Analyse combinatoire

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1 Mathématiques : Outils our la Biologie Deug SV1 UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) Chaitre 1 Aalyse combiatoire Sommaire 1. Itroductio 2 2. Arragemets Itroductio Arragemets avec réétitios Arragemets sas réétitio 3 3. Permutatios Permutatios sas réétitio Permutatios avec réétitios 5 4. Combiaisos Défiitio Combiaiso sas remise Combiaiso avec remise Proriétés des combiaisos La symétrie Combiaisos comosées Formule du biôme de Newto...9 1

2 Mathématiques : Outils our la Biologie Deug SV1 UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) 1. Itroductio L aalyse combiatoire est ue brache des mathématiques qui étudie commet comter les objets. Elle fourit des méthodes de déombremets articulièremet utiles e théorie des robabilités. Les robabilités dites combiatoires utiliset costammet les formules de l aalyse combiatoire déveloées das ce chaitre. U exemle des alicatios itéressates de cette derière est la démostratio du déveloemet du biôme de Newto utilisé das le calcul des robabilités d ue loi biomiale. 2. Arragemets 2.1. Défiitio Etat doé u esemble E de objets, o aelle arragemets de objets toutes suites ordoées de objets ris armi les objets. Le ombre d arragemets de objets ris armi est oté : A. Remarque : O a écessairemet 1 et, N* Si <, alors A = 0 Deux arragemets de objets sot doc disticts s ils diffèret ar la ature des objets qui les comoset ou ar leur ordre das la suite. Exemles : (1) Ue séquece d ADN est costituée d u echaîemet de 4 ucléotides [A (Adéie), C (Cytosie), G (Guaie) et T (Thymie)]. Il existe différets arragemets ossibles de deux ucléotides ou diucléotides avec =2 et =4. (2) Le ombre de mots de 5 lettres (avec ou sas sigificatio) formés avec les 26 lettres de l alhabet corresod au ombre d arragemets ossibles avec =5 et =26. (3) Le tiercé das l ordre lors d ue course de 20 chevaux costitue u des arragemets ossibles avec =3 et =20. Das les exemles récédets, l ordre des élémets das la suite est essetiel. Aisi our le deuxième exemle, le mot NICHE est différet du mot CHIEN. Mais das les deux remiers exemles, ue base ou ue lettre de l alhabet eut se retrouver lusieurs fois alors que das le troisième exemle, les trois chevaux à l arrivée sot forcémet différets. Il faut doc distiguer le ombre d arragemets avec réétitio et le ombre d arragemets sas réétitio (arragemets au ses strict). 2

3 Mathématiques : Outils our la Biologie Deug SV1 UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) 2.2. Arragemets avec réétitios Lorsqu'u objet eut être observé lusieurs fois das u arragemet, le ombre d arragemet avec réétitio de objets ris armi, est alors : A = avec 1 Voici ourquoi : Pour le remier objet tiré, il existe maières de rager l objet armi. Pour le secod objet tiré, il existe égalemet ossibilités d arragemets car le remier objet fait de ouveau arti des objets. O arle de tirage avec remise. Aisi our les objets tirés, il y aura x x x..x ( fois) arragemets ossibles, soit A =... = Exemles : (1) Cocerat l exemle de la séquece d ADN, le ombre de diucléotides attedus si l o fait l hyothèse qu ue base eut être observée lusieurs fois das la séquece (ce qui corresod effectivemet à la réalité) est doc : Les 16 diucléotides idetifiables das ue séquece d ADN sot : AA AC AG AT CA CC CG CT GA GC GG GT TA TC TG TT A = 4 2 = 16 diucléotides ossibles Arragemets sas réétitio Lorsque chaque objet e eut être observé qu ue seule fois das u arragemet, le ombre d arragemets sas réétitio de objets ris armi est alors : A! = avec 1 ( )! Voici ourquoi : Pour le remier objet tiré, il y a maières de rager l objet armi. Pour le secod objet tiré, il existe lus que -1 maières de rager l objet car le remier objet e eut lus être ris e comte. O arle de tirage sas remise. Aisi our les objets tirés armi, si 1, il y aura : A = ( 1)( 2)...( + 1) ( roduits) de lus A ( ) = ( 1)( 2)...( + 1) d où A =! ( )! ( )

4 Mathématiques : Outils our la Biologie Deug SV1 UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) Rael : Si N *, o aelle factorielle, otée!, le roduit des remiers etiers : ( + 1)... ( 1) =! 0! =1 ar covetio car 0! est e ricie as défiie. Dès que déasse la dizaie,! se comte e millios. Il est bo de coaître la formule d aroximatio suivate («formule de Stirlig») :! 2π e Exemle : Cocerat l exemle de la séquece d ADN, le ombre de diucléotides attedu das ue séquece si l o fait l hyothèse qu ue base est observée qu ue seule fois est doc : A 2 4! 4 = = 12 diucléotides ossibles (4 2)! Sous cette cotraite, les 12 diucléotides ossibles sot : AA AC AG AT CA CC CG CT GA GC GG GT TA TC TG TT Ceci corresod aux 16 arragemets ossibles avec réétitio ( A = ) auxquels sot soustraits les 4 diucléotides () résultat de l associatio d ue même base. 3. Permutatios 3.1. Permutatios sas réétitio Etat doé u esemble E de objets, o aelle ermutatios de objets disticts toutes suites ordoées de objets ou tout arragemet à de ces objets. Le ombre de ermutatios de objets est oté : P =! La ermutatio de objets costitue u cas articulier d arragemet sas réétitio de objets ris armi lorsque =. Aisi le ombre de ermutatios de objets est : A =! ( )! =! Exemle : Le ombre de maières de lacer 8 covives autour d ue table est : P 8 = 8! ossibilités 4

5 Mathématiques : Outils our la Biologie Deug SV1 UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) 3.2. Permutatios avec réétitios Das le cas où il existerait lusieurs réétitios k d u même objet armi les objets, le ombre de ermutatios ossibles des objets doit être raorté aux ombres de ermutatios des k objets idetiques. Le ombre de ermutatios de objets est alors : P =! k! E effet, les ermutatios de k objets idetiques sot toutes idetiques et e comtet que our ue seule ermutatio. Exemle : Cosidéros le mot «CELLULE». Le ombre de mots ossibles (avec ou sas sigificatio) que l o eut écrire e ermutat ces 7 lettres est : P 7 = 7! = 420 mots ossibles 2!3! e cosidérat deux groues de lettres idetiques : L (3 fois) et E (2 fois). 4. Combiaisos 4.1. Défiitio Si l o rered l exemle de la séquece d ADN, à la différece des arragemets où les diucléotides AC et CA formaiet deux arragemets disticts, ces deriers e formerot qu ue seule combiaiso. Pour les combiaisos, o e arle lus de suite i de série uisque la otio d ordre des objets est lus rise e comte. O arle alors de tirages avec ou sas remise Combiaisos sas remise Etat doé u esemble E de objets, o aelle combiaisos de objets tout esemble de objets ris armi les objets sas remise. Le ombre de combiaisos de objets ris armi est oté : C Remarque : O a écessairemet 1 et, N * Si <, alors C = 0 5

6 Mathématiques : Outils our la Biologie Deug SV1 UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) Exemles : (1) Le tirage au hasard de 5 cartes das u jeu de 32 (mai de oker) est ue combiaiso avec =5 et =32. (2) La formatio d ue délégatio de 5 ersoes armi u groue de 50 costitue ue combiaiso avec =5 et =50. Pour ces deux exemles, les objets tirés sot clairemet disticts. Le ombre de combiaisos de objets ris armi et sas remise est : C! =!( )! otée avec 1 Voici ourquoi : Pour calculer ce ombre, o utilise le ricie de la divisio. Il y a A maières de tirer objets armi e les ordoat soit A = Ue fois les objets tirés, il y a! maières de les ordoer. Il y a doc A maières de tirer objets armi sas les ordoer.! C = A! = 1!! ( )!! ( )! Remarque : A la otatio aciee C, o réfère arfois la otatio modere. Les ombres et costituet les coefficiets biomiaux. Exemles : Das le cadre de l exemle de la séquece d ADN, le ombre de diucléotides attedus sas teir comte de l ordre des bases das la séquece (hyothèse justifiée das le cas de l ADN o codat) est doc : C 2 4 = 4 4! = 2 2!(4 2)! = = 6 diucléotides Les 6 diucléotides ossibles sous cette hyothèse sot : AC AG AT CG CT GT CA GA TA GC TC TG 6

7 Mathématiques : Outils our la Biologie Deug SV1 UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) Ceci corresod aux 12 arragemets ossibles sas réétitios ( A = le ombre de ermutatios ossibles avec 2 ucléotides ( P =!).! ) divisé ar ( )! 4.3. Combiaisos avec remise Le ombre de combiaisos de objet armi avec remise est : ( + 1)! C + 1 =!( 1)! Voici ourquoi : Soit la costitutio de mots de 3 lettres à artir d u alhabet à 5 lettres avec remise, o distigue 3 cas ossibles : 3 C 5 ombre de mots de 3 lettres différetes et sas ordre 2 C 5 x 2 ombre de mots de 2 lettres différetes et ue lettre redodate 1 C 5 ombre de mots de 3 lettres idetiques d où au total : C C5 + C5 = C7 e utilisat la formule des combiaisos comosées ou formule de Pascal E effet C 5 + C5 = C6 et C 5 + C5= C6 d où C6 +C6 =C7 soit C7 = 35 mots ossibles de 3 lettres à artir d u alhabet à 5 lettres. Aisi C = C = C + 1 avec =5 et = Proriétés des combiaisos La symétrie Le ombre de combiaisos de objets ris armi état C! =!( )!, alors (1) C 0 = C = 1 car C 0 = C =!! (2) si 1 C 1 = C 1 = avec C 1 = C 1 =! (3) si 2 C 2 = C 2 = ( 1) 2 1! 7

8 Mathématiques : Outils our la Biologie Deug SV1 UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) avec C 2 = C 2 =! ( 1)( 2)! = 2! 2! 2! 2! Par récurrece, o déduit des relatios récédetes, la roriété de symétrie à savoir : si 0 C! = aisi C = C!( )! Il reviet au même de doer la combiaiso des objets choisis ou bie celle des (-) qui e le sot as Combiaisos comosées ou Formule de Pascal si 0-1 C C 1 = C Voici ourquoi : Parmi les objets, o cosidère u objet e articulier. 1 Si cet objet fait artie des objets tirés, il y a C 1 ossibilités de choisir les -1 autres objets armi les -1 objets restats. Si e revache, l objet e fait as artie du tirage, il y a C 1 ossibilités de choisir les autres objets armi les -1 objets restats. d où la relatio C C 1 = C Les termes du triagle de Pascal résultet de l alicatio directe de cette relatio C 1 C 1 C Pour établir le triagle de Pascal, il suffit de orter les valeurs rises ar e coloe et celles rises ar e lige (voir tableau ci-dessus). La valeur attribuée à chaque case, C, est 8

9 Mathématiques : Outils our la Biologie Deug SV1 UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) obteue e faisat la somme de la valeur de la case située juste au-dessus, C 1 et la valeur 1 de la case située au-dessus et à gauche C 1. Ceci corresod à l alicatio de la roriété éocée récédemmet. Le triagle de Pascal ermet d obteir ar récurrece les coefficiets umériques ou coefficiet biomiaux du biôme de Newto Formule du biôme de Newto La formule du biôme de Newto corresod à la décomositio des différets termes de la uissace ième du biôme (a+b). (a,b) R, N, (a + b) = C =0 a b = =0 a b Elever (a+b) à la uissace reviet à multilier biômes idetiques (a+b). Le résultat est ue somme où chaque élémet est le roduit de facteurs de tye a ou b choisi chacu das u biôme différet. Les termes sot aisi de la forme a b. Chacu de ces termes est obteu autat de fois qu il existe de faços de choisir les élémets a armi les, c est à dire le ombre de combiaisos C. Comte teu de la symétrie des combiaisos C, la formule du biôme de Newto eut s écrire : (a + b) = C a b q = C a q b q avec q = =0 q =0 Les coefficiets biomiaux, C ou qui sot les coefficiets de la formule du biôme de Newto figuret das de ombreuses formules mathématiques, otammet our le calcul des robabilités de la loi biomiale. Ces coefficiets euvet être obteus facilemet à l aide du triagle de Pascal. 9

10 Mathématiques : Outils our la Biologie Deug SV1 UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) Exemle : Le déveloemet de (a+b) 6 doe : 6 (a + b) 6 = =0 6 a 6 b (a + b) 6 = 6 0 a a 5 b a 4 b a 3 b a 2 b ab b 6 L alicatio du triagle de Pascal (7 e lige) doe directemet les valeurs des coefficiets biomiaux : (a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b +15a 4 b a 3 b 3 +15a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6 Remarque : Si l o ose a = b = 1, o obtiet alors, d arès la formule du biôme de Newto, (2) = C =0 Or C état le ombre de arties à élémets de l esemble E coteat objets, rerésete le ombre de arties ou artitios de l esemble E que l o ote : C =0 Si card E = alors card P(E)= 2 (voir système comlet d évèemets) Le cardial d u esemble (card) corresod au ombre d élémets costituat cet esemble. 10

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