Chapitre 9 Produit scalaire. Table des matières. Chapitre 9 Produit scalaire TABLE DES MATIÈRES page -1

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1 hapitre 9 Produit scalaire TLE DES MTIÈRES page -1 hapitre 9 Produit scalaire Table des matières I Exercices I I I I I I I I I I I I I I I I-3 II ours II-1 1 Norme d un vecteur II re méthode de calcul du produit scalaire II-1 3 Produit scalaire et orthogonalité II e méthode de calcul du produit scalaire II-1 5 Produit scalaire et opérations II e méthode de calcul du produit scalaire II e méthode de calcul du produit scalaire II-2

2 hapitre 9 Produit scalaire I EXERIES page I-1 I Exercices 1 1 re méthode de calcul du produit scalaire Pour trois points,,, le produit scalaire des vecteurs et s écrit. et il est donné par l égalité :. = 1 2 ( ) Dans chacun des cas suivants, tracer la figure et calculer. : 2 1. = 5 cm = 7 cm = 6 cm 2. = 4 cm = 6 cm = 9 cm 3. = 5 cm = 12 cm = 13 cm 4. = 0 cm = 5 cm 5. = 8 cm = 0 cm 6. = = 6 cm = 0 cm 7. = 3 cm = 5 cm = 8 cm 8. = 2 cm = 6 cm = 4 cm Pour les trois points,,, dans quelles situations obtient-on. = 0? Justifier. 3 La norme d un vecteur u, notée u est la longueur du vecteur u. utrement dit pour un vecteur, on a =, c est à dire que la norme du vecteur est égale à la distance. On appelle u le vecteur et v le vecteur. 1. En utilisant la relation de hasles, calculer en fonction de u et v. 2. alculer u. v en fonction de u, v, u v. 4 Dans un repère orthonormé du plan, d origine O, un vecteur u a pour coordonnées (x ; y). est le point tel que O = u. alculer u, la norme du vecteur u, en fonction de x et y. y u O x 2 e méthode de calcul du produit scalaire 5 Dans un repère orthonormé, deux vecteurs u et v ont pour coordonnées (x ; y) et (x ; y ). 1. Écrire u 2, v 2, u v 2 en fonction de x, y, x, y. 2. alculer u. v en fonction de x, y, x, y.

3 hapitre 9 Produit scalaire I EXERIES page I-2 6 Dans un repère orthonormé, trois vecteurs u, v, w ont pour coordonnées (x ; y), (x ; y ), (x ; y ) alculer (λ u). v et λ( u. v) en fonction de x, y, x, y, x y et comparer les résultats. 2. alculer ( u + v). w et u. w + v. w en fonction de x, y, x, y, x y et comparer les résultats. 3 e et 4 e méthode de calcul du produit scalaire,, sont trois points du plan. La perpendiculaire à la droite () passant par coupe la droite () en. On dit que est le projeté orthogonal de sur la droite (). Voir figure 1 ou 2 ci-dessous. 1. Démontrer que. =. (indication : décomposer en une somme de vecteurs). 2. Dans les deux figures ci-dessous, on donne les distances suivantes : = 9 et = 4. alculer. pour chacune des deux figures. Fig. 1 Fig. 2 8 Dans les deux cas suivants, tracer la figure puis calculer.. 1.,, sont trois points tels que = 4 cm, = 5 cm et (, ) = π 4. 2.,, sont trois points tels que = 6 cm, = 7 cm et (, ) = 2π 3. Exercices d application et problèmes Dans un repère orthonormé, placer les points ( 3 ; 2) (4 ; 1) ( 2 ; 3) 2. alculer.. 3. Les droites () et () sont-elles perpendiculaires? 10 Dans chacun des cas suivants, calculer.. On prendra comme unité un carreau du quadrillage.

4 hapitre 9 Produit scalaire I EXERIES page I Tracer un triangle tel que = 8 cm = 7 cm = 5 cm. 2. alculer en degrés l angle ( ),. rrondir au dixième de degré. 1. Tracer un triangle isocèle de sommet principal tel que = 6 cm et ( ) 3π, = alculer.. 3. alculer. rrondir au dixième près. 1. Dans un repère orthonormé placer les points ( 3 ; 2), (4 ; 5), (3 ; 1), puis construire le point projeté orthogonal de sur la droite (). 2. alculer la distance (valeur exacte). 1. Dans un repère orthonormé placer les points ( 3 ; 1), ( 2 ; 2), (3 ; 3), D (1 ; 1), 2. Que peut-on dire de droites () et ()? Justifier. 3. Que peut-on dire de droites () et (D)? Justifier. L objectif de cet exercice est d utiliser le produit scalaire, tout en revoyant les vecteurs colinéaires, les équations de droites, les intersections de droites, ainsi que les hauteurs d un triangle. 1. Dans un repère orthonormé (O, I, J) placer les points ( 3 ; 1), (7 ; 2). 2. Tracer la droite (d 1 ) parallèle à l axe (OJ) passant par et donner son équation sans justifier. 3. Une équation de la droite (d 2 ) est x + 2y + 3 = 0. (a) Le point appartient-il à (d 2 )? Justifier. (b) Tracer la droite (d 2 ). 4. Les droites (d 1 ) et (d 2 ) se coupent en. alculer les coordonnées du point. 5. Tracer la droite (d 3 ) perpendiculaire à () qui passe par (c est à dire la hauteur issue de dans le triangle ). (a) alculer une équation cartésienne de la droite (d 3 ). Indications : déterminer un vecteur directeur de la droite (d 2 ) ; M (x ; y) est un point quelconque de la droite (d 3 ), on peut alors écrire une équation sachant que les vecteurs M et u sont orthogonaux. (b) Les droites (d 2 ) et (d 3 ) se coupent en K. alculer les coordonnées du point K (valeurs exactes). 6. Tracer la droite (d 4 ), hauteur issue de dans le triangle, et donner son équation sans justifier. 7. Dans le triangle les hauteurs issues de et de se coupent en. alculer les coordonnées du point. 8. Expliquer sans calcul pourquoi les droites () et () sont perpendiculaires. 9. omment nomme-t-on le point pour le triangle?

5 hapitre 9 Produit scalaire II OURS page II-1 II ours 1 Norme d un vecteur Définition La norme d un vecteur u, notée u est la longueur du vecteur u. Dans un repère orthonormé, la norme d un vecteur u de coordonnées (x ; y) est donnée par : u = x 2 + y 2 Pour un vecteur u et un nombre réel λ, λ u = λ u 2 1 re méthode de calcul du produit scalaire Définition Pour trois points,,, le produit scalaire des vecteurs et s écrit. et il est donné par l égalité :. = 1 2 ( ) onséquences Pour deux vecteurs u et v, u. v = 1 2 ( u 2 + v 2 u v 2 ) Pour deux vecteurs u et v, u. u = u 2 u. v = v. u Pour deux vecteurs u et v colinéaires, si u et v sont de même sens, u. v = u v si u et v sont de sens contraire, u. v = u v 3 Produit scalaire et orthogonalité Pour trois points,,, Définition. = 0 si et seulement si () () ou = 0 ou = 0 Dire que deux vecteurs u et v sont orthogonaux signifie que u. v = e méthode de calcul du produit scalaire Si deux vecteurs u et v ont pour coordonnées (x ; y) et (x ; y ) dans un repère orthonormé, alors u. v = xx + yy 5 Produit scalaire et opérations Pour trois vecteurs u et v et un nombre réel λ, ( u + v). w = u. w + v. w (λ u). v = λ( u. v)

6 hapitre 9 Produit scalaire II OURS page II e méthode de calcul du produit scalaire Définition Projeté orthogonal Pour un point et une droite (d) du plan, le projeté orthogonal du point sur la droite (d) est le point tel que la perpendiculaire à (d) passant par coupe (d) en.,, sont trois points du plan et est le projeté orthogonal du point sur la droite (). alors. =. onséquence. = si les points,, sont alignés dans cet ordre (fig. 1) ;. = si les points,, sont alignés dans cet ordre (fig. 2). Fig. 1 Fig e méthode de calcul du produit scalaire Pour deux vecteurs u et v distincts du vecteur nul, u. v = u v cos( u ; v)