Produit scalaire dans l'espace

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1 Prodit scalaire das l'espace I) Norme d' ecter das l'espace : défiitio : Soit ecter de l'espace. Soiet dex poits et tels qe =. La orme de otée est la distace. = propriété : L'espace est mi d' repère orthoormé (O ; i, j, k) Soit (x ; y ; z). O a : = x + y + z z démostratio Soit, le poit tel qe O =. Les coordoées de sot doc (x ; y ; z). Soit ' le projeté orthogoal de sr le pla de base ( i, j). ' a por coordoées (x ; y ; 0). Le repère est orthoormé doc O = O' + ', ce qi reiet à dire qe : = O = O' + ' = x + y + z d' où = x + y + z x k O i j ' y II) Prodit scalaire das l'espace : Dex ecters de l'espace et sot forcémet coplaaires. E effet, cosidéros les 3 poits,, tels qe = et =. O sait q'il existe pla das leqel les poits,, sot cotes. Le prodit scalaire das l'espace de et sera défii de la même maière qe le prodit scalaire des ecters et das le pla. a) défiitios : défiitio : Soiet et dex ecters de l'espace. Le prodit scalaire de et oté. est le ombre réel défii par :. = 0 si des ecters o est l. = cos(, ) si 0 et 0 Soit la mesre de l'agle géométriqe associé à (, ). = cos l'agle géométriqe a le même cosis qe l'agle orieté (, ) aqel il est associé!! Das le cas de dex ecters et o ls, o a doc. = x x cos coséqece :. = =. est oté (carré scalaire de ) 1

2 b) atres expressios d prodit scalaire : aec le projeté orthogoal d' poit propriété : Soiet et dex ecters de l'espace. Soit poit de l'espace. Notos et les poits tels qe = et =. Soit H, le projeté orthogoal de sr la droite () O a : H. =. = H. aec les ormes des ecters propriété : Soiet et dex ecters de l'espace. O a :. = 1( ) + aec les coordoées des ecters (expressio aalytiqe d prodit scalaire) propriété : L'espace est mi d' repère orthoormé l'espace (O ; i, j, k) Soiet (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z') dex ecters de l'espace. O a alors :. = x x' + yy' + zz' démostratio D'après la propriété précédete,. = 1( ) +. Or, = x + y + z ; = x' + y' + z' et + = (x + x') + (y + y') + (z + z') Doc,. = 1( ) + première propriété d chapitre! = 1 (x + xx' + x' + y + yy' + y' + z + zz' + z' x y z x' y' z' ) = 1 (xx' + yy' + zz') = xx' + yy' + zz' Ex : Soiet (3 ; ; 4) et ( 5 ; 6 ; 4). = 3 x ( 5) + ( ) x x 4 = = 11 Soit cbe DEFGH aec = 1 (o a mi l'espace d'e ité de loger). O pet calcler le prodit scalaire. de plsiers faços : F - e tilisat projeté orthogoal :. =. = = 1 le projeté orthogoal de sr () est - e tilisat le cosis : = x x cos 4 = 1 x 1 x = = 1 E 4 G H D - e tilisat les coordoées das le repère orthoormé ( ;,, D ) E o a (1;0;0) ; (1;1;0) doc,. = 1 x x x 0 = 1

3 c) règles de calcl : propriétés : Soiet, et w trois ecters de l'espace. Soit ombre réel k 1. =. (k). = k(. ) 3.( + w) =. +.w démostratios 1 et et sot coplaaires, les dex propriétés décolet des propriétés d prodit scalaire établies das le pla (cors de première). 3 - Si les ecters, et w sot coplaaires, la propriété réslte de celle déjà établie cocerat le prodit scalaire das le pla (cors de première). - Si les ecters, et w e sot pas coplaaires, o mit l'espace d' repère orthoormé (O ; i, j, k). O ote (x ; y ; z), (x' ; y' ; z') et w( x'' ; y'' ; z''). Les coordoées de + w sot alors (x' + x'' ; y' + y" ; z' + z") Doc,.( + w) = x(x' + x'') + y(y' + y") + z(z' + z") = xx' + xx" + yy' + yy" + zz' + zz" = (xx' + yy' + zz') + (xx" + yy" + zz") =. +.w coséqeces (idetités remarqables) : Soiet, et w trois ecters de l'espace. ( + ) = +. + ( ) =. + ( )( + ) = III) Orthogoalité das l'espace : a) droites orthogoales - ecters orthogoax : défiitio (rappel) : Das l'espace, dex droites d 1 et d sot orthogoales si, et selemet si, il existe dex droites coplaaires d' 1 et d' qi ler sot respectiemet parallèles et perpediclaires etre elles. d d' O a d 1 // d' 1 et d // d'. d' 1 et d' sot cotees das même pla et d' 1 d'. Par site, d 1 et d sot orthogoales! d 1 d' 1 3

4 défiitio : Soiet et dex ecters de l'espace. Dex ecters et o ls sot orthogoax si, et selemet si, ils sot des ecters directers de dex droites orthogoales. d 1 d' 1 et sot des ecters directers respectiemet de dex droites orthogoales d 1 et d doc. d d' Par coetio, le ecter l est orthogoal à tos les ecters! propriété : Soiet et dex ecters de l'espace mi d' repère orthoormé (O ; i, j, k). Nos aios établi (e Première) qe dex ecters et sot orthogoax si, et selemet si,. = 0 Par site, les ecters (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z') sot orthogoax si, et selemet si, xx' + yy' + zz' = 0 b) ecter ormal à pla : défiitio : Soiet pla et ecter o l de l'espace. est ormal a pla si, et selemet si, tote droite de ecter directer est orthogoale a pla. propriété : Soiet pla ( ;, ) et ecter o l de l'espace. est ormal a pla s'il est orthogoal à et à démostratio Par défiitio, et sot dex ecters o ls et o coliéaires d pla. Spposos q'ils sot orthogoax à ecter de l'espace. U ecter w admettat représetat das pet se décomposer à l'aide de et. Il existe doc dex réels a et b tels qe w = a + b. Par site, w. = (a + b ). = a. + b. = 0 pisqe est orthogoal à et. Doc est orthogoal à tot ecter w admettat représetat das. Il e réslte qe est ormal a pla. Soit ecter ormal à pla Tot ecter o l, coliéaire à, est égalemet ormal à!, 1,, 3 4, 5 et 6 sot coliéaires à et ormax à

5 propriété : U ecter ormal à pla est orthogoal à tos les ecters d pla. démostratio Soit ecter ormal à pla. Il est doc orthogoal (oir propriété précédete) à dex ecters o coliéaires et de. Por tot ecter w de, il existe doc dex réels a et b tels qe w = a + b. Par site, w. = (a + b ). = a. + b. = 0 Doc est orthogoal à tot ecter de. c) orthogoalité d'e droite et d' pla : démostratio de la propriété admise das le chapitre "espace" rappel de la propriété : Por q'e droite d soit orthogoale à pla, il sffit q'elle soit orthogoale à dex droites d 1 et d sécates cotees das le pla. d démostratio - exigible - Soiet dex droites d 1 et d cotees das pla et sécates e. Soiet 1 et dex ecters directers respectiemet de d 1 et d. d' 1 Soit ecter ormal a pla. Soit la droite d de ecter directer et d 1 passat par poit de. 1 et sot o ls et o coliéaires. O pet doc défiir le aisi : ( ;, 1 ). Par hypothèse, d est orthogoale à d 1 et à d doc. 1 =. = 0. Soit e droite qelcoqe d' cotee das et de ecter directer. Il existe dex réels a et b tels qe = a 1 + b. Doc,. = (a 1 + b). = a. 1 + b. = 0 Par site, d est orthogoale à e droite qelcoqe d' d pla. Il e réslte qe d est orthogoale a pla. d d) projectio orthogoale sr pla : défiitio : Soiet pla et M poit de l'espace. O appelle projeté orthogoal de M sr le pla le poit M', poit d' itersectio de et de la droite perpediclaire à passat par M 5

6 propriété : Soiet,, et D qatre poits de l'espace et pla coteat et. O ote ' et D' les projetés orthogoax respectifs de et D sr. O a alors :.D =.'D' le prodit scalaire e chage pas e tilisat les projetés orthogoax de et D sr! démostratio Soiet,, et D qatre poits de l'espace et pla coteat et. Soiet ' et D' les projetés orthogoax respectifs de et D sr..d =.(' +'D' +D'D ) =.' +.'D' +.D'D or.' =.D'D = 0 Par site,.d =.'D' e) éqatio cartésiee d' pla : propriété : L'espace est mi d' repère orthoormé (O ; i, j, k) Soit (a;b;c) ecter ormal à. a e éqatio cartésiee de la forme ax + by + cz + d = 0 aec d état réel. démostratio - exigible - Soit poit (x ; y ; z ) de. Soit poit M(x ; y ;z) qelcoqe de. M et sot orthogoax doc M. = 0. Doc, a(x x ) + b(y y ) + c(z z ) = 0. D'où ax + by + cz a(x + by + cz ) = 0. O a bie e éqatio d type ax + by + cz + d = 0 aec d = a(x + by + cz ). o a doc plsiers éqatios cartésiees possibles por pla! O pet chager de poit!! Ex : L'espace est mi d' repère orthoormé (O ; i, j, k). Soit pla défii par poit M(3 ; 4 ; 1) et ecter ormal ( 3 ; ; 4). Détermios e éqatio cartésiee de : Ue éqatio cartésiee de est doc d type 3x + y + 4z + d = 0 aec d M appartiet à doc ses coordoées érifiet l'éqatio. Par site, 3 x 3 + x ( 4) + 4 x 1 + d = 0 doc d = = 13 U éqatio cartésiee de est 3x + y + 4z + 13 = 0 6

7 propriété : L'espace est mi d' repère orthoormé (O ; i, j, k) Por tos réels a, b, c o tos ls, l'esemble des poits M(x ; y ; z) tels qe ax + by + cz + d = 0 est pla. démostratio - exigible - Soit l'esemble des poits M(x ; y ; z) érifiat l'éqatio ax + by + cz + d = 0. a, b, c état o tos ls, spposos qe a 0. Le poit d, 0, 0 a érifie l'éqatio cartésiee et appartiet doc à. Soit le ecter ( a ; b ; c). O a M. = a x d a + by + cz = ax + by + cz + d. L'esemble des poits M est doc tel qe M. = 0 Il s'agit doc d pla passat par et de ecter ormal. Ex : Soit pla d'éqatio cartésiee 3 x + y z 5 = 0. Il passe par le poit ( ; 1 ; 3) et le ecter (3 ; ; 1) est ormal à. f) plas perpediclaires : défiitio 1 : Dex plas sot perpediclaires qad ecter de l' est orthogoal à dex ecters o coliéaires de l'atre pla. w appartiet à ' et est orthogoal à et cotes das doc et ' sot perpediclaires! ' w défiitio : Dex plas sot perpediclaires qad ecter ormal de l' est orthogoal à ecter ormal de l'atre. ' 1 est ormal à ' et 1 est ormal à. De pls, et 1 sot orthogoax. Doc et ' sot perpediclaires! 7