Introduction 1. I Géométrie plane 11

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1 Table des matières Introduction 1 I Géométrie plane 11 1 Géométrie pure Parallélisme Axiomes d incidence Positions relatives de deux droites Propriétés du parallélisme Repérage sur une droite Abscisse Mesure algébrique Distance sur une droite Distance dans le plan Projections parallèles Axiome de projection Applications au triangle (Thalès faible) Applications au parallélogramme Médianes d un triangle Orthogonalité Axiomes Orthogonalité et parallélisme Application au rectangle Hauteurs d un triangle Réflexions Définition Propriétés

2 4 TABLE DES MATIÈRES Distance d un point à une droite Images des figures usuelles par réflexion Médiatrice Application au triangle isocèle Utilisations de la médiatrice Symétries centrales Les parallélogrammes Théorème de Thalès Théorème direct Réciproque Applications au triangle Théorème de Pythagore Rapport de projection orthogonale Théorème de Pythagore (sens direct) Réciproque Autres relations métriques Géométrie vectorielle Vecteurs - Translations Vecteurs Propriétés Translations Addition des vecteurs Produit d un vecteur par un réel Colinéarité Norme d un vecteur Milieu Exercice Géométrie analytique Repérage dans le plan Coordonnées d un point Coordonnées d un vecteur Equations d une droite Equations paramétriques Equations cartésiennes Equation réduite Calculs de distances - Orthogonalité

3 TABLE DES MATIÈRES Exercice Trigonométrie Angles géométriques, mesures Angle de deux 1/2 droites Bissectrice d un secteur angulaire Applications Mesure en radian d un angle géométrique Trigonométrie Cosinus Sinus Tangente Cotangente Relations métriques et trigonométriques Exercice Homothéties - Translations Définitions Propriétés Groupe des homothéties - Translations Exemples d applications Concourance des hauteurs, droite d Euler Exercice Isométries - Angles orientés Composées de réflexions Réduction des isométries Rotations Composée de 3 réflexions d axes non concourants Déplacements Angles orientés Définition Angles et isométries Groupe des angles orientés Mesures des angles orientés Angles orientés de vecteurs, de droites Applications Caractère affine des isométries Expressions analytiques des isométries

4 6 TABLE DES MATIÈRES 6.7 Exercice Similitudes planes Définition Rapport d une similitude Caractère affine des similitudes Réduction des similitudes Centre d une similitude Décomposition canonique d une similitude Détermination d une similitude Par deux points et leurs images Comment trouver le centre d une similitude directe Ecriture complexe d une similitude Exercices d applications Point de Miquel Théorème de Napoléon Homographies Définition Groupe circulaire Propriétés géométriques Projection stéréographique Cercles généralisés Action sur les cercles généralisés Conservation des angles Exemple Coniques Définition monofocale Equations réduites Parabole Exercice Ellipse Exercice (affinité) Hyperbole Exercices Définition bifocale des coniques à centre Ellipses Hyperboles

5 TABLE DES MATIÈRES Tangentes aux coniques Paraboles Ellipses Hyperboles Exercice (hyperbole équilatère) II Géométrie dans l espace Géométrie affine euclidienne Espaces affines Définition Premières propriétés Sous-espaces affines Repères affines Exercice Relations avec les barycentres Applications affines Définition Exemples Groupe affine Image d un sous-espace affine Applications affines et barycentres Expression analytique Espaces affines euclidiens Définition Distance euclidienne Orthogonalité Liens entre distance et orthogonalité Isométries ponctuelles Définition Direction d une isométrie Exemple fondamental : les réflexions Cas dim(e ) = Cas dim(e ) = Cas dim(e ) = Exercices

6 8 TABLE DES MATIÈRES 11 Surfaces usuelles Rappels sur les courbes paramétrées Les sphères Définition Equations d une sphère Courbes tracées sur les sphères Plans tangents à la sphère Les cylindres Définition Equations d un cylindre Courbes tracées sur les cylindres Plans tangents au cylindre Les cônes Définition Equations d un cône Courbes tracées sur les cônes Plans tangents au cône Surfaces de révolution Equation cartésienne, vecteur normal Surfaces compactes Solides de Platon A Preuves et exercices 169 A.1 Géométrie plane A.1.1 Chapitre A.1.2 Chapitre A.1.3 Chapitre A.1.4 Chapitre A.1.5 Chapitre A.1.6 Chapitre A.1.7 Chapitre A.1.8 Chapitre A.1.9 Chapitre A.2 Géométrie dans l espace A.2.1 Chapitre A.2.2 Annexe D

7 TABLE DES MATIÈRES 9 B Rappels sur les barycentres 195 B.1 Systèmes pondérés B.2 Fonction de Leibniz - Barycentre B.3 Propriétés du barycentre B.4 Formule de la moyenne B.5 Relations avec la géométrie affine C Rappels d algèbre linéaire 199 C.1 Espaces vectoriels réels C.1.1 Définition C.1.2 Sous-espaces vectoriels C.1.3 Intersection C.1.4 Somme C.2 Partie libre, génératrice, base C.2.1 Combinaisons linéaires C.2.2 Partie génératrice C.2.3 Partie libre C.2.4 Base C.2.5 Coordonnées C.3 Dimension C.3.1 Définition C.3.2 Dimension d un s.e.v C.3.3 S.e.v supplémentaires C.3.4 Formule de la dimension C.4 Applications linéaires C.4.1 Définitions C.4.2 Exemples C.4.3 Matrice d une application linéaire C.4.4 Image et noyau C.4.5 Opérations sur les applications linéaires C.4.6 Groupe linéaire C.4.7 Inversibilité en dimension finie D Rappels de géométrie euclidienne 209 D.1 Produit scalaire D.2 Norme euclidienne D.3 Ecriture matricielle D.4 Orthogonalité

8 10 TABLE DES MATIÈRES D.4.1 Définition D.4.2 Théorème de Pythagore D.4.3 S.e.v orthogonaux D.4.4 Procédé d orthonormalisation de Schmidt D.4.5 Projection orthogonale D.5 Endomorphismes orthogonaux D.5.1 Définition D.5.2 Définitions équivalentes D.5.3 Matrices orthogonales D.5.4 Cas dim(e) = D.5.5 Cas dim(e) = D.5.6 Exercices E Rappels sur le produit vectoriel 225 E.1 Théorème de Riesz E.2 Produit vectoriel

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