Outils mathématiques de la géophysique Cours de remise à niveau. Vincent Daniel

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1 Outils mathématiques de la géophysique Cours de remise à niveau. Vincent Daniel 21 janvier 2002

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3 Table des matières 1 Notions sur les Espaces Vectoriels Notion de Corps Structure d espace vectoriel Étude d un exemple Définition Exemples Sous espaces vectoriels Définition et caractérisation Applications base d un espace vectoriel Combinaison linéaire - Famille génératrice Famille libre - Famille liée Base d un espace vectoriel Dimension d un espace vectoriel Applications linéaires - Matrices Applications linéaires Définitions Exemples Propriétés Applications Injections-Surjections- Bijections Définitions Propriétés du noyau et de l espace image d une application linéaire Matrice d une application linéaire Préliminaires Définitions Opérations sur les matrices Changement de base Rang d une matrice Notion de déterminant Préliminaires Rappels Généralités Exemple pour n = Conclusion Généralités sur le groupe symétrique Permutations Transpositions Signature Déterminant d une famille de vecteurs Définitions Théorème Exemple

4 3.3.4 Propriétés Calcul pratique du déterminant d une matrice Règles simples de calcul Exemples Calcul à l aide des cofacteurs Calcul de l inverse d une matrice Diagonalisation d une matrice d une application linéaire Préliminaires Valeurs propres et vecteurs propres d une application linéaire Définitions Propriétés Calcul pratique des valeurs propres Conditions de diagonalisation Définitions Propriétés Matrice de passage vers la base propre Application Exemple d une matrice non-diagonalisable Espaces vectoriels munis d un produit scalaire Produit scalaire Définition Exemples Propriétés Orthogonalité Définition Propriétés Base orthonormale Définition Propriétés Application Matices orthogonales et matrices symétriques réelles

5 Chapitre 1 Notions sur les Espaces Vectoriels 1.1 Notion de Corps Dans ce cours, nous nous intéresserons principalement à deux ensembles de nombre : L ensemble des nombres réels, noté R. L ensemble des nombres complexes, noté C. Ces 2 ensembles sont des corps ou des champs scalaires (un corps est noté K). Afin de rester général, nous allons énoncer les propriétés que doit vérifier un corps : a- Un corps doit être muni d une opération d addition interne notée + qui pour tout scalaire α et β associe le scalaire α + β : + : K K K (1.1) (α, β) α + β Cette opération vérifie les propriétés suivantes : i. L addition est commutative : α + β = β + α ii. L addition est associative : α + (β + γ) = (α + β) + γ iii. Il existe un unique scalaire 0 tel que α K, α + 0 = α iv. Pour tout scalaire α, il existe un unique scalaire α tel que α + ( α) = 0 On dit que le couple (K, +) forme un groupe abélien. b- Un corps doit être muni d une opération de multiplication interne notée. qui pour tout scalaire α et β associe le scalaire α.β.. : K K K (1.2) (α, β) α.β Cette opération vérifie les propriétés suivantes : i. La multiplication est commutative : α.β = β.α ii. L addition est associative : α.(β.γ) = (α.β).γ iii. Il existe un unique scalaire 1 tel que α K, α.1 = α iv. Pour tout scalaire non nul α, il existe un unique scalaire α 1 tel que α.α 1 = 1 c- La multiplication est distributive vis à vis de l addition : i. (α, β, γ) K 3, α.(β + γ) = α.β + α.γ Remarque 1. R, C et Q munis de l addition et de la multiplication usuelles sont des corps. 2. Montrez que l ensemble des entiers naturels N muni de l addition et de la multiplication usuelles n est pas un corps. 5

6 1.2 Structure d espace vectoriel Étude d un exemple Considérons l ensemble des vecteurs du plan, noté P. Cet ensemble est muni de 2 opérations distinctes (figure 1.1) : v u+v u 2. u u Fig. 1.1 Loi de composition interne et loi de composition externe. a. Une loi de composition interne : l addition de 2 vecteurs de P. + : P P P (u, v) u + v Cette opération d addition vérifie les propriétés suivantes : i. l addition est commutative : (u, v) P 2, u + v = v + u ii. l addition est associative : (u, v, w) P 3, u + (v + w) = (u + v) + w iii. Il existe un élément neutre (noté 0) tel que : u P, u + 0 = u iv. Pour tout vecteur u de P, il existe un élément opposé de u tel que : u + ( u) = 0 Le couple (P, +) forme un groupe abellien. b. Une loi de composition externe : la multiplication d un vecteur de P par un réel.. : P K P (u, λ) λ.u Cette opération de multiplication externe vérifie les propriétés suivantes : i. la multiplication externe est distributive par rapport à l addition interne : (u, v) P 2, λ R, λ.(u + v) = λ.v + λ.u ii. u P, (λ, µ) R 2, (λ + µ).u = λ.u + λ.v iii. u P, (λ, µ) R 2, λ.(µ.u) = (λ.µ).u iv. il existe un élément neutre pour la multiplication externe : u, 1.u = u Muni de ces 2 opérations, on dira que (P, +,.) est un espace vectoriel sur R ou un R-espace vectoriel Définition Définition 1 Soit E un ensemble muni d une loi de composition interne notée + et d une loi externe sur un corps K notée.. Si (E, +,.) vérifie les propriétés énoncées précédemment, on dit que E est un espace vectoriel sur K ou un K-espace vectoriel Exemples 1. R 2 et R 3 sont des R-espaces vectoriels. 2. L ensemble des fonctions continues et dérivables d ordre n noté : C n (R, R) est un R-espace vectoriel. 6

7 1.3 Sous espaces vectoriels Définition et caractérisation Définition 2 Soit E un K-espace vectoriel et soit F un sous-ensemble de E. On dit que F est un sous espace vectoriel de E si F est stable pour la loi interne et la loi externe et si F est un K-espace vectoriel pour les restrictions à F des lois internes et externes de E. caractérisation Pour montrer que F est un sous-espace vectoriel de E, il suffit de prouver que : i. F n est pas l ensemble vide. ii. F est stable : λ K, (u, v) F 2, u + λ.v F Applications 1. Montrez que l ensemble F = {(x, y, 0), (x, y) R 2 } est un sous-espace vectoriel de R 3 2. Soit le système de 3 équations à trois inconnues suivant : 3x + 4y + 5z = 0 x y + z = 0 x + y 2z = 0 (1.3) Montrez que l ensemble des vecteurs de R 3, solutions du système 2.1, est un sous-espace vectoriel du R-espace vectoriel (R 3, +,.). Qu en serait-il si le second membre était non nul? 3. Soit f(x) une fonction de classe C 2 (R, R) vérifiant l équation différentielle suivante : f (x) + x 2 f (x) + f(x) = 0 (1.4) Montrez que l ensemble F de fonctions solutions de l équation différentielle 2.2 est un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel des fonctions de classe : C 2 (R, R) Qu en serait-il si le second membre était non nul? Donner un exemple d équation différentielle à second membre nul dont l ensemble des solutions ne forme pas un espace vectoriel. 1.4 base d un espace vectoriel Combinaison linéaire - Famille génératrice Définition 3 Soit E un K-espace vectoriel, soit n N et soit (u 1, u 2,..., u n ) E n une famille finie de vecteur de E. On appelle combinaison linéaire de la famille (u n )tout vecteur x de E s écrivant sous la forme suivante : i=n x = x i u i (1.5) i=1 Proposition Soit n N et soit F = (u 1, u 2,..., u n ) une famille de vecteurs d un espace vectoriel E. L ensemble de tous les vecteurs, combinaisons linéaires des vecteurs de F est un sous-espace vectoriel de E. Ce sous-espace vectoriel est appelé sous-espace vectoriel engendré par la famille F. On le note V ectf. Preuve Montrons que V ectf est un sous-espace vectoriel de E. i. Puisque n 0, V ectf contient au moins le vecteur u 1. 7

8 ii. Soient x et y 2 vecteurs de V ectf. Soit λ K. Donc le vecteur (λ.x + y) appartient à V ectf. i=n i=n λ.x + y = λ. x i u i + y i u i i=1 i=1 i=n λ.x + y = (λ.x i + y i )u i Définition 4 Soit E un espace vectoriel, soit n N et soit F = (u 1, u 2,..., u n ) une famille de vecteurs de E. La famille F est génératrice de E si et slt si V ectf = E Application Montrez que {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 3)} est une famille génératrice de R Famille libre - Famille liée Soit E un K-espace vectoriel. Définition 5 Soit (u i ) i=1,n une famille de vecteurs de E. La famille est dite libre si : (λ i ) i=1,n K n, i=1 i=n λ i u i = 0 = i [1, n], λ i = 0 i=1 Proposition Soit (u i ) i=1,n une famille de vecteurs de E. La famille est dite liée si : i 0 /u i0 = i=n i=1,i i 0 µ i u i Remarque : L un au moins de ses vecteurs s écrit comme combinaison linéaire des autres. Preuve La famille n est pas libre, donc i 0 /λ i0 0. On peut donc écrire : u i0 = 1 i=n λ i0 i=1,i i 0 λ i u i et µ i = 1 λ i0 λ i application La famille {(2, 4), ( 1, 2), (0, 1)} est-elle libre? Base d un espace vectoriel Soit E un K-espace vectoriel. Définition 6 Soit n N et soit B = (u i ) i=1,n une famille finie de vecteurs de E. B est une base de E si et slt si B est une famille libre et génératrice de E. Exemples 1. La famille {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} est une base du R-espace vectoriel R La famille {(1), (i)} est une base du R-espace vectoriel C. 3. La famille {(1)} est une base du C-espace vectoriel C. 8

9 Proposition Soit B = (u i ) i=1,n, une famille de vecteurs de E. B est une base v E,!(λ 1, λ 2,..., λ n ) K n / v = i=n i=1 λ iu i Les coefficients (λ 1, λ 2,..., λ n ) sont appelés les composantes du vecteur v dans la base B. On note Preuve Trivial... v = λ 1 λ 2... λ n B Dimension d un espace vectoriel Soit E un K-espace vectoriel. Définition 7 E est de dimension finie s il existe dans E au moins une famille génératrice finie de E. Proposition Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Alors : 1. E admet au moins une base finie. 2. Toutes les bases de E ont même cardinal (même nombre d éléments). Cet entier est appelé dimension de l espace vectoriel E. On le note dim E. 3. Dans un espace E de dimension n, une famille libre de n éléments est une base de E. Exemple La dimension du R-espace vectoriel R 3 est 3. Remarque Pour montrer qu une famille de n vecteurs forme une base d un espace vectoriel de dimension n, il suffit de prouver que la famille est libre. Application Trouvez une base et la dimension de l espace vectoriel formé par les solutions du système suivant : x + y z = 0 x + 2y + z = 0 2x + 2y 2z = 0 (1.6) 9

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11 Chapitre 2 Applications linéaires - Matrices 2.1 Applications linéaires Définitions Définition 8 Soient E et F 2 K-espaces vectoriels et soit une application f : E F. f est une application linéaire (x, y) E 2, λ K, f(x + λ.y) = f(x) + λ.f(y) Notations On note : - L(E, F) l ensemble des applications linéaires de E dans F. - L(E) l ensemble des applications linéaires de E dans E. - E l ensemble des applications linéaires de E dans K Exemples 1. L application définie par : 2. L application définie par : 3. Homothétie vectorielle Soit E un R-espace vectoriel et soit λ R. L application h λ définie par : h λ : E E u λ.u vectorielle de rapport λ. ( R 2 ) ( R 2 ) x x + y est une application linéaire. y y ( R 2 ) ( R 2 ) x x 2 n est pas une application linéaire. y y est une application linéaire appelée homothétie 4. Opérateur de dérivation Soit I un intervalle de R. On note E = C 1 (I) l ensemble des applications de classe C 1 sur I. On note F l ensemble des applications définies sur I. Alors, l application d définie par : d : E F f f est une application linéaire Propriétés L espace des images ou des antécédents d un sous-espace vectoriel est un sous-espace vectoriel. En particulier : - A = {x E / f(x) = 0 F } est un espace vectoriel. On l appelle le noyau de f et on le note Kerf. 11

12 - B = {y F / x E, f(x) = y} est un espace vectoriel. On l appelle l espace image de f et on le note Imf. On appelle rang de f ( noté rg(f) ) la dimension de l espace vectoriel Imf Applications 1. Soit le système de 3 équations à 3 inconnues suivant : x + y z = 0 x + 2y + z = 0 2x + 2y 2z = 0 (2.1) Montrez que l ensemble des solutions peut être interprété comme le noyau d une application linéaire que l on détaillera. 2. Soit l équation différentielle suivante : f (x) + x 2 f (x) + f(x) = 0 (2.2) Montrez que l ensemble des solutions peut être interprété comme le noyau d une application linéaire que l on détaillera. 2.2 Injections-Surjections- Bijections Définitions Soient E et F deux ensembles quelconques et soit f une application définie par : f : E F x f(x) i- f est injective (x, y) E, f(x) = f(y) = x = y. ii- f est surjective y F, x E / f(x) = y. iii- f est bijective y F,! x E / f(x) = y. Donnez des exemples de fonctions de R dans R injectives, surjectives et bijectives Propriétés du noyau et de l espace image d une application linéaire Soient E et F deux espaces vectoriels et soit f une application linéaire définie par : f : E F x f(x) i- Kerf = {0} f est injective. ii- Imf = F f est surjective. iii- dim(kerf) + rg(f) = dim(e) (propriété du rang). iv- si dime = dimf alors : f surjective f injective f bijective. Applications Qualifiez les applications linéaires suivantes et décrivez leur noyau et leur espace image : f : g : R3 R 3 x y x y z 0 R3 R 2 x ( ) y x y z 12

13 2.3 Matrice d une application linéaire Préliminaires Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension respective q et p et soit f une application linéaire définie par : f : E F x f(x) Soit B = {e 1, e 2,..., e q } une base de E et B = {f 1, f 2,..., f p } une base de F. Enfin, soit x E de coordonnées sur la base B : (x 1, x 2,..., x q ). On a : x = j=q x j e j (2.3) j=1 j=q f(x) = f( x j e j ) (2.4) f(x) = j=1 j=q x j f(e j ) (2.5) On en déduit que la connaissance de l application linéaire f pour tout x E est équivalente à la connaissance de l application linéaire pour les vecteurs de la base B (i.e à la connaissance des f(e j )). La décomposition des q vecteurs f(e j ) sur la base B conduit à q relations du type : f(e 1 ) = i=p i=1 γ i1f i f(e j ) = i=p i=1 γ ijf i f(e q ) = i=p i=1 γ iqf i La relation 2.5 s écrit : j=1 [ j=q i=p ] f(x) = x j γ ij f i j=1 En inversant les sommations, il vient : i=p j=q j=q f(x) = γ ij x j f i ou i [1, p], f(x) i = γ ij x j (2.8) i=1 j=1 On déduit de 2.8 qu une application linéaire f est totalement déterminée par la donnée des q p coefficients (γ ij ) i=1,p j=1,q définis par les q relations 2.6. Représentation sous la forme de tableau Les p q coefficients peuvent se ranger sous la forme d un tableau appelé matrice de l application f relative aux bases B etb. La jème colonne est formée des coordonnées du vecteur f(e j ) sur la base des f i. M B,B (f) = i=1 γ 1,1 γ 1,2... γ 1,j... γ 1,q γ 2,1 γ 2,2... γ 2,j... γ 2,q : : : : : : γ i,1 γ i,2... γ i,j... γ i,q : : : : : γ p,1 γ p,2... γ p,j... γ p,q f(e 1 ) f(e 2 ) f(e j ) f(e q ) j=1 (2.6) (2.7) (2.9) 13

14 2.3.2 Définitions Définition 9 Soient p et q 2 entiers nons-nuls. On appelle matrice à p lignes et q colonnes sur un corps K, toute famille d éléments de K indexée par [1, p] [1, q]. Notations 1. L ensemble des matrices à p lignes et q colonnes sur K se note M p,q (K). Il s agit de l ensemble des matrices d ordre p q. 2. Si p = q, l ensemble M p,q (K) se note M p (K) et ses éléments sont appelés matrices carrées d ordre p. 3. Soit A M p,q (K). On note A = [a ij ] i = 1, p j = 1, q Écriture sous la forme d un tableau A = ou A = [a ij ] la matrice de terme général a i,j a 1,1 a 1,2... a 1,j a 1,q a 2,1 a 2,2... a 2,j a 2,q : : : : : a i,1 a i,2... a i,j a i,q : : : : : a p,1 a p,2... a p,j a p,q (2.10) Matrice d une application linéaire On adopte les notations du paragraphe On appelle matrice d une application linéaire f la matrice de terme générale [γ ij] : f(e 1 ) = i=p i=1 γ i1f i f(e j ) = i=p i=1 γ ijf i f(e q ) = i=p i=1 γ iqf i (2.11) Application Trouvez les matrices des applications linéaires suivantes relatives aux bases canoniques des espaces de départ et d arrivée. R3 R 2 1. f : x y z ( x y ) 2. g : R3 R 3 x λ.x Opérations sur les matrices Addition de 2 matrices : Soient A, B M pq (K). On note A = [a i,j ] et B = [b i,j ]. 14

15 On pose C = A + B avec C = [c i,j ] définis par : i [1, p] j [1, q], c i,j = a i,j + b i,j (2.12) Multiplication d une matrice par un scalaire : Soient A M pq (K) (on note A = [a i,j ]) et soit λ K. On pose D = λ.a avec D = [d i,j ] définis par : i [1, p] j [1, q], d i,j = λ.a i,j (2.13) Multiplication de 2 matrices : Soient A M p,q (K) et soit B M q,r (K). On note A = [a i,j ] et B = [b i,j ]. On pose G = A B avec G M p,r (K) et G = [g i,j ] définis par : i [1, p] j [1, r] k=q, g i,j = a i,k.b k,j (2.14) k=1 Cas particulier : multiplication d une matrice par un vecteur : x E. On note A = [a i,j ] et X = [x j(j=1,q) ]. On pose X = A X avec X = [x i(i=1,p) ] définis par : Soient A M p,q (K) et soit Remarques : i [1, p] j=q, x i = a i,j.x j (2.15) 1. En général, 2 matrices A et B ne commutent pas ( on a A.B B.A). 2. Soit f l application linéaire associée à la matrice A dans la base canonique de E. En comparant les expressions 2.8 et 2.15, on remarque que le vecteur X = A X est le vecteur x = f(x) 3. Soit f et g les applications linéaires associées aux matrices A et B dans la base canonique de E. - La matrice A B est la matrice de l application linéaire f g. - Si l application f est bijective, on note f 1 l application réciproque et A 1 la matrice inverse de la matrice A Changement de base j=1 Problématique L expression matricielle dépend des bases des espaces de départ et d arrivée (comme les composantes d un vecteur dépendent de la base de l espace). Il doit exister un lien entre 2 expressions matricielles d une même application linéaire. Matrices équivalentes Soit l application linéaire f représentée par les 2 matrices A (base B et B (base B ) conformément à la figure 2.1. On adopte les notations suivantes : P = Mat(Id, B, B) A = Mat(f, B, B) P = Mat(Id, B, B ) B = Mat(f, B, B ) Les lois de compositions des applications permettent d écrire : Mat(Id, B, B ) Mat(f, B, B) Mat(Id, B, B) = Mat(f, B, B ) 15

16 E,B f A E,B Id f E,B Id P P B E,B Fig. 2.1 Changement de base. Avec nos notations, il vient : P.A.P = B D autre part, on a les relations suivantes : Mat(Id, B, B) = Mat(Id, B, B) Mat(Id, B, B ) I = P P Mat(Id, B, B ) = Mat(Id, B, B ) Mat(Id, B, B) I = P P On en déduit que la matrice P est la matrice inverse de la matrice P. On en déduit finalement la relation entre les matrices A et B : Les 2 matrices A et B sont dites équivalentes. B = P 1 AP (2.16) Matrice de changement de bases La matrice P = Mat(Id, B, B) est appelée matrice de changement de base depuis la base B vers la base B. La j ième colonne de cette matrice est constituée des composantes du j ième vecteur de la base B sur la base B. Soit A la matrice d une application f dans la base B. La matrice B de l application f dans la base B ) est donnée par la relation 2.16 Soit X les coordonnées d un vecteur sur la base B. Les coordonnées X du vecteur sur la base B ) sont données par la relation : X = P 1.X Rang d une matrice Définition 10 Le rang d une matrice est le nombre maximal de vecteurs colonnes linéairement indépendants. Ce nombre est le même pou toute matrice équivalente. Soit A = Mat CalB f. Par définition, Imf = {y F / x E, f(x) = y} On a donc Imf = V ect(f(e 1 ), f(e 2 ),..., f(e q )) On en déduit que rg A = rg f 16

17 Chapitre 3 Notion de déterminant Dans tout ce chapitre, on se restreint à des matrices carrées. Soit E un espace vectoriel de dimension n dont une base est : B = {e 1, e 2,..., e n } On note f une application linéaire définie par : f : E E et soit A sa matrice dans la x f(x) base B. 3.1 Préliminaires Rappels A inversible f inversible (f bijective) ker f = {0} rgf = n dim(v ect{f(e 1 ), f(e 2 ),..., f(e n )}) = n Les vecteurs colonnes de A sont indépendants Généralités Soit A M n (E) et soit (x, b) E 2. On note X et B leur représentation sous forme de matrices unicolonnes. Résolvons le système linéaire suivant : Distinguons 2 cas : A.X = B (3.1) 1. La matrice A est inversible (i.e. ker A = {0} et Imf = E grâce à la relation du rang). Puisque Imf = E, c E/A.C = B On peut alors écrire : A(X C) = 0 et puisque ker A = {0}, il existe une solution unique C au système linéaire. On dit que le système est de Cramer. 2. La matrice A n est pas inversible (i.e. ker A {0} et Imf E). (a) Si b Im(f), alors c E/A.C = B On peut donc écrire : A(X C) = 0 et puisque ker A {0}, il existe une infinité de solutions au système linéaire (la dimension de l espace des solutions est la dimension de ker A). (b) Si b / Im(f), alors le système n a aucune solution. = Il est capital de savoir si la matrice A est inversible. 17

18 3.1.3 Exemple pour n = 2 Soit le système linéaire suivant : { ax + cy = e bx + dy = f [ a c, soit A = b d ] On sait depuis la petite école qu une CNS pour que le système admette une et une seule solution est la non-nullité du scalaire : d = ad bc = Ce scalaire n est autre que le déterminant de la matrice A et il peut se calculer quelle que soit la dimension de la matrice A. Dans tous les cas, sa non-nullité équivaut à l inversibilité de la matrice A Conclusion Pour savoir si une matrice est inversible, on peut : 1. Étudier la dépendance linéaire des vecteurs colonnes de la matrice. 2. Calculer le déterminant de la matrice. Il faut donc chercher une application : Φ : E n K (x 1, x 2,, x n ) det(x 1, x 2,, x n ) (3.2) qui ne s annule que lorsque les vecteurs (x 1, x 2,, x n ) sont liés. Remarque : Pour n = 2, on connaît l application Φ : ( Φ : a b ) R 2 ( ) R c, ad bc d (3.3) 3.2 Généralités sur le groupe symétrique Permutations Définition 11 Soit n N et soit I n = [1, n]. On appelle permutation toute bijection : σ : I n I n L ensemble de toutes les permutations de I n s appelle le groupe symétrique. On le note S n. Le nombre d éléments de S n est n!. Notation σ S n s écrit : (σ(1), σ(2),..., σ(n)). Exemples pour n = 5 Soient σ 1 = (3, 4, 5, 1, 2) et σ 2 = (2, 1, 4, 5, 3). Montrez que : 1. σ 1 et σ 2 S 5 2. σ 1 1 = (4, 5, 1, 2, 3) et σ 1 2 = (2, 1, 5, 3, 4) 3. σ 1 σ 2 = (4, 3, 1, 2, 5) et σ 2 σ 1 = (4, 5, 3, 2, 1) 18

19 3.2.2 Transpositions Définition 12 Soit n N, n 2 et soit I n = [1, n]. On appelle transposition toute permutation τ laissant n 2 éléments de I n inchangés. Notation On note τ = [i, j] = [j, i] et on a : - τ(i) = j - τ(j) = i - k I n \{i, j} τ(k) = k Proposition Toute permutation de S n peut s écrire comme un produit fini de transposition. Exemple Soit la permutation σ = (3, 1, 5, 2, 4). Montrez que σ = (1, 3)(3, 5)(5, 4)(4, 2) Signature Définition 13 Soit σ une permutation. On appelle inversion un couple (i,j) tel que : i < j et σ(i) > σ(j). Exemple Soit la permutation τ = [2, 4] S 5. Montrez que cette transposition comporte 3 inversions. Définition 14 Soit σ une permutation. Le nombre d inversions On appelle signature de la permutation σ le nombre ɛ σ = ( 1) Remarque On peut montrer qu une transposition comporte un nombre impair d inversions. On en déduit que pour toute transposition τ, ɛ τ = Déterminant d une famille de vecteurs Définitions Définition 15 Soit (x 1, x 2,, x n ) E n. On note x i,j la ième coordonnées du vecteur x j sur la base B. On appelle déterminant de la famille (x 1, x 2,, x n ) sur la base B le scalaire : On peut donc définir l application det : det : det B (x 1, x 2,, x n ) = σ S n ɛ(σ) x σ(1),1.x σ(2),2..x σ(n),n (3.4) E n K (x 1, x 2,, x n ) σ S n ɛ(σ) x σ(1),1.x σ(2),2..x σ(n),n (3.5) Définition 16 On appelle déterminant de la matrice A le déterminant de la famille de vecteurs formée des vecteurs 19

20 colonnes de la matrice A. On le note : det A = x 1,1 x 1,n.. x n,1 x n,n (3.6) Soit p N, soient E 1, E 2,, E p des K-espaces vectoriels et soit : φ : E 1 E 2 E p K Définition 17-a On dit que φ est une forme p-linéaire si elle est linéaire par rapport à chacune de ses p variables. Définition 17-b On dit que φ est une forme p-linéaire alternée si φ(x 1, x 2,, x p ) = 0 dès que les x i ne sont pas tous distincts Théorème Soit (x 1, x 2,, x n ) E n. Soit σ S n. Φ est une application p-linéaire alternée si et seulement si : Φ(x σ(1), x σ(2),, x σ(n) ) = ɛ(σ). Φ(x 1, x 2,, x n ) (3.7) Exemple [ a c Soit la matrice : A = b d 1. Trouvez les éléments de S 2 et leur signature. ]. 2. Déduisez-en que det A = ad cb Propriétés 1. L application det définie par 3.5 est une forme n-linéaire alternée. 2. Si la famille (x 1, x 2,, x n ) est liée, alors det(x 1, x 2,, x n ) = λ 1 X X X λ 2 X X 3. det Id = = 1 et 0 0 λ 3. = λ 1.λ 2..λ n λ n Cette non-nullité du déterminant s étend à toute famille libre : la famille (x 1, x 2,, x n ) est libre si et slt si det(x 1, x 2,, x n ) 0. On en déduit de même qu une matrice A est inversible si et slt si det B (A) Soient (A, B) M n (K). - det(a.b) = det A. det B - Si A et B sont équivalentes, det A = det B. - det(a + B) det A + det B 20

21 3.4 Calcul pratique du déterminant d une matrice Règles simples de calcul 1. Au moins une ligne ou une colonne de 0 = det A = lignes ou 2 colonnes identiques = det A = 0 3. Si on fait une permutation σ sur les lignes ou les colonnes, il faut multiplier le déterminant par la signature de la permutation. 4. Une ligne (resp colonne) combinaison linéaires des autres lignes (resp. colonnes) = det A = λ.a µ.b λ.c µ.d = λ.µ. a b c d 6. Le déterminant ne change pas si l on ajoute à une ligne (resp.colonne) une combinaison linéaire des autres lignes (resp. colonnes). 7. Si l on effectue une permutation σ sur les lignes ou les colonnes de la matrice A, il faut multiplier son déterminant par ɛ(σ) Exemples Montrez que = Montrez que = Calcul à l aide des cofacteurs Définition 18 On appelle mineur associé à l élément a ij le déterminant obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j de la matrice A. On le note M i,j Définition 19 On appelle cofacteur de l élément a ij le scalaire : ( 1) i+j M i,j. Développement d un déterminant suivant une ligne ou une colonne Soit i 0 une ligne de A. n det A = a i0j( 1) i0+j M i0,j (3.8) Soit j 0 une colonne de A. det A = j=1 n a ij ( 1) i+j0 M i,j0 (3.9) i= Calcul de l inverse d une matrice Si la matrice est inversible, on a : A 1 = [ ] 1 ( ( 1) i+j ) t M i,j (3.10) det A [i,j] [1,n] 2 Application 1 Soit A =

22 1. Montrez que det A = Montrez que A 1 = 3 1 1/

23 Chapitre 4 Diagonalisation d une matrice d une application linéaire Soit E un espace vectoriel de dimension n dont une base est : B = {e 1, e 2,..., e n } On note f une application linéaire définie par : f : E E et soit A sa matrice dans la x f(x) base B. 4.1 Préliminaires Soit (x, b) E 2. On note X et B leur représentation sous forme de vecteurs dans la base B. La résolution du système linéaire : f(x) = b (4.1) équivaut à la résolution du système matriciel : A.X = B (4.2) La résolution de ce système linéaire peut se faire en appliquant la méthode dite du Pivot de Gauss afin de se ramener à un système triangulaire du type : a 1,1.x 1 +a 1,2.x 2 +a 1,3.x 3 +a 1,n.x n = b 1 0 a 2,2.x 2 +a 2,3.x 3 +a 2,n.x n = b a 3,3.x 3 +a 3,n.x n = b 3 (4.3)..... = a n,n.x n = b n La meilleure solution est bien sûr de se ramener à un système purement diagonal. a 1,1.x = b 1 0 a 2,2.x 2 0 = b = a n,n.x n = b n (4.4) Il faut trouver une base de E dans laquelle l expression de la matrice de f est plus simple que dans la base B. = Diagonaliser (resp. triangulariser) une application (ou une matrice), c est trouver une base (e 1, e 2,, e n ) où f(e i ) = λ i e i (resp f(e i ) = i j=1 α ije j ). 23

24 = Diagonaliser (resp. triangulariser) une application (ou une matrice), c est trouver une matrice inversible P telle que la matrice = P 1.A.P soit diagonale (resp triangulaire). La diagonalisation d une matrice est utile pour calculer ses puissances. Soit A une matrice semblable à une matrice diagonale (A = P P 1 ). Les puissances de la matrice A se calculent de la façon suivante : A n = P n P 1 (4.5) La puissance nème d une matrice diagonale se calcule en élevant à la puissance n les termes diagonaux. 4.2 Valeurs propres et vecteurs propres d une application linéaire Définitions Définition 20 Soit λ K. On dit que λ est valeur propre de f s il existe x E\{0} tel que f(x) = λx Définition 21 Si λ K est une valeur propre de f, alors E f (λ) = {x E/f(x) = λx} est l espace propre associé à λ Définition 22 Si λ K est une valeur propre de f, alors tout vecteur de E f (λ) est appelé vecteur propre associé à la valeur propre λ. Définition 23 Le spectre de f est l ensemble des valeurs propres de f. On le note Spec(f) Propriétés Propriétés 2 Soit x E. x est vecteur propre de f x 0 et λ K/f(x) = λx. Propriétés 3 Soient x 1, x 2,, x p p vecteurs propres associés aux p valeurs propres distinctes λ 1, λ 2,, λ p. Alors la famille (x 1, x 2,, x p ) est une famille libre. Propriétés 4 Soit λ K. E f (λ) = {x E/f(x) = λx} = ker(f λ.id) est un sous espace vectoriel de E stable par f. λ Spec(f) E f (λ) {0} Calcul pratique des valeurs propres λ valeur propre de f x E\{0} tel que f(x) = λx x E\{0} tel que (f λ.id)x = 0 Le vecteur nul a au moins 2 antécédents distincts par f. (f λ.id) n est pas injectif. det(f λ.id) = 0 det(f λ.id) est un polynôme du n ième degré en λ si n est la dimension de l espace vectoriel E. On l appelle le polynôme caractéristique de f et on le note P f (λ). Finalement : λ valeur propre de f λ racine du polynôme caractéristique P f (λ). Remarque Le produit des valeurs propres est égal au déterminant de f et la somme des valeurs propres à la Trace (somme des éléments diagonaux) de la matrice représentative de f dans une base quelconque. Exemple Montrez que les valeurs propres de la matrice : B = ( ) sont : λ 1 = 1 et λ 2 = 4. 24

25 4.3 Conditions de diagonalisation Définitions Définition 24 On dit que l application linéaire f (ou la matrice A) est diagonalisable si E possède une base de vecteurs propres de f (ou de A). Cette base est appelée base propre. Définition 25 On appelle ordre de la valeur propre λ i l ordre de la racine λ i dans le polynôme caractéristique det(a λid). On note α i l ordre de la valeur i ième valeur propre Propriétés Propriété 5 La matrice A possède au plus n valeurs propres distinctes. Propriété 6 Si det(a λid) = (λ λ 1 ) α1..(λ λ p ) αp, alors i [1, p], 1 dime λi α i Propriété 7 A diagonalisable i [1, p], dim(e λi ) = α i En particulier, si A possède n valeurs propres distinctes, la matrice est diagonalisable. Remarques 1. Une matrice symétrique réelle est toujours diagonalisable. 2. Une matrice peut être diagonalisable sur C mais pas sur R (si par exemple les racines du polynôme caractéristique sont complexes) Matrice de passage vers la base propre Soit A une matrice diagonalisable de M n (K). La matrice de passage depuis la base canonique vers la base propre de A est la matrice : P = Mat(Id, B propre, B canonique ). Si est la matrice diagonale dans la base propre, alors on a la relation suivante entre A et : A = P..P 1. On rappelle que les vecteurs colonnes de la matrice P sont formés des coordonnées des vecteurs de la base propre sur la base canonique Application ( ) 1 2 Cherchons la matrice de changement de base P associée à la matrice : B =. 3 2 On sait que la matrice B est diagonalisable car elle possède 2 valeurs propres distinctes λ 1 = 1 et λ 2 = 4. La résolution des 2 équations ( ) A.X i = λ i X permet( de trouver ) une base des 2 espaces propres : 1 2 E 1 de base u 1 = et E 1 4 de base u 4 = 3 ( ) 1 0 Dans la base propre : B = (u 1, u 4 ), la matrice de f est diagonale : =. 0 4 Enfin on a la relation suivante entre les matrices B et : = P 1.B.P, avec : P = ( ) et P 1 = 1 5. ( ) 25

26 4.3.5 Exemple d une matrice non-diagonalisable ( ) 1 0 Soit la matrice : C =. 2 1 La matrice C possède une seule valeur propre d ordre 2 : λ = 1. La matrice est diagonalisable si dime λ = 2. Cherchons les vecteurs propres associés à λ = 1 : E λ = ker(c Id) (4.6) { ( ) { } x 0 = 0 E λ = u = / (4.7) y 2x = 0 { ( ) { } x x = 0 E λ = u = / (4.8) y y = Donc E λ est la droite vectorielle portée par le vecteur u 0 = (0, 1) et dim(e λ ) = 1. Puisque dim(e λ ) < α(λ = 1), la matrice C n est pas diagonalisable. Remarque On peut montrer que sur C toute matrice est triangularisable. 26

27 Chapitre 5 Espaces vectoriels munis d un produit scalaire Dans tout ce chapitre, E désigne un R-espace vectoriel. 5.1 Produit scalaire Définition Définition 26 Soit B : E E R. On dit que B est un produit scalaire sur E si : i- B est bilinéaire (i.e. a E, les applications : E R x B(x, a) linéaires. ii- B est symétrique (i.e. (x, y) E 2, B(x, y) = B(y, x) ). iii- B est positive (i.e. x E, B(x, x) 0 ). iv- Il n existe pas de vecteurs isotropes (i.e. x E, B(x, x) = 0 = x = 0 ). Notation Un produit scalaire se note souvent B(x, y) =< x, y >. et E R x B(a, x) sont Définition 27 Soit <, > un produit scalaire sur E. Le réel < x, x > se note x et se lit norme de x Exemples 1. E = R n et soient x = x 1. x n E et y = y 1. y n E i=n < x, y >= x i y i (5.1) est un produit scalaire. Il s agit du produit scalaire canonique ou euclidien sur R n. i=1 2. Soient (a, b) R 2 avec a < b. On pose E = C 0 ([a, b], R). est un produit scalaire. < f, g >= b a f(t).g(t)dt (5.2) 27

28 5.1.3 Propriétés 1. (x, y) E 2, x + y 2 = x 2 + y 2 +2 < x, y > 2. Inégalité de Cauchy-Schwarz : (x, y) E 2, < x, y > x. y avec égalité si et slt si x et y sont colinéaires. 3. Inégalité de Minkowski : (x, y) E 2, x + y x + y avec égalité si et slt si x et y sont colinéaires et de même sens. 5.2 Orthogonalité Définition Définition 28 Soit <, > un produit scalaire sur E. Deux vecteurs x et y sont orthogonaux si < x, y >= Propriétés Propriété 29 Théorème de Pythagore : Soient (x, y) E 2. x y x + y 2 = x 2 + y 2 Propriété 30 Soit (x 1,, x p ) E n une famille orthogonale de vecteurs distincts et nons-nuls. Alors x x n 2 = x x n 2 De plus la famille (x 1,, x p ) est libre. Définition 31 Soit G un sous-ensemble quelconque de E. On appelle orthogonal de G l ensemble G = {x E / a E, x a}. Propriété G est un sous-espace vectoriel de E. 2. Si G est un espace vectoriel, on a : G G = E (on dit que G et G sont en somme directe 1 ). 5.3 Base orthonormale Définition Définition 33 Soit E un espace vectoriel de dimension n. On appelle base orthonormale (ou orthonormée) toute famille orthonormée de n vecteurs. i.e. toute famille (e 1,, e n ) E n telle que (i, j) [1, n] 2, < e i, e j >= δ j i Remarque la base canonique de R n muni du produit scalaire euclidien est une base orthonormée. 1 G et G sont en somme directe (égale à E) si et slt si tout vecteur de E s ecrit de façon unique comme la somme d un vecteur de G 1 et d un vecteur G 2 28

29 5.3.2 Propriétés Soit B = (e 1,, e n ) une base orthonormée de E. Soit x = i=n i=1 x ie i E et soit y = i=n i=1 y ie i E. 1. k [1, n], < x, e k >= x k. Donc x = k=n k=1 < x, e k > e k 2. < x, y >= i=n i=1 x iy i 3. x 2 = i=n i=1 x2 i 4. Si X = x 1. x n Application et Y = y 1. y n, alors < x, y > = X t.y Soit E = C 0 ([ π, π], R) muni du produit scalaire < f, g >= +π π f(t).g(t)dt. Montrez que la famille (t 1, t sin(t), t sin(2t),, t cos(t), t cos(2t), ) est une famille orthogonale. 5.4 Matices orthogonales et matrices symétriques réelles Théorème Soit E un espace evectoriel muni d un produit scalaire et soit B une base orthonormée de E. Soit P la matrice de passage depuis B vers une base B. On a l équivalence suivante : B base orthonormée P t P = P P t = Id (i.e. P 1 = P t ) (5.3) Définition 34 On appelle matrice orthogonale une matrice P vérifiant la relation : P t P = P P t = Id Théorème Soit A une matrice symétrique réelle. A est diagonalisable dans une base orthonormale formée de vecteurs propres de A. 29

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