BACCALAURÉAT GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES

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1 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION aril 20 MATHÉMATIQUES Série S Drée de l épree : heres Coefficiet : 7 o 9 Les calclatrices électroiqes de poche sot atorisées, coformémet à la réglemetatio e iger. Le sjet est composé de exercices idépedats. Le cadidat doit traiter tos les exercices. Das chaqe exercice, le cadidat pet admettre résltat précédemmet doé das le texte por aborder les qestios siates, à coditio de l idiqer clairemet sr la copie. Le cadidat est iité à faire figrer sr la copie tote trace de recherche, même icomplète o o frctese, q il ara déeloppée. Il est rappelé qe la qalité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets serot prises e compte das l appréciatio des copies. Aat de composer, le cadidat s assrera qe le sjet comporte bie 7 pages mérotées de /7 à 7/7. /7

2 Exercice ( poits) Comm à tos les cadidats Cet exercice est qestioaire à choix mltiple (QCM). Por chaqe qestio e sele des propositios est exacte. Le cadidat portera sr la copie, sas jstificatio, la lettre correspodat à la répose choisie. Il est attribé poit si la répose est exacte, demi-poit est eleé por e répose iexacte, ac poit attribé o eleé por e absece de répose. Le pla complexe est rapporté à repère orthoormal direct (O, r, r ).. Soit (E) l esemble des poits M d affixe z érifiat : z = 2i e iθ, θ état ombre réel. a. (E) est e droite passat par le poit d affixe 2 2i. b. (E) est le cercle de cetre d affixe 2i et de rayo. c. (E) est le cercle de cetre d affixe 2i et de rayo. d. (E) est le cercle de cetre d affixe 2i et de rayo. 2. Soit f l applicatio d pla qi, à tot poit M d affixe z associe le poit M d affixe z tel qe z = iz 2i. a. Le poit d affixe 2i est atécédet d poit d affixe i par f. b. Si z = 2 2i, alors M et M sot cofods. c. Si z =, alors M est poit d cercle de cetre A d affixe 2 et de rayo. d. Si arg(z) = 2 π (mod 2π) alors le poit M décrit e droite.. Soit (F) l esemble des poits M d affixe z érifiat z i = z 2i. Soiet les poits A, B et C d affixes respecties i, 2i et 2i. a. C est poit de (F). b. (F) est la médiatrice d segmet [AB]. c. (F) est la médiatrice d segmet [AC]. d. (F) est le cercle de diamètre [AB].. O cosidère das l esemble des ombres complexes l éqatio z z 2 = 7 i. Cette éqatio admet : a. Dex soltios distictes qi ot por partie imagiaire. b. Ue soltio réelle. c. Dex soltios dot e sele a por partie imagiaire. d. Ue soltio qi a por partie imagiaire 2. 2/7

3 Exercice 2 (6 poits) Comm à tos les cadidats Soit f la foctio défiie sr R par x e f(x) =. 2x e r r O ote C sa corbe représetatie das repère orthogoal (O, i, j ). Sr le graphiqe ci-dessos o a tracé la corbe C. Elle cope l axe des abscisses ax poits A et B. Partie A L objet de cette partie est de démotrer certaies propriétés de la foctio f qe l o pet cojectrer à partir d graphiqe.. La foctio f semble croissate sr l iteralle [0 ; [. x 2x e ( e ) a. Vérifier qe por tot réel x, f (x) =. 2x ( e ) 2 b. E dédire le ses de ariatio de la foctio f sr l iteralle [0 ; [. 2. La droite d éqatio x = 0 semble être axe de symétrie de la corbe C. Démotrer qe cette cojectre est raie.. O désige par a l abscisse d poit A et o pose c = e a. a. Démotrer qe le réel c est e soltio de l éqatio x 2 x = 0. E dédire la aler exacte de a. b. Doer le sige de f(x) selo les alers de x. Partie B L objet de cette partie est d étdier qelqes propriétés de la foctio F défiie sr R par : F(x) = x f ( t) dt 0. Détermier les ariatios de la foctio F sr R. 2. Iterpréter géométriqemet le réel F(a). E dédire qe a F(a) 0.. O cherche la limite éetelle de F e. a. Démotrer qe por tot réel positif t, f(t ) e t. b. E dédire qe por tot réel positif x, F(x) x et détermier la limite de F(x) lorsqe x ted ers.. Das cette qestio, tote trace de recherche o d iitiatie, même icomplète, sera prise e compte das l éalatio. Détermier la limite de F(x) lorsqe x ted ers. /7

4 Exercice ( poits) Comm à tos les cadidats r r r L espace est rapporté à repère orthoormé (O, i, j, k ). O cosidère la droite D passat par le poit A de coordoées ( ; ; ) et dot ecter directer est r ( ; ; ). O cosidère la droite D dot e représetatio paramétriqe est : x = t y = 2 t t R. z = t O admet q il existe e iqe droite perpediclaire ax droites D et D. O se propose de détermier e représetatio paramétriqe de cette droite et de calcler la distace etre les droites D et D, distace qi sera défiie à la qestio. O ote H le poit d itersectio des droites D et, H le poit d itersectio des droites D et. O appelle P le pla coteat la droite D et la droite. O admet qe le pla P et la droite D sot sécats e H. Ue figre est doée e aexe.. O cosidère le ecter w r de coordoées ( ; 0 ; ). Démotrer qe w r est ecter directer de la droite. 2. Soit r le ecter de coordoées ( ; 2 ; ). a. Démotrer qe le ecter r est ormal a pla P. b. Motrer q e éqatio cartésiee d pla P est : x 2y z = 0.. a. Démotrer qe le poit H a por coordoées ( ; 2 ; ). b. E dédire e représetatio paramétriqe de la droite.. a. Détermier les coordoées d poit H. b. Calcler la loger HH.. Das cette qestio, tote trace de recherche, même icomplète, o d iitiatie même o frctese, sera prise e compte das l éalatio. L objectif de cette qestio est démotrer qe, por tot poit M apparteat à D et tot poit M apparteat à D, MM HH. a. Motrer qe MM ' pet s écrire comme la somme de HH '. b. E dédire qe MM ' 2 HH ' 2 et coclre. HH ' et d ecter orthogoal à La loger HH réalise doc le miimm des distaces etre e poit de D et e poit de D. O l appelle distace etre les droites D et D. /7

5 Exercice ( poits) Cadidats e siat pas l eseigemet de spécialité mathématiqes. U je cosiste à lacer des fléchettes sr e cible. La cible est partagée e qatre secters, comme idiqé sr la figre ci-dessos. O sppose qe les lacers sot idépedats et qe le joer toche la cible à tos les cops.. Le joer lace e fléchette. O ote p 0 la probabilité d obteir 0 poit. O ote p la probabilité d obteir poits. O ote p la probabilité d obteir poits. O a doc p 0 p p =. Sachat qe p = 2 p et qe p = p0 détermier les alers de p 0, p et p. 2. Ue partie de ce je cosiste à lacer trois fléchettes a maximm. Le joer gage la partie s il obtiet total (por les lacers) spérier o égal à 8 poits. Si a bot de 2 lacers, il a total spérier o égal à 8 poits, il e lace pas la troisième fléchette. O ote G 2 l éèemet : «le joer gage la partie e 2 lacers». O ote G l éèemet : «le joer gage la partie e lacers». O ote P l éèemet : «le joer perd la partie». O ote p(a) la probabilité d éèemet A. a. Motrer, e tilisat arbre podéré, qe p (G 2 ) = 6. 7 O admettra das la site qe p (G ) = 6 b. E dédire p(p).. U joer joe six parties aec les règles doées à la qestio 2. Qelle est la probabilité q il gage a mois e partie?. Por e partie, la mise est fixée à 2. Si le joer gage e dex lacers, il reçoit. S il gage e trois lacers, il reçoit. S il perd, il e reçoit rie. O ote X la ariable aléatoire correspodat a gai algébriqe d joer por e partie. Les alers possibles por X sot doc : 2, et. a. Doer la loi de probabilité de X. b. Détermier l espérace mathématiqe de X. Le je est-il faorable a joer? /7

6 6/7 Exercice ( poits) Cadidats siat l eseigemet de spécialité mathématiqes. Les choettes tachetées sot les pricipax prédaters d e espèce de soris iat das la même régio. O cherche à étdier l éoltio des dex poplatios mois après mois. Notos la poplatio des choettes et celle des soris (e milliers) a ème mois. O sppose : = =, 0, 0, 0, ) a) S il y aait ace soris, commet éolerait la poplatio de choettes? b) S il y aait ace choette, qe se passerait-il por la poplatio de soris? 2 ) Notos X =, por tot etier. a) Ecrire le système liéaire sos la forme d e égalité matricielle d type X = AX où A est e matrice carrée d ordre 2 qe l o précisera. b) Démotrer soigesemet qe l o a X = A X 0 por tot N. ) O pose X 0 = a) Calcler, à la mai, la poplatio de chace des dex espèces après mois. b) E tilisat la calclatrice, calcler (à l ité près) X 6 et X 2. ) Soit P =. a) Calcler P - à la calclatrice. b) Démotrer, à la mai, qe D = P - A P est e matrice diagoale. c) E dédire qe A = P D P -. O admet q alors, por tot N, A = P D P -. d) Exprimer D. O admet q o a alors : A =. e) E dédire qe, por tot N : = = ) Qe pet-o e dédire qat à l éoltio de la répartitio des dex poplatios lorsqe ted ers?

7 Aexe Exercice 7/7