RHT-Seminar. Spectral Sequences II FAC. SCIENCES, MEKNES 11 FÉVRIER My Ismail Mamouni-CPGE-CPR Rabat

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1 FAC SCIENCES, MEKNES RHT-Seminar Spectral Sequences II My Ismail Mamouni-CPGE-CPR Rabat Professeur Agrégé-Docteur en Math Master 1 en Sc e l éucation, Univ Rouen mamouninewfr mamounimyismail@gmailcom 11 FÉVRIER 2012 My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 1 / 9

2 Objectif Calcul approché e l homologie My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 2 / 9

3 Complexe Graué C p+1,q 1 C p+1,q C p+1,q+1 C p,q 1 C p,q C p,q+1 C p 1,q 1 C p 1,q C p 1,q+1 H q 1 (C, ) H q (C, ) H q+1 (C, ) My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 3 / 9

4 Complexe Filtré 0 = F p,0 F p,1 F p,2 F p,n = C p La ifférentielle respecte la filtration F p,q F p 1,q Inconvénient E 1 := Ep,q 1 p,q } {{ } Hom grauée H (C, ) } {{ } Hom filtrée Avantage E 1 := H (E 0, 0 ) H (C, ) My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 4 / 9

5 Complexe Filtré 0 = F p+1,0 F p+1,1 F p+1,2 F p+1,n = C p+1 0 = F p,0 F p,1 F p,2 F p,n = C p 0 = F p 1,0 F p 1,1 F p 1,2 F p 1,n = C p 1 Inconvénient E 1 := My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar E 1 H (C, ) Spectral Sequences II 4 / 9

6 Complexe Filtré V = U (V/U) E 0 p,q := F p,q/f p,q 1 C p = n q=1 E 0 p,q My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 4 / 9

7 Complexe Filtré passe au quotient e façon naturelle n 0 : C p = Ep,q 0 C p 1 = n q=1 q=1 E 0 p 1,q ou plus précisément 0 : E 0 p,q E 0 p 1,q My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 4 / 9

8 Complexe Filtré On obtient un complexe graué 0 0 E 0 p+1,q 1 E 0 p+1,q E 0 p+1,q E 0 p,q 1 E 0 p,q E 0 p,q E 0 p 1,q 1 E 0 p 1,q E 0 p 1,q Inconvénient E 1 := Ep,q 1 p,q } {{ } Hom grauée H (C, ) } {{ } Hom filtrée My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 4 / 9

9 Complexe Filtré 1ér terme E 1 p,q := H q(e 0 p,q, 0) = ker 0 : E 0 p,q E 0 p 1,q Im 0 : E 0 p+1,q E 0 p,q Inconvénient Avantage E 1 := Ep,q 1 p,q } {{ } Hom grauée H (C, ) } {{ } Hom filtrée E 1 := H (E 0, 0 ) H (C, ) My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 4 / 9

10 Cas Simple Complexe filtré à 2 étages 0 E 0 p+1,2 0 Ep+1,1 0 0 E 0 p,2 0 Ep, E 0 p 1,2 E 0 p 1,1 0 0 My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 5 / 9

11 Cas Simple Complexe filtré à 2 étages H p = Z p /B p où Z p ésigne l espace es cycles ans C p et B p celui es bors Z p et for B p héritent e C p et une façon naturelle sa filtration an 0 = Z p,0 Z p,1 Z p,2 = Z p 0 = B p,0 B p,1 B p,2 = B p 0 passe au quotient e façon naturelle et inuit 1 : E 1 p+1,2 E 1 p,1, parce que le bor un élément e E 1 p+1,2 est un cycle ans F,1, qui éfinit un élément e E 1 p,1 My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 5 / 9

12 Cas Simple Complexe filtré à 2 étages My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 5 / 9

13 E 1 p+1,2 E 1 p,2 E 1 p 1, E 1 p+1,1 E 1 p,1 E 1 p 1, My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 6 / 9

14 Convergence E 2 = H (E 1, 1 ) = H (C, ) pour un complexe filtré à 2 étages My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 6 / 9

15 Convergence Cas général obtient : on ne peut rien préire, mais e façon récursive on r : E r p,q+r E r p 1,q My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 6 / 9

16 r=2 E 2 p,q+2 E 2 p,q+1 E 2 p,q E 2 p 1,q+2 E 2 p,q+1 E 2 p,q r qlq E r p,q+r E r p,q r r r E r p 1,q+r E r p 1,q My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 7 / 9

17 Convergence Théorème Soit C un complexe filtré, alors elle existe une suite spectrale canonique E r p,q qui ébute en page 0, E 0 p,q = F p C p+q F p+1 C p+q On écrit alors E n = H n (C) E r p,q = H p+q (C) My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 7 / 9

18 Histoire Fonateur : Jean Leray My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 8 / 9

19 Histoire Jean Leray était abor un analyste et il consiérerait la topologie et plus particulièrement la topologie algébrique comme un outil pour émontrer es théorèmes analyse Mais penant la Secone Guerre moniale, craignant que les Allemans puissent le réquisitionner pour ses compétences en ynamique es fluies, il irigeait son intérêt vers la topologie algébrique My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 8 / 9

20 Histoire Penant sa captivité en Autriche comme officier e l armée française Leray a éveloppée trois notions qui ont onné lieu à ce que R Bott appelle "the french revolution" : 1 la notion e faisceau sur un espace topologique 2 la cohomologie es faisceaux 3 la méthoe es suites spectrales My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 8 / 9

21 Histoire C est J-L Koszul qui a égagé en 47 e la construction e Leray le principe e la suite spectrale associée a un complexe filtre Ceci a permis appliquer cette méthoe au elà u care e la théorie es faisceaux JP Serre a construit ans sa thèse (1951) une filtration sur les complexes es chaînes et cochaînes singulières qui onnait alors pour es fibrations très générales es suites spectrales en homologie et en cohomologie singulière Ceci a été un pas écisif pour la théorie homotopie My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 8 / 9

22 Histoire Leray (27 Mai 1946) une structure particulière e l anneau homologie une représentation" Koszul (21 Juillet 1947) suite homologies ( un anneau à érivation supérieure)" Cartan (5 Janvier 1948) suite e Leray-Koszul" Leray (1949) anneau spectral" Borel an Serre (26 Juin 1950) suite e Leray-Koszul" Serre (2 Octobre 1950) anneau spectral" Serre (18 Décembre 1950) suite spectrale" My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 8 / 9

23 Histoire Koszul Comme moi, Cartan ne voyait pas bien quel spectre on voulait évoquer et on a mis u temps à s y habituer En 49 je l évitais encore" My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 8 / 9

24 References T Y Chow, You Coul Have Invente Spectral Sequences, Notices of the AMS, Jan 2006, A Hatcher, Spectral Sequences in Algebraic Topology,http ://wwwmathcornelleu/ hatcher/ssat/ssatpagehtml J McCleary, A User s Guie to Spectral Sequences, Cambrige Stuies in Avance Mathematics, 58 (2001, 2n e), Cambrige University Press, oi :102277/ , ISBN , MR J McCleary, A history of spectral sequences : Origins to 1953, in History of Topology, eite by Ioan M James, North Hollan, 1999, B Mitchell, Spectral sequences for the layman, Amer Math Monthly 76 (1969), My Ismail Mamouni (CPGE-CPR Rabat) RHT-Seminar Spectral Sequences II 9 / 9

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