CHAPITRE I THEOREME DE THALES

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1 CHAPITRE I THEOREME DE THALES 1) Résolvez les équations suivantes : a) 3 4 x 7 b) x c) 5 11 x 13 d) 7 2x 8 3 e) x 2 12 x 3 f) g) h) i) j) 7x 1 4 9x x 2 3 4x 7 2x 1 3 5x x x 4 x+ 3 3x x 5 6x a c 2) Soient a, b, c et d quatre nombres non nuls tels que (une telle égalité est parfois b d appelée «proportion»). Formez trois autres proportions avec ces quatre nombres. 3) Tracez un segment [ AB ] de 9 cm puis placez les points M, N, P et Q sur [ AB] tels que : 4) Soit la droite graduée ( AB ) : AM AB ; AN ; BP ; BQ. 3 AB 18 BA 6 BA 9 a) Déterminez le rapport AM BM. b) Reproduisez la figure et placez-y les points N, P et Q tels que : 3 MN AB et N [ AM ] 4 BM BP BQ AQ et A [ BP ] 5) Tracez un segment [AB] de 8 cm. Construisez tous les points X de la droite (AB) tels que AX 2. BX 5-1 -

2 6) Reproduisez la droite graduée ( HS ) puis placez les points définis ci-dessous et calculez les rapports demandés : a) Le point L est défini par : L [ ] HS et b) Le point A est défini par : A [ ] HS et c) Le point E est défini par : [ ] d) Le point T est défini par : T [ ] HL 1. Que vaut alors HL HS 2 LS? HA AS 1 3 EH E HS et 2 ES HS et HT HS 1 6. Que vaut alors HA HS?. Que vaut alors HE HS?. Que vaut alors TH TS? 7) Tracez un segment [AB] d une longueur de 6 cm. Placez sur la droite (AB) les points suivants : a) M [ AB] tel que AM 2BM b) N d \ [ AB] tel que AN 2BN c) 1 P d tel que AP BP (2 solutions!) 2 d) Q d tel que AQ 5BQ (2 solutions!) 8) Tracez un parallélogramme EFGH, le milieu I de [ EF ], la droite d ( ) I et le point ( ) J d EG. Montrez que F, J et H sont alignés. 9) Soit un triangle ABC, D le milieu de [ AC ], E le milieu de [ BC ], et BD 5m. a) Calculez DE. b) Déterminez la nature du triangle ABC. 10) Sur la figure (inexacte) ci-dessous on a FG passant par BA 6m, BC 8m 45 AE 15, EH, AG 25 et DG 15 : 2 A-t-on ( DE) ( GH )? - 2 -

3 11) Soit ABCD un quadrilatère dont les diagonales se coupent en O et tel que AC 27, BD 18, OA 15 et OD 10 (faites un schéma!). Montrez que ABCD est un trapèze mais pas un parallélogramme! 12) Soit ABC un triangle avec AB 10 cm, BC 8 cm et 6 F [ AC ] tel que ( ) ( ) EF BC. a) Faites une figure exacte. b) Déterminez la nature des triangles ABC et AEF. c) On pose AE x. Exprimez AF, CF, EF et BE en fonction de x. AC cm, [ ] E AB, d) Pour quelle valeur de x le triangle AEF et le trapèze BCFE ont-ils le même périmètre? e) Pour quelle valeur de x le triangle AEF et le trapèze BCFE ont-ils la même aire? 13) Sur la figure suivante, AD DE EF FG GB, AH HI IC et BJ JC : Toutes les droites à trouver dans cet exercice doivent passer par deux points déjà définis! Justifiez vos réponses! a) Trouvez trois droites parallèles à (DH). b) Trouvez une droite parallèle à (IJ). c) Trouvez une droite parallèle à (EH). 14) On donne un triangle (ABC) tel que AB 8 cm, AC 5 cm et BC 6 cm. Sur le côté [ AB ] on a marqué le point D situé à 3 cm de A. Par D on trace la parallèle à ( ) coupe ( AC ) en E, et la parallèle à ( AC ) qui coupe ( BC ) en F. a) Faites une figure à main libre pour illustrer la situation. b) Calculez le périmètre du #(DECF). 15) Sur la figure ci-contre, ( ) ( ) FB 4 et BD 5 : FE AD a) Montrez que FB AB. b) Calculez AD. DE BC, FE 3, BC qui - 3 -

4 16) Pour chacune des figures suivantes, vérifiez si le point M est nécessairement le milieu du segment [PQ]. Justifiez vos réponses! a) b) c) 17) Sur la figure suivante E, G, I et F, G, H sont alignés, ( ) ( ) GF 7 cm, EG 24 cm et GH 20 cm : EF HI, EF 25 cm, a) Quelle est la nature du triangle EFG? b) Calculez KL et que K est le milieu de [ HI ]. c) Calculez KI. 18) Soit la figure suivante : a) En utilisant les données sur la figure, montrez que ( DE) //( BC ). AD OE b) Montrez que. Calculez ensuite la AB OB valeur de ces deux rapports. c) Sans aucune justification, indiquer trois autres AD rapports égaux à AB : d) Calculez AC, AE et DE. AD OE AB OB e) Soit I mil[ AC ]. Est-ce que ( ) //( ) OI DE? - 4 -

5 19) Dans quels cas a-t-on : ( AB) ( EF )? Justifiez votre réponse! 20) a) Construisez : un triangle ABC avec AB 8 cm, AC 6 cm et BC 4 cm, M [ AB ] et N [ AC ] tels que ( ) ( ) P [ BC ] tel que CP 1,5 cm. b) Calculez AN et MN. c) Montrez que MNPB est un parallélogramme. 21) Observez la figure suivante : MN BC et AM 5 cm, Recopiez et complétez la démonstration suivante pour montrer que ( AP) ( CR ) : a) (AB) (SP) et (QR) (SP), donc (AB) (QR) b) (BC) (SA) et (PQ) (SA), donc (BC) (PQ) c) (AB) (QR) donc d après.. on a : SA d) (PQ) (BC) donc d après.. on a : SP e) D après (1) et (2) : donc f) D après.. on a :.. (1) (2) (3) - 5 -

6 22) Soit IML un triangle tel que IL 7,5, IM 15, 12,5 [ ] J ML avec JL 7,5. a) Schéma. b) Montrez que ( MI ) ( JK ). c) Calculez JK. 23) a) Faites la construction suivante : 4 e Chapitre I Théorème de Thalès ML, [ ] Tracez un quadrilatère SABC et A' mil[ SA ]. Tracez la droite d telle que : d ( AB ), A' d et ' ( ) Tracez la droite b) Démontrez que C ' mil[ SC ]. c) Démontrez que ( ) ( ' ') d ' telle que : d ' ( BC ), ' ' AC A C. 24) Sur la figure ci-contre E, G, I et F, G, H sont alignés, ( ) ( ) EF HI, EF 25 cm, GF 7 cm, EG 24 cm et GH 20 cm : a) Quelle est la nature du triangle EFG? b) Calculez KL. c) Prouvez que K est le milieu de [ HI ]. d) Calculez KI. K IL avec IK 3 et B d SB. B d et ' ' ( ) C d SC. 25) Soit le trapèze ABCD inscrit dans un demi-cercle de centre F et de diamètre [AB] tel que: AB 10 cm, AC 8 cm et DC 2,8 cm : a) Calculez CB. b) Calculez OC. c) Montrez que la médiatrice d de [ AB ] est un axe de symétrie de la figure et déduisez-en que O d. d) Calculez le périmètre du trapèze

7 26) Soit ABC un triangle tel que AB 6cm, AC 8cm, BC 7cm, I mil[ AC ] et la parallèle à ( AB ) passant par I coupe [ ] triangle ICL en justifiant vos calculs! 27) Sur la figure suivante ( BC) ( DE ) et ( CD) ( EF ) BC en L (schéma). Calculez le périmètre du AB AD a) Montrez que AD AF b) Déduisez-en que : si AB 1 alors AF si AD 1 alors AF 28) Soit ABCD un quadrilatère quelconque et E, F, G, H les milieux respectifs de [ AB ], [ BC ], [ CD ] et [ DA ]. Montrez que EFGH est un #. 29) a) Construisez : un quadrilatère quelconque ABCD, le milieu M de [ AD ], la droite d passant par M et parallèle à ( AB ) qui coupe ( BD ) en I, la droite d ' passant par I et parallèle à ( BC ) qui coupe [ CD ] en J. b) Montrez que J est le milieu de [ CD ]. c) Que peut-on dire des droites ( MJ ) et ( AC )? 30) Soit ABCD un trapèze de bases [ AB ] et [ CD ] dont les diagonales se coupent en O tel que OC 12, OD 5, CD 13 et AC 21 (faites un schéma à main levé!). a) Calculez OB et AB. b) Quelle est la nature du triangle OCD? Quels sont les autres triangles de même nature sur la figure? c) Calculez l aire du trapèze. d) Calculez le périmètre du trapèze

8 31) a) Construisez : un quadrilatère ABCD tel que [ ] 3 X AB tel que AX AB, 4 AB AD 4 cm, BC 6 cm et CD 3 cm, la parallèle à (AC) passant par X qui coupe (BC) en Y, la parallèle à (BD) passant pat Y qui coupe (CD) en Z, la parallèle à (AC) passant par Z qui coupe (AD) en T. b) Calculez BY, CY, CZ, DZ, DT et AT. c) Comparez les droites (XT) et (BD). Justifiez votre réponse! 32) a) Construisez : un triangle équilatéral ABC dont les côtés mesurent 5 cm et un arc de cercle de centre A et passant par B et C, un point M BC, le milieu P de [ BM ], le milieu Q de [ ] [ AB ] et le milieu E de [ AC ]. b) Comparez DP et EQ à AM. Justifiez votre réponse. c) Comparez PQ et DE à BC. Justifiez votre réponse. d) Déduisez-en que ( PE) ( QD ). CM, le milieu D de 33) La figure ci-dessous représente la Grande Pyramide de Gizeh et son ombre au soleil. Une légende rapporte qu on mit au défi le philosophe et mathématicien grec Thalès de Milet de calculer la hauteur de la pyramide. Pour cela Thalès plaça verticalement un bâton [DF] sur la médiatrice (HE) du côté [BG] de telle manière que l ombre du bâton se termine en E exactement comme celle de la pyramide. Il a ensuite mesuré les longueurs suivantes : DF 2m, DE 3m, CE 96 m et KB 228 m. K G Montrez comment il a ensuite calculé la hauteur de la pyramide (commencez par faire un schéma du triangle ( SHE ) )

9 34) Sur la figure (inexacte!) suivante on a : a b c, OA 3, OD 2, OE 3, DE 1, 2, 8 FG 3, GH 4 et BC. 3 Calculez CH en justifiant vos calculs! (indication : commencez par calculer OC et OH puis analysez la position de d par rapport à a.) 35) Dessinez un segment quelconque (plus ou moins la moitié de la largeur de votre feuille) sans mesurer sa longueur. En utilisant uniquement une règle non graduée et un compas, partagez ce segment en 5 segments de même longueur. Décrivez et justifiez votre démarche! 36) Sur la figure (inexacte) ci-dessous on a d d d, OA 7, OA 9, OC 11, AB 12, AB 10 et AA 3,5 : Déterminez OB, BB et OC en justifiant vos calculs. 37) a) Construisez (figure exacte!): un segment [ AB ] de longueur 8 cm le cercle de diamètre [ AB ] deux points C et D (différents de A et B) sur - 9 -

10 un point M sur [ AB ] (différent de A et B) le point H [ AC ] tel que ( MH ) ( AC ) le point I [ AD ] tel que ( MI ) ( AD ) les droites ( HI ) et ( CD ) b) Complétez puis démontrez : ( HI ) ( ) la nature du triangle ABC. 38) Sur la figure ci-dessous, ( ROI ) est un triangle tel que OI 3 cm, [ ] M RO, N [ RI ] et ( ) ( ) 4 e Chapitre I Théorème de Thalès CD. Indication : commencez par examiner RO 8 cm, RI 7 cm, MN OI. On pose : RM x avec 0 x 8. a) Exprimez les longueurs RN et MN en fonction de x. b) Montrez que le périmètre p 1 du triangle ( RMN ) est égal à 9 x. 4 3 c) Montrez que le périmètre p 2 du trapèze (MOIN) est égal à 18 x. d) Déterminez x pour que p1 p 2. 39) Sur la figure (inexacte) suivante on a : ( ) ( ) ( ) FG 4,5, EG 7,5, CD 1 et FH 5,7 : AE BF CG, AB 2,5, OF 9, 2 a) Calculez BC. b) Est-ce que ( DH ) ( AE )? Justifiez! 40) Sur la figure suivante ( DE) ( GH ) ( BC ), ( FG) ( AC ), ( ) ( ) ( ) AB 8, AC 14, BC 18 et AD 2 : a) Calculez successivement : AE, CF, BG, AH et IC. b) Est-ce que ( DI ) ( AC )? c) Montrer que ( DI ) ( AC ) sans données numériques! HI EF AB,

11 41) Sur la figure (inexacte) suivante on a : ( AC) ( BD ), ( ) ( ) et AE 7,5 : a) Montrez que ( AE) ( BF ). b) Calculez BF. c) Montrez que ( AE) ( ) numériques! BF sans données 4 e Chapitre I Théorème de Thalès EC FD, OC 12, CD 4 42) Sur la figure ci-dessous les yeux du personnage se promenant dans la rue se trouvent à 1,6 m du sol. D un côté de la rue se trouve un mur entourant un parc dans lequel se trouve une tour. Est-ce que le promeneur peut voir le sommet de la tour par-dessus le mur? 43) a) Construisez : un carré ABCD et M un point quelconque du côté [ AB ] N [ AD ] tel que AM AN P s D ( N ) I mil[ MP ] b) Montrez que ( NM ) ( DB ). c) Montrez que ( DI ) ( NM ). d) Que peut-on conclure d après b) et c)? 44) Sur la figure suivante OE 4, OB 6, EC 5, DE BC. AE x et ( ) ( ) a) Exprimer le rapport DE / BC de deux façons différentes. b) En déduire x

12 45) Sur la figure suivante on a AB BC CD AF EF x : Justifiez vos réponses aux questions suivantes : a) Montrez que ( BF ) ( CE ). 14 b) Que vaut CE si BF? c) Comparez les angles BFC et ECF. d) A-t-on ( CF ) ( DE )? e) Comparez les angles EDC et FCB ) Sur la figure (inexacte) ci-contre, on a ( ) ( ) ( ) et DA 2 : a) Déterminez le périmètre du triangle ( OAB ). Quelle est la nature de ce triangle? 10 b) Sachant que DE 3, déterminez le périmètre du trapèze CDEF. c) Est-ce que ( BD) ( EC )? AB DC EF, AB 3, BC 4, CD 5 47) Construisez à l aide d un compas et d une règle non graduée un segment dont la longueur x est définie par : x. 48) Sur la figure suivante on a AB 6, BC 8, 10 F [ BC ], ( DE) ( BC ) et ( ) ( ) DF AB : AC, D [ AC ], [ ] E AB, a) Quelle est la nature des triangles ( ABC ), ( ADE ) et ( DCF ) ainsi que du quadrilatère BEDF? b) En posant x AD, exprimez ED et DF en fonction de x. c) Pour quelle valeur de x le quadrilatère BEDF et le triangle ( DCF ) ont-ils la même aire?

13 49) Sur la figure (inexacte) ci-contre, on sait que OA 2, AB 1, 6, CD 3, 2, AC 5,5, OE 2,5, 9 FD, ( AC) ( BD ) et ( ) ( ) a) Calculez OC et BD. b) Calculez EF et EC. c) Montrez que ( AE) ( BF ). EC FD. d) Sachant que le périmètre du triangle ( ACE ) vaut 14,62, calculez le périmètre du triangle ( BDF ). 50) Soit ABCD est un trapèze rectangle en A, de bases parallèles [AB] et [DC] et dont les diagonales se coupent en O. Sachant que AD 1, AB 2x et CD 3x, calculez les aires des 4 triangles ( OAB ), ( OBC ), ( OCD ) et ( ODA ) en fonction de x. Indication : commencez par calculer OH et OK. 51) On donne un rectangle ABCD avec AB DC x et AD BC 1. Les diagonales se F AC BM. coupent en E, M est le milieu de [ CD ] et ( ) ( ) a) Figure! b) Exprimez l aire des triangles ( ADE ), ( ABE ), ( BEF ), ( BFC ), ( MCF ) et du quadrilatère EFMD en fonction de x. Vérifiez si le compte est bon! 52) Soit ABC un triangle quelconque, A mil[ BC ], B mil[ AC ] et mil[ ] a) Figure! b) Montrez que ( B C ) ( ) c) Soit ( ) ( ) BC et que BC 1. BC 2 C AB. G BB CC. Montrez qu il existe un nombre réel k tel que : BG k BB et CG k CC. d) Soit G ' ( BB ) ( AA ). Montrez de même qu il existe un nombre réel k ' tel que : AG ' k ' AA et BG ' k ' BB. e) Que pouvez-vous en déduire pour les points G et G? f) Comment appelle-t-on les droites ( AA ), ( BB ) et ( ) CC ainsi que le point G? g) Enoncez le théorème que vous venez de démontrer

14 53) Démontrer à l aide du théorème de Thalès ou sa réciproque qu une symétrie centrale : a) conserve les directions b) conserve les distances

FG² = EF² + EG² 7² = 2² + EG² 49 = 4 + EG² EF = 2, FG = 7, EG =? EG² = 49 4 = 45 EG = = 3 EG 6,7

FG² = EF² + EG² 7² = 2² + EG² 49 = 4 + EG² EF = 2, FG = 7, EG =? EG² = 49 4 = 45 EG = = 3 EG 6,7 EC 4A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES THEOREMES DE PYTHAGORE ET DE THALES EXERCICES CORRECTION EXERCICE N 1 : Figure 1 : ABC est rectangle en A, donc, BC² = AB² + AC² BC² = 5² + 7² BC² = 25 + 49 AB = 5, AC

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