Produit scalaire. 1 Vecteurs Norme Angle orienté de deux vecteurs Projection orthogonale... 4

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1 Table des matières 1 Vecteurs 1.1 Norme Angle orienté de deux vecteurs Projection orthogonale de deux vecteurs 4.1 Définition Propriétés Autres expressions du produit scalaire Calculs avec le produit scalaire Propriétés Carré scalaire Applications du produit scalaire droites perpendiculaires Equation d un cercle Théorème de la médiane Application aux formules de trigonométrie /13

2 1 Vecteurs 1.1 Norme Définition : Norme d un vecteur Soit un vecteur u et deux ponts A et B tels que AB = u, la norme de u notée u est la distance AB. u = AB = AB Dans un repère orthonormé, si on a A(x A ; ety A et B(x B ; y B : AB = (x B x A + (y B y A et AB(xB x A ; y B y A Si on pose u = AB on a alors xu = x B x A et y u = y B y A et donc u = AB = x u + y u Exemple 1 : Vecteurs orthogonaux Dans un repère orthonormé, on donne u (; 4 et v (; 1 Calculer u Calculer v Les vecteurs u et v sont-ils orthogonaux? 1. Angle orienté de deux vecteurs u = OB = ( + (4 = 0 = 5 unités. v = OC = ( + ( 1 = 5 unités. Calcul des coordonnées de u + v { x u + v = x u + x v = + = 4 y u + v = y u + y v = 4 1 = 3 Calcul de u + v u + v = BC = = 5 = 5 unités Utilisation du théorème de Pythagore u + v = = 5 et u + v = 5 donc le triangle OBC est rectangle en O et donc u et v sont orthogonaux. Définition : Angle orienté de deux vecteurs On note C le cercle trigonométrique mini du repère orthonormé direct (O; I; J (voir figure Soient u et v deux vecteurs non nuls. A et B sont tels que OA = u et OB = v A et B sont les points d intersection du cercle C et des demi-droites (OA et (OB. La mesure en radians de l angle orienté ( u, v est la mesure en radians de l angle orienté ( OA, OB /13

3 Exemple : Angles orientés dans un triangle Dans le triangle équilatéral ci-dessous, donner la mesure des angles orientés suivants : ( AB, AC, ( CB, CA, ( AB, CA ( AB, AC = π 3 ( CB, CA = π 3 ( AB, CA = π 3 3/13

4 1.3 Projection orthogonale Définition : Projection orthogonale d un point sur une droite Soit M un point et (d une droite du plan, la projection orthogonale de M sur (d est le point M de (d tel que M (d et (MM (d Définition : Projection orthogonale d un vecteur sur une droite Soit u un vecteur non nul et (d une droite du plan. Si A et B sont deux points tels que u = AB, la projection orthogonale de u sur (d est le vecteur A B avec A et B projetés orthogonaux de A et B sur (d. de deux vecteurs.1 Définition Définition : produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs est noté u. v, est le nombre réel défini par : u. v = u v cos( u, v si u 0 et v 0 u. v = 0 si u = 0 ou v = 0 Remarque La mesure principale de ( u, v ] π ; π La mesure principale de ( u, v ] π; π Cas d un angle aigu : Dans le triangle ACC rectangle en C, on a : v cos( u, v = AC cos(ĉ AC = AC donc u. v = AB AC [ u. v > 0 [ ] π ] ; π u. v < 0 Cas d un angle obtus : Dans le triangle ACC rectangle en C, on a : v cos( u, v = AC cos(ĉ AC = AC donc u. v = AB AC 4/13

5 Exemple 3 Soit ABC un triangle équilatéral de côté 5 unités(dans le sens indirect :voir figure, calculer AB. AC puis AB. CA AB. AC = AB AC cos( AB, AC = 5 5 cos( π π rappel :cos( 3 3 = cos 3 = 1 = 5 AB. CA = AB CA cos( AB, CA = 5 5 cos 3 = 5. Propriétés Pour tous vecteurs u et v non nuls, cos( u, v = cos( v, u (voir chap. trigonométrie Propriétés : produit scalaire Pour tous vecteurs u et v, on a : u. v = v. u (le produit scalaire est commutatif u. v = 0 u = 0 ou v = 0 ou u et v sont orthogonaux. Démonstration : éléments de démonstration cos( u, v = cos( v, u (( v, u = ( u, v et cos(α = cos( α u et v sont orthogonaux ( u, π v = + kπ avec k Z et cos = 0.3 Autres expressions du produit scalaire Propriétés : autres expressions du produit scalaire Pour tous vecteurs u et v : u. v = u + v u v Dans une repère orthonormé, si u (x; y et v (x ; y u. v = xx + yy 5/13

6 Démonstration : application de l activité 1p04 Si A, B et C sont définis par u = AB et v = AC, avec la formule d Al-Kashi, on a BC = AB + AC AB AC cos( BAC (voir figures de la définition d un produit scalaire Il faut distinguer deux cas : cas où H [AB : AB AC cos( BAC = AB + AC BC AB AC cos( BAC = AB + AC BC u. v = u + v v u or v u = u v Démonstration : expression dans un repère orthonormé u = x + y et v = x + y { x u v = x x y u v = y y donc u v = (x x + (y y on a alors : u. u + v u v v = = x + y + x + y (x x + (y y = x + y + x + y (x + x xx + y + y yy = xx + yy = xx + yy Exemple 4 : Application dans un triangle Dans un repère orthonormé, on donne A(; 1, B( ; 4 et C( 1; 1. Calculer AB. AC et en déduire une mesure de l angle BAC au dixième de degré près. { x AB = x B + x A = = 4 y AB = y B + y A = 4 1 = 3 et AC( 3; donc AB( 4; 3 AB. AC = x x AB AC + y y AB AC = ( 5 ( ( 3 = 6 AB. AC = AB AC cos( AB, AC AB = ( = 5 et AC = ( 3 + ( = 13 donc AB. AC = 5 13cos( AB, AC donc cos( AB, AC = /13

7 BAC = cos 1 6 ( , 6o à 0,1 degré près Calculatrice : touche Acs pour cos 1 et shift menu pour régler l unité en degrés. 3 Calculs avec le produit scalaire 3.1 Propriétés Propriétés Soient u, v et w trois vecteurs et k un réel : (k u. v = k( u. v et ( u + v. w = u. w + v. w (distributivité du produit scalaire Les démonstrations de ces propriétés peuvent se faire dans un repère orthonormé avec u (x; y, v (x ; y et w (x ; y (voir livre page Carré scalaire Le carré scalaire d un vecteur u est u = u. u = u (cos( u, u = cos(0 = 1 soient u et v deux vecteurs, calculer alors ( u + v. ( u + v = ( u + v.( u + v = u + u. v + v. u + v = u + u. v + v ( u. v = v. u Propriétés : identités remarquables Pour tous vecteurs u et v : ( u + v = u + u. v + v ( u v = u u. v + v ( u + v.( u v = u v 4 Applications du produit scalaire 4.1 droites perpendiculaires Pour toute cette partie, on se place dans un repère orthonormé (O; i ; j. Propriété : Orthogonalité dans un repère orthonormé Dans un repère orthonormé,deux vecteurs u (x; y et v (x ; y non nuls sont orthogonaux si et seulement si xx + yy = 0 Conséquence : Si la droite (d a pour équation cartésienne ax + by + c = 0, le vecteur u ( b; a est un vecteur directeur de (d Si v (a; b on a alors u. v = ba + ab = 0 donc le vecteur v est un vecteur directeur d une droite (d perpendiculaire à (d et (d admet une équation réduite de la forme bx ay + c = 0 Définition : vecteur normal à une droite Soit (d une droite, v est un vecteur normal à (d si v est orthogonal à tout vecteur directeur de (d. 7/13

8 Propriété : coordonnées d un vecteur normal à une droite Si (d admet pour équation cartésienne ax + by + c = 0, le vecteur v (a; b est un vecteur normal à (d. Exemple 5 : Orthogonalité dans le plan Dans un repère orthonormé, on donne A(; 1, B(6; 5 et C( 1; 4. Montrer (sans calculer de longueurs que ABC est un triangle rectangle en A. Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de A dans ABC. { x AB = x B x A = 6 = 4 y AB = y B y A = 5 1 = 4 De même AC( 3; 3 et BC( 7; 1 donc AB(4; 4 AB. AC = x x AB AC + y y AB AC = 4 ( = 0 donc AB et AC sont orthogonaux et ABC est rectangle en A. La hauteur (d issue de A est perpendiculaire à (BC dont BC( 7; 1 est un vecteur directeur. Le vecteur v ( 1; 7 est une vecteur directeur de (d et (d admet une équation cartésienne de la forme 7x y + c = 0 A (d 7x A + y A + c = c = 0 c = 15 donc une équation cartésienne de (d est 7x + y 15 = 0 (équation réduite : y = 7x + 15 /13

9 4. Equation d un cercle Dans un repère orthonormé, on considère le cercle C de diamètre [AB] (A et B distincts avec A(x A ; y A et B(x B ; y B. Méthode 1 : Avec le produit scalaire Un point M(x : y distinct de A et de B appartient à C si et seulement si (AM (BM ou bien encore Un point M(x : y distinct de A et de B appartient à C si et seulement si AM. BM = 0 AM(x x A ; y y A et BM(x x B ; y y B AM. BM = (x x A (x x B + (y y A (y y B AM. BM = 0 (x x A (x x B + (y y A (y y B = 0 Si M = A, x x A = y y A = 0 et donc (x x A (x x B + (y y A (y y B = 0 De même si M = B. méthode : avec le centre et le rayon Si on note O(x O ; y O le centre du cercle C et r son rayon (r = AB M C OM = r, on a alors : (x x O + (y y O = r Propriétés : équation cartésienne d un cercle Dans un repère orthonormé, le cercle de diamètre [AB] admet pour équation cartésienne (x x A (x x B + (y y A (y y B = 0 Le cercle de centre O(x O ; y O et de rayon r a pour équation cartésienne (x x O + (y y O = r 9/13

10 Exemple 6 :Détermination d une équation d un cercle de diamètre [AB] Dans un repère orthonormé, Déterminer une équation du cercle C de diamètre [AB] avec A(1; 3 et B( 3; 5 Méthode 1 : Avec le produit scalaire Soit M(x; y C AM(x 1; y 3 et BM(x + 3; y 5 AM. BM = 0 (x 1(x (y 3(y 5 = 0 x + x + y y + 1 = 0 x + x + y y + 1 = 0 est une équation du cercle C Méthode : Avec le centre et le rayon Le centre du cercle Ω milieu de [AB] a pour coordonnées x Ω = x A + x B = 1 et y Ω = y A + y B et pour rayon AB = (xb x A + (y B y A 0 = = 5 = 5 donc (x x Ω + (y y Ω = 5 soit (x (y 4 = 5 est une équation du cercle C. Remarque x + x + y y + 1 = 0 (x (y = 0 (x (y 4 = 5 Exemple 7 :Détermination du centre et du rayon d un cercle Dans un repère orthonormé, le cercle C a pour équation cartésienne x 4x + y + y = 0 Déterminer les coordonnées de son centre et de son rayon. Le point C(3; 1 appartient-il à C? Déterminer une équation de la tangente (T en C au cercle C. = 4 1. x 4x + y + y = 0 (x 4 + (y = 0 (x + (y + 1 = 5 (x + (y ( 1 = 5 donc C a pour centre Ω(; 1 et rayon 5.. x C 4x C + y C + y C = = 0 donc C C 3. (T (ΩC et C (T ΩC(1; donc n ( ; 1 vecteur normal à (ΩC est un vecteur directeur de (T. Une équation cartésienne de (T est de la forme x + y + c = 0 C (T x C + y C + c = c = 0 c = 5 donc x + y 5 = 0 est une équation cartésienne de (T. 4.3 Théorème de la médiane Propriété : théorème de la médiane A et B sont deux points distincts et I est le milieu de [AB]. Pour tout point M, MA + MB = MI + 1 AB Démonstration 10/13

11 MA + MB = MA + MB = ( MI + IA + ( MI. IB = MI + MI. IA + IA + MI + MI. IB + IB = MI + IA + MI. IA + MI. IB IB ( AB = MI + IA = IB = MI + AB = MI + AB + MI.( IA+ + MI. 0 Exemple : Calcul de la longueur de la médiane dans un triangle On considère un triangle ABC tel que AB=6cm, AC=5cm et BC=cm. Calculer AI où I est le milieu de [BC] I milieu de [BC] donc (AI est la médiane issue de A dans ABC. On a alors (avec M = A dans le théorème de la médiane : AB + AC = AI + 1 BC = AI = AI AI = 19 = AI (car AI Application aux formules de trigonométrie Propriétés : formules d addition Pour tous réels a et b, on a : 1. cos(a b = cos(acos(b + sin(asin(b. cos(a + b = cos(acos(b sin(asin(b 3. sin(a b = sin(acos(b cos(asin(b 4. sin(a + b = sin(acos(b + cos(asin(b Démonstration : cos(a b = cos(acos(b + sin(asin(b Sur le cercle trigonométrique (voir fig ci-contre, on a u = v = 1 donc : u. v = u v cos( u, v = cos(a b Dans ce repère, on a : u (cos(b; sin(b et v (cos(a ; sin(a donc u. v = cos(acos(b + sin(asin(b = cos(a b car 11/13

12 Remarque Pour les propriétés suivantes, il suffit d appliquer la première formule en remplaçant b par b puis ensuite a par π + a. En effet cos( b = cos(b et sin( b = sin(b (formule puis cos + a = sin(a et sin(π + a = cos(a (formule 3 Exemple 9 : valeur exacte de cos 1 Vérifier que π 3 π 4 = π 1 et en déduire la valeur de cos 1 π 3 π 4 = 4π 1 3π 1 = π 1 donc cos = cos 1 3 π ( 4 π = cos cos 3 4 = = = 4 + sin 3 sin 4 En prenant b = a dans la formules d addition et 4, on obtient : cos(a + a = cos(acos(a sin(asin(a = cos (a sin (a et sin(a + a = sin(acos(a + cos(asin(a = sin(acos(a Propriétés : formules de duplication Pour tout réels a, on a : 1. cos(a = cos (a sin (a. cos(a = cos (a 1 = 1 sin (a (rappel :cos (a + sin (a = 1 soit sin (a = 1 cos (a 3. sin(a = sin(acos(a Exemple 10 : valeur exacte de cos Déterminer la valeur de cos π = π 4 donc ( cos = cos π = cos 1 4 = cos = cos + = cos 4 + = cos 1/13

13 car π ] π ; π [ donc cos > 0 13/13

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