Dénombrement et probabilités ( révisions de 6 ème) Combien de nombres à 5 chiffres peut-on écrire à l aide des trois chiffres 1,2,3?

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1 I. Déombremet :. Exemles : Exemle : Déombremet et robabilités ( révisios de 6 ème) ombie de ombres à 5 chiffres eut-o écrire à l aide des trois chiffres,,? Ecrire u ombre à 5 chiffres à l aide des trois chiffres, et c est écrire ue liste de 5 chiffres, chacu de ces chiffres état égal soit à, soit à, soit à. Exemle O dit que chaque liste costitue u arragemet avec réétitios ossibles de 5 chiffres ris armi chiffres. Le ombre d arragemets avec réétitios ossibles de 5 élémets ris armi élémets est: 5 ( choix our le er chiffre,our chacu de ces choix, choix our le ème chiffre etc.soit 5 arragemets différets ossibles) Exemle : O disose de 8 cartos idetiques. Sur chacu de ces cartos figure l ue des 8 lettres B D E F G H. E disosat de ces cartos l u à la suite de l autre, o écrit u mot de lettres (ayat u ses ou o). Par exemle B, F sot des mots de lettres écrits à l aide de ces huit cartos.. ombie y a-t-il de mots de trois lettres, (ayat u ses ou o), que l o uisse écrire avec ces 8 lettres? O dit que chaque mot de trois lettres, (ayat u ses ou o), est u arragemet sas réétitio de lettres rises armi les 8 lettres de déart. Le ombre d arragemets sas réétitio de élémets ris armi 8 élémets est oté: 8 doc: ( 8 choix our la ère lettre, 7 choix our la ème et 6 choix our la ème car o e eut rééter la même lettre).a. Parmi les 8 lettres dot o disose, o e red, que les lettres:, B et. ombie y a-t-il de mots de trois lettres, (ayat u ses ou o), que l o uisse écrire avec ces lettres? B B B B B B b. Parmi les 8 lettres dot o disose, o e red que lettres. ombie y a-t-il de mots de trois lettres, (ayat u ses ou o), que l o uisse écrire avec ces lettres? O dit que chaque mot de trois lettres, (ayat u ses ou o), est ue ermutatio des lettres rises au déart.

2 Le ombre de ermutatios de élémets est oté P ou! doc:! O dit que chaque esemble de lettres, est ue combiaiso de lettres rises armi les 8 lettres de déart Le ombre de combiaisos de élémets ris armi 8 élémets (ombre de sousesembles à élémets que l o eut faire das u esemble à 8 élémets) est oté: 8 Ecrire ue égalité qui fait iterveir: 8 Doc: 8 8! ; P et 8 : 8 P 8 Exemle :. O disose d ue bade artagée e 8 cases : a. Détermier le ombre de faços différetes de colorier e oir: (utiliser l ue des otatios itroduites das l exemle récédet) cases de cette bade 8 case de cette bade 8 cases de cette bade 8 b. Déduire de a., le ombre de faços différetes de colorier e oir: 5 5 cases de cette bade cases de cette bade 8 6 cases de cette bade Remarque : hoisir objets armi c est aussi choisir les - objets restats. rragemets, ermutatios, combiaisos a. rragemets avec réétitios Défiitio : Soit E u esemble fii de élémets ( ) et u etier ( ). E { e ;e ;e ;...; e - ;e } Ue suite ordoée de élémets de E, o écessairemet disticts, est aelée u arragemet avec réétitios de élémets de E. Nombre d arragemets avec réétitios : Soit E u esemble fii de élémets ( ). Pour tout etier ( ), le ombre d arragemets avec réétitio de élémets ris armi est

3 Exemles :. Pour ouvrir la orte d u immeuble, il faut taer u code de 4 chiffres. ombie y a-t-il de codes ossibles? ( 0 4 ). Pour ouvrir la orte d u immeuble, il faut taer u code de 4 lettres ombie y a-t-il de codes ossibles? (6 4 ) Pour ouvrir la orte d u immeuble, il faut taer u code de 4 élémets, qui sot des chiffres ou des lettres. ombie y a-t-il de codes ossibles? ( 6 4 ) b. rragemets sas réétitios : Défiitio : Si l o imose à ue suite ordoée de élémets de E de e coteir que des élémets de E deux à deux disticts, la liste eut coteir au lus élémets, d où das ce cas o aura. O arlera d arragemet sas réétitio de élémets ris armi Nombre d arragemets sas réétitio : Pour tout etier ( ), le ombre d arragemets sas réétitios de élémets de E est oté et (-)...(-+) ( facteurs) Exemles :. Pour ouvrir la orte d u immeuble, il faut taer u code de 4 chiffres tous différets. ombie y a-t-il de codes ossibles? ( ). Pour ouvrir la orte d u immeuble, il faut taer u code de 4 lettres toutes différetes. ombie y a-t-il de codes ossibles? (6 5 4 ). Pour ouvrir la orte d u immeuble, il faut taer u code de 4 élémets, qui sot des chiffres ou des lettres tous différets. ombie y a-t-il de codes ossibles? (6 5 4 ) c. Permutatios : Défiitio : O aelle ermutatio d u esemble E de élémets u arragemet sas réétitio des élémets de E.( c est-à-dire de élémets ris armi ) Exemle : Les ermutatios de l esemble E{,,} sot : Nombre de ermutatios d u esemble à élémets : Le ombre de ermutatios d u esemble à élémets ( ) est le ombre oté! (factorielle ) défii ar :! x(-)x(-)x...xx. ovetio : 0! Exemles :. Pour ouvrir la orte d u immeuble, il faut taer u code de 0 chiffres tous différets. ombie y a-t-il de codes ossibles? 0!

4 . Pour ouvrir la orte d u immeuble, il faut taer u code de 6 lettres qui sot des voyelles toutes différetes. ombie y a-t-il de codes ossibles? 6! d. Permutatios de élémets dot sot idetiques, sot idetiques,..., k sot idetiques: a. Distiguos mometaémet les élémets idetiques, e les umérotat ar exemle. Le ombre de ermutatios de ces élémets (artificiellemet tous disticts our l istat) est:! b. Si l o surime la distictio que l o a faite sur les élémets au déart, alors il y a! lus que ermutatios distictes des élémets.! Si l o surime maiteat la distictio que l o a faite sur les élémets au déart,! alors il y a lus que ermutatios distictes des élémets!! Le ombre de ermutatios de élémets dot sot idetiques, sot idetiques,...,! k sot idetiques est:!!... k! O l aelle le ombre de ermutatios de élémets avec réétitios Exemle : O aelle aagramme d u mot, tout mot (ayat u ses ou o) obteu e effectuat ue ermutatio des lettres du mot de déart 8!.Quel est le ombre d aagrammes du mot: RNVL?! 8!. Quel est le ombre d aagrammes du mot: RREFIER?!! e. ombiaisos sas réétitios : Défiitio : Soit E u esemble fii de élémets et u etier tel que 0, o aelle combiaiso de élémets de E toute artie de E ayat élémets. Le ombre de combiaisos de élémets d u esemble à élémets est oté ou ( ) 0 Nombre de combiaisos à élémets d u esemble à élémets : Pour et etiers tels que 0, o a :! (-)...(-+) (-)...x!!(-)!. 4

5 O cosidère le ombre de sous esembles à élémets das u esemble ayat élémets : hacu de ces sous esembles doe! arragemets de élémets ris armi. Le ombre total d arragemets de élémets ris armi, est doc: soit!! Exemle : u loto combie y a-t-il de tirages de 6 uméros armi 49? 6 49 f. ombiaisos avec réétitios : Défiitio : O aelle combiaiso avec réétitios de élémets d u esemble à élémets, u sous- esemble de E ayat élémets qui e sot as forcémet disticts Exemle: E { a;b;c}, écrire toutes les combiaisos avec réétitios de élémets de E aa ab ac bb bc cc Nombre de combiaisos avec réétitio: (admis) Le ombre de combiaisos avec réétitios de élémets ris à est oté K +. K + Exemle : Détermier le ombre de domios das u jeu comlet de domios K 8! 8 7!6! Proriétés des a. Proriétés des. Formule du biôme. 0 et ; et choisir élémets armi c est aussi choisir les - élémets restats

6 b. Triagle de Pascal : O aelle triagle de Pascal, le triagle ci-dessous (qui commece à la lige 0 et à la coloe 0) O y trouve, à l itersectio de la lige et de la coloe c. Formule du biôme : Soit a et b des ombres réels ou comlexes et u etier ( ). O a : (a+b) a b - 0 Exemles : (x+) 6 x 6 +6 x 5 +5 x 4 + 0x + 5x + 6x + (x-) 5 x 5 +5x 4 (-) + 0 x (-) +0x (-) +5x(-) 4 +(-) 5 x 5-0x 4 +40x - 80x +80 x - d. Nombre de sous-esembles d u esemble ayat élémets : O additioe le ombre de sous-esemble ayat 0 élémet: 0 avec le ombre de sous-esembles ayat élémet: avec le ombre de sous-esembles ayat élémets:. Soit:. avec le ombre de sous-esembles ayat i élémets:. avec le ombre de sous-esembles ayat - élémets: avec le ombre de sous-esembles ayat élémets: i i + (+) Le ombre de sous-esembles d u esemble ayat élémets est. 6

7 II. Probabilités :gééralités. Exériece aléatoire, évetualité, uivers : U exemle: ( cet exemle sera utilisé tout au log du chaitre) O lace u dé o truqué à six faces umérotées de à 6 et o ote le ombre figurat sur la face suérieure du dé. Lacer ce dé et oter le ombre figurat sur ue des faces est ue exériece dot o e eut as révoir le résultat (,,, 6? ). O dit qu il s agit d ue exériece aléatoire, c'est à dire ue exériece liée au hasard ouvat coduire à lusieurs issues, aelées évetualités. Ex : les évetualités sot,,, 4, 5, 6 L esemble de toutes les évetualités d ue exériece aléatoire est aelé uivers. E gééral, o le ote Ω. Ex : Ω {,,, 4, 5,6}. Evéemet : O aelle évéemet toute artie de l uivers Ex : Par exemle, o eut cosidérer l évéemet : «obteir u ombre air». O a {,4,6}, B et rerésetet des évéemets d u uivers Ω lié à ue exériece aléatoire. VOBULIRE ET NOTTION ardial de : card ( ) Evéemet élémetaire SIGNIFITION ombre d évetualités qui comoset évéemet réduit à ue seule évetualité EXEMPLE L évéemet : «obteir u ombre air» est comosé de évetualités. card ( ) L évéemet B : «obteir le ombre» ; B { } Evéemet imossible : Evéemet certai : Ω évéemet qui e se réalise jamais évéemet qui se réalise toujours L évéemet : «obteir le ombre 7» L évéemet D : «obteir u ombre iférieur ou égal à 6» 7

8 est la réuio de et de B : B ( o dit ou B ) est l itersectio de et de B : B ( o dit et B ) est l esemble des évetualités réalisat ou B Ω B est l esemble des évetualités réalisat et B e même tems. B Ω B B Soit l évéemet E : «obteir u ombre au mois égal à» ; E { ; 4 ; 5 ; 6 } Soit l évéemet F : «obteir u ombre imair» ; F { ; ; 5 } L évéemet E F est «obteir u ombre au mois égal à ou u ombre imair» E F { ; ; 4 ; 5 ; 6 } L évéemet E F est «obteir u ombre au mois égal à et u ombre imair» c'est à dire «obteir u ombre imair au mois égal à» E F { ; 5 } et B sot disjoits ou icomatibles et B e euvet as se réaliser e même tems ; B Ω B Les évéemets E et B sot icomatibles. E B et B sot cotraires ou comlémetaires. Ω B Les évéemets et F sot cotraires. B B et B Ω est l évéemet costitué ar les évetualités de l uivers qui e réaliset as. F 8

9 . Loi de robabilité sur u esemble fii a. Défiitio : O ote Ω { ω, ω ω }l esemble des évetualités d ue exériece aléatoire. Défiir ue loi de robabilité sur Ω, c est associer à chaque résultat ω i u ombre i ( aelé robabilité de l issue ω i ) ositif ou ul de telle faço que : i i La robabilité d u évéemet, otée P ( ), est la somme des robabilités i des évetualités qui costituet. Modéliser ue exériece aléatoire, c est associer à cette exériece ue loi de robabilité sur l esemble Ω des résultats ossibles. Les coditios de l exériece coduiset le lus souvet au choix du modèle. Rem : Pour toute évetualité ω i o a : 0 i. b. Proriétés : Soit et B deux évéemets de Ω, alors : - La robabilité de l évéemet certai est ; P ( Ω ) - La robabilité de l évéemet imossible est 0 ; P ( ) 0 - Si B, alors P ( ) P ( B ) - P ( B ) P ( ) + P ( B ) P ( B ) - Si et B sot icomatibles, P ( B ) P ( ) + P ( B ) - P ( ) P ( ) Ω c. as articulier : l équirobabilité : B B Lorsque tous les évéemets élémetaires d u uivers ot la même robabilité, o dit qu il y a équirobabilité. Das ce cas, si l uivers Ω est comosé de évetualités ω i, o a : i P ( { ω i } ) card (Ω) O a alors, our tout évéemet : P ( ) card ( ) card ( Ω ) P ( ) ombre de cas favorables ombre de cas ossibles 9

10 Exemle : Le dé est o truqué : chacue des faces à la même chace d être obteue. Il s agit d ue situatio d équirobabilité. Das ce cas, la loi de robabilité est : face robabilité La robabilité de l évéemet : «obteir u ombre air» est : P () card ( ) card ( Ω ) 6 III. Probabilités coditioelles :. Défiitio et coséquece : La robabilité coditioelle d'u évéemet ar raort à u évéemet B est la robabilité que se réalise lorsque B est réalisé. O la ote P ( / B) Exemle P ( B) PB ( / ) PB ( ) O lace deux dés, u blac et u oir. Quelle est la robabilité que le dé blac doe si la somme des oits obteus sur les deux dés est strictemet iférieure à 6? Soit l'évéemet «le du dé blac aaraît» et B l'évéemet «la somme des oits des deux dés est strictemet iférieure à 6» 6 0 P ( ), P( B), P( B) oséquece de la défiitio : 4 P( B) 6 4 P ( / B) P( B) P( B) P( ). P( B / ) P( B). P( / B) 0

11 Exemle O tire successivemet et sas remise deux cartes das u jeu de 5 cartes. Quelle est la robabilité de tirer ) u as au remier tirage? ) u deuxième as au deuxième tirage sachat qu u as est déjà sorti? ) deux as? Soiet l évéemet «tirer u as au remier tirage», B l évéemet «tirer u as au deuxième tirage» et l évéemet «tirer deux as». 4 ) P(). 5 ) P(B/). 5 7 ) P() P( B) P().P(B/). rbres odérés Exemle: Das ue école 0% des garços et % des filles mesuret lus de,70 m. O sait que 70% des élèves sot des filles.. Si l o red u élève au hasard quelle est la robabilité qu il mesure lus de,70m?. Si l o red u élève au hasard et que celui-ci mesure lus de,70 m, quelle est la robabilité que ce soit ue fille? % 70% 0% F G 98% 0% 90% Soiet l évéemet «mesurer lus de,70 m», F l évéemet «être ue fille» et G l évéemet «être u garço». P(F) 0,7 P(/F) 0,0 P(G) 0, P(/G)0,0 haque brache a ue robabilité. La somme des robabilités des braches issues d u même oeud est égale à. La robabilité d u évéemet corresodat à u chemi est égale au roduit des robabilités iscrites sur chaque brache de ce chemi.. P() P( F ) + P( G) P(/F).P(F) + P(/G).P(G) P() 0,0 0,7 + 0, 0,0,044. La robabilité cherchée est P(F/)

12 P(F/) P(F ) P() 0,7 0,0 0, ,. Formule des robabilités totales : Soit B,B,...B évéemets tels que : -chaque B k a ue robabilité o ulle O dit alors que les B,B,.B -deux quelcoques d etre eux sot icomatibles réaliset ue artitio de Ω -leur réuio est l uivers des ossibles Ω Quel que soit l évéemet E, o a : P(E) P(E B )+P(E B ) +...P(E B )(E/B ).(B )+(E/B ).(B )+...(E/B ).(B ). 4. Evéemets idéedats Deux évéemets sot idéedats si la réalisatio de l'u 'a aucue ifluece sur la réalisatio de l'autre et réciroquemet. et B sot idéedats PB ( / ) P ( ) ou PB ( / ) PB ( ) et B sot idéedats P( B) P().P(B) Exemles : O tire ue carte d u jeu de cartes. Les évéemets R :«tirer u roi» et : «tirer u cœur» sot idéedats. E effet : ( R ) 4 8 ( ) 8 4 ( R ) P(R ) (R ). ( ) O tire ue carte d u jeu de cartes. Les évéemets R :«tirer u roi» et H : «tirer u valet, ue dame ou u roi» e sot as idéedats. E effet : ( R ) 4 8 (H ) 8 ( R H) 4 8 P(R H) (R ). (H ) IV. Modélisatio d exérieces idéedates : Il est fréquet qu ue exériece aléatoire cosiste à echaîer lusieurs exérieces E,E,...E. Si chacue d elles se déroule das des coditios qui e déedet as des résultats des exérieces récédetes, o dit que les exérieces E,E,...E sot idéedates.

13 Modélisatio : Soit E ue exériece aléatoire cosistat à réaliser successivemet éreuves idéedates E,E,...E. O modélise E ar la loi de robabilité P qui à chaque résultat (a,a,...a ) associe le roduit P ({a })P ({a })...P ({a }). Exemle : Ue ure cotiet 5 boules blaches et boules oires. O tire au hasard ue boule de l ure uis o jette u dé équilibré. Quelle est la robabilité de l évéemet : «la boule tirée est oire uis o obtiet le : ( N) 7 () 6 La robabilité cherchée est 7 6 V. Esérace, variace et écart-tye : Soit ue loi de robabilité : x x x Si les issues de l exériece aléatoire sot des ombres réels, o eut défiir les ombres ci-cotre : L esérace mathématique de la loi de robabilité est le ombre µ défii ar : µ i x i i La variace de la loi de robabilité est le ombre V défii ar : V i (x i µ ) ² i L écart tye de la loi de robabilité est le ombre σ défii ar : σ V Exemle: Ue ure cotiet 0 boules idetiques, oires, 5 rouges et vertes.le joueur tire ue boule au hasard. Si la boule est rouge il gage euro, si elle est verte il gage 5 euros, si elle est oire il erd euros. O s itéresse aux gais ossibles. chaque gai o associe la robabilité de l obteir. Doer la loi de robabilité. alculer l esérace mathématique, la variace et l écart-tye.

14 gai robabilité µ ,9 V(x) (-0,9) + 5 (5-0,9) + 0 (--0,9) 5,89 σ V 5,89,4 4

15 . 5