Université P. & M. Curie Année

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1 Université P. & M. Curie Année Mathématiques Janvier 2007 L Texte et Corrigé de l examen du 9 Janvier 2007 Exercice 1.. 1/ Rappeler la définition et les propriétés du centre d un groupe, dans le cas général et dans le cas d un p-groupe. 2/ Si v est le nombre de classes de conjugaison d un groupe d ordre 12 dont le centre a 2 éléments montrer que 4 v 7. Donner les valeurs possibles pour v. Démonstration. 1/ Le centre par définition est Z(G) = {x, g G xg = gx}. (Ne pas oublier le quantificateur). Le centre est un sous-groupe distingué et abélien. Si G est un p-groupe le centre est non réduit à l élément neutre. La démonstration utilise la formule des classes pour l opération de G sur G par conjugaison. Démonstration. 2/ Si G opère par conjugaison sur lui-même l orbite de l élément x est réduite à x si et seulement si x Z(G). Si on note par v le nombre d orbites et Ω un ensemble de représentant des orbites, la formule des classes donne G = Z(G) + (G : G x ) où G x est le stabilisateur de x dans G. Si G est d ordre 12 et Z(G) d ordre 2 on a la formule 10 = (G : G x ) d ou on déduit = 1 G x. L ordre de G x est un diviseur de G donc 2, 3, 4, 6. On a alors G x 1 ce qui donne 2 v 2 10 v 2. Il en résulte que 4 v Plus précisèment, si x Ω Z(G), (G : G x ) est un diviseur > 1 de G. montrent que 4 v 7. Si on cherche à écrire 10 comme somme d entiers {2, 3, 4, 6} on obtient 10 = = = = = = = les valeurs possibles pour v en utilisant seulement la formule des classes sont 4, 5, 6, 7. On peut préciser en utilisant les représentations. Le nombre de classes de conjugaison est aussi les nombre de représentations irréductibles et on sait que le nombre de représentations irréductible et leurs degrés n i vérifient 12 = n 2 i. Comme il existe au moins une représentation de degré 1 ( la représentation triviale) et que 4 v 7 les 1

2 2 seules possibilités sont 12 = et 12 = et 12 = 1. On en déduit que v = 4 ou 6. Exercice 2.. 1/ On considère les deux permutations σ = ( )( ) τ = ( ) ( ) ( ) Quel est l ordre de σ et de τ. Calculer τ 2, σ 3. Calculer τ 1 et τ 1 στ. Démonstration. Les cycles qui interviennent dans la définition de σ et τ sont à supports disjoints donc commutent entre eux, ce qui simplifie tous les calculs suivants. On en déduit que o(σ) = 6 et o(τ) = 4. On a ( ) 2 = (1 4) (7 10) et ( ) 2 = (1 4) (2 5) (3 6) et avec des calculs analogues sur les autres cycles on obtient σ 3 = τ 2. On a τ 1 = ( ) ( ) ( ) Si c est le cycle (a 1, a 2,..) rappelons la formule τ 1 cτ = (τ 1 (a 1 )τ 1 (a 2 )...). Si σ = c 1 c 2 alors τ 1 στ = (τ 1 c 1 τ)(τ 1 c 2 τ) et donc τ 1 στ = ( )( ) = σ 1. 2/ On note G le sous-groupe de S 12 engendré par σ et τ et H le sous-groupe de G engendré par σ. Dans la suite de l exercice on utilisera les relations σ 3 = τ 2 et τ 1 στ = σ 1. a/ Calculer les signatures de σ et τ et en déduire deux représentations de degré 1 de G. Démonstration. On a ε(σ) = ε(c 1 )ε(c 2 ) = ( 1) 6 1 ( 1) 6 1 = 1 et ε(τ) = ( 1) 4 1 ( 1) 4 1 ( 1) 4 1 = 1. Le morphisme constant g 1 et la signature ε sont deux représentations de degré 1 de G. b/ Montrer que H est distingué dans G et que G est un groupe non abélien d ordre 12. Démonstration. Le groupe G n est pas abélien car τ 1 στ σ. L égalité τ 1 στ = σ 1 montre que < σ > est distingué dans G et que τ / H. En effet de cette égalité on déduit que τ 1 σ k τ = (τ 1 στ) k H; d autre part tout élément x de G est de la forme w i=1 τ r i σ s i par composition des automorphismes intérieurs on en déduit que xhx 1 H. Le quotient G/H est groupe. Si π est le morphisme canonique G G/H alors G/H est engendré par π(τ).. Comme τ 2 H et τ / H π(τ) est d ordre 2 dans G/H. Il en résulte que H est d indice 2 et que G est d ordre 12. De plus tout élément de G s écrit de façon unique comme τσ k ou bien σ k avec k [[0, 5]] il y a deux classes à gauche dans G modulo H. 3/ a/ Quels sont les ordres des éléments de A 4. En déduire que G n est pas isomorphe à A 4.

3 Démonstration. Si x A 4 alors x S 4. l ordre de x est donné par la décomposition de x en cycles à supports disjoints. En considérant toutes les décompositions possibles les ordres des éléments de S 4 sont 1, 2, 3, 4. Les cycles d ordre 4 ne sont pas dans A 4, les doubles transpositions sont dans A 4, donc les ordres de éléments de A 4 sont 1, 2 et 3. Les groupes G et A 4 ne sont pas isomorphes car G a par exemple un élément d ordre 6. Un isomorphisme transforme un élément d ordre k en un élément de même ordre. b/ Déterminer ( à isomorphisme près) tous les groupes abéliens d ordre 12 et en déduire qu il y a au moins 4 groupes d ordre 12 non isomorphes. Démonstration. Un groupe abélien est produit direct de ses p Sylow. Un groupe d ordre 4 est soit de type 2, 2 soit de type 4. Il y a donc deux groupes abéliens ( à isomorphisme près) Z/3Z Z/2Z Z/2Z ( Z/6Z Z/2Z) et Z/3Z Z/4Z ( Z/12Z). Ces deux groupes, G et A 4 sont non isomorphes, ce qui donne 4 groupe d ordre 12 non isomorphes. 4/ Montrer que le centre de G noté Z(G) est < σ 3 >. Démonstration. Comme τ 1 σ 3 τ = σ 3 = σ 3, on en déduit que σ 3 et τ commutent. Il est évident que σ commute σ 3, donc σ 3 commute avec les deux générateurs du groupe donc σ 3 Z(G). Pour montrer l égalité deux méthodes : 1. Si x G alors x = τσ k ou x = σ k. Dans le premier cas xσ = τσ k+1 et σx = τσ 1+k, donc xσ σx. Dans le second cas xτ = τσ k et τx = τσ k l égalité xτ = τx n a lieu que si σ k = σ k est donc k = Comme Z(G) est distingué et contient < σ 3 > le groupe quotient G/Z(G) est d ordre 6, 3 où 2. Si G/(Z(G) est d ordre 2 ou 3 ce groupe est cyclique et on utilise ( ou on redémontre ) que G/Z(G) ne peut être cyclique. (cf exercice 3). 5/ Montrer que le sous-groupe engendré par σ 2 est distingué et donner 4 représentations irréductibles non isomorphes de G. Démonstration. Comme dans la question 2, b l égalité τ 1 σ 2 τ = σ 2 = σ 4 suffit à montrer que < σ 2 > est distingué. D autre part τ 2 / < σ 2 > le groupe quotient G/ < σ 2 > est d ordre 4, cyclique engendré par l image de τ. On en déduit quatre représentations de degré 1. Si i est le nombre complexe i 2 = 1 alors l(τ) = i et l(σ) = 1 définit une représentation et les trois autres sont données par l k. 6/ Etudier les 2 Sylow de G. En comptant les éléments de G suivant leur ordre montrer que σ 3 est le seul élément d ordre 2 de G. (Facultatif : En déduire que G a 6 classes de conjugaison en utilisant l esxercice 1). Démonstration. Le théorème de Sylow montre qu il en existe 1 ou 3 2-Sylow. Le groupe < τ > est d ordre 4 donc c est un 2-Sylow et ce groupe n est pas distingué car στσ 1 = τσ 2..Donc on a 3 2-Sylow dans G. On compte les éléments du groupe en les répartissant suivant leurs ordres. Comme τ est d ordre 4 les 2 Sylow sont cycliques. Chacun des 2 Sylow a deux éléments d ordre 4 qui ne sont que dans un 2 Sylow. Le groupe engendré par σ 2 est un 3-Sylow de G et il est distingué. Les éléments d ordre 4 et 3 sont donc au nombre de = 8. Il y a au moins deux éléments d ordre 6, σ et σ 1, un élément d ordre 2 σ 3 et l élément neutre. On a ainsi décrit tous les éléments, σ 3 est le seul élément d ordre 3. 3

4 4 Question facultative : Si µ est dans une classe de conjugaison avec 6 éléments alors le commutateur de µ est un groupe d ordre 2 qui contient µ donc µ = σ 3. On a montré que σ 3 est dans le centre donc il n existe pas de classe de conjugaison avec 6 éléments. On a τ 2 σ 2 τ 2 = τ 1 σ 2 τ = σ 2. La classe de conjugaison de σ 2 est d ordre 2 car tout élément de G est de la forme τσ k ou σ k. Comme τ est d ordre 4 et que le commutateur de τ contient le groupe < τ > la classe de τ a trois éléments. L équation des classes montre que s il y a n i classes d ordre i > 1 alors i = 2, 3, 4, et 2n 2 + 3n 3 + 4n = 12. On a montré que n 2 0 et n 3 0 on a donc nécessairement n 2 = 2 et n 3 = 2. Le groupe a donc 6 classes de conjugaison et donc 6 représentations irréductibles. 7/ a/ Montrer que G est isomorphe au sous-groupe de Gl 2 (C) engendré par les deux matrices U et V : ( ) ( ) 0 1 j 0 U = V = j 2 où j = exp 2iπ/3. ( On utilisera les propriétés de U 2 pour calculer l ordre de U 2 V ) En déduire une représentation ρ de degré 2 de G. b/ On admettra que les classes de conjugaison des éléments qui n appartiennent pas au centre de G sont C 1 = {V, V 2 }, C 2 = {V U 2, V 2 U 2 }, C 3 = {U, V U, V 2 U}, C 4 = {U 3, V U 3, V 2 U 3 } en déduire le caractère χ de ρ et calculer < χ, χ >. La représentation ρ est-elle irréductible? Démonstration. a/ On a U 2 = Id comme U 2 et V commutent et sont d ordre premiers entre eux W = U 2 V = V U 2 est d ordre 6. On a U 1 = U 3 = U et U 3 W U = W 1. A partir de ces deux relations on montre comme pour G que tout élément s écrit de façon unique UW k ou W k L application f : τσ k UW k et σ k W k est un isomorphisme. C est une représentation de degré 2. b/ Le centre est formé de l identité de trace 2 et de la matrice W 3 = Id de trace 2. La trace est constante sur une classe de conjugaison donc χ(v ) = χ(v 2 ) = j + j 2 = 1, χ(v U 2 ) = j j 2 = 1, χ(u) = 0 et χ(u 3 ) = 0. On a alors la représentation est irréductible. < χ, χ >= 1 12 ( ( 1) 2 + 2(1) ) = 1 8/ Si ρ est un représentation irréductible de degré d d un groupe Γ et si α est une représentation de degré 1 de Γ montrer que l application θ : g α(g)ρ(g) est une représentation irréductible de Γ. Démonstration. On identifie une représentation de degré 1 et un morphisme de G dans C il en résulte que θ est un morphisme de G dans Gl(V ) car θ(g) Gl(V ) et θ(g 1 g 2 )v = α(g 1 )ρ(g 1 )(α(g 2 )ρ(g 2 )(v). Si W est un sous-g module pour θ alors si w W θ(g)w = α(g)ρ(g)w W. Comme α(g) C ρ(g)w W et W est un sous-g module pour ρ ce qui contre-dit l irréductibilité de ρ. 9/ Indiquer comment construire la table des caractères irréductibles de G.

5 Démonstration. On a 4 représentations de degré 1 et deux représentations de degré 2, ρ et ρλ I W 3 C 1 C 2 C 3 C 4 I λ i i λ 2 = ε λ i i χ χλ Exercice 3.. Soit p un nombre premier et G un p groupe d ordre p k. 2/ On utilisera sans le démontrer le résultat suivant : si Z(Γ) est le centre d un groupe Γ non abélien alors Γ/Z(Γ) n est pas cyclique. a/ Si k = 2 montrer que G est abélien. b/ Si k = 3 que peut-on dire du centre Z(G) et du quotient G/Z(G) d un groupe d ordre p 3. c/ En déduire une minoration du nombre v 3 de classes de conjugaison d un groupe d ordre p 3. Peut-on calculer ν 3? Démonstration. a/ Si k = 2 si le centre n est pas G c est à dire si G n est pas abélien c est un groupe e donc d ordre p. Dans ce cas G/Z(G) est un groupe d ordre p donc cyclique, ce qui est exclus. Un groupe d ordre p 2 est donc abélien. b/ Soit k = 3 et G non abélien. Comme pour k = 2 le centre ne peut-être d indice p, il est donc d indice p 2 ; le centre d ordre p est donc un groupe cyclique. Le quotient G/Z(G) est d ordre p 2 donc abélien non cyclique. Le quotient G/Z(G) est donc de type p, p. Les classes de conjugaison des éléments du centre n ont qu un seul élément et il y en a p. Soit x / Z(G) et soit φ l application canonique G G/Z(G), si C G (x) est la classe de conjugaison de x alors φ(c G (x)) = φ(x). On définit une application L de {C G (x) x / Z(G)} dans G/Z(G) {e} en posant L(C G (x)) = φ(x). Cette application est surjective et donc v 3 p + p 2 1. Par ailleurs une classe de conjugaison de x / Z(G) a au moins p éléments et donc ν 3 p + p3 p = p + p 2 1. D où légalité ν p 3 = p + p 2 1 5