Ondes électromagnétiques Antennes BR

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1 Ondes électomagnétiques Antennes BR A. Mots clés Dipôle ayonnant, champs émis, champs statiques, champ poche, champ lointain, puissance ayonnée, gain, diectivité, angle solide, densité de puissance, antenne isotope, suface équivalente, B. Biblio sommaie : EM F Gadiol PPUR 96, Mico ondes P Combes tomes Dunod 97 Poly AEMC 93, Ondes EM Faget Mazzaschi Vuibet univesité 83, Hpépa Ondes, Antennes, D J W SJOBEMA publications phillips Réceptions de hautes féquences Joseph J CARR Publitonic. Cous de physique «électomagnétisme» Daniel Codie.7 C. Intoduction, notion d onde EM L onde plane est un modèle simple pou compende les ondes EM. Les scientifiques du ème siècle ont eu du mal à accepte qu elle se popage dans le vide. Mais la lumièe, une onde comme les aute nous vient bien du soleil à taves le vide intesidéal. L onde est composée de deux champs le champ magnétique, H et le champ électique E. Les dépendances tempoelles et spatiales des champs sont les mêmes que celles des tensions et intensités dans la ligne bifilaie. Donc comme dans la ligne : le couple, tension couant, est emplacé pa le couple champ E champ H dans l onde plane u( t, x) U cos( ω. t k. x ) = + E( t, x) = E.cos( ω. t k. x) i( t, x) = I cos( ω. t k. x) H ( t, x) = H cos( ω. t k. x) Ici les deux champs sont en phase. Le vecteu d onde k est dans la diection de popagation et a pou valeu algébique k, on touve aussi la lette gecque béta, nombe d onde. Un signe négatif monte que l onde est pogessive. 1. Démonstation de l onde pogessive su mathématica.. Constuction des bulles de champ, explication de=u phénomène d émission. Diection des champs Les champs de l onde plane sont pependiculaies, ente eux, et pependiculaies à la diection de popagation, de façon à fome un tiède diect dans l ode k, E, H. La puissance potée pa l onde est égale au poduit vectoiel ϕ = 1 E H, le facteu vient des valeus maximales. Remaque : limites du modèle de l onde plane. L hypothèse n est pas éaliste ca l onde empliait tout l espace. Elle fonctionne pou un volume petit, une pièce, un cicuit loin de la souce pa exemple. On peut considée l onde plane comme une appoximation locale de l onde sphéique. Ondes sphéiques, modèle plus délicat, plus pefomant. On péfèe défini alos des ondes sphéiques de type e θ E( t, x) = E.cos( ω. t k. ) e θ E( t, x) = E sin θ.cos( ω. t k. ) ondes sphéique isotope, Le sinus end compte du caactèe anisotope de l émission. Les ondes sphéiques sont à tois dimensions, leu nome décoît fotement quand on s éloigne de la souce, c est donc plus éaliste mais c est plus chaud à manie. Pou faie simple, les antennes fouet doivent ête paallèles, les boucles doivent ête dans le plan pependiculaie aux antennes. On notea que l énegie tanspotée pa l onde décoît comme la distance au caé, voi execice. Le lien ente H et E est donné pa l impédance du vide Z 377 E = = Ω H Page 1 su 9

2 Ondes électomagnétiques Antennes BR D. Pise de contact, bases On appelle la stuctue de l équation d onde pou les lignes. ² u ² u v² = t² x² E( t, x) = E.cos( ω. t k. x) 3. Ecie l équation d onde, à l imitation pou le champ E. 4. En déduie la elation de dispesion en essayant la solution plane. 5. Etudie la dimension du seul coefficient, l identifie avec c=3.1 8 m.s -1. Longueu d onde 6. Une onde de féquence 1 GHz se popage à la vitesse de la lumièe dans le vide, c=3.1 8 m.s -1, quelle est sa longueu d onde? 7. Une gille de fou à mico ondes a des tous de diamète 3mm, ne passent que les longueus d onde inféieues à ce diamète, quel patie du specte électomagnétique est aêtée pa cette gille? 8. La féquence des fous mico onde est,45 GHz. Calcule lambda. E. Stuctue de l onde Stuctue de l onde plane. E( t, x) = E.cos( ω. t k. x) 9. Dans l expession du champ d une onde, quelle est la diection de popagation? 1. Si l onde est dite tansvese (E pependiculaie à la diection de popagation) 11. Quel est le sens de popagation? 1. Comment est oienté E pa appot à la diection de popagation pou une onde plane? 13. Quelle elation lie la pulsation et k? 14. Pouquoi l hypothèse de l onde plane n est valable qu au voisinage d un point? Impédance du vide, puissance sufacique. 15. Le champ électique d une onde plane possède une amplitude de 1mV.m -1, calcule son champ H. 16. Repésente l onde vue de face, le vecteu k dans l œil. 17. Quelle diection a le vecteu puissance? ϕ = 1 E H ϕ = E H 1 * 18. Donne son unité, en déduie qu il coespond à la notion ancienne de ayon lumineux. 19. Calcule la densité de puissance pou les données de l énoncé.. Monte que l onde plane «emplit l espace entie». Onde sphéique On admet, pou le edémonte plus tad, qu une onde sphéique a pou expession, on pale de vecteu de Poynting. U E(, t) = e. O θ. e j( ω. t k. ) 1. Commente le choix de la notation U.. Monte que l émission est isotope, qu est-ce que cela veut die? 3. Calcule le champ H, coespondant. 4. Calcule le vecteu puissance sufacique ayonnée, vecteu de Poynting, bien pécise les unités. 5. Calcule le flux de ce vecteu su une sphèe centée su la souce. 6. En déduie que la puissance ayonnée est constante quand augmente, ce qui est plus aisonnable. Le modèle de l onde sphéique isotope est intemédiaie, il est plus éaliste que l onde plane, mais moins que le dipôle. Nous avons là les tois niveaux de modélisation des ondes. Attention le concept de puissance est glissant, pou s y etouve pale de puissance sufacique, vecteu de Poynting, puissance totale tansmise, puissance électique. Onde plane figée dans le temps quelle est la diection de popagation? 1 x z - y Page su 9

3 Ondes électomagnétiques Antennes BR F. Eléments su la polaisation des ondes EM. 7. Qu est-ce que la polaisation d une onde? 8. L onde issue de la tou Eiffel qui pote le signal TV est-elle polaisée hoizontalement ou veticalement? On additionne deux ondes planes, on ne egade que les champs électiques des ondes. Les ondes ont même diection de popagation Ox. E ( t, x) = E.cos( ω. t + k. x); E = E. e y E ( t, x) = E.cos( ω. t + k. x + ϕ); E = E. e z Le champ électique de l onde 1 a pou expession Le champ électique de l onde a pou expession On s intéesse au tajet de la pointe du vecteu champ électique en un point d abscisse x= de l axe de popagation. On donne au déphasage les valeus emaquables du tableau. 9. Fome la somme Ez+ Ey vecteu champ électique. 3. En additionnant les caés des vecteus Ez et Ey étudie comment évolue la nome du vecteu E. 31. Monte que les figues décites pa le vecteus sont : soit des segments, soit des ellipses, ou bien des cecles si E1=E. 3. Donne le sens dans lequel sont décites les ellipses. Valeu de φ k hasad Fome décite pa le vecteu E Nom de la polaisation Polaisation pa tavesée d une hese conductice. Comment agit une séie de conducteus paallèles su une onde qui les tavese? On étudie le passage d une onde à taves des fils paallèle, le vecteu puissance, la popagation se fait dans la diection pependiculaie au plan de la gille. 33. Envisage deux cas : le champ E est paallèle aux conducteus, le champ est pependiculaie. 34. Envisage alos l effet de cette gille su une onde de polaisation quelconque : vous avez inventé le polaiseu. G. Réception, antenne fouet, antenne boucle. 35. Rappele le lien ente le champ électique et la tension électique. 36. En déduie une diection favoable pou l antenne fouet. 37. En déduie qu une antenne fouet eçoit bien quand elle est soumise à un champ dans sa diection. 38. Comment place une antenne adio? gag. dφ 1 Une boucle de conducteu est le siège d une fém d induction. La fém est e = où Φ = H. S dt 39. Comment place l antenne boucle pou obteni le signal maximal? 4. Dans le cas où on souhaite obteni une éception favoable, avec une boucle de couant, où et comment la place pou ecevoi le signal émis. µ Page 3 su 9

4 Ondes électomagnétiques Antennes BR H. Glossaie, fomulaie, notation Les notations sont une piste pou s y etouve dans la longue liste des définitions. Le choix d une lette comme phi pou les densités est une option intéessante. Les appots ente gandeus de même natue, comme le gain et la diectivité sont indépendants du choix du type de densité de puissance. Phi majuscule Φ(, θ ) pou la densité en watt pa stéadian, Phi minuscule ϕ(, θ ) pou la densité en watt pa mète². Liste foue-tout des notions : Gain G Diectivité. jumelles Φ( θ, ϕ ) = ηd = où êta η est le endement électique, souvent unitaie. Φ iso, alim Φ( θ, ϕ) D =, capacité à concente le ayonnement dans une diection, comme des Φ isotope Suface équivalente d une antenne en fonction du gain Puissance stéique nomalisée λ² G Σ = suface couplant antenne et champ. Φ( θ, ϕ) Φ nomalisée( θ, ϕ) = sans dimension. On appote la densité Φ ( θ, ϕ ) stéique à sa valeu maximale. Puissance ayonnée, pa l antenne, point de vue électique Pe watt P Densité de puissance pa unité de suface. ϕ( θ, ϕ ) = Suface dp 1 Densité pa unité d angle solide. watt. st Φ = dω S Angle solide. Ω = [ stéadian ] «pat de l hoizon». R² Pe W Pe W Antenne isotope. Φ ( θ, ϕ) = φ( θ, ϕ) = stéad 4 ² m² Φé ( θ, ϕ) Décibel isotope db isotope GdBi = 1log Φisotope pé ( θ, ϕ) décibel de milliwatt dbm GdBi = 1log ; puissances pisotope Fomule de Fiis Equation du ada λ P = PG e eg d Σλ² P = PG e eg d d Lien champ puissance sufacique. ( ) 3 1 E W ϕ = valeu max imale Z m² Eeff ϕ = ; valeu efficace Zvide Impédance du vide. Z = 1 = 377Ω, lien ente E et H dans le vide. l² Conditions de champ poche >, > 1,6λ λ vide Page 4 su 9

5 Ondes électomagnétiques Antennes BR I. Coodonnées sphéiques Les coodonnées sphéiques sont plus adaptées à la desciption des champs ayonnés. La diection pivilégiée est l axe du dipôle ayonnant, la distance, l angle thêta est la colatitude, à pati du haut. L angle phi est l angle de la otation autou du dipôle. Pou beaucoup d antennes l émission est indépendante de phi, on a donc une émission en galette plate. On essaye le schéma en pespective. 41. Place les angles thêta, et phi ainsi que, ce sont les tois coodonnées sphéiques. 4. Place les vecteus unitaies coespondants autou du point M. J. Champs ayonnés pa une antenne dipôle, dipôle de Hetz 1 jk E = ZV Im. dl. k²cos θ. e + ( jk) ( jk ) 3 E E ϕ = 1 jk Eθ = ZV Im. dl. k²sin θ. e + + jk jk jk Les fomules donnent les dépendances des champ magnétique et électique ainsi que leu vecteus unitaies, elle ne sont en aucun cas à connaîte, le but est plutôt de les utilise en les simplifiant pa des appoximations dont on connaît et maîtise la potée. 43. Entoue les temes de champ poche. 44. Entoue les temes de champ lointain. 45. Faie l analyse dimensionnelle soignée de chacun des temes 46. Justifie, a posteioi, la définition de l onde sphéique isotope. 47. Quel pogès appote le modèle du dipôle de Hetz? K. Emission des ondes électomagnétiques : composantes, dépendances H H = 48. Su le schéma où appaaissent les coodonnées place le dipôle. 49. Quelle est la difféence ente la diection du champ en un point et la diection de popagation d une onde 5. Donne les diections des champs électique et magnétique. 51. Dans le plan, thêta, (de pofil) epésente les champs électique et magnétique de l onde. 5. Faie de même dans le plan pependiculaie à l antenne. H θ = k² jk 1 1 Hϕ = Im. dl.sin θ. e + jk ( ) ( ) ( jk) 3 Page 5 su 9

6 Ondes électomagnétiques Antennes BR L. Champ poche, Champ lointain On appelle champ lointain la zone de l espace où D² > et / ou > 1D > 1,6λ. λ On choisit la condition la plus estictive. Ici D est la dimension de l antenne Dans le cas d une onde de type adio AM émise pa une antenne H 9 λ = = m donne une valeu du 4 ayon de champ lointain. 54. La cuve d un mico ondes est-elle du domaine du champ poche, l antenne émettice fait cm.? 55. De même avec une onde de type visible vet de longueu d onde 5nm, émise pa une diode. 56. Appoximation de champ poche : simplifie l expession du champ électique dans le cas du champ poche. 57. Faie de même avec le champ magnétique. M. Puissance ayonnée, exemple du doublet (dipôle de hetz). On admet que la puissance ayonnée est liée au poduit des deux champs. Le paallèle avec les ondes électiques continue. Un poduit vectoiel pemet de conseve la puissance sous la fome d un vecteu. Ce vecteu, pas nécessaie dans une pemièe appoche est appelé vecteu de Poynting. Il donne la diection de popagation de l énegie et nous amène au modèle de l optique géométique, où les ayons sont des tajectoies pou l énegie. 58. Apès avoi éliminé les composantes de champ poche des champs E et H, calcule le poduit. 59. Monte que l on obtient l expession ZvH² E² kl ϕ(, θ ) = = ϕ(, θ ) = ZvI ² sin ² θ Z 6. Quelle gandeu est epésentée pa la lette I, quel appot avec une antenne, une onde? 61. Monte que ϕ(, θ ) est en W. m -. De quel type de gandeu s agit-il? Etude de la fonction densité de puissance sufacique du dipôle de Hetz. 6. L émission est-elle diective? Dans quelle diection. 63. Donne l allue de la fonction sin² en epésentation polaie. Pou calcule la puissance totale, une intégale de suface s impose, wolola. 64. Donne l expession de la puissance totale émise pa le dipôle de Hetz. Dans ce système de coodonnées l élément de suface su une sphèe est ds =. dθ. sin θ. dϕ 65. Donne l expession de l intégale à calcule pou obteni la puissance totale émise pa le doublet. Coup de pouce 3 sin. 66. Monte qu on obtient l expession 4 θ dθ = 3 v kl 4 l 1 PT =. Z. I ². =. Z. I ². 3 λ Le appot longueu de l antenne su longueu d onde est-il libe de vaie ou bien a-t-il fait l objet d hypothèses? 68. Comment augmente la puissance émise? Application : calculs numéiques Une antenne de 1 mètes de long est pacouue pa un couant d amplitude 5A, à une féquence de 6MHz. 69. Calcule la puissance totale émise. 7. Calcule la longueu d onde, en déduie la limite du champ poche. 71. Calcule alos l amplitude des champs électique et magnétique à 1 m du cente de l antenne.. N. Retou su l antenne isotope, angle solide. Bien qu elle n existe pas, l antenne isotope pemet de mette en place les notions, elle founit de plus des valeus pou fome les appots, bases des nombes sans dimension que sont le gain et la diectivité. Puissance sufacique, puissance stéique, angle solide. 7. Donne la puissance sufacique de l antenne isotope en fonction de la puissance totale tansmise. 73. Faie de même en fonction de la puissance founie, le endement est notéη Page 6 su 9

7 Ondes électomagnétiques Antennes BR Angle solide 74. Donne la définition d un angle solide, dégage l intéêt. 75. Quel angle solide coespond à un demi espace : toutes les diection au dessus du sol. 76. Une façade de 1 m² est vue à une distance de km calcule l angle solide sous lequel on la voit. 77. Un faisceau de lumièe emplit angle solide Ω = 8 stéadians, calcule la suface éclaiée à 1m. 78. Donne alos la puissance stéique, ou densité de puissance pa unité d angle solide, pou une antenne isotope. La notation est Φ ou Φ Ω. O. Caactéistique des antennes Utilisation des caactéistiques : Diectivité, Gain d une antenne 79. Rappele l intéêt du gain pou une antenne diective. Une antenne a une diectivité de 34 db, un endement de,85, la puissance founie est 1 kw. 8. Quelle est la puissance tansmise? 81. Quelles sont les causes de «petes». 8. Quelle est la puissance stéique isotope équivalente de cette antenne. 83. Quelle est la puissance sufacique isotope de cette antenne à 1 km. 84. Quelle est la puissance sufacique éellement eçue dans la diection pivilégiée. 85. Même question pou la puissance stéique. Suface équivalente 86. Rappele la définition de la suface équivalente d une antenne notée A, lie suface de captation, et gain. 87. En utilisant la elation gain suface équivalente, calcule la suface équivalente de l antenne de l execice. Puissance émise, cas patique. L émetteu du pic du midi de Bigoe (Pyénées) a pou puissance 5kW pou la féquence f=5mhz. Le gain en puissance de son antenne dans la diection de Toulouse (d=13 km) est 6dB. 88. Schéma légendé svp. 89. Calcule la puissance d alimentation de la souce isotope équivalente. En déduie à Toulouse : 9. La puissance ayonnée pa unité de suface petit phi, en W.m -. P. Le champ électique ayonné. Obsevation d une fonction caactéistique de ayonnement Les gaphes 3D ci-dessous montent la epésentation de la fonction caactéistique de ayonnement. Cette fonction est sans dimension, elle doit ête epésentée dans l espace 3D. Elle épond à la question : «Où sont les points qui eçoivent une densité de puissance donnée?» pa exemple 1W.m Pouquoi n y a-t-il aucun point dans l axe de l antenne? Quelle est la signification. 9. Pouquoi est-on plus loin quand on est dans le plan médiateu de l antenne? 93. Tace une coupe, pou un plan contenant l antenne, de la fonction de et théta. 94. Faie de même dans le plan pependiculaie à l antenne. Page 7 su 9

8 Ondes électomagnétiques Antennes BR Q. Compaaison antenne dipôle vs antenne isotope, notion de diectivité On epend la puissance de l antenne dipôle et on la épatit unifomément (isotopie) su une sphèe de ayon. 95. Expime le gain ou la diectivité de l antenne dipôle, dans la diection plate. 96. Calcule le gain en dbi. Cette antenne est-elle diective? R. Diagamme de ayonnement 8 Le diagamme de ayonnement en champ d une antenne est ( ) = cos ( ). 97. Calcule la fonction pou la puissance. 98. Donne l allue du diagamme de ayonnement. 99. Pou quels angles le champ a-t-il pedu -3dB? 1. En déduie l angle d ouvetue. 11. Défini et expime la fonction caactéistique de ayonnement FCR su cet exemple. S. Bilan de liaison Deux antennes communiquent, la 1 est l émettice, la éceptice, mais cela n a pas d impotance. Chaque antenne est caactéisée pa sa suface de captation, suface équivalente, A1, espectivement A. P W la puissance founie à 1, [ ] Soit [ ] f F θ P W la puissance eçue pa. 1. Faie un schéma de la situation de communication. 13. Expime la densité de puissance stéique de l antenne isotope équivalente pou l antenne Expime la densité sufacique de puissance équivalente à la distance. 15. Réception pa : on se place du point de vue de l antenne, expime la puissance «électique» eçue W. Le endement de la tansmission ne peut dépende du sens de tansmission donc on égale les deux endements. Cela s appelle la écipocité, elle nous fait pense au etou invese de la lumièe. 16. Expime la puissance eçue pa 1 si émet Pf. G A 17. En déduie la elation 1 G = =???? A En emplaçant la suface équivalente de l une des antennes dans le bilan de liaison, en déduie la magnifique fomule de FRIIS. T. Antenne paabolique λ = Pf G1G P La diectivité d une antenne paabolique est donné pa la elation appochée θ d max = <,8 D g g λ est le diamète de l antenne. L antenne de TP a pou diamète 35 cm, la féquence est 1 GHz. 19. Calcule la diectivité, en valeu natuelle et en db de l antenne, on pend g =,8., où d Page 8 su 9

9 Ondes électomagnétiques Antennes BR U. Effet de peau Le modèle du couant étudié en pemièe année est efficace pou la seule BF. Dès que la féquence augmente, la ésistance d un fil augmente. Ce phénomène est à la base de couplages pa impédance commune su les pistes de masse des cates, pou les signaux HF. En patant de l équation difféentielle du vecteu densité de couant, on calcule la épatition en pofondeu de ce vecteu, pou découvi que le couant HF ne pénète pas les conducteus.fmem1 P1. Le but de cet execice est d étudie la épatition du couant HF dans un métal. Le métal occupe le demi espace z>. Le vecteu densité de couant est de la fome j( t, z) = j( z).cos( ωt). e y 11. Repésente le situation avec le métal, le vecteu j, donne la signification de j(z). La patie équation de Maxwell est cout cicuitée. Données numéiques Cu σ= 5, S.cm -1 =5, S.m -1. µ = 4.1 SI; ε = 9.1 SI; σ = 6.1 S. m On monte que dans un métal, le vecteu densité de couant j obéit à l équation difféentielle : ² j( z) + i ωσ µ. j( z) = x² avec i²= En déduie une équation difféentielle véifiée pa j(z). 11. Monte quelle pend la fome ² j( z) + α ². j( z) = x² 113. Donne les expessions de alpha Donne la fome des solutions généales de l équation Monte quelles pennent la fome z z δ j( t, z) = j e.cos( + ωt). e δ où alpha au caé est imaginaie pu Tace la fonction j(z) Expime la pofondeu de peau comme l équivalent de la constante de temps, pou la fonction j(z). Dans le cas du cuive, la plus gande patie du couant este confinée dans l épaisseu de peau δ Calcule cette pofondeu pou f = 5 Hz et f=3 GHZ Tace l allue de δ(f) dans un diagamme log log, donne la pente. La fomule patique numéique est y 66 δ = ; f ( MHZ ); µ ; σ / cuiveoù les valeus de la peméabilité σ. µ f magnétique et de la conductivité sont elatives à celles du cuive. 1. Quelle est l unité employée pou la pofondeu de peau? Influence de l effet de peau su la ésistance des conducteus. 11. Pouquoi utilise des tubes au lieu de baes pou les équipements de couant fots en 5 Hz? 1. Conclue quant à l épaisseu des blindages HF. 13. Rappele la fomule donnant la ésistance BF d un conducteu. 14. Un câble cylindique de diamète,1mm, est en cuive, sa longueu=1m, calcule sa ésistance à 5 Hz. 15. Calcule la suface utile au passage du couant à 3 GHz, en déduie la ésistance du même fil. 16. Conclue : la ésistance d une piste de cuive dépend elle de son épaisseu? 17. Popose des solutions techniques pou diminue R. Résistance d un caé Un caé de cuive a pou épaisseu 17µm, et pou côté L, non communiqué. 18. Monte qu en BF la ésistance du caé est indépendante de L ; 19. On chechea à monte la fomule numéique 17 R = ; elative _ au _ Cu ; e ( mm ) σ. e σ 13. Pou le calcul HF on utilise la fomule numéique (dont on justifie la vaiation) fµ Z = 37 Z en mico ohm, f en MHz, les peméabilités et conductivités elatives pa appot au cuive. σ 131. Calcule la ésistance du caé de cuive. 13. La compae en HF et BF, eteni un appot typique. Page 9 su 9