STT-2920 : Probabilités pour ingénieurs Solutions des exercices du chapitre 2 Automne 2015

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1 STT-90 : Probabilités pour ingénieurs Solutions des exercices du chapitre Automne 0 ATTENTION! Les solutions présentées ici utilisent seulement les techniques présentées dans les deux premiers chapitres des notes de cours Certains problèmes peuvent être résolus plus facilement avec les techniques présentées au chapitre 3 Numéro Trois filles et trois garçons font la file devant un comptoir de crème glacée a Il y a combien d arrangements possibles? b Il y a combien d arrangements possibles si les 3 filles doivent être ensemble et les 3 garçons doivent être ensemble? c Il y a combien d arrangements possibles si on exige que les trois filles soient ensemble et que les garçons ne soient pas tous ensemble? d Il y a combien d arrangements possibles si on exige seulement que les 3 filles soient ensemble? e Il y a combien d arrangements possibles s il n est pas permis d avoir enfants de même sexe un derrière l autre? a 6! 70 b Il faut GGGFFF ou FFFGGG Il y a 3! façons de permuter les 3 filles et 3! façons de permuter les 3 gars La réponse est donc 3! 3! 7 c Il faut GFFFGG ou GGFFFG Il y a 3! façons de permuter les 3 filles et 3! façons de permuter les 3 gars La réponse est donc 3! 3! 7 d If faut FFFGGG ou GFFFGG ou GGFFFG ou GGGFFF Il y a 3! façons de permuter les 3 filles et 3! façons de permuter les 3 gars La réponse est donc 4 3! 3! 44 e Il faut FGFGFG ou GFGFGF Il y a 3! façons de permuter les 3 filles et 3! façons de permuter les 3 gars La réponse est donc 3! 3! 7 Numéro Combien de permutations différentes peut-on former avec les lettres des mots suivant? a P R O B A B I L I T É b S T A T I S T I Q U E a On a lettres Les seules répétitions sont la lettre B, qui apparaît fois, et la lettre I, qui apparaît fois La réponse est donc! !! b On a lettres Les seules répétitions sont la lettre S, qui apparaît fois, la lettre T, qui apparaît 3 fois, et la lettre I, qui apparaît fois La réponse est donc! ! 3!!

2 Numéro 3 Vous achetez un billet de la 6/49 Pour chaque {0,,, 3, 4,, 6}, calculez la probabilité que la combinaison gagnante aura exactement nombres en commun avec votre combinaison Pour tout {0,,, 3, 4,, 6}, la probabilité d avoir exactement bons numéros est donnée par Si on calcule ces probabilités, on obtient le tableau suivant Nombre de bons numéros Probabilité Numéro 4 À l aide du théorème du binôme de Newton, simplifiez les expressions suivantes : a n b 0 n x c n 0 n n a 0 0 n n b x 0 n c 0 0 n + n 3 n x n x + n n n + n 0 n 0 Numéro L équation suivante s appelle l identité combinatoire de Fermat : n i i Justifiez cette identité Suggestion : Il y a combien de façons de choisir nombres parmi les entiers à n? Il y a combien de façons de choisir nombres parmi les entiers à n de façon à ce que le plus grand de ces nombres soit l entier i?

3 On suppose que n On sait n représente le nombre de façons de choisir nombres parmi les nombres à n Lorsqu on choisit nombres parmi les nombres à n, le plus grand des nombres choisis est nécessairement un des nombres suivant :, +, +,, n On peut donc écrire n A n, + A n, + + A n, A n, n où A n, i dénote le nombre de façons de choisir nombres parmi les nombres à n de manière à ce que le plus grand des nombres choisis soit le nombre i Il est facile de voir que i A n, i On obtient donc n n i i Numéro 6 Un jeu de cartes ordinaire comprend cartes Chacune de ces cartes appartient à une couleur et possède une valeur Les couleurs sont le carreau, le coeur, le trèfle et le pique Les valeurs sont les, 3, 4,, 6, 7, 8, 9, 0, J valet, Q dame, K roi et A as Pour les questions qui suivent, on considère une main de poer, c est-à-dire une combinaison de cartes tirées au hasard à partir d un jeu de cartes a Calculez la probabilité d obtenir une paire, c est-à-dire une main de poer contenant en tout 4 valeurs différentes Il faut une paire, c est-à-dire cartes de même valeur, et les 3 autres cartes doivent être de valeurs différentes entre elles et différentes de la valeur des cartes formant la paire Exemple d une paire : 0 de coeur, 0 de trèfle, J de pique, 6 de carreau et 7 de coeur b Calculez la probabilité d obtenir deux paires Les deux paires ne peuvent pas avoir la même valeur et la valeur de la cinquième cartes doit être différente des valeurs des deux paires Exemple de deux paires : de coeur, de trèfle, J de pique, J de carreau et 7 de coeur c Calculez la probabilité d obtenir un brelan, c est-à-dire une main de poer contenant trois cartes de la même valeur Les deux autres cartes doivent être de valeurs différentes entre elles et différentes de la valeur commune aux trois premières cartes Exemple d un brelan : de coeur, de trèfle, de pique, 3 de carreau et K de coeur d Calculez la probabilité d obtenir une main pleine, c est-à-dire une main de poer contenant trois cartes d une valeur et deux cartes d une autre valeur Exemple d une main pleine : de coeur, de trèfle, de pique, 9 de coeur et 9 de pique e Calculez la probabilité d obtenir un carré, c est-à-dire une main de poer contenant quatre cartes de la même valeur et une cinquième carte quelconque Exemple d un carré : de coeur, de trèfle, de pique, de carreau et 9 de pique f Calculez la probabilité d obtenir une flush, c est-à-dire une main de poer contenant cartes de la même couleur, mais pas de valeurs consécutives Exemple d une flush : 3 de pique, 4 de pique, 8 de pique, 0 de pique et K de pique La main suivante n est pas une flush car les valeurs sont consécutives : 3 de pique, 4 de pique, de pique, 6 de pique et 7 de pique Note importante : un as peut être compté comme la plus petite valeur ou comme la plus grande valeur, au choix du joueur 3

4 g Calculez la probabilité d obtenir une quinte, c est-à-dire une main de poer contenant cartes de valeurs consécutives, mais pas de la même couleur Exemple d une quinte : 3 de pique, 4 de coeur, de pique, 6 de pique et 7 de trèfle La main suivante n est pas une quinte car les couleurs sont les même : 3 de pique, 4 de pique, de pique, 6 de pique et 7 de pique Note importante : encore une fois, un as peut être compté comme la plus petite valeur ou comme la plus grande valeur, au choix du joueur h Calculez la probabilité d obtenir une quinte flush, c est-à-dire une main de poer contenant cartes de la même couleur et de valeurs consécutives Exemple d une quinte flush : 3 de pique, 4 de pique, de pique, 6 de pique et 7 de pique Note importante : encore une fois, un as peut être compté comme la plus petite valeur ou comme la plus grande valeur, au choix du joueur i Une quinte flush dont la plus forte carte est un as s appelle une quinte flush royale Calculez la probabilité d obtenir une quinte flush royale a Une paire : b Deux paires : c Un brelan : d Une main pleine : e Un carré : f Une flush : g Une quinte : h Une quinte flush : [ 3 ] [ 4 4 ]

5 i Une quinte flush royale : Numéro 7 Aux États-Unis, le Sénat comprends deux sénateurs par état On choisit 0 sénateurs au hasard pour former un comité a Quelle est la probabilité que ce comité comprendra au moins un sénateur provenant de la Floride? b Quelle est la probabilité que les 0 membres du comité proviendront de 0 états différents? a b Numéro 8 Quatre joueurs se partagent un jeu de cartes : chaque joueur reçoit 3 cartes a Quelle est la probabilité que les quatre rois soient reçu par le même joueur? b Quelle est la probabilité que les quatre joueurs reçoivent chacun un roi? 4 48 a 9,3,3,3 3,3,3,3,,, 3,3,3,3 b 4! ! 9! 3! 3! 3!! 3! 3! 3! 3!!!!!! 3! 3! 3! 3! 4! 48! Numéro 9 Deux femmes et 4 hommes sont assis au hasard sur 6 chaises formant une ligne a Quelle est la probabilité que les deux femmes soient assises une à côté de l autre? b Quelle est la probabilité que les deux femmes occupent les deux extrémités de la ligne? a / 6 /0 /8 b / 6 /0 Numéro 0 Deux femmes et 4 hommes sont assis au hasard sur 6 chaises formant un cercle a Quelle est la probabilité que les deux femmes soient assises une à côté de l autre? b Quelle est la probabilité que les deux femmes occupent deux chaises diamétralement opposées?

6 a 6/ 6 6/0 / b 8/ 6 8/0 / Numéro Supposons que femmes et n hommes soient assis au hasard sur n chaises formant une ligne Quelle est la probabilité que les femmes se retrouvent sur chaises une à côté de l autre? n + n Numéro Supposons que femmes et n hommes soient assis au hasard sur n chaises formant un cercle Quelle est la probabilité que les femmes se retrouvent sur chaises une à côté de l autre? n n Numéro 3 Un panier contient 0 piles électriques dont deux sont défectueuses Si on prend 8 piles au hasard, quelle est la probabilité d obtenir au moins une pile défectueuse? Numéro 4 Un nombre est choisi au hasard parmi les nombres suivants : 0000, 000, 000, 0003, 9998, 9999 a Quelle est la probabilité que la somme des deux premiers chiffres soit égale à la somme des deux derniers chiffres? b Quelle est la probabilité que le nombre choisi contienne au moins un 0, au moins un et au moins un? a Posons X la somme des deux premiers chiffres Y la somme des deux derniers chiffres A l événement X Y B j l événement X Y j 6

7 Alors on obtient P[A] 8 j0 P[B j] Les P[B j ] sont faciles à calculer Considérons par exemple P[B 3 ] Parmi les nombres à quatre chiffres, combien y en a-t-il pour lesquels la somme des deux premiers chiffres et la somme des deux derniers chiffres sont toutes les deux égales à 3? La réponse est 6 puisqu il y a quatre façons d écrire les deux premiers chiffres en l occurence 0-3, -, - et 3-0 et quatre façons d écrire les deux derniers chiffres les même quatre façons : 0-3, -, - et 3-0 On obtient donc P[B 3 ] 6/0 000 On a donc P[A] 8 j0 P[B j ] b Posons A l événement le nombre contient au moins un 0 B l événement le nombre contient au moins un C l événement le nombre contient au moins un On veut P[A B C] On obtient P[A B C] P[A B C c ] P[A c B c C c ] {P[A c ] + P[B c ] + P[C c ] P[A c B c ] P[A c C c ] P[B c C c ] + P[A c B c C c ]} { } Numéro Simplifiez l expression suivante : 0 n + 7

8 0 n + n + n + n + n + n + n + n n + n + n + + n!!n! n +! +!n + +! 0 n n+ n + j j n+ n + j j0 { n+ } Numéro 6 On lance cinq dés simultanément a Calculez la probabilité d obtenir cinq résultats identiques b Calculez la probabilité d obtenir trois et deux 6 c Calculez la probabilité d obtenir un triple et une paire d Calculez la probabilité d obtenir deux 4, deux et un 6 e Calculez la probabilité d obtenir deux paires Solution détaillée Imaginez que les dés sont identifiés par les lettres A, B, C, D et E Lancer les cinq dés correspond à remplir les cinq cases suivantes avec les chiffres à 6 : A B C D E Puisque les cinq lancers sont indépendants les uns des autres, il y a façons différentes de remplir ces cinq cases et ces façons différentes ont toutes la même probabilité Autrement dit, nous sommes dans le cas équiprobable Chacune des probabilités demandée se calcule donc avec la formule Nombre de cas favorables Nombre total de cas possibles Nombre de cas favorables

9 a Cinq résultats identiques : Explication : Il y a 6 cas favorables : obtenir cinq fois la valeur, obtenir cinq fois la valeur,, obtenir cinq fois la valeur 6 b Trois et deux 6 : Explication : Le nombre de façons différentes de remplir les cinq cases avec trois fois la valeur et deux fois la valeur 6 est égal au nombre de façons différentes de choisir, parmi nos cases, les trois cases dans lesquelles on va mettre nos trois, c est-à-dire 3 c Un triple et une paire : Explication : Il y a 6 6 façons de choisir la valeur qu on va utiliser pour notre triple Une fois cette valeur choisie, il y a façons de choisir la valeur qu on va utiliser pour notre paire Une fois qu on a choisi ces deux valeurs, il ne reste plus qu à faire comme à la partie b, c est-à-dire choisir, parmi nos cases, les trois cases qu on va utiliser pour notre triple d Deux 4, deux et un 6 : 3,, Explication : D abord on choisit les deux cases dans lesquelles on va mettre nos deux 4 Il y a façons de faire cela Ensuite, on choisit, parmi les trois cases pas encore utilisées, les deux cases dans lesquelles on va mettre nos deux Il y a 3 façons de faire cela Finalement, on met notre 6 dans la case qui n a pas encore été utilisée Il y a façon de fare cela e Deux paires : ,, Explication : D abord on choisit les deux valeurs qu on va utiliser pour former nos deux paires Il y a 6 façons de faire cela Voici ces choix possibles : et et 3 et 4 et et 6 et 3 et 4 et et 6 3 et 4 3 et 3 et 6 4 et 4 et 6 et 6 Appelons u la plus petite de ces deux valeurs et v la plus grande Ensuite, on choisit la valeur qu on va utiliser pour notre cinquième dé Cette valeur doit être différente des deux valeurs utilisées pour nos paires On a donc 4 4 choix possibles Appelons w cette valeur Il ne reste plus qu à mettre nos cinq valeurs u, u, v, v et w dans nos cinq cases On procède comme à la partie d, avec les valeurs 4, et 6 remplacées par les valeurs u, v et w Il y a donc 3,, 30 façons de faire cela Claude Bélisle 4 septembre 0 9