M2PRO AE2I COMMANDE DES SYSTÈMES LINÉAIRES. Première version de ce cours complétement inspiré des Œuvres Précédentes de Gérard Scorletti et Guy Binet.

Transcription

1 MPRO AE COMMANE ES SYSÈMES LNÉARES Première version de e ours omlétement insiré des Œuvres Préédentes de Gérard Sorletti et Guy Binet 5//3 CM/ : 7h P : 9h

2 Synthèse des P Continus L intérêt Les ations d un P La synthèse d un P Le P avane de hase Un exemle de synthèse Un eu lus loin que le P avane de hase mlémentation 5//3

3 Pourquoi un orreteur P arès une étude réente, les P rerésentent enore 85% des orreteurs imlantéslestlégitimedeseoserlaquestionduourquoideettesurématieauvu des limitations de ette loi de ommande Avantages : l rend en omte les onsignes et erturbations de tye éhelon l génère des ommandes souvent modérées amlitude l est arfaitement adaté aux systèmes du remier ordre Sa synthèse est simle et raide ne néessite as une formation avanée en automatique Limitations : l n est as adaté aux systèmes d ordre élevé système instable, osillant, non linéaire, ave retard ur, l ne eut rejeter QUE les erturbations de tye éhelon l génère une ommande très sensible aux bruits hautes ulsations gradient très fort 3 5//3

4 4 5//3 Amlitude v u v u Le P Fontion de transfert: ε ε j G j S j ave basse ulsation C j C K L augmentation du gain translate vertialement le lieu de la boule ouverte e qui diminue la marge dehaseetaugmenteledéassementparontre,t max esttrèssensibleauxvariationsde K Asservissement du moteur à ourant ontinu Ste Resonse ime se Rejet de la erturbation de ommande ave 3 valeurs de gain Si K augmente, l atténuation de la erturbation de ommande sera lus raide Oen-Loo Gain db K K K 3 Amlitude db 3 db 6 db Ste Resonse ime se 5 db Suivi de onsigne éhelon ave 3 valeurs de gain 5 db Nihols Chart Oen-Loo Phase deg iagramme de Niholsde la boule ouverte ave 3 valeurs de gain K K K 5 db K K K 3

5 Magnitude db Le P Fontion de transfert: iagramme de Bode: C Ation ositive K + / i Bode iagram Pôle en Zéro en -/ i Correteur le lus utilisé, il ermet le rejet de la erturbation de tye éhelon ation en basses ulsations Ation en Basses Pulsations Phase deg -3-6 Ation négative / i Frequeny rad/se 5 5//3 Rôleduzéro-/i:lannulel effetduôleintégrateurplus iestetit,luslezéroagitenhautes ulsations, lus l effet intégrateur se rolongera ans e as, la marge de hase va diminuer La raidité du rejet d une erturbation éhelon sera d autant lus grande ar v u j G j S j ave ε v ε C j u basse ulsation

6 Le P iagramme de Nihols: Oen-Loo Gain db Nihols Chart Ation en Basses Pulsations 5 db 5 db db 3 db 6 db db - db -3 db / i -6 db dB -45 Oen-Loo Phase deg K db Rôle du gaink: auun effet sur la hase ar ontre sa variation entraine une translation vertiale sur le diagramme de Niholsl ermet de définir la ulsation de ouure à db don de t max Une augmentation du gain entraine une diminution de la marge de hase 6 5//3

7 Amlitude Le P o Asservissement du moteur à ourant ontinu Ste Resonse Rejet de erturbation de ommande de la boule fermée ave 3 valeurs de i i i i ime se Amlitude Ste Resonse ime se Suivi de onsigne éhelon ave 3 valeurs de i i i i G Nihols Chart iagramme de Niholsde la boule ouverte ave 3 valeurs de i Oen-Loo Gain db 5 63 db db db 5 db 5 db db i i i G Oen-Loo Phase deg 7 5//3 Plus i est etit, lus /i est en hautes ulsations, lus le déassement est imortant L influene sur t max est faiblele rejet de erturbation de ommande est nettement influené ar la valeur de i omme annoné

8 8 5//3 a db Magnitude db 6 4 Φ m 5 Phase deg L avane de hase Fontion de transfert : Ce tye d ation est utilisé our améliorer les erformanes temorelles d un P es trois ations, l avane de hase est la lus déliate à synthétiser e qui amène très souvent à des oeffiients limitant très fortement ette ation a rohe de iagramme de Bode: 5 a db τ + ad + A ave a τ + + > Bode iagram m m Frequeny rad/se m a d Ation ositive d a d d Ation négative

9 L avane de hase iagramme de Nihols: Oen-Loo Gain db Nihols Chart 8-3 db db Oen-Loo Phase deg Effet avane de hase qui va éarter le lieu de la boule ouverte de la zone à fort déassement l ermet de diminuer t max et augmenter la raidité du rejet d une erturbation éhelonassoié ave un P 9 5//3 C S Le gain en hautes ulsations va, ar ontre, agir sur le transfert don va rendre lus sensible la ommande aux bruits de mesure

10 L avane de hase Fontion de transfert: Les formules : m d τ + ad + A ave a τ + + a > Φ Limitation de l avane de hase : m d Arsin a a + ou + sin a sin Φm Φ m φ m φ m / a 5 5// a Si le déhasage a aorter est suérieur à 5, il est référable de mettre deux ations avane de hase en série afin d éviter un gain en hautes ulsations tro imortant a

11 Exemle o Synthèse basée sur l hyothèse seond ordre Un Pest adaté aux systèmesdu remier ordre et seond ordre,il est don naturel de faire l aroximation d une fontion de transfert en boule ouverte du seond ordreen effet,il s agit du seul transfert qui ermet de faire un lien diret entre le fréquentiel et le temorel Si le transfert en boule ouverte est d ordre suérieur, une différene entre l attendu et l obtenu va aaraître Cette différene sera d autant lus grande que les termes négligés sont dans la bande assante du système de ommande o Asservissement du moteur à ourant ontinu Modèle de synthèse : Premier Cahier des harges : θ Les signaux de onsigne sont des éhelons, 4 τ + U La réonse a un éhelon de onsigne eut résenter un déassement de % au maximum, 3 Le tems du remier déassement doit être le lus etit ossible, τ 4 4 Le orreteur doit donner satisfation sur le système réel aussi on souhaite avoir une marge de hase de 45 3 s 5//3

12 M agnitude db Exemle o iagramme de Bodedu système à ommander θ 4 τ + U Bode iagram - 5//3 Phase deg Frequeny rad/se

13 Exemle o Réonse au ahier des harges Les signaux de référene sont des éhelons : Gontient un intégrateur don as d erreur de osition Un orreteur roortionnel K eut eut-être suffire? L augmentation du gain en translatant vertialement le lieu de la boule ouverte diminue la marge de hase et augmente le déassement Le tems du remier déassement est ar ontre diminué Caluler la valeur du gain ermettant d obtenir le déassement et la marge de hase souhaités max% % φ 47 ς 46 Solution grahique : Solution analytique : Arg L j 8 + φ 33 L j 7 5 db K F τ + 4K + ς + + 4K + 4K / τ / τ + 4K / τ 3 5//3 ς 46 K 5

14 M o d é l i s a t i o n Modèle du seond ordre o éassement/ Amortissement : Courbe très ratique reliant le déassement au fateur d amortissement en boule ouverte ave un aramétrage ave la marge de hase de l asservissement marge de hase % % 5% % % % % ς ς 77 ς 6 46 φ 9 φ 65 φ 58 ς φ //3

15 Amlitude Exemle o Performanes temorelles System: sysbfr ime se: 45 Amlitude: Ste Resonse t max % 45ms % ime se Suivi de onsigne éhelon o Performanes fréquentielles Amlitude K Ok 5 Ste Resonse ime se Rejet de erturbation de ommande Oen-Loo Gain db Nihols Chart 5 db5 5 db db db 3 db 6 db System: untitled Gain db: 647 Phase deg: -3 Frequeny rad/se: db -3 db -6 db - db - db -4 db φ db 5 5//3-8 db Oen-Loo Phase deg Le ahier des harges est remli Ave e orreteur, une diminution de t max va de air ave une augmentation du déassement

16 Exemle b o Asservissement du moteur à ourant ontinu Modèle de synthèse : Premier Cahier des harges : θ Les signaux de onsigne sont des éhelons, 4 τ + U La réonse a un éhelon de onsigne eut résenter un déassement de % au maximum, 3 Le système est soumis à des erturbations de ommande de tye éhelon qu il faut rejeter, 4 Le tems du remier déassement doit être égale à 75ms, τ 4 5 Le orreteur doit donner satisfation sur le système réel aussi on souhaite avoir une marge de hase de 45 o Réonse au ahier des harges 3 Le système est soumis à des erturbations de ommande de tye éhelon : néessité de mettre un intégrateur en aval don il faut utiliser P 3 s 6 5//3 K + / i C

17 Exemle b o Synthèse basée sur l hyothèse seond ordre L utilisation d un P augmente l ordre de L, l hyothèse seond ordre n est lus resetée Nous allons onsidérer que le transfert eut se séarer en une artie du seond ordre dominante et un transfert additionnel agissant en hautes ulsations ar raort au dominant Les erformanes seront lus ou moins affetées en fontion de la véraité de ette hyothèse 4 L τ + K + / Leahierdeshargesséifieunt max etundéassementlestimossiblede déterminer à artir de la boule ouverte le t max et le déassement our un transfert quelonque En utilisant les roriétés liant le temorel et le fréquentiel d un seond ordre, nous allons déterminer la ulsation de ouure delabouleouverte enfontiondet max i τ 4 3 s 7 5//3

18 5//3 8 Partiularité ntéressante ocas de P 4 τ τ K + + τ τ / K r + K L τ j L j L j + + τ K j L + K K j x -3 r τ K Pour e tye de système, la ulsation de ouure en Boule Ouverte est équivalente à la ulsation de résonnane de la Boule fermée Pulsation de ouure de la boule ouverte : Pulsation de résonnane de la boule fermée ave un boulage unitaire : j L

19 Partiularité ntéressante ocas de BO r BF L BF K τ + l est don ossible d assoier les erformanes de la boule ouverte et elles de la boule fermée : Aussi ς max ς ς Relation qui ermet de déterminer la ulsation de ouure de la boule ouverte à artirdudéassementsouhaitéetdet max touslesdeuxséifiésarleahierdes harges 35 t π t max BF π ς BF 3 t max // ans la littérature, ette relation est souvent aroximée ar t max 3 ζ

20 Exemle b o Synthèse du P En onsidérant es deux ontraintes : tmax 75ms % % max ς 46 φ 47 8 ς 358rd s t / ς Connaissant la ulsation de ouure et d arès le diagramme de Bodede G: Arg G j 6 G j db 74dB 3 max 3 Calul du zéro our obtenir la marge de hase à : 5//3 φ 8 + Arg L j Arg L j 8 + φ Arg C j 8 + φ Arg G j Arg C j Le gain du orreteur se déduit diretement de 9 Artg i L j K db db C j G j db K 97 3 db i tg736 95ms

21 Amlitude Exemle o Performanes temorelles System: sysbfr ime se: 785 Amlitude: 3 Réonse indiielle max : Ok %>%!!! ime se Suivi de onsigne éhelon ave 3 valeurs de i o Performanes fréquentielles 8 Amlitude Nihols Chart erturbation de ommande Ok ime se Rejet de erturbation de ommande 6 Oen-Loo Gain db db 5 db db db 3 db 6 db - db -3 db -6 db - db - db -4 db φ 47 Ok 5// db -8 db Oen-Loo Phase deg Le déassement est tro imortant ar l hyothèse seond ordre n est as vérifiée

22 BO Exemle b o Analyse des erformanes BF r Magnitude db Bode iagram System: sysred Frequeny rad/se: 368 Magnitude db: -6 System: sysbfr Frequeny rad/se: 73 Magnitude db: 57 Frequeny rad/se L Malgré le non-reset de l hyothèse seond ordre les erformanes obtenues sont rohes de elles demandées ar le ahier des harges L 4 + / i τ + K τ + Magnitude db Phase deg Bode iagram Ljw Gjw Frequeny rad/se 5//3 3 iagramme déassement marge de hase faux

23 Exemle P Oen-Loo Gain db o Modifiations du orreteur db 5 db 5 db 3 db 6 db Nihols Chart db Ljw Gjw Oen-Loo Phase deg Pour diminuer le déassement, il faut s éloigner des ourbes d isogain >db 3 5//3 L ation du P doit s arrêter lus raidement: i doit augmenter

24 Oen-Loo Gain db - -4 Exemle o Modifiations du orreteur db 5 db db5 6 3 db db Nihols Chart db i *i 4*i 6*i Gjw - db -3 db -6 db - db - db -4 db db -8 db Oen-Loo Phase deg Labouleouverterejointdelusenlusraidementlelieudusystèmeàommander 4 5//3

25 Amlitude Amlitude Exemle o Modifiations du orreteur Réonse indiielle i *i 4*i 6*i ime se Perturbation de ommande % 3% 6% % 7% i *i 4*i 6*i v u v u Le déassement diminue ave l augmentation de i ε ε t max n est as modifié ar les variations de i j G j S j ave basse ulsation C j 5 5// ime se Ralentissement du rejet de la erturbation

26 Exemle b o Performanes finales ave le P Amlitude Réonse indiielle G simulation G synthèse ime se 97 + / 47 C La simlifiation du modèle de ommande est justifiée ar ette réonse Cela était révisible uisque notre synthèse est basée sur une ulsation de ouure de 35rd/s, ulsation a laquelle les deux lieux sont suerosés 6 5//3

27 7 5//3 Limitation du P olimitation du tems de réonse en BF Le rôle du zéro est elui d un avane de hase, ela se traduit ar la limitation suivante en terme de déhasage : 9 < Arg C j < ave Arg C j 8 + φ Arg G j Les systèmes du seond ordre ont un argument minimal de -8 l y a don une ulsation max our laquelle : Arg G jmax 8 + φ > 8 Au dessus de ette ulsation,le zéro du Pne ourra as aorter suffisamment de hase our obtenir la marge de hase souhaitée l fautdonque: < max En limitant t max < π max 8 + φ < Arg G j < 9 + φ ς ς La hase du système à ommander à la ulsation de ouure est don omris entre :, on limite Les déassements souhaités sont dans les asservissements modernes inférieurs à %e qui amène une marge de hase minimale de 47 Arg G j < 9 + φ 43 Ave un roédé intégrateur ette limite n introduit as de limitation Cette ondition es t restritive seulement si our la valeur minimale de t max marge de hase très grande or on ne herhe as à ralentir le système à ommander!!!

28 Limitation du P Arg L j olimitation du tems de réonse en BF ans l exemle, ette limitation du tems de remier déassement est donnée ar 9 < Arg C j < Ave φ 47 ave ϕ π + Arg G j 8 + φ max Arg G jmax 33 Arg L j π + Arg C j 8 + φ Arg G j < 68rd / s tmax > 45ms 8 5//3 Pour ouvoir franhir ette limite, le orreteur doit ouvoir introduire lus d avane de hase que elle aorté ar le zéro du P

29 9 5//3 Exemle o Asservissement du moteur à ourant ontinu Modèle de synthèse : Premier Cahier des harges : θ Les signaux de onsigne sont des éhelons, 4 τ + U La réonse a un éhelon de onsigne eut résenter un déassement de % au maximum, 3 Le système est soumis à des erturbations de ommande de tye éhelon qu il faut rejeter, 4 Le tems du remier déassement doit être égale à 3ms τ 4 5 Le orreteur doit donner satisfation sur le système réel aussi on souhaite avoir une marge de hase de 45 o Réonse au ahier des harges 3 Le système est soumis à des erturbations de ommande de tye éhelon : néessité de mettre un intégrateur en aval don il faut utiliser P 4 ems du remier déassement <45ms don un orreteur P lus Nous allons synthétiser un P avane de hase K + / i ad + C ave a > + d 3 s

30 3 5//3 Exemle b o Synthèse du P avane de hase En onsidérant es deux ontraintes : tmax 3ms % % max ς 46 φ 47 π ς 896rd s t / ς Connaissant la ulsation de ouure et d arès le diagramme de Bodede G: Arg G j 44 G j db max 84dB 63 3 L avane de hase maximale doit être à la ulsation de ouure : Arg L j 8 + φ m Arg C j 8 + φ Arg G j Arg C j 9 + Artg + Φ Le P est là our rejeter la erturbation basse fréquene don il doit ermettre un rejet de la erturbation suffisamment raide /ietit mais son effet doit être suffisamment faible à la ulsation de ouure our éviter d avoir à synthétiser une avane de hase imortante /i grand En hoisissant un avane de hase d environ 3 limitation de l amlifiation des hautes ulsations : Artg i 9 Φm + Arg C j i m

31 Exemle b o Synthèse du P avane de hase Ave Arg C j 8 + φ Arg G j Artg i Φm 9 Artg i tg68 i 7 6 ms a + sin sin Φm Φ m 34 4 A artir de la formule, nous obtenons d : 3 5//3 m d a d m a 57s

32 Exemle b o Synthèse du P avane de hase 5 Le gain roortionnel K P est obtenu à artir de la L j C j G j db db C j db C j + i K a 38 K 38/ + i a XX 3 5//3

33 Oen-Loo Gain db Exemle o Premiers résultats : Gjw+P 5 db 5 db db 3 db 6 db Nihols Chart Gjw db Gjw+P+Avane de hase Oen-Loo Phase deg - db 33 5//3 φ 47 Ok

34 Amlitude Exemle o Premiers résultats ime se Perturbation de ommande 35 3 Peak amlitude: 3 Overshoot %: 3 At time se: 3 Réonse indiielle max : Ok %>%!!! l faut diminuer le déassement don s éloigner du oint ritique Augmenter l avane de hase don Φ m Amlitude 5 5 Ok // ime se

35 Oen-Loo Gain db Exemle o Performanes finales : db db 3 db 6 db max : Ok %>%!!! 5 db Φ m Nihols Chart + 35% db φ 58 Ok Oen-Loo Phase deg 35 5//3

36 Amlitude Exemle o Performanes finales : Réonse indiielle max : Ok %>%!!! Φ m + 35% ime se 35 Perturbation de ommande 3 Amlitude 5 5 Ok // ime se

37 L U S Un eu lus loin que le P : o Cas des signaux sinusoïdaux Cas de la oursuite : le signal a omme modèle * y y * + En rerenant les résultat du transarent n 77 du haitre «introdution», montrer qu un orreteur P ne ermet as de suivre e tye de signal de référene * N y y * * y + C R S K +/ i AS BR AS y * ε + ε lim AS BR + AS N y * Pour obtenir la oursuite sans erreur d un signal de référene, il faut S 37 5//3 Ave S lepneeutdonassuivrequedessignauxderéférenedetyeéhelons

38 L U S 38 5//3 Un eu lus loin que le P : o Cas des signaux sinusoïdaux Cas de la oursuite : ans le as ou l on souhaite une diminution de l erreur, une Magnitude db Phase deg autre solution onsiste à ajouter au orreteur P un filtre lohe /ε max db /ε db Wo min Bode iagram j min max Wo max ε F j F j Frequeny rad/se < ε max < ε < + α + min max F Ave < < + ε maxα + min max α Rq: [, ] ε min F j max ε Rq :Attention au filtre tro séletifb numérique F max min max max min ε ε max

39 5//3 39 Un eu lus loin que le P : ocas des signaux sinusoïdaux : exemle Cas de la oursuite : On souhaite suivre un signal de référene sinusoïdal de ulsation rd/s ave une erreur relative d amlitude inférieure à 5-6 our ette ulsation et une erreur relative inférieure,4-3 our Le rejet des erturbations éhelon en entrée doit toujours être assuré mais il n est as imosé de tems de réonse, ni de déassement P L U S [ ] ,7 5 * * ε ε j j y y Leahierdeshargesimose: [ ] 59,7 * >> << + ε j G j C j G j C j y * ε j G j C j y on our assurer η ε * j y ilfautque η j G j C Or on

40 L U S Un eu lus loin que le P : o Cas des signaux sinusoïdaux Casdelaoursuite: EnrerenantunP: A la ulsation rd/s: G j 3 db db Ave une atténuation souhaitée de lfautdonque t max s ς 6 CP j 3 8dB F j 6dB db db / 97 C P 6dB / ε 3 max ε max A la ulsation,7 rd/s: lfautdonque G j 76dB max db CP jmin 9 5dB Ave une atténuation souhaitée de db F j db / ε ε max db dB 4 5// F + +

41 L U S Un eu lus loin que le P : o Cas des signaux sinusoïdaux Casdelaoursuite:Fontionsde sensibilité vy y : S M49 - Pulsation en rd/s vy u : CS vu y : GS - Pulsation en rd/s vu u : Pulsation en rd/s - -4 Pulsation en rd/s isuter des erformanes temorelles du orreteur 4 5//3

42 L U S Un eu lus loin que le P : o Cas des signaux sinusoïdaux Amlitude Amlitude 5 Cas de la oursuite: Performanes temorelleséhelon tems se vy y vy u - 3 tems se Amlitude Amlitude vu y 4 6 tems se vu u tems se 4 5//3

43 L U S Un eu lus loin que le P : o Cas des signaux sinusoïdaux Cas de la oursuite: Performanes temorellessinusoïdales t ε x x -3 5 ε t max //

44 L U S Un eu lus loin que le P : ocas du bruit de mesure Le bruit de mesure agit sur la sortie et sur la ommande du système de ommandeson influene sur les erformanes en sortie est faible ar le système a un omortement assebasparontre,letransfertreliantlebruitdemesureavelesignaldeommandeest j C j S j w y u arès le transarent 8 du haitre «ntrodution», en hautes ulsation, e transfert se réduit à w y C j u j C j l faut don que en hautes ulsations, la ondition suffisante our obtenir ela est que le orreteur soit stritement rore Cette ondition n est as vérifiée our les orreteur de tye P l faut don ajouter un filtre asse-bas à un orreteur P our assurer une insensibilité de la ommande au bruit de mesure 44 5//3

45 L U S Un eu lus loin que le P : ocas du bruit de mesure Le bruit de mesure agit sur la sortie et sur la ommande du système de ommandeson influene sur les erformanes en sortie est faible ar le système a un omortement assebasparontre,letransfertreliantlebruitdemesureavelesignaldeommandeest j C j S j w y u arès le transarent 8 du haitre «ntrodution», en hautes ulsation, e transfert se réduit à w y C j u j C j l faut don que en hautes ulsations, la ondition suffisante our obtenir ela est que le orreteur soit stritement rore Cette ondition n est as vérifiée our les orreteur de tye P l faut don ajouter un filtre asse-bas à un orreteur P our assurer une insensibilité de la ommande au bruit de mesure Les onséquenes du non-reset de ette ondition est en remier lieu une déense énergétique imortante, ensuite une usure rématurée des ationneurs 45 5//3

46 L U S Un eu lus loin que le P : ocas du bruit de mesure Asservissementdusystème«billesurrail»arunP+avanedehase vy y : S vu y : GS -5 - M Pulsation en rd/s vy u : CS EN HP : gain de 3, Pulsation en rd/s Pulsation en rd/s vu u : Pulsation en rd/s 46 5//3

47 L U S Un eu lus loin que le P : ocas du bruit de mesure Asservissementdusystème«billesurrail»arunP Performanes en régulation autour de ave une mesure bruitée 5 Bruit de mesure 5 Bruit en Volts -5 - EN HP : gain de 3, ems en seonde 5 4 Ste Resonse 47 5//3 Commande en Volts u ems en seonde Amlitude ime se

48 L U S - Un eu lus loin que le P : ocas du bruit de mesure -5 Asservissement du système «bille sur rail» ar un P + avane de hase +filtre er ordre tau,s vy y : S M-45 - Pulsation en rd/s vy u : CS -5 - vu y : GS - Pulsation en rd/s vu u : 48 5// Pulsation en rd/s Pulsation en rd/s

49 L U S Un eu lus loin que le P : ocas du bruit de mesure Asservissement du système «bille sur rail» ar un P + avane de hase +filtre er ordre tau,s 5 Bruit de mesure 5 Bruit en Volts ems en seonde 5 4 Ste Resonse Commande en Volts 5-5 u Amlitude // ems en seondes ime se

50 L U S Un eu lus loin que le P : osaturation en résene d un intégrateur Lorsque le orreteur ontient un intégrateur as très fréquent, la saturation de la ommande eut déstabiliser le système de ommanderef Commande Non linéaire 5 5//3

51 M P L E M E N A O N mlémentation : CAN Le Vrai Problème : Synthèse d un orreteur disret our un système ontinu Cateur CNA CAN Ationneur Cateur Proédé Pour faire la synthèse d un orreteur ontinu, il faut avoir un modèle ontinu!!!! 5 5//3

52 5//3 5 mlémentation : o Passage disret-ontinu-disret ransformation bilinéaire M P L E M E N A O N Cette transformation effetue une omression des ulsations sur la bande de Shannon as de reliement z S S + + z z S ] [, [, [ s + Cette transformation entraine une déformation du module du setre dans les hautes ulsations tan s S j j S e e j s s + z z S π j Arg

53 M P L E M E N A O N 53 5//3 mlémentation : o Passage disret-ontinu-disret ransformation bilinéaire Module de j et de z-/z+/ s Pulsations rad/s s s Sous Matlab: Continu isret : isret Continu dsys,s, tustin sans déalage dsys,s, rewar,w ave ré-déalage dsys,s, tustin sans déalage dsys,s, rewar,w ave ré-déalage j π/ s

54 M P L E M E N A O N mlémentation : o Passage disret-ontinu-disret Méthodologie Modèle isret Modèle Continu Correteur Continu Correteur isret 54 5//3

55 M P L E M E N A O N mlémentation : o Choix de la ériode d éhantillonnage Modèle isret Modèle Continu Correteur Continu Correteur isret 55 5//3