Cours de Première S /Produit scalaire. E. Dostal

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1 Cours de Première S /Produit scalaire E. Dostal mars 016

2 Table des matières 11 Produit scalaire 11.1 Définition Expression analytique Propriétés Autres expressions du produit scalaire Première application

3 Chapitre 11 Produit scalaire 11.1 Définition Si les vecteurs peuvent être additionnés entre eux ou multipliés par un réel, il n a pas encore été défini ce que pouvait être le produit de deux vecteurs. Celui-ci n est pas un vecteur mais un nombre. De par la nature de son résultat, on le nomme produit scalaire. Le produit scalaire est à l origine une notion physique : le produit linéaire. Cet outil fut élaboré par le physicien prussien Hermann Grassman ( ) (lors de l étude des marées) et le physicien américain Josiah Gibbs ( ). Mais c est le mathématicien irlandais William Hamilton ( ) qui en donna une première définition mathématique en 1853.(scalaire vient du latin scala = mesure) Définition 1 Soient u et v deux vecteurs du plan, le produit scalaire de u et de v est le nombre défini par : 1 v = ( u + v u v ) Remarque : Si les distances sont exprimées en centimètres, alors les carrés de celles-ci sont des centimètres carrés. Il en va alors de même pour leur produit scalaire. Cela dit, le plus souvent, il est exprimé sans unité. Remarque 1 Si l un des deux vecteurs u ou v est nul, alors le produit scalaire est nul La réciproque est fausse : v = 0 n implique pas nécessairement u = 0 ou v = Expression analytique On se place dans un repère orthonormé du plan (O; i ; j ) Rappel : La norme d un vecteur u(x;y) vaut : u = x +y Exemple 1 Soient u(1;1) et v (3;) deux vecteurs du plan, calculer leur produit scalaire u = 1 +1 = v = 3 + = 13 u + ( ) ( ) v = 1+ 3 u + v = 4 +3 = 5 v = 1 (5 13) = 5 Théorème 1 Soient u ( ) x et v y v le réel défini par : v = xx +yy ( ) x deux vecteurs du plan, le produit scalaire de u et de y

4 E. Dostal CHAPITRE 11. PRODUIT SCALAIRE Exemple Soient u(1;1) et v (3;) deux vecteurs du plan, calculer leur produit scalaire v = = 5 Exemple 3 Soient ı (1;0) et j (0;1), on a : i. j = = 0 et pourtant, ni i ni j ne sont égaux à Propriétés Proposition u = u, on notera alors u = u Proposition 3 u, v et w sont trois vecteurs et λ est un réel Symétrie v = v. u Bi-linéarité : ( u + v ). w = w + v. w et (λ u). v = λ v ( v + w) = v + w et ( u).(λ v ) = λ v Exemple 4 Soient A, B et C trois points du plan, simplifier AB. BD ACBD AB. BD AC. BD = AB. BD + CA. BD = ( AB + CA). BD = CB. BD Proposition 4 Identités remarquables u, v deux vecteurs ( u + v ) = u + v + v ( u v ) = u v + v ( u + v )( u v ) = u v Remarque : la première identité remarquable nous donne alors une autre défition du produit scalaire 1 v = ( u + v u v ) Définition Soient deux vecteurs non nuls et A,B,C et D quatre points tels que u = AB et v = CD. Les vecteurs u et v sont orthogonaux, noté u v lorsque les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires. Proposition 5 Orthogonalité Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux, noté u v si et seulement si v = 0 Exemple 5 On considère les trois vecteurs u(3;), v ( 1; 3 ) et w(0, 1). Ces vecteurs sont-ils orthogonaux? v = 3 ( 1)+ 3 = 0 donc, u et v sont orthogonaux w = 3 0+ ( 1) = donc, u et w ne sont pas orthogonaux 3

5 E. Dostal CHAPITRE 11. PRODUIT SCALAIRE 11.4 Autres expressions du produit scalaire Théorème 6 u et v sont deux vecteurs non nuls. v = u v cos( u, v ) Remarque Cas de deux vecteurs colinéaires : si u et v sont deux vecteurs colinéaires, on a : v = u v si u et v sont deux vecteurs de même sens. v = u v si u et v sont deux vecteurs sens opposés. Exemple 6 Soient u(4;0) et v (3;3) deux vecteurs du plan, calculer leur produit scalaire u = 4 v = 3 +3 = 3 ( u, v ) = 45 = π 4 v = u v cos( u, v ) = 4 3 cos( π 4 ) = 1 v = π 4 v u Théorème 7 u et v sont deux vecteurs et u est non nul. v = v où v est le projeté othogonal de v sur la direction donnée par Exemple 7 On reprend l exemple 13 précédent On pose u = OA et v = OB v = OA OH 1 v = 4 3 = 1 H A Remarque : la définition et les trois théorèmes nous donnent différentes méthodes pour calculer un produit scalaire Première application Le produit scalaire a beaucoup d applications que nous verrons en partie dans un chapitre ultérieur. 3 B Théorème 8 Théorème de la médiane ou théorème d Appolonius Dans un triangle ABC où I est le milieu de [BC], on a AB +AC = AI +BI 4

6 E. Dostal CHAPITRE 11. PRODUIT SCALAIRE Exemple 8 Démontrer le deuxième et troisième théorème de la médiane. AB. AC = AI 1 4 BC On note H le projeté orthogonal de A sur (BC). Alors AB AC = BC.IH 5

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