Définir précisément (tout énoncé inexact ou incomplet sera compté comme faux) ce qu est une homothétie (dans un plan euclidien).

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1 L Géométrie en petite dimension orrigé du contrôle continu 2 Exercice 1 Énoncer précisément (tout énoncé inexact ou incomplet sera compté comme faux) les trois cas d égalité des triangles. Toutes les hypothèses des énoncés devront être écrites. Il n est pas demandé de les démontrer. Voir le cours. Exercice 2 Définir précisément (tout énoncé inexact ou incomplet sera compté comme faux) ce qu est une homothétie (dans un plan euclidien). Voir le cours. Exercice 3 Soit E un plan euclidien orienté. Soit un triangle équilatéral tel que Mes(, ) = π/3. Soit M un point de son cercle circonscrit tel que M est sur l arc entre et ne contenant pas. Le but de l exercice est de montrer que M = M + M. On considère le point N de (M) tel que N est sur la demi-droite issue de M ne contenant pas, et tel que MN = M. Montrer que Mes MN = π 3. On pourra admettre que l angle M est obtus. Notons le cercle circonscrit au triangle et O son centre. Les points N, M et étant alignés, on a Mes MN = π Mes M. De plus par le théorème de l angle inscrit, les angles de droites (M), (M) et (), () ont même mesure π/3 modulo π. omme l angle géométrique M a donc pour mesure π/3 soit π/3 π = 2π/3. omme il est obtus, sa mesure est 2π/3 et celle de son supplémentaire MN est donc π/3. En déduire la nature du triangle MN. Le triangle MN a un angle de mesure π/3 et les deux côtés qui le composent de même longueur. Par la formule d l-kashi, est donc un triangle équilatéral. N 2 = MN 2 + M 2 2MN M cos π/3 = MN 2. 1/5

2 Question 3 On admettra que Mes( MN, M ) = +π/3. En considérant une isométrie bien choisie, montrer que M = M + M. Soit r la rotation de centre et d angle π 3. omme = et Mes(, ) = π/3, on a r() =. De même, comme M = N et Mes( M, N) = +π/3 on a r(m) = N. Puisque r est une isométrie, on conclut donc que M = N. De plus, N = NM + M = M + M. Donc finalement : M = M + M. + O M N Exercice 4 Soit (O, I, J) un repère orthonormé direct du plan euclidien E. Soit d la droite passant par le point (1, 2) et de vecteur directeur J. d d J M s d (M) (s d s d )(M) O I 2/5

3 Déterminer la nature (Est-ce une isométrie? Est-elle directe? Quelle est sa place dans la liste des isométries du plan?) et les éléments caractéristiques (angles, axe, centre, ou vecteur...) de t 2 I s d, composée de la symétrie axiale s d d axe d suivie de la translation t 2 I de vecteur 2 I. On décompose la translation t 2 I comme composée de la symétrie d axe d suivie de la symétrie d axe d, où d est l image de la droite d par la translation de vecteur I, c est à dire la droite passant par le point (2, 2) et de vecteur directeur J e choix assure la simplification suivante t 2 I = s d s d. t 2 I s d = s d s d s d = s d. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de t 2 I+3 J s d, composée de la symétrie axiale s d d axe d suivie de la translation t 2 I+3 J de vecteur 2 I + 3J. On décompose t 2 I+3 J = t 3J t 2I. lors t 2 I+3 J s d = t 3 J t 2I s d = t 3 J s d par la question précédente. On trouve donc que la composée de la symétrie axiale s d suivie de la translation t 2 symétrie glissée d axe d et de vecteur 3J. Exercice 5 Soit un triangle non plat dans le plan P. I+3J est la Montrer que les médiatrices des côtés du triangle sont concourantes. (On montrera en particulier qu elles ne sont pas parallèles.) On note δ la médiatrice du segment [], δ celle de [] et δ celle de []. δ δ δ O 3/5

4 Si δ / δ, comme δ (), on a δ (), or δ (), donc () // (), or le point est commun à () et (), donc les droites () et () seraient confondues, donc, et seraient alignés, donc le triangle serait plat. Par contraposition, comme le triangle n est pas plat, les droites δ et δ sont sécantes. De même, on montre que les droites δ et δ sont sécantes et que les droites δ et δ sont sécantes. Soit O le point d intersection des droites δ et δ. omme δ est la médiatrice du segment [], on a O = O. omme δ est la médiatrice du segment [], on a aussi O = O. On a donc O = O, donc O appartient aussi à la médiatrice δ du segment []. Donc les médiatrices δ, δ et δ sont concourantes (en O). On note Δ la droite parallèle à () passant par, Δ la parallèle à () passant par, et Δ la parallèle à () passant par. Montrer que les droites Δ et Δ sont sécantes. Si Δ / Δ, comme Δ / () et Δ / (), on aurait () // () (par transitivité du parallélisme), donc les points, et seraient alignés, donc le triangle serait plat. Par contraposition, comme le triangle n est pas plat, les droites Δ et Δ sont sécantes. Δ D D Δ D Δ Question 3 On note le point d intersection des droites Δ et Δ, le point d intersection de Δ et Δ, celui de Δ et Δ. Montrer que le quadrilatère est un parallélogramme. On a Δ / () et Δ / (), c est-à-dire ( ) / () et ( ) // (), donc les côtés opposés du quadrilatère sont parallèles, donc c est un parallélogramme. Question 4 Montrer que + = 0. omme le quadrilatère est un parallélogramme, on a =. omme Δ / () et Δ / (), on montre comme à la question précédente que le quadrilatère est un parallélogramme. On a donc =, donc + = + = 0. Le point est donc le milieu du segment [ ]. 4/5

5 Question 5 On note D la hauteur issue de dans le triangle. Montrer que D est la médiatrice du segment [ ]. omme Δ / () et ( ) = Δ, on a () // ( ), donc la droite D est perpendiculaire à ( ), et elle passe par. Or on a montré que est le milieu du segment [ ], donc D est la médiatrice de [ ]. Question 6 Montrer que les hauteurs du triangle sont concourantes. D après la question précédente, la hauteur D est aussi la médiatrice du segment [ ]. On montre de même que D est la médiatrice de [ ] et que D est la médiatrice de [ ]. omme les médiatrices du triangle du triangle sont concourantes, on en déduit que les hauteurs D, D et D du triangle sont concourantes. Question 7 On note σ la symétrie centrale par rapport au point, σ celle par rapport au point, et σ celle par rapport au point. On considère l application σ σ σ. Est-ce une isométrie? Est-elle directe? Quelle est sa place dans la liste des isométries du plan? Préciser si possible des éléments caractéristiques (angles, axe, centre, ou vecteur...) ombien a-t-elle de points fixes? (Rappel : toutes les réponses doivent être démontrées.) omme σ σ σ est la composée de trois rotations, c est une rotation ou une translation. hacune des rotations σ, σ et σ est une rotation d angle π, et π + π + π 3π π 0 (mod 2π), donc la composée est une rotation d angle π, c est-à-dire une symétrie centrale. En particulier, c est une isométrie directe et elle a un unique point fixe (son centre). D après la question précédente, le point est le milieu du segment [ ]. On montre de même que est le milieu de [ ] et est le milieu de [ ]. On a donc σ ( ) = σ ( ) = σ ( ) =, et donc (σ σ σ )( ) =. L unique point fixe (et le centre) de σ σ σ est donc. 5/5