CALCULATRICE AUTORISEE

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1 Lycée F. MISTRAL AVIGNON BAC BLANC 2012 Epreuve de MATHEMATIQUES Série S CALCULATRICE AUTORISEE DUREE : 4 heures Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet Ce sujet comporte 3 pages plus une annexe pour les exercices 1, 3 et 4(non spécialité). Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.

2 EXERCICE N 1 (commun à tous les élèves) (6 points) (Bac Métropole juin 2010) Partie A : On considère l équation différentielle (E) : y + y = e x. 1. Montrer que la fonction u définie sur l ensemble des nombres réels par u(x) = x e x est une solution de l équation différentielle (E). 2. On considère l équation différentielle (E ) : y + y = 0. Résoudre l équation différentielle (E ). 3. Soit v une fonction définie et dérivable sur. Montrer que la fonction v est une solution de l équation différentielle (E) si et seulement si la fonction v u est solution de l équation différentielle (E ). 4. En déduire toutes les solutions de l équation différentielle (E). 5. Déterminer l unique solution g de l équation différentielle (E) telle que g(0) = 2. Partie B : On considère la fonction f k définie sur l ensemble des nombres réels par : f k (x) = (x + k) e x, où k est un nombre réel donné. On note C k la courbe représentative de la fonction f k dans un repère orthogonal. 1. Montrer que la fonction f k admet un maximum en x = 1 k. 2. On note M k le point de la courbe C k d abscisse 1 k. Montrer que le point M k appartient à la courbe Γ d équation : y = e x. 3. Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais l unité sur l axe des abscisses et sur l axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n apparaissent pas. Sur ce graphique, on a tracé deux courbes : la courbe Γ d équation : y = e x ; la courbe C k d équation : y = (x + k) e x pour un certain nombre réel k donné. a) Identifier les courbes et les nommer sur l annexe 1 (à rendre avec la copie). b) En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel k correspondante ainsi que l unité graphique sur chacun des axes. 4. À l aide d une intégration par parties, calculer ( 2) x x e dx. 0 Donner une interprétation graphique de cette intégrale. 2 EXERCICE N 2 (commun à tous les élèves) (5 points) (Bac Métropole - La Réunion septembre 2011) Le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct (O ; u ; v ). On désigne par A le point d affixe i et par f l application du plan dans lui-même qui à tout point M d affixe z, distincte de i, associe le point M d affixe z telle que : z' = z i z i. 1. Calculer l affixe du point B, image du point B d affixe 2 i par l application f. Placer les points B et B sur une figure que l on fera sur la copie. 2. Démontrer que l application f n admet pas de point invariant. On rappelle qu un point invariant est un point confondu avec son image. 3. a) Vérifier que, pour tout nombre complexe z, z i = z + i. b) Démontrer que OM = 1 et interpréter géométriquement ce résultat. c) Démontrer que pour tout point M distinct de A, ( u ; OM' ) = 2(u ; AM ) + 2kπ où k est un entier relatif. d) En déduire une méthode de construction de l image M d un point quelconque M distinct de A. 4. Soit (d) la droite passant par le point A et dont un vecteur directeur est le vecteur w d affixe e. a) Dessiner la droite (d). b) Déterminer l image par l application f de la droite (d) privée du point A. EXERCICE N 3 (commun à tous les élèves) (4 points) (Bac Amérique du Sud novembre2011) On considère la fonction g définie sur l intervalle ]0 ; + [ par : g(x) = x² (1 ln x). 1. Déterminer la limite de g en +. Partie A : Étude de la fonction g π i 6

3 2. Déterminer la limite de g en Étudier les variations de la fonction g sur l intervalle ]0 ; + [. 4. En utilisant les résultats précédents, étudier le signe de la fonction g sur l intervalle ]0 ; + [. Partie B : Représentation graphique et aire sous la courbe Soit C la courbe représentative de la fonction g. 1. Tracer C dans le repère orthonormal ayant pour unité graphique 5 cm et donné en annexe Déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point d abscisse 1. La tracer sur le graphique. 3. Calculer l aire en unités d aire du domaine délimité par la courbe C, l axe des abscisses et les droites d équations respectives x = 1 et x = e. EXERCICE N 4 (élèves ayant choisi la spécialité mathématiques) (5 points) (Bac Amérique du Sud 2010) Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose A(n) = n L objet de l exercice est l étude des diviseurs premiers de A(n). 1. Quelques résultats a) Étudier la parité de l entier A(n). b) Montrer que, quel que soit l entier n, A(n) n est pas un multiple de 3. c) Montrer que tout entier d diviseur de A(n) est premier avec n. d) Montrer que, pour tout entier d diviseur de A(n) : n 8 1 mod d. 2. Recherche de critères Soit d un diviseur de A(n). On note s le plus petit des entiers naturels non nuls k tels que n k 1 mod d. a) Soit k un tel entier. En utilisant la division euclidienne de k par s, montrer que s divise k. b) En déduire que s est un diviseur de 8. c) Montrer que si, de plus, d est premier, alors s est un diviseur de d 1. On pourra utiliser le petit théorème de Fermat. 3. Recherche des diviseurs premiers de A(n) dans le cas où n est un entier pair. Soit p un diviseur premier de A(n). En examinant successivement les cas s = 1, s = 2 puis s = 4, conclure que p est congru à 1 modulo Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. Appliquer ce qui précède à la recherche des diviseurs premiers de A(12). Indication : la liste des nombres premiers congrus à 1 modulo 8 débute par 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137,... EXERCICE N 4 (élèves n ayant pas choisi la spécialité mathématiques) (5 points) (Bac Nouvelle Calédonie septembre 2011) 1. Soit f la fonction définie sur ]0 ; + [ par : f(x) = ln(1 + 1 x ) x. a) Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +. b) Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur ]0 ; + [. c) Montrer qu il existe un unique réel α appartenant à ]0 ; + [ tel que f(α) = 0. Déterminer une valeur approchée de α à 10 3 près. 2. Soit g la fonction définie sur ]0 ; + [ par : g(x) = ln(1 + 1 x ). La suite (u n ) n est définie par u 0 = 1,5 et pour tout entier naturel n : u n + 1 = g(u n ) = ln(1 + 1 u ). n On a représenté en annexe 3 (à rendre avec la copie) la courbe C représentative de la fonction g et la droite D d équation y = x. a) Construire sur l axe des abscisses, en laissant les traits de construction apparents, les cinq premiers termes de la suite (u n ). b) Le graphique permet-il d émettre les conjectures suivantes? On recopiera sur la copie le numéro de la conjecture suivie de OUI ou NON. Aucune justification n est demandée. Conjecture n 1 : «la suite (u n ) est monotone.» Conjecture n 2 : «la suite (u n ) est minorée par 0,5.» Conjecture n 3 : «la suite (u n ) converge vers 1.» c) On admet que la suite (u n ) converge vers une limite l strictement positive. Montrer que ln(1 + 1 ) = l. d) Montrer que l = α.

4 NOM : Classe : Annexe 1 de l'exercice 1 Annexe 3 de l'exercice 4 (non spécialité) TSVP

5 Annexe 2 de l'exercice 3

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