KF.book Page 29 Vendredi, 1. août :21 12 Chapitre 1 Mécanique 1

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1 Chapire Mécanique

2 Exercice 0 0 Risque de collision au freinage. Une voiure roule à une viesse consane en ligne droie. Au emps = 0, le conduceur aperçoi un obsacle, mais il ne commence à freiner (avec une décéléraion consane de 7,5 m s ) qu au bou d un emps ε = 0,6 s. Calculer la disance parcourue par le véhicule depuis l insan iniial jusqu à l arrê. Applicaion numérique : = 54 km h, puis = 08 km h.. Deux voiures se suiven sur une roue droie, à une disance d, e roulen à la même viesse consane. À l insan = 0, la première voiure commence à freiner avec une décéléraion a, la seconde voiure ne commence à freiner qu au emps = ε = 0,6 s avec une décéléraion b. Quelle condiion doi saisfaire d pour que la seconde voiure s arrêe en arrière de la première? Applicaion numérique : = 08 km h, a = 7,5 m s e b = 6 m s. La condiion rouvée es-elle suffisane pour garanir qu il n y aura pas collision enre les deux voiures (pour des valeurs différenes de, ε, a e b )? Pourquoi cee condiion es-elle suffisane avec les données numériques fournies?. Ce qu il fau savoir Mouvemen à accéléraion consane. Équaion horaire.. Ce qu il fau comprendre Il es asucieux de résoudre la première quesion en enan compe de la deuxième : on prendra des noaions elles qu il ne soi pas nécessaire de refaire plusieurs fois le même calcul. Pour la deuxième quesion, il fau prendre en compe les différenes phases du mouvemen, avec des condiions iniiales perinenes. 3. Soluion. On peu prendre l origine des abscisses à la posiion de la voiure à la dae = 0 : elle parcour une disance x = ε avan de freiner avec une accéléraion a (a consane 0) à parir de la dae = ε. Pour, le mouvemen es caracérisé par une viesse : = ẋ = a( ) + e une posiion x = - a( () ) + ( ) + x compe enu des condiions iniiales ci-dessus. 30 Parie Physique MPSI

3 L arrê es obenu lorsque = 0, soi = a En reporan cee valeur dans l expression de x(), on obien la disance d arrê D : Exercice 0 D = -- a ; a x a D = a 0 ε Applicaion numérique : = 54 km h = 5 m s, d où : D = 4 m. = 08 km h = 30 m s, d où : D = 78 m.. L équaion horaire de la première voiure es donnée par la relaion (), en faisan = 0 e x = 0 : x() = - a ; + e elle s arrêe à l abscisse x x = -----, soi : a x 0 = a À la dae = 0, la seconde voiure éai à l abscisse d, e à la dae = ε, elle éai donc à l abscisse x = d + ε. La relaion () donne alors pour la seconde voiure une posiion (avec a remplacé par b) : x () = - b( ; ) + ( ) + ε d ce qui donne une disance x parcourue jusqu à l arrê (à la dae = ) : b x 0 = b 0 ε d. La condiion demandée correspond à x x (on néglige les dimensions des voiures, assimilées à des poins maériels ), soi : ; b 0 ε d a d b a 0 ε Soi, avec les valeurs données : d 33 m. Cee condiion n es pas suffisane : il suffi d imaginer une siuaion elle que b a, avec d ε. Chapire Mécanique 3

4 Exercice 0 La seconde voiure heure la première avan même le débu de son freinage, alors que la condiion rouvée peu êre vérifiée! Mais si b a, la condiion rouvée es effecivemen suffisane. En effe, la seconde voiure se rapproche alors consammen de la première (la différence des viesses ẋ ẋ rese oujours posiive ou nulle) : c es donc lorsqu elles son arrêées que leur disance d es minimale. 0 Projecile soumis au froemen de l air Un projecile M de masse m es lancé dans un plan verical ( Oxz) avec une viesse iniiale faisan un angle θ avec l horizonale Ox. Ce référeniel, lié à la surface de la Terre, sera supposé galiléen, e l accéléraion g de la pesaneur consane. Ce projecile es soumis de plus à une force de froemen due à l air, force que l on peu mere sous la forme F f = k avec k 0 e viesse insananée du projecile. m. Éablir les équaions du mouvemen : on inroduira la consane de emps = ---. k Monrer que la rajecoire du projecile adme une asympoe vericale, e que sa viesse end vers une limie que l on précisera. Exprimer alors les viesses e posiion du mobile en foncion de,, θ, e.. Calculer le emps s nécessaire au projecile pour aeindre le somme S de sa rajecoire, e donner la posiion de S. π Applicaion numérique : θ = --, : calculer l aliude de S, e comparer à 0 = l aliude aeine lorsqu on néglige le froemen de l air.. Ce qu il fau savoir Poin de cours Loi fondamenale de la dynamique. Ouil mahémaique Résoluion d équaion différenielle du premier ordre avec second membre.. Ce qu il fau comprendre. On appliquera la loi fondamenale de la dynamique au projecile M assimilé à un poin maériel. La viesse limie peu êre rouvée direcemen en cherchan à quelle condiion l accéléraion a s annule. On pourra inégrer l équaion différenielle sous sa forme vecorielle e projeer les expressions obenues pour e OM. 3 Parie Physique MPSI

5 . À cause du freinage dû à l air, la rajecoire éudiée doi se siuer «au-dessous» de la rajecoire parabolique «classique» obenue en l absence de froemen. Exercice 0 3. Soluion. La loi fondamenale de la dynamique appliquée au poin M à un insan s écri ma = mg k. On rouve direcemen que a = 0 = consane. mg Ce qui es réalisé pour mg k = 0 soi = k m ou encore en posan = --- k l = g on obien direce- POINT MÉTHODE dp En écrivan le principe fondamenal sous la forme = ΣF, d men une équaion différenielle en : dp = m d = mg k d d Résolvons mainenan l équaion différenielle d k m = g soi en posan = --- : d m k d = d Résolvons l équaion différenielle vecorielle : () = + Ae Le veceur A es défini par la condiion iniiale = à = 0 : A = -. () = + ( )e () En inégran une nouvelle fois par rappor à, on obien : OM() = + ( )( )e + B. d où OM() = + ( ) e () B es défini par la condiion iniiale OM = 0 à = 0 : B = ( ) Chapire Mécanique 33

6 Exercice 0 d où en projecion sur (, ), u x u z avec z = u z ( es un module ) : k x = cosθe z = + ( sinθ + )e On rerouve bien sûr que pour O θ mg x x = cosθ e OM z = + ( sinθ + ) e Lorsque vericale., x x lim = cosθ ce qui correspond bien à une asympoe z x 4 6. Le somme S de la rajecoire es déerminé par z = 0, ce qui correspond à une dae s elle que : 0 = + ( sinθ + )e s - soi : s + = ln sinθ 34 Parie Physique MPSI

7 e, en reporan : x s = cosθ sinθ z s = n l sinθ + ( sinθ + ) sinθ + Exercice 03 z s = sinθ n l sinθ π si θ = -- e il vien : 0 = +, x s = 0. z s = ln = ( ln) En l absence de ou froemen de l air, le mouvemen sur l axe Oz devien : ż = g ż = g+, d où s = g z = - g + e z s = z( s ) = g Pour comparer les aliudes de S e S, exprimons z s en foncion de e g : d où : m = e l = = = : z k g g s = ( ln) g z s ---- = ( ln) # 0,6. z s z s z s : le résula es bien cohéren ; en présence de froemen le poin maériel mone moins hau. 03 Deux mouvemens sur la même rajecoire A. Un mobile M décri une hélice circulaire d axe Oz, son mouvemen éan défini en coordonnées cylindriques ( r, θ, z) par les équaions : r = R θ = ω z = H θ ---- π Chapire Mécanique 35

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