Physique. Mathématiques II. Preparé par Dr. Issakha YOUM. African Virtual university Université Virtuelle Africaine Universidade Virtual Africana

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1 Physique Mathématiques II Pepaé pa D. Issakha YOUM Afican Vitual univesity Univesité Vituelle Aficaine Univesidade Vitual Aficana

2 Univesité Vituelle Aficaine Note Ce document est publié sous une licence Ceative Commons 2.5 de patenité (la moins estictive). Attibution License (abbeviated cc-by ), Vesion 2.5.

3 Univesité Vituelle Aficaine Table des matièes I. Physique Mathematique II 3 II. Pé equis 3 III. Temps 3 IV. Matéiels didactiques 3 V. Justification 3 VI. Contenu Apeçu généal Contnu Repésentation gaphique 5 VII. Objectifs Généaux 6 VIII. Objectifs spécifiques 6 IX. Activités d enseignement et d appentissage 9 X. Activités d appentissage 21 XI. Concepts-clé (glossaie) 68 XII. Lectues obligatoies 69 XIII. Liens utiles 72 XIV. Synthèse du module 86 XV. Évaluation sommative 87 XVI. Réféences bibliogaphiques 114 XVII. Auteus du module 116 XVIII. Fiche d'évaluation 117

4 Univesité Vituelle Aficaine I. Physique Mathematique II Pa D. Issakha Youm, Pofesseu titulaie II. Pé equis Pou suive ce module, l appenant(e) doit maitise les notions suivantes : éléments de calcul vectoiel (somme vectoielle, multiplication d un vecteu pa un scalaie, poduit scalaie de deux vecteus), éléments d analyse et de séies, déivée patielle, déivée d une fonction implicite, difféentielle totale et exacte. III. Temps La duée du module est de 120 heues épaties comme suit Activité 1 (20 heues) : Algèbe des vecteus dans R 3. Activité 2 (30heues) : Les fonctions vectoielles d une et de deux vaiables. Acivité 3 (30 heues) : Les champs physiques. Activité 4 (40 heues): Les intégales spatiales - Application en physique. IV. Matéiel En plus du matéiel habituel nécessaie pou note un cous et effectue un dessin géométique (cahie, stylos, cayon, compas, équee, appoteu, ègle ) ; l apenant (e) aua besoin d un odinateu avec connexion Intenet et d une calculatice gaphique V. Justification du module La physique a besoin dans la fomulation des lois de la natue d outils mathématiques. Mais un constat s impose :l outil mathématique est souvent en etad pa appot à son utilisation en physique. L appentissage du cous de Physique mathématique II est impotant pou l enseignement de la Physique, en ce sens qu il vous founit les égles de calcul nécessaies pou comble apidement les lacunes éventuelles des appenant(e)s sans se éfée au cous de mathématique.

5 Univesité Vituelle Aficaine VI. Contenu 6.1 Apeçu généal Ce module de Physique Mathématique II, pousuit et polonge celui de Physique Mathématique I en développant les outils du calcul difféentiel et intégal pou les fonctions (scalaies ou vectoielles) de plusieus vaiables. Il enfeme des infomations su les vecteus, la géomètie de l espace, les fonctions vectoielles, les coubes, les sufaces, les déivées patielles, les intégales mutiples et quelques applications dont les calculs d aie et de volume ; Il taite aussi les intégales cuvilignes et de suface ainsi que les thèoèmes de Geen, de Stokes et de Gauss. Enfin il se temine pa une mise en contexte su l équation des ondes et la popation des ondes électomagnétiques.cette denièe patie Application en physique est un ensemble d infomations pemettant à l appenant(e) de connaîte quelques applications des mathématiques en physique. 6.2 Contenu/contou Geoge Stokes ( ) Voici les difféentes paties du module Les vecteus géométiques et les vecteus de R 3 : epèe catésien d un espace à tois dimensions, vecteu position d un point. Poduits scalaie, vectoiel et mixte :popiétés et intepétations géométique et physique. Les fonctions vectoielles d une et de deux vaiables : déivée et égles de déivation, intégale définie et intégation vectoielle ; coubes paamétées, vecteu tangent, longueu d ac, coubue, tosion et epèe de Seet-Fénet ; sufaces paamétées, plan tangent à une suface ; application cinématique : vecteus vitesse et accéléation. Les champs physiques : champs scalaie et vectoiel, coubes et sufaces de niveau, vecteu gadient et opéateus difféentiels : divegence, otationnel et laplacien. Les intégales spatiales : les intégales cuvilignes, les intégales de suface et les intégales de volume ; théoèmes de Geen,de Stokes et de Gauss. Application en physique : équation des ondes, popagation des ondes électomagnétiques dans le vide et dans les milieux matéiels.

6 Univesité Vituelle Aficaine Johann Pete Gustav Lejeune Diichlet ( ) 6.3 Plan gaphique (peut ête tacé manuellement) Algèbe des vecteus dans R 3 Les Fonctions Vectoielles Les champs physiques Les intégales spatiales Application en Physique

7 Univesité Vituelle Aficaine VII. Objectifs Généaux Compende les notions de base de l algèbe des vecteus Compende les outils du calcul difféentiel et intégal appliqués aux fonctions (scalaies ou vectoiels) de plusieus vaiables, Maitise la déivation vectoielle, Maitise le gadient et les autes opéateus d analyse vectoielle, en insistant su les intepétations géométiques et physiques. VIII. Objectifs spécifiques d appentissage (Objectifs d appentissage) Unité 1. Algèbe des vecteus dans R 3 Objectif(s) d appentissage Ête capable de Défini le module, le suppot et la nome d un vecteu. Calcule la somme de deux vecteus. Rappele les elations ente espace vectoiel et l espace physique et ses vecteus. Repoduie la définition du vecteu position ou ayon-vecteu. Détemine les composantes d un vecteu et les coodonnées d un point. Détemine le vecteu unitaie dans une diection donnée. Calcule un poduit scalaie, un poduit vectoiel, un poduit mixte Donne la fomule du double poduit vectoiel. Donne l intepétation géométique du poduit scalaie, du poduit vectoiel et du poduit mixte de tois vecteus.

8 Univesité Vituelle Aficaine 2. Les fonctions vectoielles 3. Les champs physiques Rappele les définitions des fonctions à valeus vectoielles (à une ou deux vaiables) et les extensions des notions de limite et de continuité à ces fonctions. Calcule les déivées et les intégales des fonctions vectoielles. Applique les égles de déivation des fonctions vectoielles, en paiculie les fomules de déivation des poduits de fonctions vectoielles d une seule vaiable. Intepéte géométiquement les notions de déivation et d intégation des fonctions vectoielles. Associe une intepétation géométique aux fonctions vectoielles à taves les notions de coubes et sufaces paamétées. Rappele la définition du vecteu nomal à une suface. Rappele la définition de la coubue, et de la tosion d une coube spatiale. Calcule les vecteus vitesse et accéléation, la tajectoie dans le epèe de Fénet Rappele les définitions d un champ scalaie et d un champ vectoiel. Rappele les définitions des coubes et des sufaces de niveau, des lignes de champ. Détemine les équations définissant ces notions et les ésoude dans des cas simples. Rappele la définition du gadient d un champ scalaie. Calcule le gadient d une fonction scalaie; Rappele les définitions de la divegence et du otationnel d un champ vectoiel. Calcule la divegence et le otationnel d un champ vectoiel Rappele la définition de l opéateu vectoiel de déivation «nabla». Détemine les conditions pou qu un champ de vecteu soit un champ de gadient.

9 Univesité Vituelle Aficaine 4. Les intégales spatiales Calcule une intégale cuviligne pa paamétage de la coube d intégation. Calcule la ciculation d un champ vectoiel. Donne la condition intégale pou qu un champ de vecteus soit un champ de gadient et sa mise en œuve. Détemine la fonction dont déive un champ de gadient à pati de la ciculation de ce champ. Calcule une intégale double su une suface paamétée quelconque. Calcule le flux d un champ vectoiel. Calcule des intégales de volume. Intépéte géométiquement, l opéateu «nabla». 5. Application en physique Explique la notion de champ à pati de l électomagnétisme. Applique les théoèmes mathématiques sous fome intégale. Applique les lois locales de l électomagnétisme. Décie la popagation des ondes dans les milieux. Décie les phénomènes de éflexion, de éfaction, de dispesion et d absoption.

10 Univesité Vituelle Aficaine IX. Activites d enseignement et d appentissage 9.1 Évaluation pédictive Tite de l évaluation pédictive: Test su les peequis du module Physique Mathématique II Justification : Ce test pemet de jauge les connaissances péalables des appenant(e)s dont la maitise pemet de compende le module de Physique Mathématiques II Questions 1. Dans un espace à 2 dimensions, soit la doite d équation : 3x 2 y + 6 = 0. Un vecteu diecteu de cette doite est le vecteu de composantes : A - (3,2) B - (2,3) C - (3,-2) D - (-2,-3) 2. Dans un espace à tois dimensions,on donne dans une base catésienne les vecteus a (3, 1,2) ; b( 1,3,3) ; c (5,4, 1). Les composantes de u A = 3a 2b c sont : A- (3,-2-1) B - (3,-1,2) C - (6,-13,1) D - (5,3,-2) uuu 3. La somme vectoielle BC uuu uuu A - AB B - BD uuu 2BA C - 0 uuu + CD uuu AD uuu D - CD est égale à : 4. Dans une base catésienne, les vecteus a A - colinéaies ( 1, 2,1) et b(1,2,5) sont : B - opposés C - othogonaux D - aute éponse 5. Dans une base catésienne, les vecteus a A - colinéaies ( 3, 1,4) et b( 1 2, 1 6, 2 3 ) sont : B - opposés C - othogonaux D - aute éponse

11 Univesité Vituelle Aficaine On considèe un paallélogamme ABCD. Quelle est l égalité exacte? uuu uuu uuu A - DA + AB = DB uuu uuu uuu B - DA + DC = DB uuu uuu uuu C - AD + AC = AB D - DB + DC = BC 7. On désigne pa O le cente d un paallélogamme ABCD. Quel vecteu est uuu uuu égal au vecteu OD BA? uuu uuu uuu A - OA B - 0 C- OB D - OC Dans les questions 8 et 9, on considèe le plan (P) d équation 2x 3y + z = Lequel de ces points appatient au plan (P)? A - (0,0,2) B - (0,0,0) C - (0,-1,1) D - (1,1,1) 9. Lequel de ces vecteus est un vecteu unitaie pependiculaie au plan (P)? A - ( 2 14, 3 14, 1 14 ) B - (0,0,1) C - ( 1 2, 1 2, 1 2 ) D - ( 2 14, 3 14, 1 14 ) 10. Soit la fonction suivante : f (x) = 2x 5. L ensemble de définition de cette fonction est : A - R B - { 5 2 ; 5 2 } C- 5 2 ;+ D- ; ;+

12 Univesité Vituelle Aficaine Soit la fonction f (x) = est : 2 x 3 + 2, la déivée pemièe de cette fonction A - 3x x B- 3 3x2 x C- 3x2 x x 2 D - (x 3 + 2) 3/ Soit la fonction f (x) = 1 1 x. a) Son développement en séie autou de x = 0 est : A - 1+ x + x2 2! + x3 3! + x4 4! +... B - 1+ x + x 2 + x 3 + x C - 1 x2 2! + x4 4! x6 6! +... D x 1 8 x x b) Le domaine de convegence de cette séie est : A - 1,+1 B - C - 1,+ D - {1} 13. Une pimitive de la fonction f (x) = 2sin2x 3cos x est : A cos x 1 3 sin x B - 1 cos x 3sin x 2 C - 1 cos2x 3sin x D - cos2x 3sin x 2

13 Univesité Vituelle Aficaine L intégale : I = 4π x R 2 x 2 dx est égale à : 0 R A - 0 B - π R 3 C - 4π R 3 3 D - 4π R Indique les cases coespondantes aux déivées patielles pemièes et secondes des fonctions deux vaiables suivantes pa appot aux vaiables x et y. a) xy A - 0 B - x C - y D - xy E - 1 F - x + y G - 1+ x H - 1+ y b) 2x 2 y + y 3 A - 2x 2 + y 2 B - 4 y C - 2xy + 3y 2 D - 4x E - 4 y F - 6y G - 4xy H - 2x 2 + 3y 2

14 Univesité Vituelle Aficaine 13 c) (x 2 + y 2 ) 1/ 2 A - x(x 2 + y 2 ) 1/ 2 B - y 2 (x 2 + y 2 ) 3/ 2 C - x 2 (x 2 + y 2 ) 3/ 2 D - y(x 2 + y 2 ) 1/ 2 E - xy(x 2 + y 2 ) 1/ 2 F - xy(x 2 + y 2 ) 1/ 2 G - x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 1/ 2 H - xy(x 2 + y 2 ) 3/ La difféentielle de la fonction f (x, y, z) = x 2 2xy z 2 est donnée pa : A - 2(x y)dx 2xdy 2zdz B - 2xdx 2xdy 2zdz C - 2xdx 2 ydy 2zdz D - 2(x + y)dx 2xdy 2zdz 17. Indique, pami les fomes difféentielles données ci-dessous, lesquelles sont des difféentielles exactes. A - sin y dx + cos x dy B - ydx C - xdy 3ydx D - ydx xdy y 2

15 Univesité Vituelle Aficaine On considèe la coube Γ d équation : f (x, y) = x 3 2xy + 2 y 2 1 = 0. L équation de la tangente à Γ au point M (1,1) est donnée pa : A - 2x + 1 B x C x 3 2 D - 2x Soit la suface (S) d équation z = x 2 3y + 2. Pou z = 2 ; la suface de niveau contient le point : A - (1,1,2) B - (1,2,-4) C - (2,1,2) D - (3,3,2) 20. Soit la suface (S) d équation z = x2. L équation du plan tangent à (S) au point M (1,1,1) est donnée pa : y A - 2 X + Y + Z = 0 B - X + Y + Z 1 = 0 C - X + Y + Z = 0 D - 2 X + 2Y + Z 3 = 0

16 Univesité Vituelle Aficaine 15 Réponses clés 1. Le vecteu diecteu d une doite d équation ax + by + d = 0 est u = bi + a j,soit dans ce cas le vecteu de composantes (2,3). La éponse est B. u 2. Le vecteu A = 3a 2b c = 6i 13 j + k. La bonne éponse est C. 3. On a uuu uuu BC 2BA uuu + CD uuu AD uuu = BC La bonne éponse est donc A. uuu + CD uuu + DA uuu 2BA uuu = BA uuu 2BA uuu = BA uuu = AB 4. Deux vecteus non nuls sont othogonaux si et seulement si leu poduit scalaie est égal à zéo : a b = = 0 La bonne éponse est C. 5. La bonne éponse est A. Ca, on a a = 6b 6. La bonne éponse est B. On a en effet (voi figue ci-dessous) : uuu uuu uuu DA + DC = a b = DB B b C a O a A b D 7. La bonne éponse est D. On a (voi figue ci-dessus): uuu uuu uuu uuu uuu uuu OD BA = BO + AB = AO = OC 8. Le point appatenant au plan doit véifie l équation du plan, soit ici le point de coodonnées (0,0,2), donc la bonne éponse est A. 9. Le plan d équation ax + by + cz + d = 0 admet pou vecteu nomal le vecteu uu N, donc = ai + b j + ck la bonne éponse est D., de vecteu unitaie : n uu = uu N = N 2 14 i 3 14 j k

17 Univesité Vituelle Aficaine Cette fonction n est définie que si : 2x 5 0 x 5. L ensemble de 2 définition de la fonction est donc : D f = 5 2 ;. La bonne éponse est C. 11. La déivée de la fonction se calcule aisément en posant : u = x 3 + 2, ce qui donne u' = 3x 2 éponse est D. et f '(x) = f '(u)u'(x) = 3x 2 (x 3 + 2) 3/ 2. La bonne 12. a) Le développement en séie d une fonction f (x) autou de x = 0 s écit : f (x) = f (0) + xf '(0) + x2 2! avec ici : f "(0) + x3 3! f (3) (0) +... f (0) = 1 ; f '(0) = 1 ; f "(0) = 2! ; f '''(0) = 3! ;. d où : 1 1 x = 1+ x + x2 + x 3 + x La bonne éponse est donc B. b) Le domaine de convegence d une séie est déteminé pa : lim n C n C n+1 = R où C n est le coefficient du n ème teme de la séie. Si : - R =, alos la séie convege pou toute valeu de x, - 0 < R <, alos la séie convege pou x < R, - R = 0, alos la séie convege uniquement pou x = 0. Dans le cas de cet execice, nous avons R = 1, donc la séie convege pou x < 1, soit la éponse A.

18 Univesité Vituelle Aficaine On a : (2sin2x 3cos x)dx = 2 sin2x dx 3 cos x dx = cos2x 3sin x + C La bonne éponse est D. Rappelons qu une pimitive de asin bx est la fonction a b cos bx et une pimitive de acos bx est la fonction a sin bx. b 14. Effectuons le changement de vaiable X = R 2 x 2, ce qui donne dx = 2xdx. Ce changement de vaiable donne les nouvelles bones d intégation X (0) = R 2 0 R et X (R) = 0, d où l intégale I = 2π X dx = 2π X R 2 dx = 4π R La bonne éponse est C. 15. Les déivées patielles pemièes sont f x f et, quant aux déivées patielles y secondes, elles sont données pa 2 f x, 2 f 2 y et 2 f 2 x y = 2 f y x On a donc : a) f x = y, f y = x, puis 2 f x 2 = 0, 2 f y 2 = 0 et enfin 2 f x y = 2 f y x = 1 Les bonnes éponses sont donc espectivement les cases C, B, A et E. b) f f = 4xy, x y = 2x2 + 3y 2, puis 2 f x 2 2 f x y = 2 f y x = 4x = 4 y, 2 f y 2 = 6 y et enfin Les bonnes éponses sont donc espectivement les cases G, H, E, F et D

19 Univesité Vituelle Aficaine 18 c) f x = x(x2 + y 2 ) 1/ 2, f y = y(x2 + y 2 ) 1/ 2, puis 2 f x 2 = y2 (x 2 + y 2 ) 3/ 2, 2 f y 2 = x2 (x 2 + y 2 ) 3/ 2 et enfin 2 f x y = 2 f y x = xy(x2 + y 2 ) 3/ 2 Les bonnes éponses sont donc espectivement les cases A, D, B, C et H 16. La difféentielle d une fonction f (x, y, z) est donnée pa : df = f f f dx + dy + x y z dz soit, en emplaçant les déivées patielles pa leus expessions, on obtient : df = (2x 2 y)dx 2xdy 2zdz La bonne éponse est A. 17. Une fome difféentielle dz = F (x, y)dx + G(x, y)dy est exacte si on a l égalité : F y = G x Seule la fome difféentielle donnée pa la case D satistait à cette condition. On a en effet F (x, y) = 1 y et G(x, y) = x F d où 2 y y = G x = 1 y Le point M (1,1) appatient bien à la coube Γ, puisqu on a : f (1,1) = 0. Pa ailleus, on f = 4 y 2x 0 au point A (1,1). La fonction f (x, y) définit y donc implicitement y en fonction de x en ce point : y = ϕ(x) f (x, y) = 0 avecϕ(1) = 1.

20 Univesité Vituelle Aficaine 19 f Alos ϕ '(x) = x (1,1) = 1 et la tangente à la coube au point A(1,1) a pou f y (1,1) 2 équation : y 1 = 1 2 (x 1) ou y = 1 2 x La bonne éponse est donc B. 19. La bonne éponse est D, on a : = La fonction à deux vaiables z = ϕ(x, y) = x2 définissant la suface (S) est y une fonction implicite donnée pa l équation f (x, y, z) = yz x 2 = 0. L équation du plan tangent à la suface (S) d équation f (x, y, z) = 0 en un point M (x, y, z) est donné pa : (Z z) f z ou encoe f f = ( X x) (Y y) x y ( X x) f f f + (Y y) + (Z z) x y z = 0 Soit ici : 2x( X x) + z(y y) + y(z z) = 0. En emplaçant donc les coodonnées du point pa leus valeus, on obtient : 2( X 1) + (Y 1) + (Z 1) = 0 soit, apès développement : 2 X + Y + Z = 0. La bonne éponse est donc A.

21 Univesité Vituelle Aficaine 20 Commentaie pédagogique pou des étudiants ( mots). Vous avez au moins 75 %, vote intéêt pou le module est évident, je vous encouage à pesévée dans le tavail. Vous avez ente 50 % et 75 %, vote ésultat est tès encouageant. Alos Bon couage. Vous avez ente 35 % et 50 %, bien sû ce n est pas pafait. Mais vous avez vaiment la volonté de éussi dans ce domaine il me semble. C est cette volonté dont nous auons besoin. Je ne vous le cache pas, le domaine que vous avez choisi est tès passionnant, mais il demande beaucoup de tavail. Pou commence, il y a un cetain nombe de attapages que vous devez faie. C est à ce pix que nous pouons éussi. Vous avez moins de 35 %, vous avez de gos effots à faie, puisqu en plus du module vous devez evoi vos pécédents cous..

22 Univesité Vituelle Aficaine 21 X. Activites d appentissage Activité d appentissage 1 Tite de l activité : Algèbe des vecteus dans 3 Temps d appentissage : 20 heues Consigne : Pou cette activité, si vous avez au moins ¾ des points, vous avez fait du tès bon tavail, vous pouvez continue. Si vous avez moins de la moitié des points, vous devez elie les lectues poposées et efaie l activité. Si vous avez plus de la moitié des points et moins de ¾ des points, vous avez fait du bon tavail, mais vous devez faie des effots pou la suite. Objectifs spécifiques A l issue de cette activité, vous devez ête capable de : Défini le module, suppot et nome d un vecteu. Calcule la somme de deux vecteus. Rappele les elations ente espace vectoiel et l'espace physique et ses vecteus. Repoduie la définition du vecteu position ou ayon-vecteu. Détemine les composantes d un vecteu et les coodonnées d un point. Détemine le vecteu unitaie dans une diection donnée. Calcule un poduit scalaie, un poduit vectoiel, un poduit mixte Donne la fomule du double poduit vectoiel. Donne l intepétation géométique du poduit scalaie, du poduit vectoiel et du poduit mixte de tois vecteus. Résumé de l activité Cette activité est consacée à l étude des vecteus. Un cetain nombe de phénomènes physiques sont caactéisés pa des gandeus vectoielles : pa exemple, la foce que vous execez pou déplace un objet nécessite non seulement la connaissance d une quantité indiquant l effot que vous déployez (intensité de la foce), mais aussi la diection et le sens de cet effot. Seuls les êtes mathématiques, appelés vecteus sont susceptibles de epésente de telles gandeus physiques. Au cous de cette activité, vous appendez à vous familiaise avec le maniement des vecteus.

23 Univesité Vituelle Aficaine 22 Lectues obligatoies YOUM, I. (2006). Algèbe des vecteus dans 3 DIOP de Daka. Sénégal. Cous inédit.. Univesité Cheikh Anta Ressouces petinentes HULIN, M. et QUINTON, M-F. (1986). «Outils mathématiques pou la physique» Edition Amand Colin - collection U, Pais. BAUMY, A et BONNAUD, M. (1989). «Mathématiques pou le physicien» Edition McGaw Hill,Pais. SPIEGEL, M-R. (1977). «Analyse vectoielle» Edition McGaw Hill,Pais. Liens utiles Desciptions de l activité Cette activité compote plusieus phases qui sont destinées à aide l appenant(e) à maîtise les thèmes d étude : addition vectoielle multiplication pa un scalaie poduit scalaie- poduit vectoiel poduit mixte double poduit vectoiel. Elle contient cinq execices à faie. Evaluation fomative : Les appenant(e)s font obligatoiement tous les execices en tavail collaboatif. Les execices 1 et 2 comptent chacun pou 15% des points, l execice 3 pou 20%, les execices 4 et 5 comptent chacun pou 25%.

24 Univesité Vituelle Aficaine 23 Execices Execice 1 L espace est appoté à un epèe othonomé (O ; i, j, k ). On considèe le déplacement d une paticule d un point A de coodonnées (2, 3, 5) à un point B de coodonnées (3, 8, 6). Pami les valeus suivantes coche celle(s) qui epésente(nt) uuu a. les composantes du vecteu OA. A - (1, 3, 5) B - (2, 3, 5) C - (3, 8, 6) uuu b. Les composantes du vecteu déplacement AB : A - (3, 8, 6) B - (2, 3, 5) C - (1, 5, 1) c. Pami les popositions suivantes quelle(s) est/sont celle (s) qui epésente(nt) uuu le vecteu déplacement de la paticule AB : uuu uuu A - OA + OB uuu uuu B - OA - OB uuu uuu C - OB - OA Execice 2 L espace est appoté à un epèe othonomé (O ; i, j, k ). Soient les vecteus définis pa les elations suivantes : u u v = i + j + k ; u = 3 i +3 j +3 k ; w= i - j + k ; p= - i - 2 j + k ; q = i - j + 3 k ; = -2 i +2 j -2 k ; s = 5 i + 10 j - 5 k ; t = 4 i - 4 j +12 k Choisi pami les popositions suivantes celle(s) qui epésente(nt) des vecteus paallèles. A - v et u B - tous ces vecteus sont paallèles

25 Univesité Vituelle Aficaine 24 u C - w u D - p E - v F - v u G - w H - t u I - w J - q u et p et s et u et w et et q et q et u Execice 3 L espace est appoté à un epèe othonomé (O ; i définis pa les elations suivantes : a = 3 i + 2 j - 6 k ; b= 2 i - 4 j + k ; c = 2 j - k, j, k ). Soient les vecteus 1- Pami les éponses poposées, indique celle(s) qui coesponde(nt) à a) a b ; b) a c) b d) a + b A - 10 B - -9 C - -8 D - 7 E - 4,58 F - 7,35 G - 2,83 H - 6,78

26 Univesité Vituelle Aficaine Pami les valeus suivantes quelles sont celle(s) qui epésente(nt) l angle fomé pa les vecteus a et c : A - 60 B - 141,2 C - 50,3 D - 151,3 3- Coche pami les valeus suivantes celles qui epésente(nt) les composantes du vecteu unitaie u poté pa le vecteu a + c A - (0,68, 0,27, -0,68) B - (0,35, 0,46, -0,81) C - (0,71, -0,71, 0) D - (1,1,1) u 4- Soit le vecteu d = - 3 j - k. Choisi pami les popositions suivantes celle(s) à qui il est pependiculaie. A - a B - b C - c D - c Execice 4 Pami les égalités suivantes, indique celles qui sont mathématiquement coectes. Justifie vote éponse. A - u + v = v + u B - P u + v P = P v + u P C - P u P +v =P u + v P D - P u + v P=P u P + P v P

27 Univesité Vituelle Aficaine 26 u u E - u (v w) = (u v) w u u F - u (v w) = (u v) (u w) u u G - u (v w) = (u v) w u u u H - (u v) w = u w+ w v Execice 5 u Soit le vecteu w = (u v) u. Les affimations suivantes sont-elles vaies ou fausses? 1- Ce vecteu est situé dans le plan fomé pa les vecteus u et v. A - VRAI B - FAUX 2- Ce vecteu est égal au vecteup u P 2 v (u v)u. A - VRAI B - FAUX

28 Univesité Vituelle Aficaine 27 Activités d appentissage Il est demandé à l appenant(e) de suive scupuleusement les étapes suivantes : Etape 1 : Acquisition des objectifs à atteinde (duée : 10 mn) Lisez d abod attentivement les objectifs à atteinde. Penez vote cahie et écivez ces objectifs en soulignant les points essentiels su lesquels vous devez pote vote attention. Etape 2 : Mise en situation pa le biais de lectues obligatoies et de visite de sites intenet : il s agit d un appentissage pesonnel pemettant à l appenant(e) d acquéi les connaissances elatives à ces objectifs (duée :10 h, il vous appatient d oganise vote temps) Lisez attentivement le chapite du cous coespondant à ces objectifs (lectues obligatoies). Penez vote cahie et écivez les points essentiels du cous su lesquels vous devez pote vote attention. Consultez les paties coespondantes dans les essouces bibliogaphiques poposées et visitez les sites indiqués pa les liens utiles (voie ci dessous). Etape 3 : Compéhension du cous (appentissage collectif - duée : 5 h) Faites des échanges en chat pou vous assue de la compéhension du cous sous la diection d un tuteu. Suivez le tavail collaboatif en goupe oganisé pa vote tuteu. Respectez l ode et la duée de ésolution des execices indiqués pa vote tuteu. Etape 4 : Evaluation (duée : 5 h) Chaque goupe choisit en son sein un appoteu qui tansmet pa en fichie attaché le compte endu, potant les noms de tous les membes du goupe, de la solution de chaque execice au pofesseu titulaie du cous (le appoteu peut change d un execice à un aute).

29 Univesité Vituelle Aficaine 28 Réponses clés Solution de l execice 1 a- La seule bonne éponse est la case B. En effet au point A du epèe coespond le uuu vecteu OA dont les composantes sont identiques au coodonnées du point A. Pou en savoi plus et pou enfoce vos acquis : evoi la définition des composantes d un vecteu dans un epèe othonomé. b- Pou alle de A à B, la paticule se déplace d une unité dans la diection positive de x, de 5 unités dans la diection positive de y et enfin d une unité dans uuu la diection positive. Ainsi la vecteu AB = i + 5 j + k. Donc seule la éponse B est la bonne. uuuuu Pou en savoi plus et pou enfoce vos acquis, monte que le vecteu MM ' epésentant le déplacement d un point M (x,y,z) au point M (x,y,z ) est donné uuuuu pa la elation : MM ' = (x -x) i + (y y) j + (z -z) k uuu uuu c- Le vecteu coespondant est le vecteu OB - OA, c est donc la case C qu il uuu uuu uuu faut coche. En effet la elation de Chasles pemet d écie : AB = AO + OB, uuu uuu uuu uuu le vecteu AO est l invese du vecteu OA, donc on peut écie : AO = - OA, uuu uuu uuu d où AB = OB - OA Pou en savoi plus et pou enfoce vos acquis, établi la elation de Chasles et evisite l addition vectoielle, en utilisant la ègle du paallélogamme. Repésente gaphiquement un vecteu et son opposé. Solution de l execice 2 Il s agit d établi qu il existe λ R tel qu on puisse établi ente deux vecteus u quelconques a et b, la elation a = λ b, on obtient ainsi : u =3 v ; =-2 w ; u s = - 5 p ; t = 4 q. Les éponses coectes sont donc les cases A, D, G, H Solution de l execice 3 1- Le poduit scalaie de deux vecteus donne une gandeu scalaie pa définition. Ici le vecteus sont expimés dans une base othonomé, on donc intéêt à utilise l expession analytique du poduit scalaie : u v = xx +yy + zz. On obtient alos :

30 Univesité Vituelle Aficaine 29 a b = -8 ; a = 7 ; b = 4,58 ; a + b = 7,35 Les cases coespondantes sont espectivement C, D, E et F. 2- En utilisant l égalité des expessions analytique et géométique du poduit scalaie, on peut calcule l angle ente les deux vecteus, soit θ, cet angle, on a : a c cosθ = P a PP c P Soit cos θ = 0,64 d où θ = 50,3.La bonne éponse ici coespond à la case C. 3- Le vecteu unitaie u poté pa le vecteu ( a + c ) est tel que : u = a + c P a + c P Soit u (0,35, 0,46, -0,81), éponse coespondant à la case B. Il faut bien véifie que le module de ce vecteu est bien égal à l unité : (0,35) 2 + (0,46) 2 + ( 0,81) La condition d othogonalité ente deux vecteus non nuls est que le poduit scalaie de ces deux vecteus soit nul, soit ici : u u u a d = 0 ; b d = 6 et c d = 5 La éponse coecte est A. Solution de l execice 4 A- La elation poposée est coecte : la somme de deux vecteus est une opéation commutative. B- Compte tenu de l égalité pécédente et du fait que l égalité des modules de deux vecteus égaux, cette elation est également vaie. C- Cette elation est incoecte, puis qu on ne peut pas addition un vecteu et une gandeu scalaie (le module d un vecteu). D- Cette elation n est pas en généal vaie, toute fois, une telle elation peut s écie si les vecteus sont colinéaies.

31 Univesité Vituelle Aficaine 30 E- Ces deux vecteus ne sont pas égaux (evoi le cous) : le poduit vectoiel n est pas associatif. F- La elation n est pas exacte, le membe de doite n a pas de sens : le poduit vectoiel ne s applique qu au vecteu. G- Le poduit mixte s intepète géométiquement comme le volume d un paallélépipède constuit su les tois vecteus : u u - v w = (aie du paallélogamme constuit su v et w) x n ; où n est le u vecteu unitaie pependiculaie à v et w. - Pa la suite u n donne la hauteu du paallélépipède. Ainsi, le volume du paallélépipède est donné pa suface de base multipliée pa la hauteu. H- La elation est coecte, le poduit vectoiel est distibutif pa appot à l addition vectoielle et de plus il est anti-commutatif. Solution de l execice 5 u 1- Le vecteu w est pependiculaie en paticulie au vecteu u v, et comme tout vecteu pependiculaie au vecteu u v, il est situé dans la plan fomé pa les vecteus u et v. L affimation est vaie. 2- Les deux vecteus sont égaux, il suffit de se appele la elation établie dans le cous :(a b) c = (c a)b (c b)a, en appliquant cette elation à note u cas, on obtient : w =P u P 2 v (u v)u. L affimation est donc vaie Auto évaluation Les appenant(e)s consigneont les difficultés encontées et les eeus commises pendant la echeche de solution des execices afin de pouvoi les évite plus tad. Ils/elles pouont evoi les paties du cous qu ils/elles n ont pas bien compises et pépae l évaluation sommative. Guide de l enseignant Le Pofesseu coigea les poductions des goupes. Il /elle déposea les difféentes coections des execices dans un espace de tavail accessible aux appenant(e)s. La coection deva ête accompagnée d un feedback adéquat centé su les eeus commises dans les comptes endus. Les notes obtenues pou chaque goupe sont attibuées aux membes du goupe et vont compte pou 20% de l évaluation finale du module.

32 Univesité Vituelle Aficaine 31 Activité d appentissage 2 Tite de l activité : Les fonctions vectoielles Temps d appentissage : 30 heues Consigne : Pou cette activité, si vous avez au moins ¾ des points, vous avez fait du tès bon tavail, vous pouvez continue. Si vous avez moins de la moitié des points, vous devez elie les lectues poposées et efaie l activité. Si vous avez plus de la moitié des points et moins de ¾ des points, vous avez fait du bon tavail, mais vous devez faie des effots pou la suite. Objectifs spécifiques A l issue de cette activité, vous devez ête capable de : Rappele les définitions des fonctions à valeus vectoielles (à une ou deux vaiables) et les extensions des notions de limite et de continuité à ces fonctions. Calcule les déivées et les intégales des fonctions vectoielles. Applique les égles de déivation des fonctions vectoielles, en paticulie les fomules de déivation des poduits de fonctions vectoielles d une seule vaiable. Intepéte géométiquement les notions de déivation et d intégation des fonctions vectoielles. Associe une intepétation géométique aux fonctions vectoielles à taves les notions de coubes et sufaces paamétées. Rappele la définition du vecteu nomal à une suface. Rappele la définition de la coubue, et de la tosion d une coube spatiale. Calcule les vecteus vitesse et accéléation, la tajectoie dans le epèe de Fénet Résumé de l activité Cette activité est consacée à l étude des fonctions vectoielles. Plusieus gandeus vectoielles en physique sont fonction d un paamète : pa exemple, losqu un mobile est en mouvement dans l espace, son vecteu position est fonction

33 Univesité Vituelle Aficaine 32 du paamète temps t : le vecteu (t) epéant la position de ce mobile est une fonction vectoielle. Au cous de cette activité, vous appendez à vous familiaise avec la notion de fonction vectoielle, ainsi que la déivation et l intégation de ces fonctions. Lectues obligatoies YOUM, I. (2006). Fonctions vectoielles. Coubes spatiales et sufaces.. Univesité Cheikh Anta DIOP de Daka. Sénégal. Cous inédit. Ressouces petinentes - HULIN, M. et QUINTON, M-F. (1986). «Outils mathématiques pou la physique» Edition Amand Colin - collection U, Pais. - BAUMY, A et BONNAUD, M. (1989). «Mathématiques pou le physicien» Edition McGaw Hill,Pais. - SPIEGEL, M-R. (1977). «Analyse vectoielle» Edition McGaw Hill,Pais. Liens utiles Desciptions de l activité Elle compote plusieus phases qui sont destinées à vous aide à maîtise les thèmes d étude : fonction vectoielle déivation d une fonction vectoielle intégation d une fonction vectoielle. Pou une plus gande efficacité, il vous est conseillé de les abode une à une, selon leu ode de pésentation : Évaluation fomative Les appenant(e)s font obligatoiement tous les sept execices en tavail collaboatif. Les execices 1 à 4 comptent chacun pou 10% des points, les execices 5 à 7 comptent chacun pou 20%.

34 Univesité Vituelle Aficaine 33 Execice 1 Soit la fonction vectoielle (t) = (a + bt 2 )i + ct j + (t 3 + 1)k où a,b, c sont des constantes positives. Choisi pami les éponses poposées celles qui coespondent à la déivée pemièe et à la déivée seconde du vecteu (t). A - 2bti + ct j + 3t 2 k B - 2bi + 6tk C - 2bti + c j + 3t 2 k D - 2bti + ct j + 3t 2 k E - bi + c j + 6tk F - 2bi + c j Execice 2 Soit dans le plan Oxy, un vecteu unitaie u = cosθ i + sinθ j où θ est l angle oienté(i,u). On désigne pa v = sinθ i + cosθ j, le vecteu unitaie qui lui est diectement pependiculaie. En supposant que l angle θ est une fonction θ(t) du paamète t. Pami les éponses suivantes, indique celles qui coespondent à dv dt et à d2 v dt 2 A - u B - u dθ C - u dt D - v ( dθ d 2 θ dt )2 u dt 2 E - v ( dθ d 2 θ dθ dt )2 + u dt F- u 2 dt

35 Univesité Vituelle Aficaine 34 Execice 3 Soit une paticule matéielle M décivant un mouvement ciculaie dans le plan u Oxy avec une vitesse angulaie ω = ω 0 k où ω 0 est une constante. Le vecteu u vitesse de la paticule est donné pa le champ vectoiel : v(t) = ω (t). Laquelle des expessions données ci dessous coespond au vecteu accéléation de la paticule? u dω u A - dt + ω d dt u B - ω d dt u C - ω d2 dt 2 D - Aute éponse Execice 4 Soit un mobile M qui se déplace dans le plan Oxy avec une accéléation a = αt 2 i + (β γ t) j m/s 2 où t est le temps et α,β,γ sont des constantes positives dimensionnées. À l instant initial t = 0, le mobile est en O avec une vitesse initiale nulle. Pami les éponses suivantes, indique celles qui coespondent aux vecteus vitesse et position du mobile. A αt3 i + (βt 1 2 γ t2 ) j B αt2 i + (βt 1 2 γ t2 ) j C αt4 i + ( 1 2 βt2 1 6 γ t3 ) j D - αt 4 i + ( 1 2 βt2 1 4 γ t3 ) j

36 Univesité Vituelle Aficaine 35 Execice 5 Dans l espace othonomé, on donne la coube (C) d équations paamétiques : x = acost y = asint z = ht où a et h sont des constantes positives. a) Pami les éponses poposées ci-dessous, indique celles qui coespondent au vecteu unitaie de la tangente à la coube, au ayon de coubue et au vecteu nomale pincipale. A - costi + sint j B - costi sint j C - acost i asint a 2 + h 2 a 2 + h 2 D - asinti + acost j + hk j E - F - asint i + acost a 2 + h 2 a 2 + h 2 a a 2 + h 2 j + h k a 2 + h 2 G - a + h2 a H - a2 + h 2 h b) La tangente à la coube fait un angle constant avec l axe Oz. Cette affimation est-elle exacte? A - VRAIE B - FAUX

37 Univesité Vituelle Aficaine 36 Execice 6 a)soit, θ et ϕ les coodonnées sphéiques d un point M de l espace définies uuuu uuuu uuu pa : = OM, θ = (Oz,OM ) et ϕ = (Ox,Om) où m est la pojection de M dans le plan Oxy. On désigne pa e, θ e et eϕ les vecteus unitaies de la base des coodonnées sphéiques. Expime les composantes des vecteus de la base en fonction des coodonnées sphéiques, puis les déivées patielles pemièes des vecteus de la base. Conclusion? b) On considée dans le éféentiel teeste une masse fluide en mouvement dont le champ des vitesses est donné pa v = x 2 i 2xy j + 2t 2 k ms 1. Détemine le vecteu accéléation de la masse fluide au point de coodonnées en mètes (2,1,- 4) à l instant t = 2s. Execice 7 Dans l espace othonomé, on donne la suface (S) d équation catésienne : z = x 2 + y 2. a) Pami les éponses suivantes, indique celle qui coespond à la epésentation paamétique de la suface (S). A - (u,v) = (u + v)i + uv j + (u 2 + v 2 )k B - (u,v) = ui + v j + (u 2 + v 2 )k C - (u,v) = (u 2 + v 2 )i + uv j + (u 2 + v 2 )k D - (u,v) = u 2 i + v 2 j + (uv)k b) Pami les éponses suivantes, indique celle qui coespond à l équation du plan tangent à la suface (S) en un point M distinct de l oigine. A - 2(u + v) X 2(u + v)y + Z + (u + v) 2 = 0 B - 2(x + y) X + 2Y + Z + (x + y) 2 = 0 C - 2xX + x 2 Y + Z = 0 D - 2xX + 2 yy Z z = 0

38 Univesité Vituelle Aficaine 37 Activités d appentissage Il est demandé à l appenant(e) de suive scupuleusement les étapes suivantes : Etape 1 : Acquisition des objectifs à atteinde (duée : 10 mn) Lisez d abod attentivement les objectifs à atteinde. Penez vote cahie et écivez ces objectifs en soulignant les points essentiels su lesquels vous devez pote vote attention. Etape 2 : Mise en situation pa le biais de lectues obligatoies et de visite de sites intenet : il s agit d un appentissage pesonnel pemettant à l appenant(e) d acquéi les connaissances elatives à ces objectifs (duée :15 h, il vous appatient d oganise vote temps) Lisez attentivement le chapite du cous coespondant à ces objectifs (lectues obligatoies). Penez vote cahie et écivez les points essentiels du cous su lesquels vous devez pote vote attention. Consultez les paties coespondantes dans les essouces bibliogaphiques poposées et visitez les sites indiqués pa les liens utiles (voie ci dessous). Etape 3 : Compéhension du cous (appentissage collectif - duée : 5 h) Faites des échanges en chat pou vous assue de la compéhension du cous sous la diection d un tuteu. Suivez le tavail collaboatif en goupe oganisé pa vote tuteu. Respectez l ode et la duée de ésolution des execices indiqués pa vote tuteu. Etape 4 : Evaluation (duée :10 h) Chaque goupe choisit en son sein un appoteu qui tansmet pa en fichie attaché le compte endu, potant les noms de tous les membes du goupe, de la solution de chaque execice au pofesseu titulaie du cous (le appoteu peut change d un execice à un aute).

39 Univesité Vituelle Aficaine 38 Réponses clés Solution de l execice 1 La déivée pemièe de la fonction vectoielle est donnée pa : d dt = 2bti + c j + 3t 2 k, ce qui coespond à la case C Et sa déivée seconde pa : d2 dt = 2bi + 6tk, ce qui coespond à la case B. 2 Pou en savoi plus et pou enfoce vos acquis : evoi la définition de la déivation des fonctions vectoielles et les popiétés de cette déivation. Solution de l execice 2 Il s agit d utilise la popiété de déivation de la fonction composée v θ(t) qui s écit : dv dt = dv dθ dv, puis qu on a dθ dt dθ = u, on obtient immédiatement : dv dθ dt = u dt Ce qui coespond à la case C Et sa déivée seconde est donnée pa : d2 v dt 2 avec du dt = du dθ dθ dθ dt = v dt et finalement d2 v dt 2 = v ( dθ dt )2 u d 2 θ = d dt ( u dθ dt ) = du dθ d 2 dt dt u θ dt 2, ce qui coespond à la case D. 2 dt Pou en savoi plus et pou enfoce vos acquis : evoi la définition de la déivation d un vecteu unitaie tounant.

40 Univesité Vituelle Aficaine 39 Solution de l execice 3 Pa définition la déivée du vecteu vitesse pa appot au temps t donne le vecteu accéléation, soit : u a = dv dt = d u dt (ω ) = dω u dt + ω d u dt = ω d u dt Puis que ω est un vecteu constant. Donc la bonne éponse est la case B. Vous pouvez véifie le ésultat en calculant le poduit vectoiel et compae diectement avec la déivée seconde du vecteu position, dont les composantes catésiennes sont(r cosω 0 t, R sinω 0 t), on en déduit que d dt = Rω sinω t i + Rω cosω 0 t j Finalement a = i j k 0 0 ω 0 Rω 0 sinω 0 t Rω 0 cosω 0 t 0 = Rω 2 0 cosω 0 t i Rω 2 0 sinω 0 t j Solution de l execice 4 Le vecteu vitesse et le vecteu accéléation sont eliés pa la elation : a = dv u = adt dt dv u Et v = a initiales à : dt uu + cte, cette intégation conduit en tenant compte des conditions v = 1 3 αt3 i + (βt 1 2 γ t2 ) j Une seconde intégation conduit au vecteu position : v = d dt d = vdt et uu pa suite = vdt + cte,soit en tenant compte de la position initiale du mobile,

41 Univesité Vituelle Aficaine 40 on obtient : = 1 12 αt4 i + ( 1 2 βt2 1 6 γ t3 ) j La case A coespond à la vitesse et la case C au vecteu position. Solution de l execice 5 a) En tout point de la coube, le vecteu diecteu de la tangente est donné pa : d dt = asinti + acost j + hk Le module de ce vecteu est : d dt = a 2 + h 2 = ds dt où s est l abscisse cuviligne mesuée à pati d un point fixe. Le vecteu unitaie de la tangente est donné pa : u T = d ds = d / dt ds / dt = asint i + acost a 2 + h 2 a 2 + h 2 j + h k, a 2 + h 2 ce qui coespond à la case E. Le vecteu unitaie de la nomale pincipale et le ayon de coubue sont eliés u pa la fomule de Seet-Fenet : dt ds = 1 uu ρ N. Alos, on a : u u u dt ds = 1 ρ avec dt ds = dt / dt ds / dt

42 Univesité Vituelle Aficaine 41 La déivée du vecteu unitaie tangent pa appot au paamète t est donné pa : u dt dt = acost i asint a 2 + h 2 a 2 + h 2 j u d où : dt ds = acost a 2 + h i asint 2 a 2 + h 2 j et pa suite 1 ρ = a a 2 + h 2, soit ρ = a + h2 a, ce qui coespond à la case G Finalement, on a : uu N = costi sint j, ce qui coespond à la case B. b) D apès ce qui pécède, on a : u k T = cosθ = h où θ est l angle ente la tangente et l axe Oz. a h La valeu du cosinus étant constant, cet angle est aussi constante. L affimation est donc vaie (case A).

43 Univesité Vituelle Aficaine 42 Solution de l execice 6 a) Les elations de passage des coodonnées catésiennes aux coodonnées sphéiques sont données pa : x = sinθ cosϕ, y = sinθ sinϕ, z = cosθ. Les composantes du vecteu e se déduisent aisément des composantes du vecteu uuuu OM = e pa une simple division pa, soit : e = sinθ cosϕ i + sinθ sinϕ j + cosθ k Le vecteu e θ est quant à lui pependiculaie au vecteu e ;il est contenu dans le uuuu plan ( Oz,OM ) et fait un angle θ + π avec l axe Oz, d où : 2 eθ = cosθ cosϕ i + cosθ sinϕ j sinθ k Le vecteu eϕ est dans le plan Oxy et fait un angle ϕ + π avec l axe Ox. Pa conséquent, on a : 2 eϕ = sinϕi + cosϕ j Ainsi seules les vecteus e et eθ sont des fonctions vectoielles à deux vaiables dont les déivées patielles pemièes sont données pa : e θ = cosθ cosϕi + cosθ sinϕ j sinθ k e ϕ = sinθ sinϕi e θ θ = sinθ cosϕi e θ ϕ = cosθ sinϕi + sinθ cosϕ j = sinθeϕ sinθ sinϕ j cosθ k + cosθ cosϕ j = eθ = cosθeϕ = e On emaque que toutes les déivées patielles sont othogonales au vecteu unitaie que l on déive.

44 Univesité Vituelle Aficaine 43 b) Le vecteu accéléation est donné pa : a = dv dt = v x dx dt + v dy y dt + v dz z dt + v t = v v x x + v v y y + v v z z + v t = x 2 (2xi 2 y j) + ( 2xy)( 2x j) + 2t tk = 2x 3 i + 2x 2 y j Au point (2,1,-4) à l instant t = 2s, l accéléation est donc : a = 16i + 8 j + 8k ms 2 + 4tk Solution de l execice 7 a) La epésentation paamétique d une suface (S) est donnée pa l ensemble uuuu des points M tels que :OM = (u,v) = x(u,v)i + y(u,v) j + z(u,v)k uuuu. En paticulie si x = u, y = v, on a : OM = xi + y j + z(x, y)k et z = g(x, y) est l équation catésienne de la suface (S), que l on peut encoe epésente pa la fonction implicte des tois coodonnées : f (x, y, z) = 0. Ainsi la suface (S) donnée ici,admet pou epésentation paamétique : uuuu OM = (u,v) = ui + v j + (u 2 + v 2 )k Ce qui coespond à la case B b) Le plan mené pa M (u,v), de vecteus diecteus et est appelé plan u v tangent en M à la suface (S). Soit P( X,Y,Z) un point du plan tangent, l équation du plan tangent s écit alos : uuu MP, u, = 0 v c est à die : X x Y y Z z ' x u ' y u ' z u ' x v ' y v ' z v = 0

45 Univesité Vituelle Aficaine 44 L équation du plan tangent s écit donc : X x Y y Z z 1 0 2x 0 = y 0 ca on a : u = i + 2uk et v = j + 2vk Ce qui donne apès développement : avec u = x et v = y 2xX + 2 yy Z z = 0. Ce qui coespond à la case D. On emaquea que l équation du plan tangent en M à la suface (S) peut s écie uuuuu uuu vectoiellement :(gad f ) M MP = 0, puisque ce plan se confond localement à la suface quand on se déplace peu su celle-ci autou du point M et la suface considéée coespond à la suface de niveau f = 0 de la fonction f. Auto évaluation Les appenant(e)s consigneont les difficultés encontées et les eeus commises pendant la echeche de solution des execices afin de pouvoi les évite plus tad. Ils/elles pouont evoi les paties du cous qu ils/elles n ont pas bien compises et pépae l évaluation sommative. Guide de l enseignant Le Pofesseu coigea les poductions des goupes. Il /elle déposea les difféentes coections des execices dans un espace de tavail accessible aux appenant(e)s. La coection deva ête accompagnée d un feedback adéquat centé su les eeus commises dans les comptes endus. Les notes obtenues pou chaque goupe sont attibuées aux membes du goupe et vont compte pou 20% de l évaluation finale du module.

46 Univesité Vituelle Aficaine 45 Activité d appentissage 3 Tite de l activité : Les champs physiques Temps d appentissage : 30 heues Consigne : Pou cette activité, si vous avez au moins ¾ des points, vous avez fait du tès bon tavail, vous pouvez continue. Si vous avez moins de la moitié des points, vous devez elie les lectues poposées et efaie l activité. Si vous avez plus de la moitié des points et moins de ¾ des points, vous avez fait du bon tavail, mais vous devez faie des effots pou la suite. Objectifs spécifiques A l issue de cette activité, vous devez ête capable de : Rappele les définitions d un champ scalaie et d un champ vectoiel. Rappele les définitions des coubes et suface de niveau, des lignes de champ. Détemine les équations définissant ces notions et les ésoude dans des cas simples. Rappele la définition du gadient d un champ scalaie. Calcule le gadient d une fonction scalaie; Rappele les définitions de la divegence et du otationnel d un champ vectoiel. Calcule la divegence et le otationnel d un champ vectoiel Rappele la définition de l opéateu vectoiel de déivation «nabla». Détemine les conditions pou qu un champ de vecteu soit un champ de gadient. Résumé de l activité Cette activité est consacée à l étude des champs physiques. Plusieus gandeus physiques sont dites locales, c est à die définies en chaque point de l espace : pa exemple, une chage électique placée en un point de l espace cée un champ électostatique dans tout l espace qui l entoue de plus ce champ déive d une fonction scalaie appelée potentiel électostatique. On sait que le champ électostatique et le potentiel électostatique ne sont fonctions que du point de l espace où on les détemine. Au cous de cette activité, vous appendez à vous familiaise avec les notions de champs scalaie et vectoiel.

47 Univesité Vituelle Aficaine 46 Lectues obligatoies YOUM, I. (2006). Les champs physiques. Univesité Cheikh Anta DIOP de Daka. Sénégal. Cous inédit. Ressouces petinentes HULIN, M. et QUINTON, M-F. (1986). «Outils mathématiques pou la physique» Edition Amand Colin - collection U, Pais. BAUMY, A et BONNAUD, M. (1989). «Mathématiques pou le physicien» Edition McGaw Hill,Pais. SPIEGEL, M-R. (1977). «Analyse vectoielle» Edition McGaw Hill,Pais. Liens utiles unicit%c3%a9_ de_stokes Desciptions de l activité Elle compote un cetain nombe d execices obligatoies qui sont destinées à aide l appenant(e) à maîtise les thèmes d étude : champ scalaie champ vectoiel gadient d un champ scalaie - divegence d un champ vectoiel otationnel d un champ vectoiel. Évaluation fomative Les appenant(e)s font obligatoiement tous les cinq execices en tavail collaboatif. Chaque execice compte pou 20% des points.

48 Univesité Vituelle Aficaine 47 Execices Execice 1. Coche chaque fois la bonne éponse Dans l espace à tois dimensions, soit le point M du plan Oxy de coodonnées x uuuu et y ; on définit la fonction de point f(m) = P OM P. 1- La suface epésentative de la fonction est : A - une paaboloïde B - une hypeboloïde C - un cône 2- Les coubes de niveau sont : A - des plans paallèles au plan Oxy B - des sphèes de cente O et de ayon C - des cecles de cente O et de ayon c. Execice 2 u Soit le champ de vecteusv (x, y) = yi x j : a) La valeu de ce champ au point de coodonnées (-1,1) est : A - i B - j C - i j D - i + j b) Comment se placent les lignes de champ? A - des doites paallèles à i B - des doites paallèles à j C - cecles de cente de cente O D - des doites qui passent pa l oigine O

49 Univesité Vituelle Aficaine 48 Execice 3 Soit la fonction scalaie d un point M de l espace de coodonnées (x,y,z) donnée uuuu uuuuu pa : f(m) = 2 où est le module du vecteu position OM =, gad f est donné pa : A - x 2 +y 2 +z 2 B - xi + y j + zk C - x 2 i + y 2 j + z 2 j D - 2 Execice 4 u Soit le champ de vecteus V ( ) = K de ce champ est donné pa : P A - 3 B - -1 C - 0 P 3 où K est une constante. La divegence D - x 2 + y 2 + z 2 Execice 5 Considéons une paticule matéielle M décivant un mouvement ciculaie dans u le plan Oxy avec une vitesse angulaie ω = ω 0 k où ω 0 est une constante. Le u u vecteu vitesse de la paticule est donné pa le champ vectoiel :V ( ) = ω. 1- Le otationnel du champ vectoiel est donné pa : A - 0 B - 0 u C - 2ω u D - 2ω 2- Ce champ vectoiel est un champ de gadient. Cette affimation est elle vaie ou fausse? A - VRAI B - FAUX

50 Univesité Vituelle Aficaine 49 Activités d appentissage Il est demandé à l appenant(e) de suive scupuleusement les étapes suivantes : Etape 1 : Acquisition des objectifs à atteinde (duée : 10 mn) Lisez d abod attentivement les objectifs à atteinde. Penez vote cahie et écivez ces objectifs en soulignant les points essentiels su lesquels vous devez pote vote attention. Etape 2 : Mise en situation pa le biais de lectues obligatoies et de visite de sites intenet : il s agit d un appentissage pesonnel pemettant à l appenant(e) d acquéi les connaissances elatives à ces objectifs (duée :14 h 50 mn, il vous appatient d oganise vote temps) Lisez attentivement le chapite du cous coespondant à ces objectifs (lectues obligatoies). Penez vote cahie et écivez les points essentiels du cous su lesquels vous devez pote vote attention. Consultez les paties coespondantes dans les essouces bibliogaphiques poposées et visitez les sites indiqués pa les liens utiles (voie ci dessous). Etape 3 : Compéhension du cous (appentissage collectif - duée : 5 h) Faites des échanges en chat pou vous assue de la compéhension du cous sous la diection d un tuteu. Suivez le tavail collaboatif en goupe oganisé pa vote tuteu. Respectez l ode et la duée de ésolution des execices indiqués pa vote tuteu. Etape 4 : Evaluation (duée :10 h) Chaque goupe choisit en son sein un appoteu qui tansmet pa en fichie attaché le compte endu, potant les noms de tous les membes du goupe, de la solution de chaque execice au pofesseu titulaie du cous (le appoteu peut change d un execice à un aute).

51 Univesité Vituelle Aficaine 50 Réponses clés Solution de l execice 1 1- Pou epésente gaphiquement une fonction à une seule vaiable, y = f(x), on se situe dans le plan Oxy et à chaque vaiable x, on associe le point dont l odonnée est égale à y =f(x). Le lieu géométique de l ensemble de ces points dans le domaine de définition de la fonction constitue la coube epésentative (ou gaphe) de la fonction f(x). Cette coube est donc plane. Si nous considéons maintenant une fonction à 2 vaiables, sa epésentation nécessite que l on se situe dans un espace à tois dimensions tel que z = f(x,y), cet espace sea appoté aux axes Oxyz. A chaque couple de points (x,y) appatenant au plan Oxy, on associe un point de côte z = f(x,y). Le lieu géométique de l ensemble de ces points constitue une epésentation gaphique de la fonction f(x,y) : c est en généale une suface dans l espace à tois dimensions. Pou epésente la fonction f (x, y) = tableau de valeus à double entée : x 2 + y 2, établissons d abod un y x ,66 5,00 4,47 4,12 4,00 4,12 4,47 5,00 5,66-3 5,00 4,24 3,60 3,16 3,00 3,16 3,60 4,24 5,00-2 4,47 3,60 2,83 2,24 2,00 2,24 2,83 3,60 4,47-1 4,12 3,16 2,24 1,41 1,00 1,41 2,24 3,16 4,12 0 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 1 4,12 3,16 2,24 1,41 1,00 1,41 2,24 3,16 4,12 2 4,47 3,60 2,83 2,24 2,00 2,24 2,83 3,60 4,47 3 5,00 4,24 3,60 3,16 3,00 3,16 3,60 4,24 5,00 4 5,66 5,00 4,47 4,12 4,00 4,12 4,47 5,00 5,66 Examinons la colonne coespondant à x = 0 qui coespond au plan Oyz et taçons f(0,y) ; on constate qu on a deux banches de doite symétique pa appot à l axe Oz et inclinée de 45. Il en est de même pou le tacé de f(x,0). Le emplissage de l espace ente ces doites, conduit à un cône de demi-angle au sommet de 45. La éponse est donc la case C. 2- Les coubes de niveau sont définies pa : z = f(x,y) = cte = c, soit, x 2 +y 2 = c 2, il s agit de cecles de cente O et de ayon c, ayon qui augmente d une unité chaque fois que la côte z augmente d une unité.

52 Univesité Vituelle Aficaine 51 On emaquea que ces coubes de niveau sont une pojection des difféents cecles constuits su la suface du cône en la coupant pa des plans z = cte. Pou en savoi plus et pou enfoce vos acquis : evoi la définition des coubes de niveau d un champ scalaie. Solution de l execice 2 a) Ici le champ de vecteus est à 2 dimensions, on peut donc le epésente dans le plan Oxy. Dans ce plan, on se place au point M (-1,1) qui sea considéé u comme oigine du vecteu champ qui s écit en ce point :V ( 1,1) = i + j C est donc un vecteu de composantes (1,1) et de module égale à 2, la éponse est donc la case D. b) Pou epésente un champ de vecteu dans l espace, on se place en dives points M(x,y), puis on calcule les composantes du champ de vecteus en ce point. Mais un moyen simple d y paveni est de tace ses lignes de champ : famille de coubes tangentes en tous ses points au vecteu champ. Elles sont données pa l équation : u V (x, y) d = 0 avec d = dxi + dy j, soit : ( yi x j) (dxi + dy j) = (xdx + ydy)k = 0 On en déduit d(x 2 + y 2 ) = 0 et en intégant, on obtient : x 2 + y 2 = cte ; il s agit d une famille de cecles de cente O, la éponse est donc la case C. Solution de l execice 3 Le gadient d une fonction scalaie f(x,y,z) est donné pa : uuuuu gad f = f x i + f y j + f z k uuuuu Soit : gad f = 2xi + 2 y j + 2zk = 2 La éponse coecte est donc la case D.

53 Univesité Vituelle Aficaine 52 Solution de l execice 4 La divegence d un champ de vecteus est donnée pa : uu divv ( ) = V x x + V y y + V z z Soit en écivant le champ de vecteu sous la fome suivante : u V ( ) = On a alos : K x (x 2 + y 2 + z 2 ) i + 3/ 2 K y (x 2 + y 2 + z 2 ) j + 3/ 2 K z (x 2 + y 2 + z 2 ) k 3/ 2 V x x = K (x 2 + y 2 + z 2 ) 3K x 2 3/ 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/ 2 De même V y y = K (x 2 + y 2 + z 2 ) 3K y 2 et 3/ 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/ 2 V z z = K (x 2 + y 2 + z 2 ) 3K z 2 3/ 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/ 2 D où en sommant ces expessions, on obtient : u divv ( ) = 3K (x 2 + y 2 + z 2 ) 3K (x2 + y 2 + z 2 ) 3/ 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) = 0 5/ 2 La bonne éponse est donc la case C.

54 Univesité Vituelle Aficaine 53 Solution de l execice 5 1) Le otationnel d un champ de vecteus est donné pa : i x j y k z = ( V z y V y z )i + ( V x z V z x ) j + ( V y x V x y )k V x V y V z Ici les composantes du vecteu champ sont données pa : V x = yω 0 ;V y = xω 0 etv z = 0, soit : i j k uu uu ot V = = 2ω x y z 0 k yω 0 xω 0 0 La bonne éponse est la case D. u 2) Un champ vectoiel V est un champ de gadient si et seulement si une uuuuu u uu u fonction scalaie f telle que gad f = V ou encoe otv = 0, ce qui n est pas le cas ici. La bonne éponse est donc la case B. Auto évaluation Les appenant(e)s consigneont les difficultés encontées et les eeus commises pendant la echeche de solution des execices afin de pouvoi les évite plus tad. Ils/elles pouont evoi les paties du cous qu ils/elles n ont pas bien compises et pépae l évaluation sommative. Guide de l enseignant Le Pofesseu coigea les poductions des goupes. Il /elle déposea les difféentes coections des execices dans un espace de tavail accessible aux appenant(e)s. La coection deva ête accompagnée d un feedback adéquat centé su les eeus commises dans les comptes endus. Les notes obtenues pou chaque goupe sont attibuées aux membes du goupe et vont compte pou 20% de l évaluation finale du module.

55 Univesité Vituelle Aficaine 54 Activité d appentissage 4 Tite de l activité : Les intégales spatiales - Application en physique Temps d appentissage : 40 heues Consigne : Pou cette activité, si vous avez au moins ¾ des points, vous avez fait du tès bon tavail, vous pouvez continue. Si vous avez moins de la moitié des points, vous devez elie les lectues poposées et efaie l activité. Si vous avez plus de la moitié des points et moins de ¾ des points, vous avez fait du bon tavail, mais vous devez faie des effots pou la suite. Objectifs spécifiques À l issue de cette activité, vous devez ête capable de : Calcule la ciculation d un champ vectoiel. Donne la condition intégale pou qu un champ de vecteus soit un champ de gadient et sa mise en œuve. Détemine la fonction dont déive un champ de gadient à pati de la ciculation de ce champ. Calcule le flux d un champ vectoiel. Calcule des intégales de volume. Intépéte géométiquement, l opéateu «nabla». Explique la notion de champ à pati de l électomagnétisme. Applique les théoèmes mathématiques sous fome intégale. Applique les lois locales de l électomagnétisme. Résumé de l activité Cette activité est consacée à l étude des intégales de ligne, de suface et de volume. Les champs physiques que nous avons étudié pécédemment peuvent ête souvent associés à des intégales le long de lignes, su des sufaces ou dans des volumes qui jouent un ôle impotant en physique : pa exemple, évalue le tavail d un champ de foce los du déplacement d un mobile evient à calcule la ciculation du champ de foce le long de la tajectoie du mobile. Au cous de cette activité, vous appendez à vous familiaise avec les notions d intégales spatiales.

56 Univesité Vituelle Aficaine 55 Lectues obligatoies YOUM, I. (2006). Intégales spatiales. Univesité Cheikh Anta DIOP de Daka. Sénégal. Cous inédit. YOUM, I. (2006). Application de l analyse vectoielle en électomagnétisme. Univesité Cheikh Anta DIOP de Daka. Sénégal. Cous inédit. Ressouces petinentes HULIN, M. et QUINTON, M-F. (1986). «Outils mathématiques pou la physique» Edition Amand Colin - collection U, Pais. BAUMY, A et BONNAUD, M. (1989). «Mathématiques pou le physicien» Edition McGaw Hill,Pais. SPIEGEL, M-R. (1977). «Analyse vectoielle» Edition McGaw Hill, Pais. Hulin. M, Hulin. N, et Pein. D. (1992). «Equation de Maxwell Ondes électomagnétique» Edition Dunod, Pais Betin, M. Faoux, J.P. Renault, J. (1984). «Electomagnétisme 4: Milieux diélectiques et milieux aimantés». Edition Dunod, Pais Pucell, E.M. (1973). «Electicité et magnétisme : Bekeley Cous de Physique 2» Edition Amand Colin, Pais Ashutosh, P. (2006). Electomagnetism : Theoy and Applications Edition Pentice Hall of India, New Delhi. Bleaney, B-I. and Bleaney, B. (1976). Electicity and Magnetism. Edition Oxfod univesity Pess, Oxfod Liens utiles Desciptions de l activité Elle compote plusieus phases qui sont destinées à vous aide à maîtise les thèmes d étude : ciculation d un champ de vecteus flux d un champ de vecteus -intégale de volume-théoème de Gauss-théoème de Stokes -application de ces théoèmes intégales en physique. Pou une plus gande efficacité, il vous est conseillé de les abode une à une, selon leu ode de pésentation :

57 Univesité Vituelle Aficaine 56 Évaluation fomative Les appenant(e)s font obligatoiement tous les sept execices poposés en tavail collaboatif. Les execices 1 et 5 comptent chacun pou 15% des points, les execices 2, 3 et 4 comptent chacun pou 10 % des points, les execices 6 et 7 comptent chacun pou 20% des points. Execice 1 u On cheche à calcule la ciculation du champ vectoiel E (x, y) = k(xi + y j) où k est une constante positive, le long des chemins eliant l oigine au point B(1,2) du plan Oxy ci dessous indiqués : a) le segment de doite OB ; b) le chemin OAB où A est le point de coodonnées (1,0) ; c) la paabole joignant O et B ; Touve-t-on le même ésultat quelque soit le chemin OB? Si oui quelle intepétation donnez vous au ésultat obtenu? Execice 2 u Calcule le flux du champ vectoiel E ( ) = K P P 3 où K est une constante positive, à taves une sphèe de cente O et de ayon R. Coche la bonne éponse pami les cases suivantes. A - 4π k B - 0 C - 4π R 3 D - Aute éponse

58 Univesité Vituelle Aficaine 57 Execice 3 Calcule le volume d un cône d axe Oz, de sommet O, de hauteu h et de ayon de base R. Coche la bonne éponse pami les cases indiquées ci-dessous. A - π R 2 h B - π R 2 h 3 C π R 2 h D - Aute éponse Execice 4 a) Soit V un volume délimité pa une suface femée (S), monte que : u ds = 3V. S u uu u b) Si B = ot A u, monte que B u ds = 0 pou toute suface femée (S). S Execice 5 u Véifie le théoème de Stokes pou V (x, y, z) = yi x j + zk où la fontièe (C) de la suface (S) est un cecle du plan xy de ayon unité et de cente àl oigine. Execice 6 Un fluide de masse volumique ρ(x, y, z,t) se déplace avec une vitesse v(x, y, z,t) dans l espace à tois dimensions. On suppose qu il n y a ni souce, ni puits. Monte que la consevation de la masse s écit sous la fome difféentielle : ρ t + div J u = 0

59 Univesité Vituelle Aficaine 58 Execice 7 Soit la suface de sépaation de deux milieux linéaies, homogènes et isotopes. On suppose qu il existe une densité sufacique de chage σ et une densité supeficielle de couant K. On se place dans le cas d un égime stationnaie et on uu u désigne pa ρ et J les densités volumiques de chage et de couant, souces du champ électomagnétique. Monte que les conditions de passage imposées aux u uu champs induction électique D et excitation magnétique H s écivent : u u (D 2 D1) n = σ uu uu uu n (H 2 H 1) = K où nest le vecteu unitaie nomal à la suface de sépaation oienté du milieu 1 ves le milieu 2.

60 Univesité Vituelle Aficaine 59 Activités d appentissage Il est demandé à l appenant(e) de suive scupuleusement les étapes suivantes : Etape 1 : Acquisition des objectifs à atteinde (duée : 10 mn) Lisez d abod attentivement les objectifs à atteinde. Penez vote cahie et écivez ces objectifs en soulignant les points essentiels su lesquels vous devez pote vote attention. Etape 2 : Mise en situation pa le biais de lectues obligatoies et de visite de sites intenet : il s agit d un appentissage pesonnel pemettant à l appenant(e) d acquéi les connaissances elatives à ces objectifs (duée :20 h, il vous appatient d oganise vote temps) Lisez attentivement le chapite du cous coespondant à ces objectifs (lectues obligatoies). Penez vote cahie et écivez les points essentiels du cous su lesquels vous devez pote vote attention. Consultez les paties coespondantes dans les essouces bibliogaphiques poposées et visitez les sites indiqués pa les liens utiles (voie ci dessous). Etape 3 : Compéhension du cous (appentissage collectif - duée : 5 h) Faites des échanges en chat pou vous assue de la compéhension du cous sous la diection d un tuteu. Suivez le tavail collaboatif en goupe oganisé pa vote tuteu. Respectez l ode et la duée de ésolution des execices indiqués pa vote tuteu. Etape 4 : Evaluation (duée :15 h) Chaque goupe choisit en son sein un appoteu qui tansmet pa en fichie attaché le compte endu, potant les noms de tous les membes du goupe, de la solution de chaque execice au pofesseu titulaie du cous (le appoteu peut change d un execice à un aute).

61 Univesité Vituelle Aficaine 60 Réponses clés Solution de l execice 1 Le vecteu déplacement élémentaie s écit : d = dxi + dy j et l intégale le u long d une coube (ou ciculation) est donnée pa : C = E d. Γ Nous allons donc évalue cette intégale le long des coubes indiquées. a) le long du segment de doite OB : L équation de la doite OB est donné pa : y = 2x dy = 2dx, on a alos : C = k(xdx + ydy) = 5k xdx Γ 1 = 5k xdx Γ 1 0 Soit finalement : 1 C = 5k 2 b) Ce chemin est décomposé en deux : - le chemin OA où le vecteu déplacement se éduit à : d = dxi, soit : C 1 = k xdx = k xdx Γ 2 = k le chemin AB où le vecteu déplacement se éduit à : d C 2 = k ydy = k ydy = 2k Γ = dy j, soit : D où C = C 1 + C 2 = 5k 2 c) L équation de la paabole est donné pa : y = 2x 2 dy = 4xdx Pa conséquent : C = k(xdx + ydy) = k (x + 8x 3 )dx Γ 1 = k x2 Γ x4 1 0

62 Univesité Vituelle Aficaine 61 D où : C = 5k 2. En conclusion, la ciculation de ce vecteu champ est indépendante du chemin suivant :elle ne dépend que du point initial et du point final : ce champ de vecteu est un champ de gadient. Pou en savoi plus et pou enfoce vos acquis : evoi la définition de la ciculation d un vecteu champ. Véifie que le champ est un champ de gadient en calculant son otationnel Solution de l execice 2 u u u L élément de suface de la sphèe est donné pa ds = dse où e est le vecteu unitaie de la base sphéique (l élément de suface est pependiculaie au ayon de la sphèe). Il vient : k u Φ = dse P P 3 Σ Et puisque su la sphèe, on a un ayon constant R, on a alos : Φ = Σ k P P 3 u dse = k R ds 2 sphèe = 4π k Pou en savoi plus et pou enfoce vos acquis : evoi la définition du flux d un vecteu champ. Solution de l execice 3 On a intéêt à utilise les coodonnées cylindiques. L élément de volume dv est donné pa : dv = ρdρdθdz avec comme domaine d intégation : 0 z h ; 0 θ 2π ; 0 ρ (z). Pou une valeu de z donnée le ayon est donné pa (z) = Rz : les intégales su ρ et z ne peuvent donc pas ête sépaées, toutefois on doit h commence pa celle su ρ : V = soit : 0 Rz/ h 0 2π ρdρdθdz = dθ 0 h 0 2π 0 h 0 Rz/ h ρdρ dz

63 Univesité Vituelle Aficaine 62 h R 2 z 2 V = 2π dz = 2π R 2 z 3 0 2h 2 6h 2 Solution de l execice 4 h 0 = π R 2 h 3 Rappelons l énoncé du théoème de Gauss (ou théème de la divegence) : u L intégale de suface de la composante nomale d un vecteu V, étendue à une u suface (S) femée (flux sotant du champ vectoiel V à taves une suface femée (S)) est égale à l intégale tiple de la divegence de V étendue au volume u limité pa cette suface. a) D apès le théoème de la divegence, on a : S u ds u = V dv = ( i + V x y j + z k ) (xi + y j + zk)dv = V 3dV = 3V b) D apès le théoème de la divegence, on a : S u B u ds u = div B V u u u dv u O : div B = B = u u u B ds = div B dv u ( S = 0. V u A u ) = ( u u ) A = 0, d o ù : u Rappelons qu en électomagnétisme, le champ magnétique B déive d un potentiel vecteu A, c est à die : B = A. S il en est ainsi, alos B = 0 et u u u u u u u u on dit que B est un champ solénoïdal. D une façon généale si B est un champ u solénoïdal, un potentiel vecteu A existe.

64 Univesité Vituelle Aficaine 63 Solution de l execice 5 Rappelons l énoncé du théoème de Stokes : u L intégale cuviligne de la composante tangentielle d un vecteu V, le long d une coube femée (C) est égale l intégale de suface de la composante nomale du u otationnel de V étendue à toute suface (S) ayant (C) comme fontièe. On peut encoe die : u La ciculation d un vecteu V u le long d une coube femée (C) est égale au flux du otationnel de V à taves toute la suface (S) limitée pa (C). u Dans le plan xy, z = 0 d où V = yi x j et d = dxi + dy j, ainsi la ciculation du champ vectoiel est : Γ = u V d = ydx xdy C C Soient x = cosθ, y = sinθ avec 0 θ < 2π les équations paamétiques de (C), on a alos : u 2π Γ = V d = ydx xdy = (sin 2 θ + cos 2 θ)dθ = 2π C C 0 Pa ailleus, on : uu uu ot V = i x j y k z = 2k y x z uu u u Alos : otv ds = 2k kds = 2π. S S Le théoème de Stokes est ainsi véifié.

65 Univesité Vituelle Aficaine 64 Solution de l execice 6 Soit V un volume quelconque de fluide limité pa une suface (S), la masse de fluide contenu dans ce volume, à tout instant, est donnée pa : m= ρ dv. V Le volume de fluide tavesant un élément de suface ds pendant l unité de temps est donné pa : v nds (volume contenu dans un cylinde de suface de base ds et de hauteu v ). Ainsi la masse de fluide sotant du volume V, pa unité de temps, est : ρ(v n)ds. D apès le théoème de la divegence, on : S u ρv nds = S ρv dv V L équation de consevation de la masse s écit alos : m t = t u ρ dv = ρv nds = V S V ρv dv Puisque cette équation est valable pou tout volume abitaiement choisi, on a alos : ρ u u t + div J = 0 où J = ρv Cette équation est appelée en physique équation de continuité. Elle appaaît aussi en électomagnétisme et taduit l équation de consevation de la chage électique u avec ρ, la densité volumique de chage et J = ρv est la densité volumique de couant. Pou un fluide incompessible, ρ est constant et le champ de vitesse est solénoïdal, puisqu on a div v = 0.

66 Univesité Vituelle Aficaine 65 Solution de l execice 7 Rappelons qu en égime stationnaie (indépendant du temps), les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampèe s écivent : u div D = ρ uu uu u ot H = J Fig 1 : Boîte cylindique élémentaie Imaginons une boîte cylindique élémentaie de suface de base ds (fig. 1) et de hauteu dh(infiniement petit du second ode pa appot aux dimensions de ds ). Le flux de D à taves la u suface du cylinde fait inteveni : - le flux à taves la suface latéale, négligeable ca dh est pis au second ode, - le flux à taves les sufaces de base, égal à la chage totale pésente dans le cylinde : u u D 2 nds D1 nds = σ ds et apès simplification : u u (D 2 D1) n= σ Il appaaît une discontinuité de la composante nomale du vecteu induction électique égale à la densité supeficielle de chage

67 Univesité Vituelle Aficaine 66 Figue 2 : Cicuit ectangulaie élémentaie Imaginons maintenant un cicuit ectangulaie élémentaie situé dans un plan nomal à la suface de sépaation, de longueu L paallèle à la tangente à la suface de sépaation, de lageu h(infiniment petit du second ode pa appot à L ) paallèle à la nomale à la suface de sépaation. Le cicuit est oienté dans le sens de otation positif autou de nb (fig. 2). uu Calculons la ciculation de H su ce cicuit, elle compend : - la ciculation su les lageus hnégligeable, - la ciculation su les longueus, qui d apès les théoèmes de Stokes et d Ampèe est égale à l intensité du couant qui tavese le ectangle, soit : uu uu uu uu H dl = ot H nb ds nb ds = K S S uu uu uu uu uu = (H 1 H 2) t L = K nb L (H 1 H d où uu uu H 1 H uu 2 = n K ou encoe : uu uu uu n (H 2 H 1)= K uu 2) t= K (t n ) = t uu (n K ) Il appaaît une discontinuité de la composante tangentielle du vecteu excitation magnétique égale à la densité supeficielle de couant.

68 Univesité Vituelle Aficaine 67 Auto évaluation Les appenant(e)s consigneont les difficultés encontées et les eeus commises pendant la echeche de solution des execices afin de pouvoi les évite plus tad. Ils/Elles pouont evoi les paties du cous qu ils/elles n ont pas bien compises et pépae l évaluation sommative. Guide de l enseignant Le Pofesseu coigea les poductions des goupes. Il /elle déposea les difféentes coections des execices dans un espace de tavail accessible aux appenant(e)s. La coection deva ête accompagnée d un feedback adéquat centé su les eeus commises dans les comptes endus. Les notes obtenues pou chaque goupe sont attibuées aux membes du goupe et vont compte pou 20% de l évaluation finale du module.

69 Univesité Vituelle Aficaine 68 XI. Liste compilée de tous les concepts-clé (Glossaie) 1. Vecteu : gandeu oientée, caactéisée pa sa diection, son sens et son intensité (ou module) 2. Fonction : elle associe une quantité x appatenant à un ensemble (de dépat) A à une aute quantité y appatenant un ensemble (d aivée) B 3. Champ : un champ vectoiel (espectivement scalaie) est défini en faisant coesponde à tout point d une égion de l espace une gandeu vectoielle (espectivement scalaie).une telle gandeu est appelée gandeu locale. 4. Ligne de champ : coube qui en chacun de ses points est tangente au vecteu champ défini en ce point. Dans le cas paticulie où le champ vectoiel est un champ de foces, on pale de ligne de foces. 5. Suface (ou coube) de niveau : lieu des points pou lesquels le champ scalaie gade une valeu fixe u 6. Ciculation : La ciculation C d un champ de vecteus A le long d une coube u Γ est donnée pa l intégale cuviligne: C = A dl où dl est un élément oienté infiniment petit de la coube. Γ u 7. Flux : Le flux Φ d un champ de vecteus A à taves une suface S est donné u pa l intégale de suface : Φ = A n ds où n est le vecteu unitaie nomal positif à l élément infiniment petit S de suface ds. 8. Opéateu : Il s agit d un symbole mathématique indiquant une opéation à u effectue.l opéateu vectoiel de déivation «nabla» n a pas de sens en soi. Il doit agi su une fonction scalaie ou vectoiel de point et il possède à la fois des popiétés vectoielles et de déivation. u 9. Gadient : Losque l opéateu vectoiel de déivation agit su la fonction scalaie de point f ( M ), il définit la gadient de cette fonction et taduit le taux de vaiation de cette fonction suivant une diection donnée (déivée diectionnelle). 10. Potentiel : Nom donné à une fonction scalaie de point f ( M ) dans le cas u u u paticulie où il existe un champ de vecteus V ( M ) tel quev ( M ) = f ( M ).

70 Univesité Vituelle Aficaine 69 XI. Liste compilée des lectues obligatoies Lectue #1 Réféence complète : YOUM, I. (2006). Algèbe des vecteus dans 3. Univesité Cheikh Anta DIOP de Daka. Cous inédit Résumé : Algèbe des vecteus dans 3 Ce chapite est consacé aux vecteus. Il commence pa défini les notions fondamentales, puis sont développées les opéations algébiques usuelles su les vecteus : addition, multiplication pa un scalaie, poduit scalaie, poduit vectoiel, poduit mixte. Justification : Cette lectue donne à l appenant(e) des infomations nécessaies à la ésolution des execices poposés à l activité d appentissage 1 et cetains execices de l évaluation sommative. De plus, les diveses opéations su les vecteus seont constamment utilisées dans la suite du module, donc l étude soignée de ce chapite est vivement ecommandée aux appenants (es). Lectue #2 Réféence complète : YOUM, I. (2006). Fonctions vectoielles, coubes spatiales et sufaces. Univesité Cheikh Anta DIOP de Daka. Cous inédit Résumé : Ce chapite intoduit une notion essentielle en mécanique et en électomagnétisme : celle de fonction vectoielle. Nous commençons pa défini ces fonctions, puis nous étendons les notions de déivation et d intégation à ces fonctions. Enfin nous montons que ces fonctions peuvent sevi à paaméte les coubes et sufaces dans l espace. Justification : Cette lectue donne à l appenant (e) des infomations nécessaies à la ésolution des execices poposés à l activité d appentissage 2 et cetains execices de l évaluation sommative. De plus, les diveses notions su les coubes et sufaces seont utilisées dans la suite du module, nous ne pouvons donc que ecommande son étude soignée aux appenants (es). Lectue #3 Réféence complète : YOUM, I. (2006). Les champs physiques. Univesité Cheikh Anta DIOP de Daka. Cous inédit Résumé : Ce chapite intoduit une généalisation de la notion de fonction à l espace : fonction de point à valeu scalaie ou à valeu vectoielle. La notion de champ joue un ôle tès impotant même en physique élémentaie. Les opéa-

71 Univesité Vituelle Aficaine 70 tions de déivation su ces champs pemettent d intoduie la notion d opéateu vectoiel de déivation «nabla». Justification : Cette lectue donne à l appenant (e) des infomations nécessaies à la ésolution des execices poposés à l activité d appentissage 3 et cetains execices de l évaluation sommative. Nous ecommandons tès vivement son étude soignée aux appenants (es), compte tenu de l impotance du sujet en physique. Lectue #4 Réféence complète : YOUM, I. (2006).Intégales spatiales. Univesité Cheikh Anta DIOP de Daka. Cous inédit Résumé : Ce chapite intoduit les opéations d intégation les plus féquentes su les gandeus locales scalaies ou vectoielles. A l issue de ces opéations ces gandeus locales dispaaissent au pofit des popiétés globales du système physique. On peut alos donne une intepétation physique à la notion d opéateu vectoiel de déivation «nabla». Justification : Cette lectue donne à l appenant (e) des infomations lui pemettant de ésoude les execices poposés à l activité d appentissage 4 et cetains execices de l évaluation sommative. Lectue #5 Réféence complète : YOUM, I. (2006).Application de l analyse vectoielle à l électomagnétisme. Univesité Cheikh Anta DIOP de Daka. Cous inédit Résumé : Ce chapite est consacé à l étude de la popagation des ondes électomagnétiques dans les milieux linéaies et isotopes (on commence pa appele la popagation dans le vide). Ces milieux peuvent ête diélectiques ou conducteus. Ainsi les lois de Snell-Descates de l électomagnétisme sont établies pa la théoie électomagnétique. Pa ailleus les coefficients de Fesnel sont également établis. Justification : Cette lectue donne à l appenant (e) plusieus occasions d applique les techniques d analyse vectoielle étudiées los des chapites pécédents. Il founit aussi des infomations lui pemettant de ésoude les execices poposés à l activité d appentissage 4 et cetains execices de l évaluation sommative.

72 Univesité Vituelle Aficaine 71 Lectues suggéées Lectue suggéée 1 Tite : Poduit scalaie Réféence complète : Résumé : Cette lectue donne plusieus définitions du poduit scalaie : définition en géométie vectoielle, définition en géométie euclidienne, définition pa les aies. Elle donne quelques éléments d histoie du poduit vectoielle, sa notation et ses popiétés et quelques stuctues induites. Justification : Cette lectue pemet à l appenant(e) d affine ses connaissances su le Poduit scalaie afin de pouvoi ésoude cetains execices du module Lectue suggéée 2 Tite : Théoème d unicité de Stokes Réféence complète : d unicit%c3%a9_de_stokes Rèsumé : Cette lectue pésente le théoème de Stockes. Elle en donne un énoncé et une démonstation. Elle en décit l intéêt et les limites et temine pa le pincipe de Diichlet. Les infomations qu elle contient pemettent á l appenant(e) de compléte ses cous. Justification : Cette lectue pemet à l appenant(e) d affine ses connaissances su le Théoème de Stokes afin de pouvoi ésoude cetains execices du module

73 Univesité Vituelle Aficaine 72 XIII. Liste compilée des liens utiles Lien utile # 1 Tite URL : Captue d écan Desciption Ce lien décit les vecteus : définition, caactéistiques et quelques opéations Justification Ce lien infome l appenant(e) su les vecteus, leu epésentation et cetaines opéations

74 Univesité Vituelle Aficaine 73 Lien utile # 2 Tite URL : Captue d écan Desciption Ce lien définit le vecteu en tant qu objet mathématique et en tant qu'objet de modélisation de gandeus physiques. Justification Ce site pemet à l appenant(e) de connaîte l usage du vecteu aussi bien en mathématiques, en physique qu en infomatique, de savoi faie les opéations su les vecteus

75 Univesité Vituelle Aficaine 74 Lien utile # 3 Tite URL : Captue d écan Desciption Ce lien décit le poduit scalaie ente deux vecteus : définition, notation, poduit scalaie dans un espace éel et poduit scalaie dans un espace complexe Justification Ce site pemet à l appenant(e) d affine ses connaissances su le poduit scalaie afin de compléte ses cous théoiques obligatoies

76 Univesité Vituelle Aficaine 75 Lien utile # 4 Tite URL : Captue d écan Desciption Ce lien taite la définition d un vecteu et quelques opéations su les vecteus Justification Ce lien pemet à l appenant(e) d avoi une idée su la définition et les caactéistiques d un vecteu.

77 Univesité Vituelle Aficaine 76 Lien utile # 5 Tite URL : Captue d écan Desciption Ce lien donne une définition du poduit mixte et cetaines de ses popiétés Justification Ce lien pemet à l appenant(e) de mieux compende le poduit mixte et ses difféentes popiétés

78 Univesité Vituelle Aficaine 77 Lien utile # 6 Tite URL : Captue d écan Desciption Ce lien décit le double poduit vectoiel et comment on peut le epésente vectoiellement Justification Ce lien donne à l appenant(e) des infomations complémentaies su le double poduit vectoiel qui est une patie intégante du cous

79 Univesité Vituelle Aficaine 78 Lien utile # 7 Tite URL : Captue d écan Desciption Ce lien décit une application du poduit vectoiel en physique plus pécisément dans le cas du moment d une foce pa appot á un point. Justification Il pemet à l appenant de cetaines applications des mathématiques en physique et sutout á quoi peut sevi un poduit vectoiel.

80 Univesité Vituelle Aficaine 79 Lien utile # 8 Tite URL : Captue d écan Desciption Ce lien décit les coodonnées catésiennes, cylindiques et sphéiques d un gadient de scalaie puis d un gadient de vecteu. Il donne ensuite la divegence, le otationnel d un vecteu puis le Laplacien d un scalaie et d un vecteu en coodonnées catésiennes, cylindiques et sphéiques Justification Ce lien pemet à l appenant(e) d affine ses connaissances et de faie la difféence ente le gadient d un scalaie et celui d un vecteu dans le système des tois coodonnées : catésiennes, cylindiques et sphéiques.

81 Univesité Vituelle Aficaine 80 Lien # 9 Tite URL : unicit%c3%a9_de_ Stokes Captue d écan Desciption Ce lien donne l énoncé du théoème de Stokes, une démonstation de son unicité, son intéêt et ses inconvénients. Justification. Ce lien pemet à l appenant(e) de enfoce ses connaissances et d avoi une idée su la démonstation de l unicité du théoème de Stokes afin de savoi l applique dans cetains execices.

82 Univesité Vituelle Aficaine 81 Lien # 10 : Théoème du flux divegent Tite URL : Captue d écan Desciption Ce lien décit le théoème du flux divegent. Justification Ce lien donne à l appenant(e) des infomations supplémentaies qui lui pemettent de etouve le théoème de Gauss á pati de l équation Maxwell-Gauss.

83 Univesité Vituelle Aficaine 82 Lien # 11 Tite URL Captue d écan Desciption Ce lien donne des explications su les déivées de fonction : définition, notation, déivée de fonctions usuelles et les ègles de déivation. Il décit en oute deux appoches : une appoche intuitive et une appoche histoique Justification Ce lien donne à l appenant(e) des infomations complémentaies su les déivées de fonction. Ces infomations pemettent á l appent(e) de ésoude cetains execices du module.

84 Univesité Vituelle Aficaine 83 Lien # 12 Tite URL: htm Captue d écan Desciption Ce lien décit des applications des intégales en sciences physiques Justification Ce lien pemet à l appenant d avoi des infomations su les applications des mathématiques en sciences physiques, ceci paticulièement dans le cas des intégales.

85 Univesité Vituelle Aficaine 84 Lien # 13 Tite URL : Captue d écan Desciption Ce lien taite les outils mathématiques pou la physique paticulièement les fonctions analytiques, les fonctions multifomes, les fonctions algébiques et les fonctions tanscendantes Justification Toutes les fonctions taitées dans ce lien sont des patie intégantes du module. L appenant(e) a besoin de connaîte les difféences qui existent ente elles afin de éponde à cetains execices de l évaluation sommative du module.

86 Univesité Vituelle Aficaine 85 Lien # 14 Tite URL : Captue d écan Desciption Ce lien contient la plus pat des thèmes taités pa les lectues obligatoies du module : du poduit scalaie jusqu au vecteu gadient en passant pa le flux de vecteu et le théoème de Stokes. Justification Ce lien donne aux appenant(e)s les infomations nécessaies pou ésoude la plus pat des execices des activités d appentissage et de l évaluation sommative du module

87 Univesité Vituelle Aficaine 86 XIV. Synthese du module Ce module donne à l appenant(e) des infomations su l essentiel des méthodes d analyse vectoielle couamment utilisées dans l étude des phénomènes physiques. Il s agit pou l appenant(e) d en faie le tou complet et d en contôle l appopiation effective. Apès lectue des connaissances à assimile, des execices destinés à un auto-contôle de l acquis sont poposés pou chaque activité d appentissage. Ces execices concenent la détemination des coodonnées d un vecteu, le calcul du poduit scalaie, du poduit vectoiel, du poduit mixte et du double poduit vectoiel de deux ou plusieus vecteus. Des méthodes de calculs su la déivée totale ou patielle d un vecteu et d une fonction comme celles de gadient de vecteu et d intégale simple ou multiple de fonctions sont explicitées dans le module. Les notions de champ vectoiel et de champ scalaie, de ligne de champ, d opéateus difféentiels, de flux y sont lagement expliquées Au teme du module, l appenant(e) doit atteinde les objectifs suivants : Compende les notions de base de l algèbe des vecteus Compende les outils du calcul difféentiel et intégal appliqués aux fonctions (scalaies ou vectoiels) de plusieus vaiables, Maitise la déivation vectoielle, Maitise le gadient et les autes opéateus d analyse vectoielle, en insistant su les intepétations géométiques et physiques. Compende et applique les théoèmes de Stokes et de Gauss.

88 Univesité Vituelle Aficaine 87 XV. Évaluation sommative Execice 1 Soient les vecteus a, b et c donnés dans un epèe catésien pa : a = i + j, b = i + j + k, c = i 3 j + 2k. a) Ces tois vecteus constituent-ils une base de 3? A - Oui B - Non u b) Si vote éponse est affimative, les composantes du vecteu V dans cette base sont : = 2i 4 j k A - ( 3 2, 9 2,4) B - (9 2, 4, 3 ) C - (2, 4, 1) D - (1,1,1) 2 Execice 2 Soient les vecteus a, b et c de l espace vectoiel 3. a) Si a b = a c, a-t-on alos b = c? A - Oui b) Si a A - Oui B - Non b, a-t-on alos a (a B - Non 2 b) = a b? Execice 3 u Soit la fonction vectoiellev (t) = e 2t (cos2ti + sin2t j + tk). u u Calcule sa déivée pemièe V '(t) et sa déivée secondev "(t).

89 Univesité Vituelle Aficaine 88 Execice 4 Soit la fonction vectoielle (t) = (t)u(θ) avecθ = θ(t). a) Expime d dt et d2 dt 2 u b) Calcule C = d dt. En déduie que si et d2 sont paallèlles, l extémité 2 uuuu dt M du vecteu OM (t) = (t) décit une coube contenue dans un plan passant u pa O et pependiculaie au vecteu C. Execice 5 Calcule l intégale vectoielle : π / 2 0 (cos3ti + sin2t j)dt Execice 6 Soit une paticule matéielle qui décit dans l espace la coube définie pa les équations paamétées (t est le temps) suivantes : x = 2e t sint y = 2e t cost z = e t a) Détemine les vecteus vitesse et accéléation de la paticule à l instant t. b) Détemine le ayon de coubue de la tajectoie au point t = 0. c) Détemine les vecteus unitaies de la tangente, de la nomale pincipale, de la binomale au point t = 0. Execice 7 Soit une suface d équation paamétique : x = R cosucos v y = R sinucos v z = R sin v

90 Univesité Vituelle Aficaine 89 a) Détemine l équation catésienne de cette suface. b) Détemine le vecteu unitaie nomale à la suface. c) Détemine l équation du plan tangent au point M (u = 0,v = π 4 ). d) Apès avoi détemine un élément de suface, calcule l aie totale de la suface. Il vous appatient de défini les limites appopiés à ce calcul. e) Calcule le flux à taves cette suface du champ vectoiel Execice 8 Les champs de foces ci dessous sont-ils des champs de gadient? Si oui touve dans chaque cas le potentiel scalaie dont déive le champ de foces. u a) F = x 2 yzi + xy 2 z j + xyz 2 k u b) F = (3x 2 z + y)i + (z 2 + x) j + (x yz)k 3. Execice 9 Losqu un cops solide est en otation autou d un axe fixe, la distibution des vitesses des points M du solide est donnée pa : u uuuu v( M ) = ω OM u où ω est un vecteu (constant) paallèle à appelé vitesse instantannée de otation uuuu du solide et O est un point quelconque de.on pose OM = = xi + y j + zk. Calcule le otatationnel du champ des vecteus vitesses. Execice 10 u Une onde électomagnétique est composée d un champ électique E et d un u champ magnétique B. Ces champs sont eliés pa les équations de Maxwell dans le vide : u uu u (1) ot E = B t u u (2) div B = 0 (3) div E uu u = 0 (4) ot B = ε 0 μ 0 E u t

91 Univesité Vituelle Aficaine 90 a) Quelle est l équation de popagation du champ électique? b) Monte qu une solution de l équation de popagation est de la fome u u E = E 0 cos(ωt k ) auquel on associe la epésentation complexe u u E = E 0 expi(ωt k ). Quel est l intéêt de cette epésentation complexe? Execice 11 Données Vitesse de la lumièe dans le vide : c = m/ s Pemittivité du vide : ε 0 = 8, F / m Peméabilité du vide : μ 0 = 4π.10 7 H / m On se popose de défini la stuctue d une onde plane dans le vide en l absence de toute chage et de tout couant. Cet espace est appoté à un tiède othonomé diect Oxyz et on désigne pa e x, ey et ez les vecteus unitaies su les tois axes. 1) Apès avoi appelé les équations de Maxwell, en déduie les équations aux u déivées patielles auxquelles obéissent les champs électique E et magnétique B. u 2) On fait pa la suite l hypothèse que l onde est plane (O.P.), c est-à-die que u u les champs E et B ne dépendent que d une seule vaiable d espace, ici la coodonnée z (les déivées patielles pa appot à x et y sont nulles), et du u u temps t. Soit f (z,t) une composante quelconque de E ou de B. La solution de l équation véifiée pa f (z,t) est la somme de deux temes ; monte qu ils coespondent à deux ondes pogessives se popageant en sens contaies. On poua utilise les vaiables u = z ct et v = z + ct. Calcule la céléité c de la popagation de ces ondes. 3) On considèe l onde plane pogessive (O.P.P.) dans le sens des z coissants et on admet que les coodonnées de E et B ne possèdent pas de u u u teme constant. On suppose qu on impose à E de vaie suivant la loi : u E = E 0 e x cos ω u (z ct) c. Monte que les champs E u et B :

92 Univesité Vituelle Aficaine 91 sont tansveses ; u sont othogonaux et que le tiède ( u, E B l on pécisea). u Donne la loi de vaiation de B ;,c Touve une elation enteε 0, μ 0, E 0 et B 0. ) est diect ( c est un vecteu que Application numéique :ω = 2π ad.s 1, E 0 = 100 V.m 1. Calcule B 0 et la longueu d onde λ. u E 4) On appelle impédance caactéistique d une onde la quantité Z c = μ 0 u. B Donne l expession de Z c en fonction des caactéistiques du vide, puis sa valeu numéique. 5) On désigne pa w( M,t), la densité d énegie électomagnétique et pa u P( M,t) le vecteu de Poynting (vecteu densité de couant d énegie). Etabli la elation locale taduisant la consevation de l énegie électomagnétique. u Déduie des équations de Maxwell les expessions de w et de P en fonction u u de E et B. u Donne une elation simple ente P et w dans le cas d une O.P.P. en fonction du champ électique E u. Execice12 L espace est appoté à un système d axes othonomés Ox, Oy et Oz. Une suface plane paallèle à Oxy et d équation z = 0 sépae l espace en deux paties : la égion z > 0 est vide, la égion z < 0 est constituée pa un diélectique pafait L.H.I. (ne contenant ni chages, ni couants, ni en volume, ni en suface). Sa peméabilité magnétique est celle du vide μ 0 et sa pemittivité électique estε.

93 Univesité Vituelle Aficaine 92 On considèe une O.P.P.M. de pulsation ω, polaisée ectilignement (champ électique paallèle à l axe Oy ), se popageant dans le milieu diélectique (dans le demi-espace z < 0 ) suivant vecteu d onde k qui se touve dans le plan xoz et fait un angle θ avec l axe Ox ( 0 < θ < π 2 ). Cette onde ne vaie qu avec les coodonnées x et z, elle joue alos le ôle d onde incidente et aive à la suface de sépaation des deux milieux où elle engende une onde éfléchie et une onde tansmise. L onde incidente est epéée pa l indice i et son champ électique a pou amplitude E 0i (éel). 1) Expime la vitesse c ϕ de l onde dans le diélectique en fonction de ε 0 (pemittivité électique du vide)ε et c (vitesse de la lumièe dans le vide). 2) On désigne pa k le vecteu d onde de l onde éfléchie et pa k0 celui de l onde tansmise. Les amplitudes du champ électique de l onde éfléchie et tansmises sont notées espectivement E 0 et E 0t. Rappele les expessions complexes des champs électiques et magnétiques associées aux tois ondes. Die pouquoi les ondes éfléchie et tansmise possèdent la même pulsation que l onde incidente Que valent les modules des vecteus d onde k, k et k 0? 3) Quelles autes conditions su les vecteus d onde impose la elation de passage su les champs? En déduie les lois de Snell-Descates. Explicite la fome généale des composantes non nulles des champs électique et magnétique en fonction de x, z, des vecteus d onde k et des angles θ. Détemine les coefficients de Fesnel de éflexion et de tansmission. 4) Monte que pou 0 < θ < θ c où θ c une valeu limite que l on explicitea, il se poduit un phénomène de éflexion totale. Ce phénomène taduit-il l inexistence d une onde tansmise? Si cette onde existe, quelles sont ces caactéistiques suivant Ox et suivant Oz? Pou quelle valeu δ z de z, l amplitude du champ tansmis est elle divisée pa e? Détemine la valeu moyenne du vecteu de Poynting. Commente le ésultat obtenu.

94 Univesité Vituelle Aficaine 93 Réponses clés Solution de l execice 1 a) Les vecteus a, b et c constituent une base s ils sont linéaiement indépendants, c est à die : λ 1 a + λ 2 b+ λ 3 c = 0 λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0. On ne peut avoi cette égalité que si le déteminant D = , ce qui est le cas puis que D = 4. Donc les vecteus en question constituent une base de 3. u b) On a : V = 2i 4 j k = xa + yb+ zc soit : u V = x(i + j ) + y(i + j + k ) + z(i 3 j + 2k ) = (x + y + z)i + (x + y 3z) j + ( y + 2z)k ce qui conduit au système d équation : x + y + z = 2 x + y 3z = 4 y + 2z = 1 dont la solution est x = 9 2, y = 4, z = 3 2 Solution de l execice 2 a) On a : a b = a c a (b c) = 0. Donc si b c alos a (b c). Finalement a b = c b = a c n entaîne pas

95 Univesité Vituelle Aficaine 94 b) On sait que a (a o si a b, alos a b ) = (a b)a b = 0, d où a (a (a b a)b ) = (a a 2 )b = a b. Solution de l execice 3 On a : u dv u dt = V '(t) = 2e 2t (cos2t sin2t)i + 2e 2t (sin2t + cos2t) j + 2e 2t (2t + 1)k et u d 2 V dt 2 u = V "(t) = 8e 2t Solution de l execice 4 ( sin2t)i + (cos2t) j + (t + 1)k a) (t) = (t)u et d dt = d dt u + du dθ dθ dt d 2 dt = d2 2 dt dθ 2 dt u b)le vecteu C u C = u ( d dt u + du dθ u Si P d2 dt 2 2 u + 2 d dt = d est donné pa : dt, on a : dc dθ dt ) = dθ 2 dt dt = d dt ( d dθ dt + d2 θ dt 2 du dθ du dθ dt ) = d dt d dt + d2 dt = 0 2

96 Univesité Vituelle Aficaine 95 u Le vecteu C = d est donc un vecteu constant. dt u - Si C = 0, alos du dt = 0, le vecteu u est constant et le point M décit la doite(o;u). u - Si C 0, et d u dt sont toujous pependiculaie à C qui est un vecteu constant, c est à die de diection fixe et de module constant : le point M décit une coube situé dans le plan passant pa O et othogonal au vecteu u C. Solution de l execice 5 π / 2 (cos3ti + sin2t j)dt = sin3t 2 i cos2t 2 j Solution de l execice 6 a) Le vecteu vitesse est donné pa : v = dx dt i + dy dt j + dz dt k soit : dx dt = 2et (sint + cost) dy dt = 2et (cost sint) dz dt = et Pou le vecteu accéléation, on a : a = d2 x dt i + d2 y j + d2 z 2 dt 2 dt k 2 π 0 π 0 = 1 3 i + j

97 Univesité Vituelle Aficaine 96 soit d 2 x dt = 2 4et cost d 2 y dt = 2 4et sint d 2 z dt 2 = et b) D apès la question pécédente, le caé du module du vecteu vitesse est donné pa : v 2 = dx dt 2 + dy dt 2 + dz dt L accéléation tangentielle est alos : 2 = 9e 2t, soit v = 3e t. a t = dv dt = 3et De plus on a : a 2 = a t 2 + a n 2 = 17e 2t, ce qui donne : a n = soit 8e t = v2 R c, R c = v2 = 9 a n 2 2 et et pou t = 0, on a R c = c) Le vecteu unitaie de la tangente est donné pa : u T = v v = 2 3 (sint + cost)i (cost sint) j k Soit pou t = 0

98 Univesité Vituelle Aficaine 97 T u0 = 2 3 i j k Le vecteu unitaie nomal est tel que : u dt ds = 1 uu N R c et u u o dt ds = dt / dt ds / dt = 2 9 e t (cost sint)i 2 9 e t (sint + cost) j u dt ds = 8 9 e t = 1, on etouve bien la valeu du ayon de coubue. R c Ainsi uu N = 1 2 (cost sint)i 1 2 (sint + cost) j et pou t = 0 uu N 0 = 1 2 i 1 2 j u Le vecteu unitaie binomal est donné pa : B u0 B = i j k u uu = T N, soit Solution de l execice 7 a) L équation caétésienne de la tajectoie s obtient pa élimination des paamètes u et v, soit : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 C est l équation d une sphèe de cente O et de ayon R. b) Un vecteu nomal en un point M de la suface est donné pa : uu N = u uuuu v où = OM

99 Univesité Vituelle Aficaine 98 u = R sinucos vi + R cosucos v j et v = R cosusin vi R sinusin v j + R cos vk uu Soit N = R 2 cosucos 2 vi + R 2 sinucos 2 v j + R 2 cos vsin vi, ainsi le vecteu unitaie de la nomale est donné pa : uu n = N uu = cosucos vi + sinucos v j + sin vk N c) Désignons pa 0 la position du point M (u = 0,v = π ), et pa 4 = xi + y j + zk la position de tout point du plan tangent, on a alos : ( n0 = 2 soit : 0) n0 = 0 où n0 est le vecteu unitaie nomal à la suface en M : n0 = i k ( 0) n0 = (x 2 2 R)i + y j + (z 2 2 R)k 2 2 i k = 0 D où on tie l équation du plan tangent: x + z = 2R d) L élément d aie en un point de la suface est donné pa : uu ds = N dudv = R 2 cos vdudv soit l aie totale de la sphèe : π S = R 2 2 du cos vdv = 4π R 2 0 2π π 2 1 e) Le module du champ constant su la sphèe est donné pa :, donc le flux 2 sotant du champ est : R Φ = (sphèe) 3 u ds = 1 R ds 2 (sphèe) = 4π

100 Univesité Vituelle Aficaine 99 Solution de l execice 8 Pou qu un champ de foces soit un champ de gadients, il suffit que son otationnel soit nul : ot F = 0 uu u. a) uu u ot F = i x j y k z x 2 yx xy 2 z xyz 2 = (xz 2 xy 2 )i ( yz 2 x 2 y) j + ( y 2 z x 2 z)k Ce champ de foces n est pas un champ de gadients. Il ne déive donc pas d un potentiel scalaie. b) uu u ot F = i x j y k z 3x 2 z + y z 2 + x x yz = 0 Ainsi ce champ est un champ de gadients. On a alos : u u F = gad uuuuu = U x i + U y j + U z k, Soit : U x = 3x2 + y U (x, y, z) = x 3 z + xy + f 1 ( y, z) U y = z2 + x U (x, y, z) = yz 2 + xy + f 2 (x, z) U z = x3 + 2 yz U (x, y, z) = x 3 z + yz 2 + f 3 (x, y) L égalité de ces tois expession conduit à : U (x, y, z) = x 3 z + xy + yz 2 + cte

101 Univesité Vituelle Aficaine 100 Solution de l execice 9 Le vecteu vitesse est donné pa : u i j k v( M ) = ω = ω x ω y ω z = (zω y yω z )i + (xω z zω x ) j + ( yω x xω y )k x y z Le otationnel du vecteu vitesse est : i j uu otv = x y k z = 2(ω x i + ω y j u + ω z k) = 2ω zω y yω z xω z zω x yω x xω y On emaque que le otationnel du champ des vecteus vitesses du solide en otation est égal au double du vecteu vitesse instantannée de otation, ce qui justifie le nom de cet opéateu. Solution de l execice 10 a) Calculons le otationel de l équation (1) : u u ( u E Pa ailleus, on a : u u ( u E u u ) = ( B u ) = u ( t ) = t ( u u u 2 u u 2 u E ) E = E u u) 2 E B = ε 0 μ 0 t 2 Nous obtenons ainsi l équation de popagation du champ électique : u u 2 u 2 E E ε 0 μ 0 = 0 t 2 De façon analogue, en éliminant le champ électique, on obtient l équation de popagation du champ magnétique :

102 Univesité Vituelle Aficaine 101 u u 2 u 2 B B ε 0 μ 0 = 0 t 2 b) L intéêt de la epésentation complexe est qu elle pemet de substitue aux opéations analytiques de déivation et d intégation des opéations algébiques de multiplication ou de division. Ici, l opéateu de déivation en u coodonnées catésiennes est paticulièement simple. Nous avons : u Ce qui donne : ik et t iω u u 2 u u E = k 2 E et 2 E t 2 On obtient alos : u = ω 2 E u 1 (ω 2 ε 0 μ 0 k 2 )E = 0 avec ω = c k où c = est la céléité de la lumièe dans le vide. ε 0 μ 0 Les équations de Maxwell deviennent : u u u u (1) ik E = iω B (2) ik E = 0 (3) ik B = 0 u u (4) ik B = iωε 0 μ 0 E u u On a alos les tois vecteus (E, B,k) foment un tiède othogonal diect avec B = E c Solution de l execice 11 1) Les équations de Maxwell dans le vide, en l absence de chage et de couant, s écivent : u u (1) div E = 0 (2) div B u uu u = 0 (3) ot E = B t (4)

103 Univesité Vituelle Aficaine 102 u uu u E ot B = ε 0 μ 0 t u Pou obteni les équations aux déivées patielles, on élimine pa exemple B ente les deux denièes elations : pou cela, on pend le otationnel de (3) et on epote la valeu tiée de (4), ce qui donne : uu uu u uuuuu u u u ot ot E = gad div E E = E = uu u t ot B d où l équation d onde : u u 2 E E ε 0 μ 0 = 0 t 2 u De même, en éliminant E u u 2 B B ε 0 μ 0 = 0 t 2, on obtient : u 2 E = ε 0 μ 0 t 2 u 2 2 Le laplacien s écit en coodonnées catésiennes : = = x y z 2 En appliquant cet opéateu à chaque composante du vecteu champ électique (pa exemple), on obtient tois équations : 2 E i x E i y E i z 2 = ε 0 μ 0 2 E i t 2 avec i = x, y, z La ésolution de cette équation d onde aux déivées patielles donne l expession u u des champs E et B en fonction des coodonnées spatiales et du temps t. 2) Nous allons donc ésoude cette équation dans le cas d une onde plane, c est à die que les champs ne vaient que dans la diection de popagation (ici l axe Oz), ce qui implique toutes les déivées patielles sont nulles dans le plan d onde Oxy, soit : x = y = 0 Ainsi chacune des six composantes E i ou B i véifie une équation d onde à une dimension de la fome :

104 Univesité Vituelle Aficaine f z 2 1 c 2 2 f t 2 = 0 avec c2 = 1 ε 0 μ 0 En intoduisant les vaiables u = z ct et v = z + ct, nous obtenons alos : z = 1 2 (u + v) et t = 1 (u v) 2c soit f (z,t) = f (u,v). On a alos : f z = f u u z + f v v z = f u + f v 2 f z = 2 z ( f u + f v ) = 2 f u 2 De même, on a : + 2 f v f u v f t = f u et : u t + f v f = c( v t u + f v ) 2 f t 2 = c2 ( 2 f u f v f u v ) Ainsi, l équation d onde sous la fome 2 f z 2 2 f u v = 0 soit encoe : 1 2 f = 0 se éduit à : c 2 2 t u ( f v ) = 0 qui pa intégation donne :

105 Univesité Vituelle Aficaine 104 f = g(v), fonction de la seule vaiable v, dont l intégation conduit à : v f (u,v) = F (u) + G(v) où G(v) est une pimitive de g(v) et F (u) est la constante d intégation pa appot à v. La solution généale de l équation d onde f (z,t) s écit donc : f (z,t) = F (z ct) + G(z + ct) où F et G sont des fonctions quelconques. C est l équation de l onde plane pogessive qui se déplace dans la diection Oz avec : F (z ct) epésente l onde pogessive «diecte» qui se popage avec la vitesse c dans la diection des z coissants. En effet si à l instant t et au point d abscisse z, la fonction a la valeu F (z ct), elle etouvea exactement cette même valeu à l instant t + t au point d abscisse z + z : au bout de l intevalle de temps t, le champ appaaît identique à lui-même en se déplaçant le long de l axe des z su une distance z = c t, on dit qu il s est popagé à la vitesse c avec une amplitude constante. La constante c epésente donc la vitesse de popagation ou encoe céléité du champ. L onde est dite plane puis que les sufaces d onde (z = cste à un temps fixé) sont des plans othogonaux à la diection de popagation, elle a la même valeu en tout point du plan d onde. - G(z + ct) epésente l onde «étogade» qui se popage avec la vitesse c suivant l axe Oz, mais en sens opposé. Le compotement des gandeus liées au champ électomagnétique est égi pa des elations qui imposent qu il se popage dans le vide avec une vitesse (céléité de la lumièe dans le vide) qui vaut : c = 1, soit envion c = m/ s. ε 0 μ 0 3) Les équations (1) et (2) de Maxwell entaînent : E z z = 0 et B z z = 0 d où les champs E u u et B n ont pas de composantes suivant l axe des z : les champs sont donc tansveses, l onde est dite tansvese électomagnétique (TEM).

106 Univesité Vituelle Aficaine 105 La elation (3) de Maxwell donne : E y z = B x t = 0 E x z = B y t 0 = B z t = ω c E sin ω (z ct) 0 c On a alos B y = E u u u u x c d où E B = 0 et E = c B. u u Les champs E et B sont donc othogonaux et popotionnels en nome. Il ésulte de ce qui pécède, que : E = B cez = B c, en notant : c = cez : vecteu u u u u vitesse de l onde. Le tiède ( u, E B,c ) est donc diect. u La loi de vaiation de B est donnée pa : u B = E 0 c e y cos ω c (z ct) On a : B 0 = E 0 c = ε 0 μ 0 E 0 Application numéique B 0 = 100V / m m/ s T k = 2π λ = ω c λ = 2πc ω = m 4) L impédance caactéistique du vide est donnée pa : A.N. Z c = μ 0 u E 1 u = μ 0 c = μ 0 B μ 0 ε 0 = μ 0 Z c = 377 Ω ε 0

107 Univesité Vituelle Aficaine 106 5) Le pincipe de consevation locale de l énegie expime que le taux de vaiation tempoelle de l énegie du champ électomagnétique contenue dans un volume fixé de l espace est égale à la puissance ayonnée pa la popagation du champ augmentée de la puissance électomagnétique eçue pa les poteus de chage électique contenues dans le volume. O nous savons pa hypothèse ici qu il n existe pas de chage dans le vide. Nous avons donc : de em dt = d dt Vol u w( M,t)dτ = P S u ds Soit pa application du théoème d Ostogadski : d u u u w( M,t) dτ = P ds dt Vol = div P dτ S Vol Finalement, il vient : w u t + div P = 0 Patons des équations de Maxwell (3) et (4), qu on multiple scalaiement u u espectivement pa B et E, on obtient alos : u B u E uu u ot E uu u ot B u u = B B t = 1 2 u 2 B t u u = ε 0 μ 0 E E t = 1 2 ε μ 0 0 u 2 E t En ajoutant membe à membe ces deux équations, nous touvons : u E uu u ot B soit encoe : div( E u u B uu u ot E u = div(e u u B ) + t (ε E 2 u 0 + B 2 ) = 0 2 2μ 0 μ 0 u B) = 1 2 ε μ 0 0 u 2 E + 1 t 2 u 2 B t

108 Univesité Vituelle Aficaine 107 On peut identifie cette équation avec celle de consevation locale de l énegie en posant : w = ε 0 E u B u 2 2μ 0 et u P = E u u B μ 0 On emaquea que la densité d énegie west définie à une constante additive pés que l on choisit nulle pou évite qu il y ait de l énegie en l absence de champ électomagnétique. De même que le vecteu de Poynting est également défini u à un otationnel pés, choisi nul, afin que P soit nul en l absence de champ et paallèle à la diection de popagation. Pou une O.P.P., nous avons : u u u u u E B = E ( e z E ) = E 2 c c e z Ce qui donne pou le vecteu de Poynting : u u P = E 2 e cμ 0 u 2 z = cε 0 E e La densité d énegie vaut : u 2 z = ε 0 E c w = ε 0 E u 2 2 u + B 2 u = ε E 2 u E u 2μ 0 2 2μ 0 c = ε E Le vecteu de Poynting s écit donc : u P = wc Ainsi, dans le vide, la vitesse de popagation de l énegie électomagnétique est égale à la vitesse c de la lumièe.

109 Univesité Vituelle Aficaine 108 Solution de l execice 12 1) La céléité de la phase d une onde électomagnétique dans un milieu est donnée pa : c ϕ = ω k = 1 = c ε 0 εμ ε = c n 0 où n = ε est l indice du milieu diélectique. 2) Les champs électique et magnétique des tois ondes sont (en considéant le milieux non limités) : Pou l onde incidente : u u E i = E 0i expi(ωt k avec u0i B = 1 ω k u E 0i u ) et B u i = B 0i expi(ωt k ) Pou l onde éfléchie : u E u = E 0 expi(ω t k avec u0 B = 1 ω k u E 0 u ) et B u = B 0 expi(ω t k ) Pou l onde tansmise : u E u t = E 0t expi(ω t t k avec u0t B = 1 ω k u E 0t 0 u ) et B u t = B 0t expi(ω t t k 0 )

110 Univesité Vituelle Aficaine 109 Les deux milieux sont magnétiquement identiques d où la consevation du champ magnétique au plan z = 0, soit : u u u u u B1 = B 2 B i + B = B t Cette elation doit ête véifiée à tout instant, en tout point de la suface de sépaation, ce qui implique une même dépendance tempoelle des tois champs et donc : ω = ω = ω t Pa définition, nous avons : k = k = ω c ϕ, donc k = k = ω c ϕ = 2π n ct = n 2π λ 0 et k 0 = ω c = 2π λ 0 3) au plan de sépaation des deux milieux, on a : k = k = k t k ut = k ut = k t ut ut : vecteu unitaie tangent appatenant au plan 0xy : los de la éflexion ou de la éfaction, il y a consevation de la composante tangentielle du vecteu d onde. Cette elation est en paticulie vaie pou le vecteu unitaie ey : k ey = k ey = k t ez = 0 Nous en déduisons que les vecteus d onde des ondes éfléchies et éfactées sont pependiculaies à ey. Ces vecteus d onde sont donc dans le plan xoz, ainsi, on a la pemièe loi de Snell-Descates : les ondes éfléchies et éfactées sont dans le plan d incidence. Suivant e x, on a : kei ex = ke ex = k 0 et ex k cosθ = k cosθ ' = k 0 cosθ t, on tie de cette égalité : θ = θ ' et k cosθ = k 0 cosθ t ou encoe ncosθ = cosθ t. Ce qui taduit la deuxième loi de Snell-Descates : l angle d incidence est égale à l angle de éflexion, l angle d incidence et l angle de éfaction sont liés pa : n 1 sin i = n 2 sin, avec ici i = π 2 θ et = π 2 θ t.

111 Univesité Vituelle Aficaine 110 Les composantes des difféents champs ont pou expessions (on a u uu u ot E = B t ) : onde incidente : E iy = E 0i expi(ωt kxcosθ kzsinθ) B ix = E 0i c ϕ sinθ expi(ωt kxcosθ kzsinθ) B iz = E 0i c ϕ onde éfléchie : cosθ expi(ωt kxcosθ kzsinθ) E y = E 0 expi(ωt kxcosθ + kzsinθ) B x = E 0 c ϕ sinθ expi(ωt kxcosθ + kzsinθ) B z = E 0 c ϕ cosθ expi(ωt kxcosθ + kzsinθ) onde tansmise : E ty = E 0t expi(ωt k 0 xcosθ t k 0 zsinθ t ) B tx = E 0i c sinθ t expi(ωt k 0 xcosθ t k 0 zsinθ t ) B tz = E 0i c cosθ t expi(ωt k 0 xcosθ t k 0 zsinθ t ) Les conditions de continuité en z = 0, imposent : - pou le champ électique (consevation de la composante tangentielle): E 0i + E 0 = E 0t

112 Univesité Vituelle Aficaine 111 u - pou le champ magnétique : u0i B + B 0 u = B 0t, soit : E 0i et c ϕ sinθ + E 0 c ϕ sinθ = E 0t c sinθ t E 0i c ϕ cosθ + E 0 cosθ = E 0t c ϕ c cosθ t La ésolution de ce système d équation conduit à : E 0 et E 0i = = nsinθ sinθ t nsinθ + sinθ t = tanθ tanθ t tanθ + tanθ t E 0t E 0i = t = 2nsinθ nsinθ + sinθ t = 2tanθ tanθ + tanθ t 4) Nous avons écit la loi de Snell-Descates de la éfaction : k cosθ = k 0 cosθ t, on doit donc avoi cosθ t 1, ce qui n est pas possible si θ θ c, π 2 aveccosθ = k 0 c k = 1 n. Ainsi pou0 < θ < θ, il se poduit le phé c nomène de éflexion totale, ce qui ne signifie pas qu il n y a pas d onde tansmise dans le vide(milieu 2) : ce seait en effet incompatible avec les elations de passage. La stuctue de cette onde est paticulièe, comme nous allons le voi. Pou 0 < θ < θ c, on aua cosθ t = k k 0 cosθ > 1, son sinus est alos complexe. On peut, d un point de vue fomel, continue à applique la loi de Snell-Descates, en écivant : sinθ t = ± 1 cos 2 θ t = ± 1 k 2 q = k 2 cos 2 θ k 0 2 k 0 2 cos2 θ = ±i q k 0 avec

113 Univesité Vituelle Aficaine 112 On obtient alos pou le champ électique tansmis : E ty = E 0t expi(ωt k 0 xcosθ t k 0 zsinθ t ) = E 0t e ± qz expi(ωt kxcosθ) Pou évite que l amplitude du champ ne tende exponentiellement ves l infini, on choisitsinθ t = i q k 0, ce qui donne : E ty = E 0t e qz expi(ωt kxcosθ). Il s agit d une onde qui ne se popage plus dans la diection de l axe Oz,où son amplitude décoît exponentiellement avec la distance : elle a pis le caactèe d une onde évanescente ; elle se popage paallèlement à Ox suivant les x positifs avec une vitesse de phase v ϕ = (milieu 1) et l onde incidente. ω k cosθ = c ncosθ imposée pa le milieu diélectique Il est à emaque que la décoissance de l amplitude de l onde se fait pependiculaiement à la diection de popagation ; on est donc en pésence d une onde plane pogessive monochomatique (OPPM) inhomogène, ca son amplitude n est pas la même en tout point du plan d onde. Le coefficient de éflexion peut alos s écie : = 1 im 1+ im avec / m= q k sinθ m= q k sinθ / m= q k sinθ m= q k sinθ, ainsi l amplitude de l onde éfléchie est égale à l amplitude de l onde incidente. L onde tansmislle décoît exponentiellement dans la diection pependiculaie à l inteface de telle sote que son amplitude est éduite d un facteu e su une distance δ z donnée pa : δ z = 1 q = 1 k 2 cos 2 θ k 0 2 = λ 0 2π n 2 cos 2 θ 1 u uu u De ot E = B u t = iω B, on tie immédiatement :

114 Univesité Vituelle Aficaine 113 B tx = iq ω E 0t e qz expi(ωt kxcosθ) B tz = k ω cosθ E 0t e qz expi(ωt kxcosθ) Contaiement au cas d une OPPM homogène, ce champ magnétique n est pas pependiculaie à la diection de popagation de la phase. La composante suivant Oz est en phase avec celle de E ty, alos que celle suivant Ox est en quadatue. La valeu moyenne du vecteu de Poynting est donnée pa : < ut P >= 1 u Re(E 2μ 0 u * t B t) u < P t >= 1 2 ε E 2 μ 0t e 2qz ex 0 On a donc en moyenne, l énegie de l onde évanescente se popage paallèlement à l inteface et la puissance moyenne qui tavese la suface de sépaation est nulle, ce qui explique que toute l énegie de l onde incidente soit éfléchie, malgé l existence de l onde tansmise, d où le nom de éflexion totale. Le milieu 2 peut ête assimilé à une inductance pue, la puissance moyenne est nulle (mais, la valeu instantanée du flux d énegie oscille sinusoïdalement ente deux valeus opposés), mais il existe toujous un couant éactif à taves l inductance. Ce qui se poduit, en éalité, est que l onde incidente ne epat pas butalement du point d incidente, mais pénète dans le milieu 2 d où elle est envoyée ves le milieu 1 ; c est pendant cette phase d alle-etou de pat et d aute de la suface de sépaation qu intevient le tanspot de l énegie de l onde évanescente paallèlement à l inteface.

115 Univesité Vituelle Aficaine 114 XVI. Réféences YOUM, I. (2006). Algèbe vectoielle dans R 3. Univesité Cheikh Anta DIOP de Daka. Sénégal. Cous inédit. YOUM, I. (2006). Champs physiques. Univesité Cheikh Anta DIOP de Daka. Sénégal. Cous inédit. YOUM, I. (2006). Fonctions vectoielles. Univesité Cheikh Anta DIOP de Daka. Sénégal. Cous inédit. YOUM, I. (2006). Intégales spatiales. Univesité Cheikh Anta DIOP de Daka. Sénégal. Cous inédit. YOUM, I. (2006).Application de l analyse vectoielle à l électomagnétisme. Univesité Cheikh Anta DIOP de Daka. Cous inédit. HULIN, M. et QUINTON, M-F. (1986). «Outils mathématiques pou la physique» Edition Amand Colin - collection U, Pais. BAUMY, A et BONNAUD, M. (1989). «Mathématiques pou le physicien» Edition McGaw Hill,Pais. SPIEGEL, M-R. (1977). «Analyse vectoielle» Edition McGaw Hill,Pais. RILEY, K-F, HOBSON, M-P et BENCE, S. J. (1998). «Mathematical Methods fo Physics and Engineeing» Cambidge Univesity Pess, Cambidge. ARFKEN, G. (1985). «Mathematical Methods fo Physicists «Academic Pess, Olando. LESIEUR, L et JOULAIN C. (1974). «Mathématiques : Tome 1 : Algèbe et géométie» Edition Amand Colin - collection U, Pais. LESIEUR, L et LEFEBVRE J. (1974). «Mathématiques : Tome 2 : Analyse» Edition Amand Colin - collection U, Pais. McCALLUM, W-G., HUGHES-HALLET, D., GLEASON, A-M. et al. (1988).»Mulvaiable calculus»john Wiley, New Yok. Hulin. M, Hulin. N, et Pein. D. (1992). «Equation de Maxwell Ondes électomagnétique» Edition Dunod, Pais Betin, M. Faoux, J.P. Renault, J. (1984). «Electomagnétisme 4: Milieux diélectiques et milieux aimantés». Edition Dunod, Pais Pucell, E.M. (1973). «Electicité et magnétisme : Bekeley Cous de Physique 2» Edition Amand Colin, Pais Ashutosh, P. (2006). Electomagnetism : Theoy and Applications Edition Pentice Hall of India, New Delhi.

116 Univesité Vituelle Aficaine 115 Bleaney, B-I. and Bleaney, B. (1976). Electicity and Magnetism. Edition Oxfod univesity Pess, Oxfod unicit%c3%a9_ de_stokes

117 Univesité Vituelle Aficaine 116 XVII. Auteu pincipal du module D. Issakha YOUM Pofesseu titulaie de Physique depuis Faculté des Sciences et Techniques. Dépatement de Physique Univesité Cheikh Anta DIOP de Daka Diplômes obtenus Maîtise de Physique Appliquée. Doctoat de 3 ème cycle Doctoat d état ès Sciences. Spécialité : Physique du Solide et Sciences des Matéiaux, Tavaux de echeche oientés ves la convesion photovoltaïque de l énegie solaie. Chef de Dépatement de Physique de 2003 à 2007 Diecteu du CERER (Cente d Études et de Recheches su les Énegies Renouvelables) depuis Novembe iyoum@ucad.sn