Plan du cours. Signaux et systèmes continus. Applications du filtrage analogique. Filtrage Analogique. Rappels signaux et systèmes

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1 Plan du cours Signaux et systèmes continus Applications R. Flamary 5 novembre 24 Rappels signaux et systèmes Caractérisation fréquentielle Applications Traitement du signal : Filtrage analogique Introduction Synthèse de filtre Réalisation de filtre Bilan filtrage Télécommunications : Modulation Introduction Modulation d amplitude Modulation de fréquence 2 / 4 Filtrage Analogique Applications du filtrage analogique x(t) Filtre Définition Méthode de traitement du signal continu visant à atténuer une partie du signal et à en faire ressortir une autre. Filtrage analogique en opposition à filtrage numérique (signaux discrets). Objectifs Trouver un système qui transforme le signal x(t) pour en extraire l information pertinente. Éliminer ou atténuer un bruit. Séparer plusieurs composantes d un signal. Signaux EEG, détection de mouvement dans la bande [9-]Hz. Tonalité, effets dans les appareils audio (equalizer, echo). Suspension de véhicules. Protection sismique. Éviter le repliement de spectre. Modélisation de la fonction de transfert d un téléscope. Karaoké, Vuvuzela. 3 / 4 4 / 4

2 Cadre d application : débruitage Cadre d application : déconvolution b(t) x(t) h(t) h(t) b(t) x(t) - h(t) Objectif Reconstruire le signal d origine qui a été bruité par un bruit additif b(t). Reconstruction exacte souvent impossible. Synthèse d un système h(t) qui atténue l effet du bruit en minimisant son effet sur le signal d origine. ŷ(t) = h b(t) h }{{}}{{} Objectif Reconstruire le signal d origine qui a été convolué puis bruité par un bruit additif b(t). Synthèse d un système ĥ(t) qui annule la convolution en limitant l effet du bruit. ŷ(t) = ĥ b(t) h }{{} ĥ }{{} Problème beaucoup plus difficile que le débruitage car le système h (t) qui annule la convolution peut ne pas exister (pas l objet de ce cours). 5 / 4 6 / 4 Filtrage et bande passante Gain et Atténuation Pour caractériser un filtre on peut utiliser sa représentation Gain/Phase (Diagramme de Bode). G DB (w) = 2 log ( H(w) ) et Φ(w) = Arg(H(w)) On utilise également l atténuation A(w) = G DB (w) Bande passante La bande passante est l ensemble des fréquences telles que le Gain du filtre est supérieur à une référence (en général on prend -3dB). Bande passante à 3dB : { ( ) } H(w) BP = w 2 log 3 max( H(w) ) Type de Filtres /2 f c /2 f c /2 f c f c2 /2 f c f c2 Passe bas Filtre le plus commun, coupe les hautes fréquences. BP = [O, f c ] avec f c fréquence de coupure (w c pulsation). Passe haut Coupe les basses fréquences f c. BP = [f c, ] Passe bande Laisse passer les composantes de fréquence comprises entre les deux fréquences de coupures. BP = [f c, f c2 ] Coupe bande Laisse passer les composantes de fréquence à l extérieur des deux fréquences de coupures. BP = [, f c ] [f c2, ] 7 / 4 8 / 4

3 Notion de distorsion Transmision sans distorsion Un système est considéré sans distorsion si = Cx(t t ) Avec Un système sans distorsion a donc une TF de la forme H(w) = X(w) = et h(t) = Y (w) C un gain constant. t > est un délai. Notion de distorsion (2) Distorsion de phase Soit le système de fonction de transfert On en déduit donc que x(t) = cos(ωt) H(w) = H(w) e jφ(w) = H(ω) cos(ωt φ(ω)) = H(ω) cos(ω(t φ(ω)/ω)) Pour que le retard φ(ω)/ω aussi appelé temps de propagation ne dépende pas de la fréquence il faut donc Avec H(w) = C sinon distorsion d amplitude. Arg(H(w)) = wt sinon distorsion de phase. On remarque que la phase du système varie linéairement avec la fréquence. Filtre passe-bas idéal Définition Le filtre idéal est un objet théorique. Utilisable lorsque les spectres du signal et du bruit ne se recouvrent pas (signal basse fréquence). La fonction de transfert du filtre est 9 / 4 φ(ω) ω = cte = τ φ(ω) = ωτ Temps de propagation de groupe En pratique, on utilise le temps de propagation de groupe τ = dφ(ω) dω bande passante du filtre. Réalisation de filtre en pratique La réalisation d un filtre analogique nécessite plusieurs étapes.. Caractérisation du filtre Gabarit qui définit les contraintes du filtre (bande passante, gain). sur la / 4 { si f < fc H(f) = sinon où f c est la fréquence de coupure. La réponse impulsionnelle du filtre est h(t) = 2. Synthèse du filtre Recherche de la fonction de transfert qui répond au gabarit (ordre le plus faible possible). 3. Réalisation du filtre Recherche des composants électroniques élémentaire qui permettent d obtenir la fonction de transfert voulue (R,C,L et ampli op pour filtrage actif). Filtre physiquement réalisable Un filtre physiquement réalisable est causal et stable. Filtre idéal non causal, ne pouvant pas être implémenté en pratique. / 4 2 / 4

4 Caractérisation de filtre Exemple de Synthèse de filtre Filtre réel Les filtres idéaux ne sont pas réalisables en pratique. On cherche donc une approximation de ces filtres. L approximation est caractérisée par un Gabarit Gabarit d un filtre Paramètres : Bande passante BP et la bande rejetée Ondulations autorisées : ε en bande passante δ en bande atténuée Application interface cerveau-machine. Signal intéressant 2Hz (w s = 2π 2). Bruit EDF à 5Hz (w edf = 2π 5). Deux signaux de faible puissance P s = P b. Atténuation max du signal 3dB. Filtrage par un système du premier ordre. Fonction de transfert premier ordre Gain en Db G(w) = H(w) = j w w Avant filtrage : ( ) P R S/B = log s P b = Après filtrage : R S/B = G(w s ) G(w edf ) Choix de w? La gabarit définit la zone autorisée pour la fonction de transfert (compromis). 3 / 4 4 / 4 Exemple de Synthèse de filtre Fonctions d approximation et filtre passe bas R S/B = G(w s ) G(w edf ) Tracer le R S/B en fonction de w. Pour quelle valeur le rapport est-il maximum? Choix que w On ne doit pas atténuer le signal de plus de -3dB w s w. Pour w = w edf R S/B = Pour w = (w edf w s )/2 = R S/B = Pour w = w s R S/B = On choisit donc w = w c car c est ce qui colle le plus au gabarit et maximise le RSB. Gabarit pour un filtre passe bas Bande passante (BP) : ε H(w) pour w < w p wp : pulsation passante. ε : paramètre de tolérance en BP (ε = /2 3dB). Bande atténuée (BA) : H(w) δ pour w > w a wa : pulsation d atténuation. δ : paramètre de tolérance en BA. w a w c est la bande de transition. 5 / 4 6 / 4

5 Fonctions d approximation et filtre passe bas (2) On cherche une fonction d approximation qui respecte la gabarit est globalement un problème d optimisation sous contrainte. On cherche donc la fonction qui minimise un critère (maximise SNR). Deux critères additionnels sont communément utilisés : Réponse en fréquence la plus plate possible Soit H(w) le module de la réponse en fréquence d un filtre passe-bas d ordre k. Le module H(w) est le plus plat possible (maximally flat) si à son origine (w = ) les dérivées K ieme sont nulles d K H(w) dw K = Filtre de Butterworth () Les Filtres de Butterworth sont des filtres maximally flat. L amplitude de la fonction de transfert peut se mettre sous la forme H(w) = ( ) () 2n w w c avec n : ordre du filtre. wc : fréquence de coupure. Les pulsation passante w p et atténuée w a sont : Pour H(w) = ε Pour H(w) = δ Butterworth Amplitude des oscillations Le filtre est dit à amplitude equiripple si les oscillations dans la bande passante sont d amplitude constantes. w p = w a = 7 / 4 8 / 4 Filtre de Butterworth (2) Filtre de Tchebychev Le filtre de Butterworth est monotone décroissant sur tout le spectre. L amplitude de la fonction de transfert peut se mettre sous la forme Chebyshev type Chebyshev type 2 H(w) = 2 ( w w c ) 2n 3 ( ) 4n w 5 ( ) 6n w... 8 w c 6 w c On voit donc que sa dérivée est nulle en zéro jusqu à l ordre k = 2n. La fonction de transfert d un filtre de Butterworth est de la forme B N (w) = P N (w) où P B (N) est un polynôme de butterworth que l on peut obtenir à partir de : Ordre Polynôme jw 2 (jw) 2 2jw 3 (jw )((jw) 2 jw ) 4 ((jw) jw )((jw) jw ) Filtre oscillant dans la bande passante (type ) ou dans la bande atténuée (type 2). Filtre de type equiripple qui réduit la bande de transition en acceptant les oscillations. Amplitude de la fonction de transfert : H(w) = ( ) Tn( ) : Polynôme de ε 2 Tn 2 w w c Tchebychev d ordre n. 9 / 4 2 / 4

6 Tranformation de filtres On peut transformer un filtre passe bas en passe-haut, passe-bande, coupe-bande en remplacant jw dans la fonction de transfert. Passe-bas avec fréquence de coupure w c jw jw w c w c : pulsation de coupure Passe-haut jw w c jw Passe-bande jw w B Coupe-bande ( jw w ) 2 jw w jw B w jw w ( jw w ) 2 w c : pulsation de coupure w = w w 2 : pulsation centrale B = w 2 w : bande passante w = w w 2 : pulsation centrale B = w 2 w : bande passante Réalisation du filtre Une fonction de transfert H(w) qui respecte le gabarit a été sélectionnée. La réalisation d un filtre analogique consiste à trouver un circuit électrique qui permet d obtenir la fonction de transfert voulue. Filtre passif Réalisé uniquement avec des composants passifs. Utilisation de condensateur, bobine, résistance. Pas d apport d énergie extérieure. Attention à l impédance d entrée et de sortie du système. Filtre actif Utilisent de l énergie extérieure. Mise en oeuvre à l aide d amplificateur opérationnel (AOP). 2 / 4 22 / 4 Filtres passifs () Exemple de filtre Application interface cerveau-machine. w = w s = 2π 2 w = RC RC = Choix pour R et C? Contraintes de prix. Tranformation de filtre Transformation similaire à celle effectuée sur les FT. passe-bas passe-haut passe-bas passe-bande /jcw jlw et jlw /jcw /jcw B/C(jw /jw) et jlw L/B/(jw /jw) Filtres passifs (2) Filtre de Butterworth Construction d un circuit correspondant en utilisant la topologie de Cauer. Pour un filtre de w c = et d ordre n on a la structure suivante : C L 2 C 3 L 4 L n- Avec les valeurs suivantes : Ck = 2 sin( 2k π) avec k impair. 2n Lk = 2 sin( 2k π) avec k pair. 2n Cette structure suppose que la résistance de la source et de la charge en sortie sont de Ohm. C n 23 / 4 24 / 4

7 Filtres passifs (3) Filtres actifs () Filtre actif du premier ordre Avantages R 2 Uniquement des composants passifs (faible coût). Pas d alimentation nécessaire. Relativement facile à mettre en oeuvre. R - C R Limitations Précision de composants. Pas d amplification possible (conservation de l énergie). Fonction de transfert dépend de la résistance de charge. Bobine jamais parfaites (résistance résiduelle, inductance mutuelle). Fonction de transfert Avec H(w) = A jw w A = et w = Paramètres : R, C, R, R 2 25 / 4 26 / 4 Filtres actifs (2) Filtres actifs (3) Filtre actif du second ordre (Structure de Sallen et Key) C 2 R R - K r C r 2 Avantages Composants à coût raisonnable. Les amplificateurs opérationnels ont une impédance quasi infinie. Possibilité d avoir une amplification. Fonction de transfert Avec w n = H(w) = K 2zjw w n (jw)2 w 2 n R C 3 K et z = C C 2 C 2 2 et K = r r 2 r Limitations Nécessitent une alimentation (AOP). Excursion limitée du signal à cause de la saturation des AOP. Bande passante des AOP limitée (communément KHz max). Peuvent être instables (boucle dans le système). Paramètres : R, C, C 2, r, r 2 27 / 4 28 / 4

8 Bilan filtrage Modulation Description des contraintes Gabarit Temps de propagation Synthèse Choix de la classe de filtre (Butterworth, Chebychev) Choix de l ordre du filtre (résolution d équations) Transformation (vers passe haut/bande) Réalisation Choix de la structure (dépend de l ordre, actif ou passif) Calcul des paramètres (résistances/capacité/inductance) Définition La modulation est une méthode d encodage d un signal pour en faciliter la transmission. Motivations La transmission du signal brut souvent peu efficace (ondes électromagnétiques). Transmission de plusieurs signaux en parallèle. Utilisation de la bande passante autorisée. Suite du cours Modulation d amplitude (interprétation dans Fourier). Modulation de fréquence (présentation rapide). 29 / 4 3 / 4 Définitions Modulation d amplitude () Signal à transmettre Soit x(t) un signal à transmettre aussi appelé signal modulant. Signal à bande limitée : Porteuse Signal de base utilisé pour le transport de l information. Souvent de la forme : x(t) X(f) = pour f > f x p(t) = cos(2πf p t) Signal modulé Signal à bande limitée qui peut être transporté par le medium choisi (câble, ondes électromagnétiques, fibre optique). Démodulation Étape inverse de la modulation. Le but est de reconstruire x(t) à partir de. Définition L amplitude de la porteuse dépend du signal modulant x(t) k s : facteur de modulation f p : fréquence de la porteuse = A c ( k s x(t)) cos(2πf p t φ m ) φ m : déphasage (ajouté par la transmission). 3 / 4 32 / 4

9 Modulation d amplitude (2) Modulation d amplitude (3) Indice de modulation Enveloppe du signal modulé. h < a(t) Interprétation dans le plan de Fourier a(t) = A c k s x(t) Multiplication Convolution. X(f) Amplitude maximum du signal modulant : M x = max x(t) t L indice de modulation (ou taux de modulation) est définit par h = k s M x h = h > Y (f) = X(f) P (f) Le spectre du signal modulant est décalé autour de la fréquence f p de la porteuse. Simple pour transmettre un signal de bande limitée. Le spectre du signal modulé est compris entre f p ± f x. -f x f x -f p f p -f p f p P(f) Y(f) h < : sous-modulation. h > : sur-modulation. 33 / 4 34 / 4 Modulation d amplitude (4) Modulation d amplitude (5) Démodulation synchrone On multiplie le signal modulé par la porteuse : a(t) ˆx(t) w(t) = cos(2πf p t φ d ) = A s ( k s x(t)) cos(2πf p t φ m ) cos(2πf p t φ d ) C R = Après filtrage passe-bas et centrage on retrouve le signal estimé cos(φ m φ d ) = si φ m = φ d. ˆx(t) = A s 2 k sx(t) cos(φ m φ d ) Importance de la synchronisation, composants actifs. Démodulation asynchrone La démodulation synchrone nécessite des composants actifs pour la synchronisation. Utilisation d un montage diode/rc pour estimer l enveloppe du signal. Nécessite un sous-modulation car si h < alors a(t) = A c k s x(t) = A c A c k s x(t) Attention à la puissance nécessaire pour le transfert. 35 / 4 36 / 4

10 Applications de la modulation d amplitude () X (f) X 2 (f) X 3 (f) Applications de la modulation d amplitude (2) H(f) x(t) x f (t) -f x f x -f x f x -f x f x f Filtre passe bande à fréquence centrale variable -2f p -3f p -f p f p 2f p 3f p Multiplexage par division fréquentielle Multiplexage : transmission de plusieurs signaux en parallèle. Chaque signal est de bande limitée. Utilisation de fréquence de f p différentes pour chaque signaux. Si f p > 2f x alors pas de recouvrement de spectre. Filtre très utile par exemple en radio. 3 étapes :. Multiplication par une exponentielle complexe (décalage du spectre). 2. Filtre passe-bas. 3. Multiplication par une exponentielle complexe conjuguée (recalage). La fréquence de l exponentielle complexe permet de régler la fréquence centrale du filtre passe bande. Transmission de signaux sans perte. 37 / 4 38 / 4 Modulation de fréquence () Modulation de fréquence (2) Propriétés de la Modulation de fréquence Définition La modulation de fréquence consiste à modifier la fréquence de la porteuse par rapport à x(t). Le signal modulé est de la forme : ( = cos 2π t ) f(τ)dτ f(t) = f p f x(t) est la fréquence instantanée du signal. Si x(t) = alors on retrouve la porteuse. x(t) alors la fréquence instantanée va être modifiée par x(t) f est la déviation en fréquence (équivalent de k s en AM). Plus robuste que AM (bruit, atténuation) mais distance de propagation plus limitée. Plus complexe à mettre en oeuvre (nécessite un Voltage Controled Oscillator VCO). Intuitivement le spectre du signal modulé devrait être seulement dans la bande f p ± f M x, c est FAUX! Les variations continues de fréquence impliquent un spectre utilisant toutes les fréquence. Cependant la règle de Carson stipule que la majorité de la puissance du signal (98%) est contenue dans la bande Cours de modulation en M. b = 2(f f x ) 39 / 4 4 / 4