2) Symétrie : Si P est un point du lieu, alors le point P' symétrique de P par rapport à la droite d' est aussi un point du lieu.

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1 II.5. PARABOLE Une parabole est le lieu géométrique des points situés à égale distane d'un point fixe appelé foyer et d'une droite fixe appelée diretrie. a) Constrution Soient F le foyer et d la diretrie. Nous désignons par p (p>0) la distane séparant le foyer de la droite. On note d' la droite perpendiulaire à d omprenant le foyer F. Il s'agit de trouver le lieu des points P tels que PF = d(p,d). 1) Constrution : pour p = 4 m. Point(s) partiulier(s) : Si on note D le point d'intersetion des droites d et d', le milieu O du segment [DF] est un point du lieu. ) Symétrie : Si P est un point du lieu, alors le point P' symétrique de P par rapport à la droite d' est aussi un point du lieu. Géométrie : 6 e (6h) EMYH 8/04/004 9

2 3) Autre onstrution : Soient F le foyer et d la diretrie de la parabole. Un point P appartient à la parabole s'il est équidistant de F et de M, pied de la perpendiulaire à d issue de P. Le point P appartient don à la médiatrie du segment [FM]. Le lieu s'obtient en faisant bouger M sur la diretrie d. b) Équation artésienne du lieu Choix du repère orthonormé: origine : O, milieu du segment perpendiulaire à d dont les extrémités sont F et sa projetion orthogonale sur d, axe Ox : droite perpendiulaire à d passant par F ou l axe de symétrie orthogonale, axe Oy : parallèle à d passant par O. p p Dans e repère, le point F a pour oordonnées (,0) et la droite d a pour équation x = -. Le point P(x,y) appartient au lieu ssi PF = d(p,d) p p ssi x + y = x + Les deux membres de ette égalité étant positifs, on obtient une égalité équivalente en élevant es deux membres au arré : p p x + y = x + En développant ette égalité, on voit qu'elle est équivalente à y = px. C'est l'équation anonique de la parabole (rapportée à son axe de symétrie). Géométrie : 6 e (6h) EMYH 8/04/004 30

3 ) Graphique Le graphique de ette parabole est omposé des graphiques des fontions f(x) = px et g(x) = - px. Etudier es fontions en détails. On onstate que es fontions n'ont pas d'asymptote, mais on dit qu'elles ont une diretion asymptotique, elle de l'axe Ox. 1 Si on intervertit les axes Ox et Oy, on onstate que la parabole a pour équation y = x, p déjà renontrée dans le ours de 4e. d) Caratéristiques de la parabole La parabole d'équation y = px est aratérisée par un axe de symétrie orthogonale : l axe Ox, p un foyer F (,0), p une diretrie d'équation x = -, un sommet (point de renontre de l'axe de symétrie et de la parabole) : O(0,0), une diretion asymptotique, elle de l axe Ox. e) Intersetion d'une droite et d'une parabole 1) Exemple (1) Reherher les tangentes à la parabole d équation y = x issues du point A(-1,0). () Idem pour B(1,0) (3) Disuter la position relative d une droite de diretion asymptotique et de la parabole d équation y = p x. ) Cas général Si une droite a la diretion asymptotique, l équation aux absisses des points d intersetion est du premier degré qui admet une solution : la droite est séante à la parabole. Si une droite a une diretion non asymptotique, l équation aux absisses des points d intersetion est du nd degré qui admet deux solutions : la droite est séante à la parabole, une solution double : la droite est tangente à la parabole Géométrie : 6 e (6h) EMYH 8/04/004 31

4 auune solution : la droite est extérieure à la parabole. 3) Tangente à la parabole Soit P(x o,y o ) un point de la parabole d'équation y = px. L'équation de la tangente à la parabole au point P a pour équation y o y = p (x o + x). A faire! Envisager séparément les as où y o <0, y o >0, y o =0) 4) Normale à la parabole La normale à une parabole en un de ses points est la perpendiulaire à la tangente en e point. f) Exeries 1) Donner une équation artésienne de la parabole (1) de sommet O et de foyer (4,0); () de sommet O, d'axe de symétrie X et passant par le point (,); (3) de sommet O, d'axe de symétrie X et de diretrie d'équation x = -3. ) Soit la parabole P d'équation y = px. (1) Démontrer que la tangente en un point de la parabole d'absisse α oupe l'axe X au point M d'absisse -α. () Démontrer que la normale au même point de la parabole oupe l'axe X en un point M', symétrique de M par rapport au foyer de la parabole. (3) En déduire une onstrution géométrique de la tangente et de la normale à une parabole en un point. 3) Soit la parabole y x y = px et l'ellipse d'équation + a a = 1. Montrer que les tangentes à l'ellipse et à la parabole en leur point d'intersetion ontenu dans le premier quadrant sont perpendiulaires. (NB : Dans un 1 er temps, démontrer la propriété pour p=1 et a=. II.6. PROPRIÉTES OPTIQUES 1) Tout rayon inident parallèle à l axe de symétrie d un miroir parabolique se réfléhit sur la parabole en passant par son foyer et réiproquement. ) Un rayon inident passant par un foyer d une ellipse se réfléhit sur elle-i en passant par l autre foyer. Géométrie : 6 e (6h) EMYH 8/04/004 3

5 II.7. COMPLÉMENTS SUR LES ÉQUATIONS DE CONIQUES Pour les ourbes d équation (1) 5 x + 16 y = 400 () 9 x - 16 y = 144 (3) 5 x y = 3600 (4) 5 x y = 45 (5) 3 x - 5 y = 15 (6) 3 x + 5 y = 15 (7) x + y 8x + 16y = 10 (8) x - 4y + x + 16y = 31 (9) y = -4x (10) y = 5x + 3, déterminer leur nature et leurs aratéristiques ; érire les équations du hangement du repère dans lequel l équation a une forme anonique. II.8. EXCENTRICITÉ DES CONIQUES a) Reherhe x y 1) On onsidère l ellipse d équation + = 1 a b dont les foyers sont F(,0) et F (-,0) et la droite d d équation x = a. (1) Montrer que pour tout point P de l ellipse, le rapport PF d( P, d) est indépendant de P et vaut. Dans quel ensemble e rapport prend-il ses valeurs? a () Si e désigne la valeur du rapport et p la distane entre le foyer F et la droite d, exprimer a, b et en fontion de p et e. ep (Réponses : a =, b e p = ) 1 e 1 e (3) Erire l équation de la droite d et de l ellipse en fontion de p et e. (4) Indiquer les positions relatives de l ellipse, le foyer et la diretrie. Géométrie : 6 e (6h) EMYH 8/04/004 33

6 x y ) On onsidère l hyperbole d équation = 1 b a dont les foyers sont F(,0) et F (-,0) et la droite d d équation x = a. (1) Montrer que pour tout point P de l hyperbole, le rapport PF d( P, d) est indépendant de P et vaut a. Dans quel ensemble e rapport prend-il ses valeurs? () Si e désigne la valeur du rapport et p la distane entre le foyer F et la droite d, exprimer a, b et en fontion de p et e. ep (Réponses : a =, b e p = ) e 1 e 1 (3) Erire l équation de la droite d et de l hyperbole en fontion de p et e. 3) Etant donnée une parabole, reherher un point F et une droite d tels que le rapport PF est onstant pour tout point P appartenant à la parabole. d( P, d) b) Définition Etant donnés un point fixe (appelé foyer) et à une droite fixe (appelée diretrie) ne ontenant pas e point, le lieu géométrique des points dont le rapport des distanes au foyer et à la diretrie est onstant et non nul est une onique. Ce rapport est appelé exentriité. Notons F le foyer, d la diretrie, e l exentriité et p la distane entre le foyer et la diretrie. On a p > 0 et e > 0. La définition se traduit don par P appartient à la onique de foyer F, de diretrie d et d exentriité e FP ssi = e. d( P, d) ) Conlusions x y 1) L ellipse d équation + = 1 a b admet omme foyer le point F(,0) et omme diretrie la droite d équation x = a ou Géométrie : 6 e (6h) EMYH 8/04/004 34

7 a omme foyer le point F (-,0) et omme diretrie la droite d équation x = - ; son exentriité e = a est un réel de ]0,1[. x y ) L hyperbole d équation = 1 b a admet omme foyer le point F(,0) et omme diretrie la droite d équation x = a ou a omme foyer le point F (-,0) et omme diretrie la droite d équation x = - ; son exentriité e = a est un réel supérieur à 1. 3) La parabole d équation y = px admet omme foyer le point F(,0) et omme diretrie la droite d équation x = exentriité vaut 1. p et son II.9. CONIQUES Dans l'espae, on onsidère un plan Π, un erle C de entre O inlus dans e plan, la perpendiulaire à Π issue de O et S un point de ette droite distint de O. Les droites passant par S et s'appuyant sur C engendrent un ône Γ (de révolution), haune de es droites est une génératrie du ône Γ, S en est le sommet. Considérons un plan α passant par S et un plan β parallèle à α. On peut distinguer les trois as suivants : 1) α ne ontient auune génératrie, S est le seul point ommun au plan α et au ône Γ, alors β oupe Γ suivant une ellipse. Si β oïnide ave α, l'intersetion est un Géométrie : 6 e (6h) EMYH 8/04/004 35

8 point; 'est pourquoi on dit que l'ellipse dégénère en un point. ) α ontient une seule génératrie, alors β oupe le ône Γ suivant une parabole. Si β oïnide ave α, l'intersetion est une droite; 'est pourquoi on dit que la parabole dégénère en une droite. 3) α ontient deux génératries distintes; alors β oupe le ône Γ suivant une hyperbole. Si β oïnide ave α, l'intersetion est onstituée de droites séantes; 'est pourquoi on dit que l'hyperbole dégénère en deux droites séantes. Remarque : on obtient l'autre branhe de l'hyperbole en onsidérant l'intersetion ave l'autre nappe du ône. L'ellipse, la parabole et l'hyperbole sont des setions d'un ône; on les appelle des oniques. Géométrie : 6 e (6h) EMYH 8/04/004 36