Chapitre 13. Statistiques et probabilités. Sommaire

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1 13 Chapitre Chapitre 13 Statistiques et probabilités Les statistiques et les probabilités occupet ue place importate das l eseigemet de certaies classes préparatoires Les pricipales foctios écessaires pour travailler das ce domaie se trouvet das les applicatios Calculs et Tableur & listes L applicatio Doées & statistiques permet d effectuer des représetatios graphiques de doées statistiques, l applicatio Graphiques & géométrie e permettat que la représetatio de uages de poits Des foctios défiies das ce chapitre vous permettrot d étedre les possibilités de votre uité omade Sommaire 1 Les foctios dispoibles 11 Où trouver ces foctios 1 Remarque importate sur les calculs de variace et d écart type 3 L écriture de quelques foctios utiles 5 1 Tableau de calcul, espérace, variace, écart type d ue variable aléatoire discrète 5 Texte des foctios tab et espvar 6 3 Utilisatio e Statistiques : régressio liéaire 7 4 Lois discrètes usuelles 9 41 Les différetes foctios présetes sur la TI-Nspire 9 4 Ajout de foctios Exemple de calcul utilisat les lois géométriques 1 5 Lois cotiues usuelles Utilisatio directe de l uité omade TI-Nspire 13 5 Lois cotiues présetes sur la TI-Nspire Quelques résultats classiques sur les lois ormales Approximatios usuelles Estimatios et itervalles de cofiace 0 56 Tests 4 Rolad Pomès (Lycée Reé Cassi Bayoe)

2 TI-Nspire CAS e prépa 1 Les foctios dispoibles 11 Où trouver ces foctios Vous aurez accès aux foctios utilisables das le catalogue (k) page, das les rubriques : Probabilité, Statistiques mais aussi das Listes O peut y accéder aussi directemet page 1 (taper la première lettre de la foctio cherchée) La sytaxe de la foctio sélectioée se trouve affichée au bas gauche de l écra Das l applicatio Calculs, o accède à ces foctios das les meus Probabilité et Statistiques (touches b5 ou 6) : Le symbole! permettat le calcul des factorielles est dispoible à l aide du raccourci clavier /* et égalemet das la palette de symboles (/k) lige 4 Le ombre b5) p C, que l o ote æ èç p ö ø p A, se calcule par Cr(, p), par Pr(, p) (resp b53 et

3 Statistiques et probabilités 3 Vous trouverez d autres foctios utiles : calcul de la moyee (mea), du maximum, du miimum, de la variace, ou ecore de l écart type des élémets d ue liste das le meu Liste Maths accessible à partir du meu Statistiques (b63) Certaies foctios statistiques sot égalemet utilisables à partir de l applicatio Tableur & listes, o accède à ces foctios das le meu Statistiques/Calculs statistiques (touches b41) 1 Remarque importate cocerat le calcul de la variace et de l écart type Attetio, il existe deux foctios pour le calcul de l écart type : stddevpop et stddevsamp et deux foctios pour le calcul de la variace varpop et varsamp L ue des deux e doat pas le résultat classiquemet attedu e classes préparatoires La formule usuelle de calcul de la variace de la liste { x x x } å i= 1 ( x - x) i,,, est : 1 v = Elle est doée par la foctio varpop La foctio varsamp effectue le calcul à partir de la relatio : qui doe u estimateur sas biais de { x, x,, x} (voir page 0) 1 v = s å i= 1 ( x - x) i -1, variace de la populatio d où est tiré l échatillo

4 4 TI-Nspire CAS e prépa O utilise doc varpop et stddevpop lorsque { x1, x,, x} varsamp et stddevsamp lorsque { x x x } estimer les paramètres 1 représete la populatio etière, et,,, est u échatillo tiré d ue populatio dot o veut Preos par exemple la liste { 1,,3,4,5 } (- ), (- 1 ),0,1,, c'est à dire 10 /5 L écart type est égal à { } La moyee est 3 La variace est la moyee des valeurs = La situatio est idetique das l applicatio Tableur & listes La valeur affichée Sx correspod à la valeur 10 /, et la valeur de x correspod à la valeur Ajoutez ue page (/I), choisissez l applicatio Tableur & listes (b3) Etrez esuite la liste das la première coloe, puis ouvrez le meu Statistiques à ue variable (b411) Validez e cliquat sur OK Validez e cliquat sur OK, les résultats s affichet

5 Statistiques et probabilités 5 Il est possible de redimesioer les coloes afi de les redre plus lisibles Sélectioez ue cellule de la coloe à élargir, puis choisissez Redimesioer, Largeur des coloes das le meu cotextuel accessible par /b Déplacez esuite la limite droite à l aide du curseur validez par Les foctios statistiques travaillet ici e mode approché, alors que les foctios varpop, stddevpop, varsamp, stddevsamp fot des calculs exacts L écriture de quelques foctios utiles Ue bibliothèque de programmes probats facilite certais calculs classiques, elle est téléchargeable sur le site wwwuivers-ti-spirefr Lie direct : 1 Tableau de calcul, espérace, variace, écart type d ue variable aléatoire discrète 1 p X = =, 6 Cosidéros par exemple la variable aléatoire défiie par X ( W= ) { 1,3, 6,10}, ( 1) 1 3 p( X = 3) =, p( X = 6) =, ( 10) p X = = 4 Nous allos placer les élémets défiissat cette variable aléatoire das ue matrice x La première coloe cotiedra les valeurs x i, la secode les probabilités p i L utilisatio de sum (b635) faite das le deuxième écra motre que la somme des probabilités est égale à 1 Jusque-là, tout va bie Costruisos à préset la matrice coteat égalemet la coloe formée par les pix i et celle formée par les p x Pour cela o peut utiliser ue foctio tab dot vous trouverez la défiitio page 6 : i i Ue lige coteat la somme des termes de chaque coloe a été ajoutée à la matrice Cela peut faciliter la costructio du tableau de calcul de l espérace et de la variace

6 6 TI-Nspire CAS e prépa O peut, par exemple, y lire que ( ) 31 6 E X = et ( ) 3 E X = 6 Pour calculer ces deux derières, il suffit d utiliser la foctio espvar, que vous trouverez égalemet au paragraphe suivat, qui utilise la foctio précédete pour retourer ue liste formée par l espérace, la variace, et l écart type Vous pouvez retrouver ces résultats à l aide de l applicatio Tableur & listes, etrez das la coloe A la liste { 1,3,6,10 }, das la coloe B, la liste ì ï ü í,,, ï ý ïî ïþ b411, ombre de listes : 1, Liste des x1 : a[ ], Liste des fréqueces : b[ ], o valide (voir écra ci-dessous à gauche) Texte des foctios tab et espvar L écriture de ces deux foctios utilise des foctios de calcul matriciel, ce qui e fait l itérêt Si vous êtes pas familiarisé avec ces derières, cela risque de vous paraître u peu mystérieux Voici quelques explicatios permettat d e suivre le foctioemet Ces explicatios sot beaucoup plus logues que la foctio tab! Ces calculs peuvet être égalemet faits de faço très simple das l applicatio Tableur & listes 1 x [i] forme le vecteur lige obteu à partir de la i-ième coloe de la matrice x passée e argumet Cette matrice comporte les valeurs de x i sur la première coloe, et celle de p i das la secode La foctio mat list permet de covertir ce vecteur lige e liste O obtiet les listes lx et lp des valeurs et probabilités à utiliser pour les calculs suivats 3 À partir des quatre listes, lx, lp, lx*lp, lx^*lp, il est possible de costruire ue matrice de quatre liges coteat les valeurs de x i, de p i, de pix i et de p x 4 E la trasposat, o obtiet la matrice m représetat le tableau das sa présetatio classique avec ses quatre coloes 5 La foctio sum permet de faire la somme de chacue de ces coloes et d obteir la matrice é ù xi pi pixi pix å å å å i êëi= 1 i= 1 i= 1 i= 1 úû 6 O empile esuite cette matrice et la matrice m pour former le tableau dot la derière lige comporte les sommes de chaque coloe Cela se fait e utilisat la foctio colaugmet 7 Efi, o modifie le terme situé sur la première coloe de la derière lige Il correspod au cumul des valeurs de x i, et 'est pas utile pour la suite O utilise la foctio rowdim pour coaître le ombre de liges de la matrice L opérateur de traspositio s obtiet das le meu k Matrice i i

7 Statistiques et probabilités 7 Defie LibPub tab(mat)=fuc mat:tableau de calcul proba/stat Local lx,lp,u,v,m lx:=mat list(mat [1]) lp:=mat list(mat []) m:=({lx,lp,lx*lp,lx^*lp}) m:=colaugmet(m,sum(m)) m[rowdim(m),1]:="-" m EdFuc L utilisatio de la sytaxe Defie LibPub = permet de faire apparaître cette foctio das le catalogue, voir chapitre 15 La foctio espvar est beaucoup plus simple à compredre O pourrait l écrire directemet, mais o peut aussi utiliser la foctio tab précédete Il suffit de costruire la matrice précédete et d aller y chercher les iformatios utiles, c est-à-dire les valeurs de å pixi et de å pixi, désigées par ex et ex das cette foctio i= 1 i= 1 Defie LibPub espvar(x)=fuc mat:calcul de esp et var Local m,k,ex,ex,v m:= tab(x) k:=rowdim(m) ex:=m[k,3] ex:=m[k,4] v:=ex-ex^ {ex,v, (v)} EdFuc 3 Utilisatio e Statistique : régressio liéaire La statistique suivate doe l évolutio des stocks d ue etreprise : Aée Stock Q i Effectuer u ajustemet à l aide d ue régressio liéaire, puis u ajustemet à l aide d ue foctio expoetielle Que peut-o e coclure? Doer ue estimatio du stock e 009 Solutio O etre das l éditeur la liste des uméros des aées et la liste des Q i lx ={ 1,,3,4,5,6 }, ly ={ 6400,700,8700,10400,1600,15000 } Pour représeter le uage de poits, o peut le faire sur la même page à l aide de Graphe rapide que vous trouverez das le meu cotextuel accessible par /b O peut aussi ajouter ue page Graphiques & géométrie e utilisat c, puis sélectioer Nuage de poits das le meu cotextuel Il suffit esuite d etrer les deux listes : appuyer sur, choisir la liste et valider, e pour passer à l autre liste

8 8 TI-Nspire CAS e prépa O valide, d, pour sortir de la lige de saisie, /b49 pour choisir u zoom adapté aux doées Effectuos ue régressio liéaire, / pour reveir à la page précédete, puis b413 L ajustemet liéaire doe u coefficiet de corrélatio r 0,987 La troisième rubrique Eregistrer RegEq das : permet d idiquer le om de la variable das laquelle sera mémorisée l équatio de la foctio servat à effectuer l ajustemet (f1 pour l ajustemet liéaire et f pour l expoetiel) b41a L ajustemet par ue foctio de la forme Q= a b doe u meilleur résultat comme l idique la représetatio graphique et le coefficiet de corrélatio r 0,998 * t

9 Statistiques et probabilités 9 Pour avoir l estimatio du stock e 009, il suffit de calculer f(10), ce qui doe approximativemet 9 96, alors que l ajustemet liéaire aurait doé (f1(10)) 4 Lois discrètes usuelles 41 Les différetes foctios présetes sur la TI-Nspire Les lois discrètes usuelles : loi biomiale, loi géométrique, loi de Poisso sot directemet itégrées Il sera de plus très simple de défiir d autres lois lorsque vous e aurez l utilité, voir par exemple la loi hypergéométrique Vous trouverez les foctios correspodates das le meu Distributios du meu Statistiques (touches b65) de l applicatio Calculs, et das le meu Distributios du meu Statistiques (touches b4) de l applicatio Tableur & listes Vous aurez aussi accès à ces foctios das le catalogue (k) page, das les rubriques : Probabilité, et Statistiques sous-meu Distributios O peut soit utiliser l assistat (voir écras ci-dessous), soit etrer directemet les paramètres Loi biomiale de paramètres et p,, * Î p Î ] 0,1[ O a æö p X k p p ç çèk ø ( = ) = k ( 1 - ) -k pour tout kî 0, sytaxe : biompdf(, p [, k]) 1 doe P( X = k) 1 Si k est omis, biompdf(, p) (resp biomcdf(, p)) doe la liste des probabilités P X k P X k ) pour k Î 0, (resp

10 10 TI-Nspire CAS e prépa foctio de répartitio : biomcdf(, p [, k]) doe P( X k) Pa ( X b) et biomcdf (, p, a, b) doe Il est possible de calculer par exemple la probabilité d avoir 4 pile lorsqu o lace 10 fois ue pièce de moaie, et de vérifier que la somme des probabilités lorsque k varie de 0 à est bie égale à 1 Das le secod écra, o calcule la probabilité d obteir au plus 57 pile au cours de 100 lacers ( 0,93 ) et la probabilité d obteir au mois 57 pile au cours de 100 lacers ( 0,097 ) Loi géométrique de paramètre p ( p Î ] 0,1[ ) Soit ue expériece élémetaire dot l issue est u succès ou u échec avec des probabilités respectives p et q= 1-p O reouvelle cette expériece jusqu'à l obtetio d u succès Cette loi caractérise le ombre d expérieces écessaires pour obteir le premier succès k- 1 * P X = k = p -p), kî ( ) (1 1 p ( ) = et V( X) = E X sytaxe : geompdf(p, k) q p foctio de répartitio : geomcdf(p,[ a,] b) doe Pa ( X b), (par défaut a est égal à 1) La foctio geompdf permet par exemple de calculer la probabilité d obteir u 6 ou bout de 3 lacers d u dé (o pipé) La foctio geomcdf permet das l exemple ci-dessous de calculer la probabilité d obteir u 6 e au plus 10 lacers, puis e au plus 0 lacers et au mois 10 Remarque : pour calculer la probabilité P( X > k ), o peut utiliser la formule : P( X > k) = 1- P( X k) = 1-geomCdf ( p, k) Le deuxième écra motre le calcul de l espérace mathématique de la loi géométrique de paramètre p, l utilisatio de geompdf e permet pas ici d obteir le résultat, les valeurs doées par cette foctio sot des valeurs approchées, il faut doc etrer la 0 ci-dessus valeur formelle de la probabilité et de plus préciser que 0 < p < 1 à l aide de l opérateur sachat que * O peut calculer de même ( ) E X et e déduire la variace : 1 1- p p p ( ) = et V( X) = E X

11 Statistiques et probabilités 11 Loi de Poisso de paramètre * l Î + sytaxe : poisspdf(, k) doe P( X = k) = e k -l l k!, pour k Î foctio de répartitio : poisscdf(,[ a,] b) doe Pa ( X b) Par défaut a est égal à 0 O peut vérifier que l espérace mathématique et la variace sot égales au paramètre 4 Ajout de foctios Comme o l a vu das les exemples ci-dessus les foctios cosidérées doet des résultats e valeur approchée Si vous avez besoi de résultats formels sur ue TI-Nspire CAS, comme o le voit das les deux deriers exemples, vous pouvez réécrire ces foctios comme ci-dessous pour la loi hypergéométrique Vous retrouverez ces foctios das la bibliothèque proba, téléchargeable sur le site wwwuivers-ti-spirefr Lie direct : Loi hypergéométrique N, et p : Defie LibPub lhyp(m,,p,k)=cr(m*p,k)*cr(m*(1-p),-k)/cr(m,) Defie LibPub fhyp(m,,p,k)= (Cr(m*p,i)*Cr(m*(1-p),-i),i,0,k)/Cr(m,) O a utilisé m car N et sot iterprétés de la même faço par l uité omade TI-Nspire De plus, das la défiitio des foctios de répartitio, o a mauellemet fait la mise e facteurs écessaire pour dimiuer le temps écessaire au calcul Voici les défiitios des foctios doat la loi de probabilité (l) et la foctio de répartitio (f) des trois lois usuelles précédetes : biomiale, géométrique et Poisso : Defie LibPub lbiom(,p,k)=cr(,k)*p^k*(1-p)^(-k) Defie LibPub fbiom(,p,k)= (lbiom(,p,i),i,0,k) Defie LibPub lgeom(p,k)=p*(1-p)^(k-1) Defie LibPub fgeom(p,k)= (lgeom(p,i),i,1,k)

12 1 TI-Nspire CAS e prépa Defie LibPub lpoisso(λ,k)= ^( λ)*λ^k/(k!) Defie LibPub fpoisso(λ,k)= ( λ^i/(i!),i,0,k)* ^( λ) 43 Exemple de calcul utilisat les lois géométriques O cosidère ue variable aléatoire X suivat ue loi géométrique de paramètre p =1/10 P X et P( X > 3), puis calculer l espérace et la variace Cela e pose aucu problème e utilisat les foctios décrites das ce chapitre Nous allos calculer les probabilités ( = ) 1 Calcul de ( ) P X = et de P( X > 3) = 1- P( X 3) (avec vérificatio) (O a égalemet fait u calcul direct de cette probabilité : X > 3, ou ecore X ³ 4 sigifie que les trois premiers essais ot été des échecs) 3 Calcul de l espérace

13 Statistiques et probabilités 13 4 Calcul de la variace et vérificatio 5 Lois cotiues usuelles 51 Utilisatio directe de l uité omade TI-Nspire Rappelos pour commecer la défiitio de deux lois cotiues classiques, o existates das les meus, mais facilemet programmables 1 La loi uiforme sur [ ab, ] : d() t ìï 1 tî = í ïb - a ïï ïî 0 tï, [ a, b] [ a b] ìï -at ae t³ 0 La loi expoetielle de paramètre a : d() t = ï í ï ïî 0 t < 0 La détermiatio des foctios de répartitio des deux premières e pose pas de problème : ìï 0 tî- ], a] t - a 1 La loi uiforme sur [ ab, ] : F() t = ï í tî[ a, b] b-a ï1 tî [ b, + ïî [ La loi expoetielle de paramètre a > 0 : F() t ] 0] ìï 0 t Î-, = ï í ï -at ïî 1-e tî [ 0, + [ O peut vérifier ce derier résultat avec la calculatrice O peut de la même faço calculer l espérace et la variace de cette loi, à coditio de bie préciser le sige de a (écra de droite)

14 14 TI-Nspire CAS e prépa Des calculs de ce type pourrot être faits de la même faço avec d autres lois que vous recotrerez das des exercices Vous retrouverez les foctios cocerat la loi uiforme et la loi expoetielle das la bibliothèque proba, téléchargeable sur le site wwwuivers-ti-spirefr Lie direct : 5 Lois cotiues présetes sur la TI-Nspire Loi ormale de moyee et d écart type ormpdf (desité de probabilité de la loi ormale) calcule la valeur de la desité de probabilité de la loi ormale de moyee et d écart type, e u réel x spécifié Les valeurs par défaut sot m = 0 et s = 1 La desité de probabilité est défiie par : ( x-m) - s 1 f( x) = e,( s > 0) s p sytaxe : ormpdf(x [,, ]) ( ) foctio de répartitio : ormcdf(a, b, [,, ]) doe la probabilité Pa X b ( ) = [ ] IvNorm permet de calculer la valeur x telle que P X x a, a Î 0,1, lorsque X suit la loi ormale de moyee et d écart type Sytaxe : ivnorm( [,, ]) Loi de Studet à df degrés de liberté ( df Î ) * tpdf (desité d ue loi de Studet) calcule la desité de probabilité de la loi de Studet à df degrés de liberté e e u réel x spécifié La desité de probabilité est défiie par : E( X ) = 0 et V( X) sytaxe : tpdf(x, df) (( df 1) ) ( df ) G + f( x) = G ò - ( ) ( df + 1+ x df 1) p df 1 où ( ) x t G x = t e dt df = si df > df ( ) foctio de répartitio : tcdf(a, b, df) doe la probabilité Pa X b Loi de Fisher à df1 et df degrés de liberté ( ( df1, df) Î ) FPdf (desité d ue loi de Fisher) calcule la desité de probabilité de la distributio de Fisher e u réel probabilité s exprime sous la forme : (( ) ) ( ) G( ) * G + d æ ö -1 f( x) = ç x (1 + x d) G d çèd ø avec : = df 1 et d = df * x Î + -( + d) spécifié La desité de

15 Statistiques et probabilités 15 df df ( ) = E X ( ) V X - ç df si df > et ( df1 df ) ( ) æ ö + - =ç ç df è - ø df1 df -4 si df > 4 sytaxe : FPdf(x, df1, df ) foctio de répartitio : FCdf(a, b, df1, ) doe la probabilité Pa X b df ( ) Loi du Khi ( c ) (ou de Pearso) à df degrés de liberté ( df Î ) chipdf (desité de probabilité d ue loi du Khi ) calcule la desité de probabilité de la loi du Khi, e ue valeur spécifiée probabilité est défiie par : E( X) = df et V( X) = df sytaxe : chipdf(x, df) 1 df df - -x f( x) = 1 x e, x> 0 G ( ) ( ) 1 df * * x Î + ( ) foctio de répartitio : chicdf(a, b, df) doe la probabilité Pa X b La desité de Exemple : représetatio de la loi ormale cetrée réduite (trait épais) et des lois de Studet de, respectivemet, 1 (trait fi) et 10 (e poitillés gras) degrés de liberté 53 Quelques résultats classiques sur les lois ormales O cosidère ue loi ormale de paramètres m et Pm ( X m ) ( ) 1 O demade de calculer - s + s et Pm- s X m+ s O demade égalemet de détermier, e foctio de, la valeur de a telle que Pm- a X m+ a= ( ) 85/100 Pour la questio 1, il suffit d utiliser les foctios ormcdf, avec les bores -1, 1 puis -, et les paramètres m = 0 et s = 1, car : æ X - m ö Pm ( - a s X m+ a s) = P ç - a a çè s ø

16 16 TI-Nspire CAS e prépa Deuxième questio X - m a æaö Pm ( - a X m+ a ) = 85/100 équivaut à P( X - m < a) = P( < ) 1 s s Fç - = çès ø 085 où F est la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée réduite La foctio ivnorm permet d obteir le résultat : a 144s 54 Approximatios usuelles O peut visualiser à l aide de la calculatrice les approximatios usuelles des diverses lois ì ³ 30 Si ï íp ³ 15 la loi biomiale B ( p, ) peut être approximée par la loi ormale N ( p, pq) ï ïî pq > 5 ì p 0,1 Si ï í ³ 30 la loi biomiale B ( p, ) peut être approximée par la loi de Poisso P ( p) ï ïî p < 15 Si l ³ 15 la loi de Poisso P ( l) peut être approximée par la loi ormale N ( l, l) Si df ³30 la loi de Studet à df degrés de liberté peut être approximée par la loi ormale cetrée réduite (voir représetatio graphique page 15) Les graphiques suivats illustret ces problèmes d approximatio O travaille avec l applicatio Tableur & listes, das la coloe A o place les etiers de 0 à 100 (= seq(i,i,0,100)), o la omme x Das la coloe B, o place les probabilités de la loi biomiale de paramètres =100 et p = 0,4, B(100;0, 4) (= biompdf(100,04)), o la omme p, et das la coloe C les probabilités de la loi de Poisso de paramètre 40, P(40) (= poisspdf(40,a[])), o la omme q

17 Statistiques et probabilités 17 O sélectioe les deux premières coloes /b8 (Graphe rapide) permet de représeter la première loi, /#51 permet de modifier le partage d écra et /b11 de régler la feêtre b49 permet de tracer la courbe représetative de la desité de la loi ormale de paramètres p = 40 et pq = 4 Pour obteir l écra de droite, o clique sur la lettre p représetat l axe des ordoées, et o choisit la variable q O voit bie que, pour ces valeurs des paramètres, l approximatio par la loi ormale N (40, 4) est boe, alors qu elle e l est pas par la loi de Poisso O peut égalemet étudier u cas où la loi de Poisso doe ue boe approximatio de la loi biomiale O colle das la première coloe la liste lx défiie par seq(x,x,0,100) (seq s obtiet das le catalogue, ou si l o coaît la sytaxe peut être tapé directemet), puis das lr : biompdf(100, 005) et das ls : poisspdf(5, lx) Plutôt que d utiliser comme ci-dessus Graphe rapide, o isère ue ouvelle page avec l applicatio Graphiques & géométrie, ce qui permet d avoir des représetatios plus lisibles et o défiit les deux uages de poits (lx, lr), (lx, ls)

18 18 TI-Nspire CAS e prépa Ils se superposet presque parfaitemet ( p = 0,05 0,1, = 100 ³ 30 et p = 5 < 15 ) Exemple 1 O lace ue paire de dés o pipés, X i représete la somme des deux ombres obteus au i-ième lacer Détermier le ombre de lacers pour que la moyee des résultats X i diffère de 7 de mois de 0,1 avec ue probabilité supérieure à 0,95 Les X i costituet ue suite de variables idépedates, de même loi de moyee 7 et d écart type 35 6 Le théorème cetral limite permet de dire que la variable représetat la moyee X1+ X+ + X F -7 F = cetrée, réduite, Y = coverge e loi vers la variable ormale 35 6 cetrée réduite, quad ted vers + E utilisat cette approximatio, ous avos doc : 6 æ 6 ö P( F- 7 < 0,1) = P( Y < 0,1 ) F 0, ç çè 35 ø où F que : est la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée réduite Nous voulos doc trouver tel æ 6 ö F 0,1 ç - 1³ 0,95, soit çè 35 ø æ 6 ö F 0,1 ç ³ 0,975 çè 35 ø 6 O doit avoir 0,1 ³ 1,96, il suffit doc de 35 predre ³ 41

19 Statistiques et probabilités 19 Exemple : Approximatio de la loi hyper-géométrique par ue loi biomiale, puis par ue loi ormale U jour d électios, das ue ville comptat votats, votet pour la muicipalité sortate O dépouille 50 bulletis tirés au hasard parmi les Quelle est la probabilité que, sur cet échatillo, la majorité sortate soit mioritaire? (Au maximum 4 bulletis favorables) O se trouve ici e présece d ue variable aléatoire suivat ue loi hypergéométrique de paramètres N 5 000, p / et = 50 Attetio, si vous demadez u calcul exact, vous risquez d obteir u résultat totalemet iutilisable et u temps de calcul importat Il est préférable soit de valider par /, soit de mettre u poit à la fi d u des ombres (comme le motre l écra précédet) pour que le calcul se fasse e mode approché O peut comparer avec le résultat que l o obtiedrait e preat ue loi biomiale de paramètres = 50 et p / : Le résultat obteu est très proche du précédet, ce qui est coforme à la théorie sur l approximatio par ue loi biomiale das le cas où N > 10 O peut efi effectuer ue ouvelle approximatio, e utilisat à préset ue loi ormale de paramètres m p et s = p 1- p, et e utilisat ue correctio de cotiuité = ( ) O calcule P( X 4,5) : O peut voir que cette approximatio est égalemet satisfaisate, ce qui était prévisible puisque les trois coditios que l o impose e gééral pour ce type d approximatio : ³ 30, p³ 15, p1- p >5 étaiet bie toutes vérifiées ( ) Vous remarquerez que das les coditios de l exercice, u sodage sur u aussi petit ombre de persoes risque de doer u résultat faux plus d ue fois sur trois

20 0 TI-Nspire CAS e prépa Repreos rapidemet le calcul avec u échatillo de persoes : Cette fois, il y a plus qu eviro ue chace sur ciq de se tromper (Ce qui est pas totalemet égligeable ) 55 Estimatios et itervalles de cofiace Estimateur sas biais Soiet (moyee) et (écart type) les paramètres d u caractère X das ue populatio P de taille N O prélève tous les échatillos de taille, o ote ( x,, s ) les paramètres de X Si ( xs,, ) sot les paramètres d u échatillo pris au hasard, x est u estimateur sas biais de, par cotre s est pas u estimateur sas biais de, il faut predre pour cela S défii par S = s, soit S = å ( xj - x) (les x j état les valeurs de X das l échatillo) -1 j= 1 Distributio d échatilloage des moyees O ote X la variable qui suit la loi de probabilité détermiée par la distributio d échatilloage des moyees { x1, x,, x k }(k est le ombre d échatillos, N = k) E( X) = E( X) = m s s X = das le cas d u tirage o exhaustif (avec remise) i i s X = s N - N -1 das le cas d u tirage exhaustif (sas remise) N- Si N est grad 1, o peut supposer le tirage o exhaustif, N -1 si est icou o le remplace das le calcul par so estimateur S Distributio d échatilloage des fréqueces (ou proportios) O se place das le cas où le caractère X e peut predre que les valeurs 0 et 1 avec respectivemet les probabilités p et q= 1-p Soit F la variable preat pour valeur la fréquece f i d apparitios de l évéemet favorable das le i-ième échatillo E( F) = p pq s F = das le cas d u tirage o exhaustif (avec remise)

21 Statistiques et probabilités 1 s = F pq N- N-1 das le cas d u tirage exhaustif (sas remise) pq Si N est grad s F, o peut supposer le tirage o exhaustif Si p est icoue o la remplace par so estimatio f, fréquece observée sur u échatillo, et par 1, si petit Si Itervalle de cofiace d ue moyee ³ 30, que la populatio mère soit ormalemet distribuée ou o, o peut supposer que la X -m variable cetrée réduite T = suit approximativemet ue loi ormale cetrée réduite s Si æ s ö P( T t ) P s a = m- ta X m+ t a = 1-a çè ø ce qui reviet à dire que la probabilité qu ue valeur x de X appartiee à l itervalle é s s ù s s m- ta, m+ t a est égale à 1- a, ou ecore que m Î é x- t ë ê û ú a, x+ t ù a avec la ê ë ú û probabilité 1- a ou le risque d erreur é s ù L itervalle x- t s a, x+ t a est appelé itervalle de cofiace de l estimateur de au ê ë ú û iveau de cofiace 1 ou au risque d erreur s s N - Si le tirage est exhaustif o remplace par N -1 si est icou o le remplace par so estimateur S Si < 30, si la populatio mère est ormal emet distribuée et si l échatillo est o exhaustif, o X -m peut supposer que la variable cetrée réduite T = ( S estimateur de voir page 0) suit ue loi S de Studet à - 1 degrés de liberté, les calculs sot les mêmes que ci-dessus Seuls chaget les qui sot doés ici par ue loi de Studet au lieu de la loi ormale Das la pratique o utilise la foctio ziterval ( b661) das le premier cas : cou ; titerval (b66) das le secod cas : icou t a

22 TI-Nspire CAS e prépa Exemple O peut cotrôler le résultat de l exemple du paragraphe précédet O utilise ziterval avec l optio Stats et les paramètres l itervalle [ 6,9;7,1 ] 35 s =, x = 7, = 41 et CLevel = 0,95 O retrouve bie 6 Itervalle de cofiace d ue fréquece (ou proportio) Avec les otatios vues page 0, o appelle itervalle de cofiace de l estimateur de p au iveau de é pq pqù cofiace 1 ou au risque d erreur l itervalle f ta, f t - + a Utiliser êë úû ziterval_1prop (b665) Si le tirage est exhaustif o remplace si p est icoue o remplace pq par pq N- N-1 pq par so estimateur f (1- f ) -1 Calcul des t Si T suit la loi ormale cetrée réduite ( ) P T t a = - a 1 N (0,1), otos t a le réel positif tel que

23 Statistiques et probabilités 3 t a peut être doé par la foctio IvNorm (b553) e preat pour valeur de Area 1-a, voir le graphique ci-dessous O peut aisi dresser le tableau suivat : Risque 0,5 % 1 % 5 % 10 % Seuil de cofiace 1 99,5 % 99 % 95 % 90 % t a,81,58 1,96 1,645 Pour u effectif faible ( < 30 ) o peut procéder de la même faço pour calculer t a e utilisat la loi de Studet Par exemple au risque d erreur de 5 % et pour 5 degrés de liberté t,57 (voir calcul ci-dessous) a vérificatio La valeur est supérieure à celle doée par la loi ormale, ceci viet du fait que la distributio de Studet est plus aplatie

24 4 TI-Nspire CAS e prépa Das le meu Itervalles de cofiace il existe d autres foctios, par exemple : ziterval_samp et titerval_samp (b663 et 4) qui calculet u itervalle de cofiace pour la différece de deux moyees lorsque respectivemet les écarts types sot cous, ou e le sot pas ; ziterval_prop (b666) calcule u itervalle de cofiace pour la différece de deux proportios 56 Tests Tests de coformité d u échatillo à ue populatio Comparaiso d ue moyee (resp fréquece) observée à ue moyee (resp fréquece) théorique Sous l hypothèse ulle H 0 :, la variable m m 0 X -m s = 0 X peut être assimilée à ue variable ormale cetrée réduite ou à ue variable suivat ue loi de Studet, suivat la taille de l échatillo (voir page 1) Test bilatéral : o teste l hypothèse ulle H 0 : m= m 0 et l alterative m¹ m0 Au seuil de sigificatio la zoe de rejet est la partie grisée 1 Zoe de rejet ( /) Zoe de rejet ( /) Si la valeur de X -m sio o rejette l hypothèse H 0 s X 0 est iférieure à t a o accepte l hypothèse H 0 ; t a est doé par la loi ormale cetrée réduite quad ³ 30 et par la loi de Studet à -1 degrés de liberté das le cas cotraire Test uilatéral à droite : o teste l hypothèse ulle H 0 : m= m 0 et l alterative m> m0 Au seuil de sigificatio la zoe de rejet est la partie grisée : t / 1 X -m0 Si la valeur de s X est iférieure à t a o accepte l hypothèse H 0 ; sio, o rejette l hypothèse H 0 (avec les mêmes remarques que ci-dessus) Test uilatéral à gauche : o teste l hypothèse ulle H 0 : m= m 0 et l alterative m< m0 La zoe de rejet est à gauche, symétrique de celle à droite et la coditio d acceptatio de H 0 : X -m0 la valeur de est supérieure à -ta s X t Zoe de rejet ( ) t est directemet doé par ivnorm (b653) ou ivt (Studet b656)

25 Statistiques et probabilités 5 Pour effectuer ce gere de test, o dispose de la foctio ztest (b671 ou b441) lorsque l écart type est cou, et de la foctio ttest (b67 ou b44) das le cas cotraire L échatillo peut être représeté soit sous forme de liste (Data), soit par sa moyee ( x ) et sa taille (), (Stats) Pour ue proportio o utilisera, de faço aalogue à ce que l o a vu pour ue moyee, la variable F - p0, voir page 0 s F ztest_1prop (b675 ou b445) effectue le test d ue proportio de réussites icoue (prop) Elle utilise comme doées d etrée le ombre de réussites das l échatillo (Successes, x) et la taille () de l échatillo L hypothèse ulle H 0 : prop = p0 est testée cotre l ue des hypothèses alteratives suivates : prop ¹ p0, prop < p0, prop > p0 Preos par exemple l exercice 1 de la page 30 : p 0 = 0,5, l hypothèse ulle H 0 : prop = 0,5, o effectue u test bilatéral, Successes, x = 104, = 00 La valeur z état iférieure à 1,96, au seuil de cofiace de 95%, l hypothèse H 0 e peut être rejetée Tests d homogééité de deux échatillos Il s agit de comparer deux moyees, ou deux proportios, observées Le premier échatillo caractérisé par ( 1, x 1, s 1 ) est prélevé das ue populatio P1 de paramètres ( m1, s1), le secod caractérisé par (, x, s ) est prélevé das ue populatio P de paramètres ( m, s ) Cosidéros le cas des moyees ; le pricipe est le même que pour les tests de coformité e D utilisat la variable où D = X1- X, ( X 1 et X sot idépedates) s D

26 6 TI-Nspire CAS e prépa Si 1 ³ 30 et ³ 30, sous l hypothèse ulle H 0 : cetrée réduite 1 s s s D = +, les s i évetuellemet remplacés par leur estimateur S i, m1 1 1 Sio, e supposat que s = s = s, s S = )s 1+ - ( 1) s ( = m, la variable D D s D 1 peut être assimilée à ue variable ormale 1 1 = s +, pouvat être remplacé par so estimateur, la variable sous H 0 suit, das ce cas, ue loi de Studet à 1+ - degrés de liberté Deux foctios permettet d effectuer des tests de comparaiso des moyees de deux échatillos idépedats : ztest_prop (b676 ou b446) lorsque les écarts types et s sot cous ; ztest_samp (b673 ou b443) das le cas cotraire s1 Pour les proportios : l hypothèse ulle H 0 est p1= p( = p0), D= F1-F, et pour des échatillos 1 1 de grade taille sd æ ö p0(1 - p0) ç è ø, p est estimé par f f, les f i état les 1+ fréqueces observées La foctio ztest_prop (b676 ou b446) permet d effectuer u tel test, elle utilise comme doées d etrée le ombre de réussites (x1 et x ) et la taille des échatillos (1 et ) Citos de plus u test de comparaiso de deux écarts types (test de Fisher) ; FTest_Samp (b679) teste l hypothèse ulle H 0 : s1= s La moyee des populatios et les écarts types sot tous icous Exemple 1 Ue machie remplit des sachets dot le poids théorique moye est de 170 mg O prélève u échatillo de 0 sachets de la productio de cette machie, o obtiet les résultats suivats : 178, 170, 173, 173, 17, 17, 165, 173, 165, 169, 175, 170, 173, 168, 175, 171, 165, 174, 168, 180 ; Cette fabricatio est-elle coforme aux exigeces au seuil de sigificatio de 5%? U sachet est refusé si so poids diffère du poids moye de plus de 5 mg, la machie est cosidérée comme état bie réglée si la proportio de sachets refusés est iférieure à 10% La machie est-elle bie réglée? Vu les remarques faites précédemmet o effectue u test bilatéral à l aide de ttest (b67), o choisit pour Méthode de saisie : Doées, la liste des valeurs est coteue das L1, à l aide de la foctio ivt o calcule correspodat au seuil de sigificatio de 5% t a t a,093 comme l idique le calcul ci-dessous

27 Statistiques et probabilités 7 O etre la liste das la variable L1 ttest (b67) permet d obteir Sx qui doe ue estimatio de l écart type de la productio De plus, o a bie PVal > 0,05, doc au seuil de sigificatio de 5% o accepte l hypothèse H 0 que la moyee des sachets est bie 170 mg O suppose doc que le poids suit la loi ormale N (170,4084) La foctio ormcdf permet de calculer la probabilité que le poids soit compris etre 165 et 175 mg La probabilité que le paquet soit rejeté est doc de % Coclusio : la machie est mal réglée

28 8 TI-Nspire CAS e prépa Exemple 0% des piles proveat d ue certaie fabricatio peuvet foctioer plus de 100 heures U traitemet spécial appliqué à u échatillo de 100 piles a permis d obteir u foctioemet de plus de 100 heures pour 30 d etre elles L amélioratio apparete est-elle sigificative au seuil de 5%, de 10%? Il s agit de comparer deux proportios, o suppose que les valeurs sot ormalemet distribuées, = 100 > 30, o utilise la loi ormale, doc la foctio ztest_prop (b676 ou b446) L hypothèse H 0 : le ouveau traitemet a pas amélioré la durée de vie des piles ( p1= p), est testée cotre l hypothèse alterative p1> p (test uilatéral à droite) Au seuil de 5%, z est légèremet iférieur à t0,05 1, 645 (ce qui équivaut à dire que p > 0,05 ), o e peut doc pas rejeter l hypothèse H 0, par cotre au seuil de sigificatio de 10% o peut la rejeter et doc admettre que le ouveau traitemet a amélioré la vie des piles Test du Khi Il s agit de comparer ue distributio d u caractère observé sur u échatillo doé et ue distributio théorique basée sur u modèle probabiliste L hypothèse ulle H 0 cosiste à supposer que l o a cocordace des deux distributios O calcule c c ( -p ) r k k =å k= 1 pk, où k est l effectif observé possédat le caractère k, c c p k la probabilité théorique d obteir ce caractère, p k état alors l effectif théorique La valeur de sera d autat plus grade que les deux distributios diffèret Le ombre de degrés de liberté est égal à r -1

29 Statistiques et probabilités 9 U seuil de sigificatio état fixé les tables usuelles du Khi doe le ombre tel que P( c ³ ca ) = a Par exemple pour 5 degrés de liberté si c a = 9,36, P( c ³ c a ) 0,1 (voir cidessous) c a Si Si c c c ca c > ca, l hypothèse H 0 est acceptable, l hypothèse H 0 est à rejeter c a Pour obteir directemet à partir de à l aide de la calculatrice, o utilise la foctio Iv χ (b659), mais attetio il faut etrer comme premier paramètre 1 -a et o, car Area ( a ) correspod à la probabilité P c c

30 30 TI-Nspire CAS e prépa Exercices 1 Sodage et loi ormale Lors d ue électio, à la sortie des ures o iterroge 00 électeurs choisis au hasard 5% d etre eux ot voté pour u cadidat A Peut-o e coclure que A va être élu, e admettat u risque d erreur de 5%? Même questio avec u risque d erreur de 1% Quelle devrait être la taille de l échatillo pour pouvoir affirmer que A sera élu avec u iveau de cofiace de 0,95? Suivi d'ue productio Ue machie automatique produit des pièces dot le diamètre théorique est de 100 mm O suppose que les diamètres des pièces produites sot distribués suivat ue loi ormale O prélève au hasard u échatillo de 0 pièces O obtiet les dimesios suivates : 9, 95, 106, 96, 100, 91, 96, 89, 104, 91, 9, 9, 94, 98, 96, 103, 105, 95, 107, 94 Au seuil de cofiace de 95% peut-o affirmer que le diamètre moye de la productio est de 100 mm? 3 Recherche d'ue ville test U référedum, à l échelo atioal, a doé 55% de oui, 40% de o, 5% de blacs ou uls O recherche ue ville test pour les électios futures O e trouve ue qui, sur votats, a doé 56,5% de oui, 39% de o, 4,5% de blacs ou uls Peut-o dire que cette ville reflète la physioomie de la atio au risque de 1%? et au risque de 1%O? Solutios des exercices 1 Sodage et loi ormale La populatio est supposée ormalemet répartie, ous sommes e présece de grads échatillos, o cherche à estimer ue proportio O utilise ici la loi ormale, la foctio est : ziterval_1prop (b665) O obtiet l itervalle [ 045,059 ], doc au risque d erreur de 5%, (ou au iveau de cofiace de 095), il est pas possible de dire que A sera élu, il e sera évidemmet de même au risque de 1%, car plus o dimiue le risque plus l itervalle est importat, ici : [ 049,0611 ]

31 Statistiques et probabilités 31 Pour être sûr que la bore iférieure de l itervalle soit supérieure à 50% il suffit de predre tel que ta ³ 05, t a = 196 pour a = 5% Ce qui doe ue taille d échatillo de 400 persoes Suivi d'ue productio La distributio est ormale et l o a u échatillo de petite taille ; o utilise doc ici la loi de Studet La foctio titerval permet d obteir u itervalle de cofiace das ce cas O saisit la liste des valeurs das l éditeur, b66, o choisit l optio Doées, o remplit la boîte de dialogue : La répose à la questio est o car 100 Ï [ 94,9938] 3 Recherche d'ue ville test Hypothèse H 0 : la ville reflète la physioomie de la atio O effectue u test du c Chi GOF Liste Observée = { 5650,3900,450 }, Liste attedue= { 5500,4000,500 } (liste théorique), Deg de liberté = O valide

32 3 TI-Nspire CAS e prépa Le calcul du Khi doe 1159, le ombre de degrés de liberté est égal à La probabilité P Value = P( c ³ 1159) = 0003, est iférieure à 001, doc au seuil de 001 l hypothèse H 0 doit être rejetée, par cotre au seuil de 0001 elle peut être acceptée ( c0,01 = 91< cc < c 0001 = 138 )

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