Cours Les angles orientés

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1 1 Notion d angle orienté ours Les angles orientés Première S 6 novembre 2007 Le plan est dit orienté lorsque tous les cercles sont orientés dans le sens trigonométrique ( sens inverse des aiguilles d une montre Le plan est supposé orienté. La donnée de deux vecteurs et non nuls permet de définir l angle orienté de vers noté (, 2 Mesure des angles orientés de norme 1 On considère un repère orthonormé ( O;; On considère deux vecteurs et de norme 1. Soit ( le cercle trigonométrique de centre 0 Soient M et N les points du plan tels que : = OM et = ON On note α M et α N les abscisses curvilignes des points M et N. La quantité α N α M est apellée mesure en radian de l angle orienté (, On admet que α N α M est indépendant du repère orthonormé choisi. N (α N M (α M 1. Déterminer plusieurs mesures de l angle 2. Déterminer plusieurs mesures de l angle ( O, O ( O, O 1

2 O ( L une des mesures en radian de l angle orienté OM, ON est donnée par la longeur de l arc de cercle MN affecté d un signe + si l on parcourt le cercle dans le sens positif et d un signe dans le cas contraire N M 3 Mesure de l angle orienté de deux vecteurs non nuls de normes quelconques On considère un repère orthonormé ( O;; On considère deux vecteurs non nuls et. On note M et N les points de ( tels que OM soit colinéaire à de même sens que et ON soit colinéaire à de même sens que. ( Les mesures en radian de l angle orienté (, sont égales aux mesures en radian de l angle orienté OM, ON N M 2

3 Mesure principale d un angle orienté de vecteurs Propriété un angle orienté de vecteurs admet une infinité de mesures en radian. Si α en est une, les autres sont de la forme α + k 2 où k est un nombre entier relatif ( k Z. il existe une unique mesure dans l intervalle ], ]. ette mesure est appelée mesure principale. Un angle orienté n admet pas une unique mesure. Une écriture du type (, = 5 pose donc un probléme. On doit plutôt écrire : (, = 5 à un facteur entier de 2 près ou (, = 5 ou (, 5 modulo (2 5 Lien avec la notion d angles géométriques La donnée de trois points distincts, et permet de définir : L angle géométrique ( L angle orienté OM, ON Propriété La mesure ( en radian de l angle géométrique est égale à la valeur absolue de la mesure principale de l angle orienté,. insi la mesure en radian d un angle géométrique est unique, positive, dans l intervalle [0, ] La mesure en radian d un angle géométrique peut être obtenue à partir de la mesure en degré par proportionnalité : Degré Radian 0 On considère un triangle rectangle isocèle tel que 1. Quelle est la figure qui convient? (,. (On dit qu il est direct 2. Donner la mesure en radian de l angle géométrique 3. En déduire trois mesures pour chacun des angles orientés : ( (, et, 3

4 6 Propriété algébrique des angles orientés a onséquences directes de la définition Propriétés On a : (, (, u (, (, (, (, D Déterminer ( une mesure en radian des angles : ( (, ; D, D et D, b ngles et colinéarité Propriétés Deux vecteurs non nuls et sont colinéaires de même sens si et seulement si : (, 0 Deux vecteurs non nuls et sont colinéaires de sens contraire si et seulement si : (,

5 c Relation de hasles Propriété admise Pour tout vecteurs non nuls, et w on a : (, + (, w (, w D 3 Déterminer ( une mesure en radian des angles : ( (, ; D, D et D, F Exercice Dans les figures ci-dessous ( est un triangle isocéle direct de sommet. Exprimer une mesure de l angle, x x y y 7 osinus et sinus d un angle orienté On appelle cosinus (respectivement sinus d un angle orienté (, le cosinus ( respectivement le sinus de l une quelconque de ces mesures. La périodicité de période 2 des fonction sinus et cosinus montrent que les sinus et cosinus des angles orientés sont indépendants de la mesure choisie. 5