S13 - Filtrage passif. Signaux physiques. Chapitre 13 : Filtrage passif

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1 Signaux physiques Chapitre 3 : Filtrage passif Sommaire Fonction de transfert. Notion de quadripôle Fonction de transfert Filtres Notion de filtre Filtres actifs/passifs Ordre d un filtre Diagramme de Bode 3. La représentation de Bode Tracé du diagramme Nature d un filtre Pulsations de coupure et bande passante à trois décibels Page Introduction Pour concevoir et décrire un circuit électrique constitué d un grand nombre de composants, il est intéressant de le découper en plusieurs blocs fonctionnels, dont le comportement peut être étudié séparément. Dans cette optique, on utilise fréquemment la notion de quadrupôle. Après avoir appris à caractériser le comportement général d un quadripôle, nous appliquerons les concepts développés à l étude des filtres, quadripôles dont la tension de sortie dépend de la fréquence de la tension d entrée : seules certaines fréquences peuvent passer à travers un tel quadrupôle. Les filtres électroniques sont très utilisés en pratique : sélection d une station radio parmi toutes les stations disponibles. sélection des bonnes gammes de fréquences pour alimenter les différents hauts-parleurs d une chaîne-hifi. sélection de fréquences dans les télécommunications. Fonction de transfert. Notion de quadripôle Définition Un quadripôle est une portion de circuit comportant quatre bornes, deux d entre elles permettant de lui appliquer une tension d entrée, les deux autres délivrant une tension de sortie v s. quadripôle v s 03/04 /5

2 Dans la continuité des chapitres précédents, nous limiterons notre étude aux circuit linéaires. Par exemple, un circuit RC peut être vu comme un quadripôle :. Fonction de transfert Définition La fonction de transfert H est définie par le rapport de la tension de sortie complexe v s à vide à la tension d entrée complexe, à vide signifiant qu aucun courant ne circule dans les bornes de sortie : H = v s () Pour un quadripôle linéaire quelconque, les tensions d entrée et de sortie v s en régime sinusoïdal sont de la forme : = exp(jωt) v s = V s exp(jωt + ϕ) = V S exp(jωt) avec = et V S = V S exp(jϕ) les amplitudes complexes La fonction de transfert s exprime donc de la façon suivante : H = v s = V s = V s exp(jϕ) Signification de la fonction de transfert Le gain G(ω) d un filtre est défini par le module de sa fonction de transfert : G(ω) = H(ω) = V s Il correspond au rapport de l amplitude de la tension de sortie à l amplitude de la tension d entrée. L argument de la fonction de transfert correspond au déphasage entre les tensions d entrée et de sortie : arg(h(ω)) = ϕ A titre d exemple, déterminons la fonction de transfert du circuit RC : v s = Z C R + Z C On obtient : H = + jrcω.3 Filtres.3. Notion de filtre Définition Un filtre est un quadripôle linéaire dont la fonction de transfert dépend de la pulsation ω. 03/04 /5

3 .3. Filtres actifs/passifs On distinguera les filtres passifs des filtres actifs. La définition passif / actif est similaire à celle donnée pour les dipôles en première période : un filtre actif échange de l énergie avec le circuit et reçoit de l énergie depuis une source extérieure au circuit. Le filtre RC est un filtre passif. On verra en travaux pratiques des filtres construits à partir de l amplificateur opérationnel. Ce composant étant alimenté par une source de tension continue extérieure au circuit, ces filtres sont actifs..3.3 Ordre d un filtre Définition La fonction de transfert d un filtre linéaire est une fonction de la pulsation ω. Elle peut s exprimer comme le rapport de deux polynômes : H(ω) = N(ω) D(ω) L ordre du filtre est donné par le degré le plus élevé de ces deux polynômes. Par exemple, le filtre RC est du premier ordre. Diagramme de Bode. La représentation de Bode Le diagramme - ou représentation - de Bode repose sur une échelle logarithmique, ce qui permet de tracer sur un même graphique des variations importantes d une grandeur. Définition Le gain exprimé en décibels est défini à partir du gain par la relation : G db (ω) = 0 log G(ω) () Diagramme de Bode Le diagramme de Bode est constitué du tracé en fonction de log(ω) : du gain en décibel G db de la phase ϕ En abscisses, on utilisera aussi la variable réduite x définie à partir de la pulsation de référence ω ref du circuit - définie à partir des grandeurs caractéristiques du circuit - et de la pulsation ω par la relation :. Tracé du diagramme x = ω ω ref (3) Diagramme asymptotique Constitué de segments de droite, on le détermine en cherchant un équivalent de la fonction de transfert à basses fréquences et à hautes fréquences. L ensemble de ces segments de droite represente de manière simplifiée le comportement du filtre en fonction de la fréquence. 03/04 3/5

4 On cherchera toujours à tracer le diagramme asymptotique avant de tracer le diagramme de Bode complet. Il vous sera souvent demandé de ne tracer que le diagramme asymptotique. Traçons le diagramme de Bode du filtre RC en fonction de la variable réduite x : 03/04 4/5

5 G(ω) = + (RCω) (pente à -0 db/décade) G db (ω) = 0 log G db (ω) x 0 + (RCω) G db (ω) x 0 log x ϕ = arg(h) = arg( + jrcω) ϕ = arctan x ϕ x Nature d un filtre On peut distinguer quatre types de filtres idéaux, selon la dépendance du gain en fonction de la fréquence. On parle de filtres passe-bas, passe-haut, passe-bande ou coupe-bande. Si le filtre n est pas trop compliqué, on peut déterminer la nature du filtre avant d effectuer tout calcul. Pour cela, on considère les dipôles équivalents à basses fréquences et à hautes fréquences des dipôles connus : R, L et C. Par exemple, la nature du filtre RC peut se déterminer directement à partir des schémas équivalents :.4 Pulsations de coupure et bande passante à trois décibels Le filtre RC traité jusqu à présent est un filtre passe-bas : il laisse passer les basses fréquences et atténue les hautes fréquences. De manière générale, pour un filtre donné, on souhaite connaître l intervalle des fréquences que le filtre «laisse passer». Cet intervalle s appelle la bande passante d un filtre et repose sur la notion de pulsation de coupure : Définition Les pulsations de coupure ω c d un filtre correspondent aux valeurs de la pulsation pour lesquelles son gain est réduit d un facteur par rapport à sa valeur maximale : G(ω c ) = G max (4) Intuitivement, elles correspondent aux fréquences à partir desquelles le filtre «coupe». Définition Les zones du diagramme de Bode pour lesquelles le gain est supérieur à sa valeur de coupure constituent la bande passante à trois décibels. Cette dénomination est justifiée par la valeur du facteur 0 log( ), approximativement égal à 3 db. 03/04 5/5

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