GLMA201 - ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE CONTRÔLE CONTINU 2

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1 GLMA -4 GLMA - ALGÈBRE LINÉAIRE ET ANALYSE - -4 CONTRÔLE CONTINU Durée : h Tout doument ou lultrie est interdit Il ser tenu ompte de l lrté et de l préision de l rédtion Il est importnt de justifier hune de vos réponses Bon ourge! Le brème est donné à titre inditif et pourrit être légèrement modifié Eerie ( /) Soit E un K-espe vetoriel Soient f, g L(E) tels que f g = g f, et λ K On pose E λ := Ker(f λid) Montrer que g(e λ ) E λ ) (utrement dit, E λ est stble pr g) Corretion Il s git de montrer que : v g(e λ ), v E λ Soit v g(e λ ) Alors, pr définition, il eiste u E λ tel que v = g(u) En omposnt ette églité pr (f λid), on obtient : (f λid)(v) = (f λid)(g(u)) = f(g(u)) λg(u) = g(f(u)) λg(u), r f g = g f De plus, d près l linérité de g, on : g(f(u)) λg(u) = g(f(u)) g(λu) = g(f(u) λu) = g((f λid)(u)) Or, (f λid)(u) = r u E λ Don : r g est linéire Autrement dit, v E λ (f λid)(v) = g((f λid)(u)) = g() =, Eerie ( /) Trouver les solutions de : (E) y y + y = e t On préiser le domine de résolution Corretion L éqution (E) est définie et se résout sur J = R On ommene pr étudier l éqution homogène ssoiée à (E) On pose : (H) y y + y = Son polynôme rtéristique P (X) = X X + dmet une rine double r = On en déduit que les solutions réelles sur J de (H) sont de l forme : { J R h : t Ce t + Dte t ; C, D R Remrque Il est importnt de préiser dns quel ensemble "vivent" C et D Pour une solution réelle, C et D sont des réels Alors que pour une solution omplee, C et D sont des omplees Cherhons à présent une solution prtiulière y de (E) Pour tout t J, le seond terme (t) = e t nous inite à herher une solution prtiulière de l forme y (t) = (t + bt + )e t, ve, b, R En effet, l eposnt de l eponentielle est rine double du polynôme Dte: Jeudi 7 Mrs Els Ibne Contrôle Continu

2 GLMA -4 rtéristique On : y est solution de (E) y (t) y (t) + y (t) = e t + (t + b) + (t + bt + ) t J (t + b) (t + bt + ) + (t + bt + ) = = = t J Remrque Dns notre s, les vribles b et sont libres (utrement dit, elles peuvent prendre n importe qu elles vleurs) Penser à préiser quelles vleurs sont hoisies pour l suite On prend pr eemple b = et = Une solution prtiulière de (E) est don donnée pr : { J C y : t t e t Pr onséquent, les solutions réelles sur J de (E) sont de l forme : { J R y : t Ce t + Dte t + t e t ; C, D R Problème ( /5,5) On se ple dns le R-espe vetoriel R On onsidère l pplition f : R R définie pr : 4 y R f( y ) + y () Montrer que l pplition f est linéire Corretion Soient t (, y, ), t (, y, ) R et λ R On utilise l rtéristion de l linérité On : + λ f( y + λ y ) = f( y + λy + λ ) Don f est linéire = f( 4( + λ ) ( + λ ) ( + λ ) + (y + λy ) ( + λ ) ( + λ ) ( + λ ) 4 + y y ) + λf( + λ y ) 4 + y () Donner l bse nonique de R et érire l mtrie A de f dns ette bse Corretion L bse nonique de R est (e, e, e ) où : e, e, e Els Ibne Contrôle Continu

3 GLMA -4 Dns ette bse : 4 f(e ) = f( ) = 4e + e + e, Il s ensuit que : f(e ) = f( f(e ) = f( ) ) A = e, 4 = e e e Remrque Il fut justifier omment on onstruit A Pour el, penser à mettre en évidene les déompositions de f(e ), f(e ) et f(e ) dns l bse nonique () Donner des équtions pour Im(f id) et Im(f id) Corretion On ommene pr étudier Im(f id) Soit t (, b, ) R On : b Im(f id) y tel que (f id)( y ) b, y, R tels que = = b = Remrque Lors de l étude de l imge d une pplition linéire, il fut svoir epliquer en quelques lignes omment on se rmène à l étude d un système (S) Ce système s ompgne d une ondition d eistene très importnte Elle fit prtie des équivlenes! On n étudie ps les solutions de (S), mis s résolubilité ( està-dire qund est-e qu il eiste une solution) Ce pourquoi, on ehibe une ou des ondition(s) de omptibilité entre, b et Une fois elle(s)-i obtenue(s), il fut justifier pourquoi les utres équtions disprissent Or, le système obtenu est soluble si et seulement si = b = Don : Im(f id) b R ; = b = ; R ; des équtions de Im(f id) sont, pr eemple, = b et = On proède de même pour Im(f id) Soit t (, b, ) R On : b Im(f id) y tel que (f id)( y ), y, R tels que L L L L L L, y, R tels que b = + y = b = = y = b = Els Ibne Contrôle Continu

4 GLMA -4 = L L L, y, R tels que y = b = + Or, le système obtenu est soluble si et seulement si + = Don : Im(f id) b R ; + = b ;, b R ; une éqution de Im(f id) est + = (4) Donner des bses pour Ker(f id) et Ker(f id) Préiser leurs dimensions Corretion On ommene pr étudier Ker(f id) Soit t (, y, ) R On : y Ker(f id) (f id)( y ) = = = Remrque Lors de l étude du noyu d une pplition linéire, il fut svoir epliquer en quelques lignes omment on se rmène à l étude d un système (S) Contrirement à préédemment, on s intéresse ette fois-i u solutions de (S) Or, le système obtenu est équivlent à = Don : Ker(f id) y R ; = y ;, y R Tout veteur t (, y, ) Ker(f id) s érit de mnière unique : y = + y Remrque Il fut justifier omment on obtient une bse A priori, on obtient une fmille F génértrie Cependnt, pr onstrution (ompte-tenu du plement des ""), F est toujours trivilement libre ou, de mnière équivlente, l déomposition dns F est toujours trivilement unique Penser à le préiser dns l rédtion On en déduit que {t (,, ), t (,, ) } est une bse de Ker(f id) et que s dimension est Pssons à l étude de Ker(f id) Soit t (, y, ) R On : y Ker(f id) (f id)( y ) = + y = = On réupère les luls préédents ve = b = = Le système obtenu est équivlent à : { = = y = y = Els Ibne 4 Contrôle Continu

5 GLMA -4 Don : Ker(f id) y R ; = y = ; R Tout veteur t (,, ) Im(f id) s érit de mnière unique : = On en déduit que t (,, ) est une bse de Ker(f id) et que s dimension est (5) On pose : ɛ, ɛ, ɛ Montrer que l fmille (ɛ, ɛ, ɛ ) est une bse de R Corretion Soient, b, R tels que ɛ +bɛ +ɛ = Cette éqution vetorielle se trduit sous forme d un système : + b + = + b = + b + = L L L L L L L L L L L L L b + = + b = b + = + b = b + = = Remrque Lors de l étude de l liberté d une fmille, il fut epliiter quelle éqution vetorielle est étudiée vnt de poser le système ssoié Or, e système est équivlent à = b = = Don (ɛ, ɛ, ɛ ) est une fmille libre Comme l fmille (ɛ, ɛ, ɛ ) ontient = dim(r ) veteurs, est une bse de R Remrque Une fmille un rdinl L notion de dimension, qunt à elle, est propre u espes vetoriels Tout espe vetoriel vetoriel E de dimension finie dmet (u moins) une bse De plus, toutes les bses de E ont même rdinl C est insi qu est défini l dimension de E : dim(e) est égle à l vleur ommune des rdinu de ses bses (6) Cluler f(ɛ ), f(ɛ ) et (f id)(ɛ ) dns l bse (ɛ, ɛ, ɛ ) En déduire l mtrie B de f dns ette nouvelle bse Corretion D près l question (4), on remrque que ɛ Ker(f id) et ɛ Ker(f id) Don : (f id)(ɛ ) = f(ɛ ) = ɛ, (f id)(ɛ ) = f(ɛ ) = ɛ D utre prt : (f id)(ɛ ) = (f id)( Il s ensuit que : ) B = ɛ f(ɛ ) = ɛ + ɛ Els Ibne 5 Contrôle Continu

6 GLMA -4 (7) Donner une mtrie P inversible telle que A = P BP Cluler P Corretion Pr onstrution, A = Mt (ei )(e i )(f) et B = Mt (ɛi )(ɛ i )(f) D près l formule mtriielle du hngement de bses : A = Mt (ei )(ɛ i )(id) B Mt (ɛi )(e i )(id) ( où Mt (ɛi )(e i )(id) = Mt (ei )(ɛ i )(id)) Remrque L formule mtriielle du hngement de bses justifie le hoi de ette mtrie (de pssge) P, insi que son inversibilité Dns une opie, il fut rédiger et rgument Don : P = Mt (ei )(ɛ i )(id) On lule son inverse à l ide d un pivot de Guss : L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L +L 5 Il s ensuit que : P 5 (8) Montrer que, pour tout n N, il eiste des réels n et b n tels que : b n B n n n Corretion On proède pr réurrene sur n N Pour tout entier n, on note P(n) l propriété suivnte : b n P(n) : n, b n R tels que B n n n Remrque Erire " n N" dns l propriété P(n) n uun sens Le prinipe du risonnement pr réurrene est de sinder le résultt à démontrer en plusieurs rngs n On se rmène insi à étudier une propriété P(n) pour un seul rng n fié Le résultt à démontrer est : pour tout n N, l propriété P(n) est vrie Els Ibne 6 Contrôle Continu

7 GLMA -4 Pour n =, on : B = I ; les réels = et b = onviennent Remrque L propriété est demndée pour tout n N Le premier rng est don n = Soit n N On suppose que P(n) est vérifiée Montrons P(n + ) Pr hypothèse de réurrene, on : b n b n + n B n+ = BB n n n n n Don n+ = n et b n+ = b n + n onviennent ; e qui hève l réurrene (9) A l ide des reltions de réurrene stisfites pr les suite ( n ) et (b n ), donner leurs epressions en fontion de n Corretion D près l question (8), les suites ( n ) et (b n ) vérifient les reltions de réurrene suivntes : n n = n, b n = b n + n L suite ( n ) est géométrique de rison, on en déduit que : L suite (b n ) vérifie don : n n N n = n = n b n = b n + n = b n + n + n = = b n = + + n = () En déduire A n pour tout n N n k= k = n Corretion On sit que A = P BP Il s ensuit que, pour tout n N : A n = (P BP ) n = (P BP )(P BP )(P BP ) } {{ } nfois = (P B P ) (P BP )(P BP ) = = P B n P } {{ } n fois Remrque L formule doit se justifier pr des rguments lés ou une réurrene rpide D près les questions préédentes, on lors : n 5 A n n n n n n n n n n + n n n + n n + 5 n n + n+ n n + n+ n+ + Els Ibne 7 Contrôle Continu

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