx 0, finie, d où T F [f(x)] = f(k) est x ± bornée. f(k) continue : lim f(k + α) = α 0 = permutation de la limite et de l intégration justifiée par le théorème de la convergence dominée {}}{ lim f(x) α 0 e 2iπ(k+α)x dx f(x) e 2iπkx dx = T F [f(x)](k) = f(k).

14 14 CHAPITE 1. TANSFOMATION DE FOUIE AU SENS DES FONCTIONS Enfin pour montrer que f(k) 0 quand k ±, on approche f(x) par une fonction escalier g(x) (définie dans Eq. (1.13)) qui satisfait f(x) g(x) dx < ε, où ε est infinitésimal ; la fonction escalier étant une combinaison linéaire de fonctions portes du type de Eq. (1.13) translatées, dont leurs transformées de Fourier, Eq. (1.14), vérifient ζ(ξ) < ε pour ξ grand. En effet, T F [f(x)] = T F [f(x) g(x) + g(x)] = T F [f(x) g(x)] + T F [g(x)] (linéarité ) f(x) g(x) dx + ζ(ξ) ε + ζ(ξ) (où lim ξ ζ(ξ) = 0). Donc la transformée de Fourier d une fonction de L 1 () est bornée, continue et tend vers 0 quand k ±. 1.4 Dérivation et transformée inverse Dérivation On va voir que plus une fonction est dérivable, plus sa transformée de Fourier, si elle existe, décroît plus vite à l infini ; et réciproquement, plus une fonction décroît plus vite à l infini plus sa transformée de Fourier est dérivable. Théorème 2. Soit f L 1 (), de classe C 1 et dont la dérivée est également sommable (c est à dire que f (x) L 1 ()), alors la transformée de Fourier de la dérivée de f est donnée par : f (k) = 2iπk f(k) et donc k f(k) k 0. (1.19) Démonstration : pour montrer que f (k) = 2iπk f(k) : f (ξ) = T F [f (x)](ξ) = f (x) e 2iπxξ dx = e 2iπxξ f(x) + ( 2iπξ) f(x)e 2iπxξ dx (où on a intégré par partie : f (x)dx = dv et e 2iπxξ = U) = 0 (car f(x) 0 quand x ± ) + (2iπξ) f(ξ) = (2iπξ) f(ξ) = T F [f (x)].

15 1.4. DÉIVATION ET TANSFOMÉE INVESE 15 pour montrer que k f(k) k 0 : on applique le Lemme de iemann-lebesgue (théorème 1) à la fonction dérivée f : f (ξ) 0 ξ f(ξ) 0. ξ ± ξ ± Théorème 3. Si la fonction f(x) L 1 () (dont on suppose que sa transformée de Fourier est définie) est telle que xf(x) L 1 (), alors la dérivée de la transformée de Fourier de la fonction f est donnée par : d f dy (y) = T F [2iπxf(x)](y) et donc f C 1. (1.20) Démonstration : d f dy = d ( f(x) e 2iπyx dx ) = 2iπ dy = T F [ 2iπxf(x)] (y). xf(x) e 2iπxy dx d où f est de classe C 1. emarque : on généralise aisément ce théorème aux dérivées d ordre plus élevé. Ainsi on peut montrer que si une fonction f(x) L 1 () et si toutes ses dérivées jusqu à l ordre n (inclus) sont des fonctions de L 1 (), alors T F [ d n f dx n ] = (2iπξ) n T F [f(x)] (ξ), avec ξ n f(ξ) ξ 0. (1.21) Transformée de Fourier Inverse Comment trouver la fonction f(x) à partir de f(k) si f(x) L 1 (), autrement dit comment inverser? Théorème 4. Soit la fonction f(x) L 1 () telle que sa transformée de Fourier f(k) L 1 (). La Transformée de Fourier Inverse (TFI) est donnée par f(x) = e 2iπxy f(y)dy. (1.22)

16 16 CHAPITE 1. TANSFOMATION DE FOUIE AU SENS DES FONCTIONS emarque 1 : on ne peut le faire que si f et f sont toutes les deux L 1 () (c est à dire sommables). emarque 2 : sur l inversion dans L 1 (). Soit f(x) une fonction intégrable admettant une transformée de Fourier f(k), elle-même intégrable. On peut alors écrire que f(x) = T F I[ f(k)](x) en tout point x où la fonction f est continue. Cependant, si la fonction f adment une discontinuité, sa transformée de Fourier f(k) n est pas intégrable. Exercice : démontrer l encadré suivant, qui est en fait un Lemme qui suit le théorème 4) : Soient deux fonctions f et g, toutes deux intégrables et appartenant à L 1 () et telles que leurs transformées de Fourier sont elles aussi intégrables. Alors, les produits f g et g f sont également des fonctions intégrables et f(t)g(t)dt = g(t)f(t)dt. (1.23) 1.5 Transformée de Fourier d une convolution de fonctions Nous avons souvent à considéré des quantités physiques obtenues à partir de la convolutions de deux fonctions. Par exemple, le calcul classique en électromagnétisme du potentiel créé par une distribution de charge volumique ρ D ( r) contenue dans un volume D au point r donne : V (r) = = ρ D ( r ) r r d3 r V ( ) 1 r ρ D ( r), où ρ D = 0 partout sauf dans le domaine D. Cette expression peut être interprétée en électromagnétisme comme la réponse du milieu à la perturbation électrique localisée ρ D ( r). V (r) dans ce cas est le potentiel créé par une densité de charge ponctuelle. On va utiliser les transformées de Fourier (TF) de telles quantités et considérer le produit de convolution de deux fonctions f et g de L 1 ().

17 1.5. TANSFOMÉE DE FOUIE D UNE CONVOLUTION DE FONCTIONS 17 Définition 5. Soient f et g deux fonctions L 1 () (sommables). Leur produit de convolution noté f g est défini par (f g)(x) = f(x y)g(y)dy. (1.24) Exemple : on peut montrer (le faire) que la convolution de deux portes Π(x) identiques donnera, après intégration sur l une des variables, une fonction triangle Propriété de la convolution 1) Commutativité : f g = g f + f g = f(x y)g(y)dy = + f(x)g(x X)dX + = g(x X)f(X)dX = (g f)x CQFM. 2) Associativité : f (g h) = (f g) h f (g h) = f(x y)(g h)(y)dy = f(x y) = dz h(z) dy f(x y) g(y z) = dz h(z) dα f((x z) α)g(α) }{{} y z=α (f g)(x z) g(y z) h(z) dz dy dy=dα x y=x z α = dz(f g)(x z) h(z) = (f g) h CQFM. 3) Distributivité : f (ag + bh) = a(f g) + b(f h) pour a, b C, (très facile à vérifier).

18 18 CHAPITE 1. TANSFOMATION DE FOUIE AU SENS DES FONCTIONS Théorème 5. Soient deux fonctions f, g L 1 () admettant des transformées de Fourier f et g, f g est sommable et sa transformée de Fourier est le produit des deux transformées de Fourier de f et g : T F [f g] f g = f g. (1.25) Démonstration : T F f(x y)g(y)dy = dx e 2iπkx f(x y) g(y) dy, en posant x y = γ, alors, = dγ e 2iπγk f(γ) g(y) e 2iπky dy }{{}}{{} f(k) g(k) CQFM. emarque : Si f, g L 1 () : f g (produit normal) n appartient pas nécessairement à L 1 (). Il n est donc pas évident de définir (f g), c est pour cela qu on préfère exploiter le produit de convolution. emarque : le produit de convolution intervient souvent dans l analyse des systèmes linéaires et homogènes si on peut définir un opérateur L : L : e(x) r(x) = L(e) application de la contrainte e(x) sur le système réponse du système à l excitation e(x) tel que { pour α, β ; L (αe1 (x) + βe 2 (x)) = αl (e 1 (x)) + βl (e 2 (x)), pour x 1, x 2 donnés ; L (e(x 1 x 2 )) = r(x 1 x 2 ). La convolution permet de construire cet opérateur linéaire et homogène. On montre que si la réponse du système s écrit sous la forme r(x) L(e) = (a e)(x), où a(x) est une fonction appartenant à L 1 (), l opérateur L(e) est bien linéaire et homogène (c est à dire qu il vérifie les propriété ci-dessus!). Toute l information de notre problème physique est contenue dans a(x), fonction à déterminer.

19 1.6. TANSFOMATION DE FOUIE DANS L 2 () 19 ésumé : entrée système linéaire homogène sortie e(x) a(x) r(x) = (a e)(x) On calcule r(x) = (a e)(x) grâce à la transformée de Fourier et au théorème 1. e(x) r(x) = (a e)(x), ẽ(k) r(k) = ã(k) ẽ(k). Dans l espace des k, une entrée est donc atténuée ou amplifiée par ã(k). Le système est comme un filtre différentiel et la fonction a est appelée la fonction transfert du filtre. 1.6 Transformation de Fourier dans L 2 () Il existe des fonctions appartenant à L 2 () sans pour autant qu elles soient simplement sommables - autrement dit des fonctions non intégrables mais dont le (module au) carré l est. Exemple : la fonction f(x) = sinc(x) = sin x x, prolongée par continuité telle que sinc(0) = 1, n est pas une fonction de L 1 () mais de L 2 (). Plancherel a étendu les résultats de la transformée de Fourier des fonctions L 1 () à celles L 2 (). On a vu dans la section précédente que le produit de deux fonction de L 1 () n appartenait pas forcément L 1 () et qu on ne peut pas définir la transformée de Fourier d un tel produit. Ceci est cependant possible dans L 2 () grâce au théorème suivant. Théorème 6. Soient deux fonctions f, g L 2 () admettant des transformées de Fourier et telles que leur produit de convolution existe et est sommable. Alors la transformée de Fourier de leur produit est le produit de convolution des deux transformées de Fourier de f et g : f g = f g. (1.26) Démonstration : Posons F = T F [f] = f et G = T F [g] = g. F, G sont également des fonctions de L 2 () - on peut le montrer en prenant leur module au carré F 2 = f 2 = f(x)e 2iπxξ 2 dx f(x) < e 2iπxξ 2 dx = f(x) 2 dx. Faisons à présent le produit de convolution de F et G : F G et cherchons sa transformée de Fourier. On peut écrire que T F [F G] = F G (grâce au théorème 5). Si on prend à présent la transformée de Fourier inverse de cette relation (voir théorème 4), on obtient T F I[ F G] = T F I[T F [F G]] G F = f g, CQFM.

20 20 CHAPITE 1. TANSFOMATION DE FOUIE AU SENS DES FONCTIONS Théorème 7. Soient deux fonctions f, g L 2 () et f et g leurs transformées de Fourier respectives. Soient f et g les fonctions conjuguées complexes de f et g. Alors, f(x) g (x) dx = f(ξ) g (ξ) dξ. (1.27) Cette dernière équation constitue l égalité ou la Formule de Parseval-Plancherel. Démonstration : Soit la fonction h = f g, sa transformée de Fourier h est donnée par h(k) = f g (d après le théorème 6) = f(x) g (x) e 2iπkx dx = f(k ) g (k k )dk. d où h(0) = f(x) g (x) dx fg (0) = f(k ) g ( k )dk. D après la définition de la transformée de Fourier, Eq. (1.1), g ( k) = g(k) = g (k), d où h(0) = f(x) g (x) dx = f(k) g (k) dk. Dans le cas particulier où f = g, la formule de Parseval-Plancherel devient f(x) 2 dx = f(ξ) 2 dξ. (1.28) Conséquence : on voit ainsi que si une fonction est de carré sommable, alors sa transformée de Fourier l est aussi 3 autrement dit, si f L 2 (), alors f L 2 (). On dit alors que L 2 () est stable par rapport à la transformation de Fourier. emarque : f peut représenter l amplitude d une onde ou d une déformation ou d une probabilité,... Grâce à l équation (1.28), on se rend compte que le calcul de la somme totale des carrées de ces amplitude peut être fait de manière équivalente dans les deux espaces, celui des x (l espace des positions, par exemple) et l espace des k (espace réciproque). 3. On retrouve que L 2 () est stable par rapport à la transformation de Fourier alors que L 1 () ne l est pas.

21 1.7. TANSFOMÉES DE FOUIE DANS S() Transformées de Fourier dans S() Définition 6. On appelle espace de Schwartz, noté S, l espace des fonction C qui sont à décroissance rapide ainsi que leurs dérivées. Cet espace désigne donc l espace des fonctions f indéfiniment dérivables à décroissance rapide qui vérifient n, p N, x n f (p) (x) M n,p, avec M n,p. (1.29) emarque : la condition de très forte décroissance (plus rapide que toute fonction x n, n N) fait que les fonctions de S() sont pratiquement semblables aux fonctions f de classe C à support borné. Le résultat le plus important sur les fonctions de S() est que si f S(), alors sa transformée de Fourier f S() et si n N, f (n) tend vers zéro dans S(), alors f (n) tend également vers zéro dans S(). Pour montrer cela, on utilise la propriété la plus importante des espaces S(). Théorème 8. Les fonctions de S() ainsi que toutes leurs dérivées d ordre n sont toutes bornées et intégrables sur. Démonstration : la démonstration de ce théorème est évidente dès lors qu on utilise la condition de décroissance rapide Eq. (1.29) sur la fonction ainsi que toutes ses dérivées puisque ces dernières appartiennent aussi à S(). Il s en suit que les dérivées d ordre n ( n N) de f sont toutes bornées et majorées par des fonctions intégrables, ce qui les rend donc elles-mêmes intégrables. Plusieurs conséquences intéressantes sont à tirer de ce théorème : La conséquence directe de ce théorème est que l espace S est en réalité inclus dans celui des fonction sommables : S() L 1 (). Par conséquent, tous les théorèmes, définitions et propriétés qui concernent les fonctions de L 1 () et leurs transformées de Fourier s appliquent aux fonctions de S(). De plus, la transformées de Fourier Inverse, qui n était possible pour une fonction f de L 1 () que si sa transformée de Fourier f était elle-même dans L 1 () (voir théorème 4.), devient possible sans condition pour une fonction de S(). De même, la formule de Parseval-Plancherel, valable dans L 2 () et non dans L 1 () (voir théorème 7.), devient valable pour les fonctions de S(). La transformée de Fourier d une fonction de S() appartient aussi à S(), on dira que la transformée de Fourier est une application bijective de S() dans lui même, autrement

22 22 CHAPITE 1. TANSFOMATION DE FOUIE AU SENS DES FONCTIONS dit S() est stable par rapport à la transformation de Fourier, tout comme l est l espace L 2 () (voir la conséquence du théorème 7.). Théorème 9. (résumé) 1. La transformée de Fourier d une fonction de S() est aussi une fonction de S(). 2. Par conséquent, toute fonction f de S() est la transformée de Fourier inverse d une fonction f : f(x) = T F I[ f] = f(k) e +2iπkx dk. (1.30) 3. Soient deux fonctions f, g S(), f et g leurs transformées de Fourier respectives, et f et g les fonctions conjuguées complexes de f et g, alors : f(x) g (x) dx = f(ξ) g (ξ) dξ. (1.31) 4. La transformée de Fourier conserve la norme dans S(), f(x) 2 dx = f(ξ) 2 dξ, si f S(). (1.32) 1.8 Transformée de Fourier de fonctions à plusieurs variables On généralise la transformation de Fourier pour des variables vectorielles. Si à la place de la variable x on a une variable r = (x 1, x 2,..., x n ) n et si on considère une fonction de ces n variables f( r) = f(x 1, x 2,..., x n ) sommable (f L 1 ()), alors sa transformée de Fourier est donnée par f( k) = n e 2iπ k r f( r) d r. (1.33) Cas de fonction à variables séparables, dans ce cas, la fonction du vecteur r s écrit comme f(x 1, x 2,..., x n ) = Π n i=1 f i(x i ). Si chacune des fonctions f i (x i ) est sommable dans, alors (comme e 2iπ r k = Π n i=1 e 2iπk ix i ), f( k) = Π n i=1 f i (k i ). Cas de fonction radiales, dans ce cas f( r) = f( r = f(r), où r désigne la distance à une origine. On montre que la transformée de Fourier d une fonction radiale est aussi radiale f( k) = f( k ) = f(k).

23 1.9. APPLICATION AUX EDO Application aux EDO La plus simple des applications concerne les équations différentielles linéaires à coefficients constants. En reprenant les conséquences des théorèmes 2 et 3, on se rend compte que dériver une fonction par rapport à x revient à multiplier sa transformée de Fourier par k (à une constante 2iπ près). La transformée de Fourier transforme donc une équation différentielle linéaire à coefficients constants en une équation algébrique. Soit une telle équation avec un second membre non nul, g(x), qui admet une transformée de Fourier g(k), d n f dx n + A dn 1 f df n 2 + B + + Kf = g(x). dxn 1 dxn 2 avec A, B,..., C des coefficients constants. On peut mettre cette équation sous la forme d n n 1 f dx n + c p f (p) = g(x). (1.34) p=0 Pour trouver la solution homogène, on doit résoudre le polynôme caractéristique d ordre n : n 1 P (λ) = λ n + c p λ p = 0. (1.35) p=0 Si on prend la transformée de Fourier de l équation différentielle Eq. (1.34), on obtient une équation algébrique simple, ce qui donne n 1 g(k) = (2iπk) n f + c p (2iπk) p f = P (2iπk) f(k), (1.36) p=0 f(k) = g(k) P (2iπk). (1.37) Si f(k) est sommable, on peut envisager de faire une transformée de Fourier inverse pour déterminer f(x) : f(x) = g(k) P (2iπk) e+2iπkx dk. (1.38)