Page 1. Analyse de variance à un critère de classification (ANOVA) Pourquoi ne pas utiliser plusieurs tests de t? Possibilités et limites de l ANOVA

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1 Page Quand utiliser l ANOVA Analyse de variance à un critère de classification (ANOVA) Quand utiliser l ANOVA Les modèles d ANOVA et la répartition des sommes des carrés ANOVA: test d hypothèses ANOVA: conditions d application Alternative non-paramétrique: Krusall-Wallis Puissance Pour tester l effet d une variable indépendante discrète chaque variable indépendante est appelée un facteur et chaque facteur peut avoir deux ou plusieurs niveaux ou traitements (ex: rendement du maïs fertilisé à l azote (N) ou au phosphore et à l azote (P+N) l ANOVA teste si toutes les moyennes sont égales On l utilise quand le nombre de niveaux est supérieur à deux Pourquoi ne pas utiliser plusieurs tests de t? Pour un nombre de comparaisons, si H 0 est vraie, la probabilité de l accepter pour tous les est ( - α) pour quatre moyennes, ( - α) =(0.95) 6 =.735 alors, α (pour toutes les comparaisons) = 0.65 alors en comparant les moyennes des quatre échantillons provenant de la même population on s attend à détecter des différences significatives pour une paire dans 7% des cas µ C : µ N+P µ c :µ N µ N :µ N+P Contrôle Possibilités et limites de l ANOVA Permet de tester si toutes les moyennes sont égales (au niveau α)... mais si on rejette H 0, l ANOVA ne dit pas lesquelles µ N+P µ C µ N 3 4 Types d ANOVA Type I ( effets fixes ): les traitements sont déterminés par le chercheur Type II ( effets aléatoires ): les traitements ne sont pas sous le contrôle de l expérimentateur Type III ( modèle mixte ): au moins un facteur du Type I et au moins un du Type II ANOVA Type I: effet de la température sur le taux de croissance de la truite 3 traitements déterminés par le chercheur la variable dépendante est le taux de croissance (λ), et le facteur (X) est la température X étant contrôlé, on peut estimer l effet de l augmentation d une unité de X (température) sur λ (le taux de croissance)... et prédire λ pour d autres températures Taux de croissance λ (cm/jour) Température (ºC) 5 6

2 Page ANOVA Type II: poids de l ours noir et dispersion géographique Différences entre les modèles 3 sites (groupes) échantillonnés variable dépendante est le poids, et le site est le facteur (X) Pour des sites différents les facteurs contrôlant la variabilité sont inconnus... alors, on ne peut prédire le poids pour d autres sites Poids (g) Riding Kluane Mountain Algonquin Pour le Type I, les facteurs peuvent être manipulés par l expérimentateur, pas dans le Type II Le Type I nous permet d estimer l effet du traitement, de faire des prédictions, pas le Type II Les calculs pour les deux types sont identiques mais seulement pour l ANOVA à un critère de classification! 7 8 Pourquoi le nom ANOVA? Dans une ANOVA, la variance totale est répartie en deux composantes: intergroupe: variance des moyennes des différents groupes (traitements) intragroupe (erreur): variance des observations autour de la moyenne du groupe ANOVA: modèle général Le modèle général: Y ij = µ + α i + ε ij Les algorithmes de l ANOVA suivent ce modèle (par les Y moindres carrés) afin µ d estimer les α i H 0 : tous les α i = 0 Groupe Groupe Groupe 3 ε 4 µ α Y µ µ =µ = µ = µ 3 α = α = α 3 = 0 Groupe 9 0 Répartition de la somme des carrés totale Tableau d ANOVA µ Sources de variation Somme des carrés Degré de liberté (dl) Carré moyen (MS) F Y µ µ 3 µ SC Totale SC Modèle (Groupes) SC Erreur Groupe Groupe Groupe 3 Totale Intergroupe Erreur ni (Yij Y) i= j = i = n i ( Y i Y ) ni (Yi j Yi) i= j= n - - n - SC/dl SC/dl SC/dl MS intergroupe MS erreur

3 Page 3 Composantes de la variance et moyennes des groupes MS intergroupe mesure les différences moyennes au carré parmis les moyennes des groupes MS erreur est une mesure de la précision t X C XT groupes = MS F = sx C XT erreur MS µ N+P F plus petit µ C µ N F plus grand ANOVA: l hypothèse nulle H 0 : les moyennes de tous les groupes sont les mêmes, ou H 0 : il n y a pas d effet des groupes, α i =0, ou H 0 : F = MS intergroupe / MS erreur = 0 pour groupes et pour un nombre d observations N, on compare avec la distribution de F au niveau α avec - et N - degrés de liberté µ N+P F plus petit µ C µ N F plus grand 3 4 Exemple (Lab( Lab): Variation temporelle de la taille de l esturgeon (ANOVA type II) Prédiction: la construction d un barrage a provoqué la perte des esturgeons de grande taille Test: comparer la taille des esturgeons avant et après la construction du barrage H 0 : la taille moyenne est la même pour toutes les années Taille Construction du barrage Année Variation temporelle de la taille des esturgeons (résultats de l ANOVA) Analysis of Variance Source Sum-of-Squares df Mean-Square F-ratio P YEAR Error Conclusion: rejeter H Conditions d application de l ANOVA Test de la normalité des résidus Les résidus sont indépendants les uns des autres Les résidus sont distribués normalement La variance des résidus ne varie pas entre les traitements (homoscédasticité) À noter: ces conditions s appliquent aux résidus et non aux données brutes on doit tester les conditions d application après que l analyse soit faite et que les résidus soient obtenus Vérifier la linéarité du graphique des probabilités normales des résidus Si nécessaire et justifié, faire un test de Lilliefors. Penser à la puissance!! o n u ti b s tr i D i a l m N or r fo V al u e d e c t E xpe Valeurs extrêmes RESIDUAL 7 8

4 Page 4 Test de l indépendance des résidus: graphique ACF Test d homoscédasticité I: graphique des résidus par rapport aux estimés Est-ce qu il y a des corrélations à l extérieur de l intervalle de confiance à 95%? Correlation Autocorrelation Plot Lag L étalement des résidus est-il le même pour tous les groupes? D E N T S T U 6 5 Valeur extrême? ESTIMATE 9 0 Test de l homoscédasticité II: test de Levene Test de l homoscédasticité II: test de Levene (suite) Calculer la moyenne absolue des résidus pour chaque groupe Cette moyenne varie-telle entre les groupes? Res. Abs. 6 4 Least Squares Means Analysis of Variance Source Sum-of-Squares df Mean-Square F-ratio P YEAR Error Année Effets de la violation des conditions d application.0 Le calcul de p assume que p(f) = p(f*) mais, moins les résidus se conforment aux conditions d application, plus l écart entre les deux augmente alors, les valeurs de p sont incorrectes Probabilité F F, peu conforme F, très conforme Vrai F (F*) Robustesse de l ANOVA aux violations des conditions d application Condition Robustesse Remarque d application Normalité Élevée Seulement si l effectif est grand (>0) Indépendance Basse Dépend de la force de la corrélation Homoscédasticité Basse Spécialement si l effectif est petit 3 4

5 Page 5 Questions sur l analyse des résidus Quelles conditions d application sont violées? L ANOVA est-elle robuste à ces violations? Quelle est la taille de l effectif? Est-ce que la violation des conditions est causée par la présence de valeurs extrêmes? Comment se comparent p et α? Éliminer les valeurs extrêmes et refaire analyse Transformer les données Essayer ANOVA nonparamétrique (recommandé si l effectif est petit, c està-dire < 0 par groupe) L alternative non-paramétrique: ANOVA de Krusall-Wallis Calculer la somme des rangs (Rg) pour chaque groupe H 0 : RC = R = R Calculer la statistique K-W H: Traitement Traitement = i Champ Rende Rang Rende Rang Rende Rang 3( N + ) ment ment ment ( + ) i= ni qui est distribué comme χ avec - dl si N pour chaque groupe est assez grand, autrement, utiliser la valeur Somme des rangs critique de H H N N R 5 6 ANOVA: Analyse de puissance Si H 0 est vraie, alors t CM Groupes /CM erreur suit la distribution de F Mais si H0 est fausse, alors CM Groupes /CM erreur suit la distribution noncentrale de F, définie par ν, ν et φ (noncentralité). ANOVA: Analyse de Puissance Ce qu on peut calculer Puissance d un test sur groupes avec n replicats par groupe au niveau α lorsque () les moyennes de chaque groupe sont connues; () taille minimale de l effet à détecter est spécifié Effectif minimum ou différence minimale détectable 7 8 Puissance et effectif en ANOVA avec groupes et n ANOVA à un critère de replicats par groupe au classification niveau α. Si on a un estimé de la variabilité intragroupe s (MS erreur ), on peut calculer φ: n i= ( µ µ ) i s Expéerimental (N+P) Calculer la puissance à partir de φ Pour ν,ν, α et φ, on peut obtenir -β à partir de tableaux ou courbes (e.g. Zar (996), Appendix Figure B.) φ(α =.05) φ(α =.0) -β ν décroissant ν = α =.05 α =

6 Page 6 ANOVA type I: différence minimale détectable Pour détecter une différence entre les deux groupes les plus différents (par au moins δ). Pour un test au seuil α avec une puissance de - β on peut calculer l effectif minimal requis n min pour détecter δ, compte-tenu de la variance intragroupe s,et solutionnant itérativement: Frequency δ s n > φ min δ ANOVA type I: Puissance du test Si H 0 est acceptée, il est pertinent de calculer la puissance À partir de CM groupes, s (= CM erreur ), et, on peut calculer φ. Source SC dl CM Totale SC T N- Inter SC groupes - groupes CM groupes ( )( MSgroups s ) s Erreur SC erreur N- CM erreur 3 3 Puissance d un test: exemple Effet de la température sur le temps de développement d un insecte 3 températures ( = 3, n = n = 4, n 3 = 5) Source SS df MS F Total 6.9 Among groups Error ( )( MSgroups s ) s 59 (. 66. ) = = (. ) βν ( =, ν = 0, φ= 9. ) =. 33 Il y a 67% des chances de faire une erreur de type II Facteurs déterminant la puissance en ANOVA à un critère de classification Puissance augmente avec augmentation de φ. Donc puissance augmente avec() augmentation de l effectif n; () augmentation des différences entre groupes (CM groupes ); (3) décroissance du nombre de groupes; (4) décroissance de la variance intragroupe s (MS erreur ). n i= ( µ µ ) i s nδ s Puissance en ANOVA de type II On peut calculer - β à partir de la distribution F centrale: F ( β), ν, ν = ν F α( ), ν, ν CM groupes ( ν ) À partir de ν, ν, α et CM groupes, on peut calculer - β. Masse (g) Riding Kluane Mountain Algonquin Puissance en ANOVA non-paramétrique à un critère de classification Si conditions d application de l ANOVA sont rencontrée, alors puissance ANOVA non-paramétrique est 3/π = 95% de celle de l ANOVA. Calculer puissance de l ANOVA paramétrique comme estimé de la puissance de l ANOVA non-paramétrique. Traitement Traitement Champ Rende Rang Rende Rang Rende Rang ment ment ment Somme des rangs