Chapitre Bissectrice Cercle inscrit Distance d un point à une droite Tangente

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1 Chapitre issectrice Cercle inscrit Distance d un point à une droite Tangente Connaître et utiliser la définition de la bissectrice. Utiliser différentes méthodes pour tracer : La médiatrice d un segment. La bissectrice d un angle. Caractériser les points de la bissectrice d un angle donnée par la propriété d équidistance aux deux côtés de l angle. Construire le cercle inscrit dans un triangle. Savoir que le point d une droite le plus proche d un point donné est le pied de la perpendiculaire menée du point à la droite. Construire la tangente à un cercle en un point donné.

2 Chapitre issectrice /Cercle inscrit / Distance d un point à une droite/ Tangente Rappels: Inégalité triangulaire (notion étudiée en 5 ème ): Dans un triangle, la longueur d'un côté est toujours inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés: C C C C C C C Lorsqu il y a égalité, les trois points sont alignés: Si = C C alors C [] édiatrice et symétrie axiale (notions étudiées en 6 ème ): La symétrie axiale conserve les longueurs et les angles. La médiatrice d'un segment [ ] est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu. La médiatrice d'un segment est un axe de symétrie de ce segment. Si un point est sur la médiatrice d un segment [] alors il est équidistant des extrémités du segment, c est à dire =. issectrice et symétrie axiale (notions étudiées en 6 ème ): La bissectrice d un angle est la droite ou la demi-droite, qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. y issectrice de l'angle XY x La bissectrice d un angle est l axe de symétrie de cet angle.

3 1) Déterminer l'ensemble des points situés à une même distance d'une droite a) Définition: Soit une droite et un point n'appartenant pas à, la distance du point à la droite est égale à où désigne le pied de la perpendiculaire à passant par. b) Propriété: La longueur est alors la plus courte distance entre le point et tous les points de la droite. Exemple : Soit une droite et un point n'appartenant pas à. esure la distance du point à la droite. n trace la droite perpendiculaire à qui passe par le point. n mesure la longueur où est le pied de la perpendiculaire à. Exemple important : Dans un triangle rectangle le plus grand côté est appelé l hypoténuse. L hypoténuse est le côté opposé à l angle droit. C est la distance de C à la droite () donc C C est la distance de à la droite (C) donc C L hypoténuse [C] est bien le plus grand côté. ypoténuse Côté opposé à l angle droit C

4 c) Propriété: L'ensemble des points situés à une même distance d'une droite est défini par deux droites parallèles à situées de part et d'autre de. Exemple : Soit une droite. Construis l'ensemble des points situés à de la droite. ( ) ( ) (d 1 ) ' ' (d 2 ) n trace ( ) une perpendiculaire à. n appelle le point d'intersection des deux droites. n place un point sur ( ) tel que = et un point ' de l'autre côté de tel que ' =. n trace les parallèles à qui passent respectivement par par '. L'ensemble recherché est constitué des deux droites (d 1 ) et (d 2 ). À toi de jouer 1 Construis un triangle N, rectangle en, tel que N = 6,5 cm et N = 2,5 cm. 2 Calcule la distance du point à la droite (N). 3 Peux-tu trouver un point P sur la droite (N) tel que P = 5,8 cm? Pourquoi? 4 Soit ( ) une droite. Construis en rouge l'ensemble des points situés à 26 mm de ( ). 5 Soit ( ) une droite. Colorie en bleu l'ensemble des points situés à moins de 1,4 cm de ( ).

5 2) Utiliser la tangente à un cercle en un point Définition: La tangente à un cercle ( ) de centre en un point de ( ) est la droite passant par et perpendiculaire au rayon []. Remarque : La distance entre le centre d'un cercle et toute tangente à ce cercle est égale au rayon. Exemple 1 : Soit ( ) un cercle de centre et un point de ce cercle. Trace la droite ( ) tangente au cercle ( ) en. ( ) ( ) ( ) ( ) n trace le rayon []. n trace la droite ( ) perpendiculaire en à la droite (). La droite ( ) est la tangente en au cercle ( ). Exemple 2 : n considère une droite et un point extérieur à la droite. Construis le cercle ( ) de centre et tel que la droite soit tangente à ( ). ( ) Comme est tangente au cercle ( ), le point de contact de et de ( ) est le pied de la perpendiculaire à passant par. n trace la droite perpendiculaire à qui passe par. n appelle le pied de la perpendiculaire à passant par. n trace le cercle ( ) de centre et de rayon. À toi de jouer 6 Trace un cercle ( ) de centre et de rayon 2 cm. Place trois points, N et P sur le cercle puis construis les tangentes à ( ) en, N et P. 7 Soit ( ) un cercle de diamètre []. Trace ( ) et les tangentes au cercle ( ) respectivement en et. Démontre que les droites ( ) et sont parallèles. 8 Soit ( ) un cercle de centre et de rayon. est la tangente à ( ) en un point K. La demi-droite [ y) telle que y K = 50 coupe en R. Calcule, en justifiant, la longueur R.

6 3) Utiliser les propriétés de la bissectrice d'un angle a) Propriétés de la bissectrice d'un angle Si un point est situé à la même distance des côtés d'un angle alors il appartient à la bissectrice de cet angle. Réciproquement, si un point appartient à la bissectrice d'un angle alors il est situé à la même distance des côtés de cet angle. Exemple 1 : Soit un triangle C. Place à l'intérieur du triangle un point afin qu'il soit à égale distance des côtés [] et [C]. C Le point se situe à égale distance des côtés [] et [C]. r, si un point est situé à la même distance des côtés d'un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle. Donc le point se situe sur la bissectrice de l'angle C formé par les segments [] et [C]. b) Centre du cercle inscrit dans un triangle Les trois bissectrices des angles d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle. Remarque : Les trois côtés d'un triangle sont tangents au cercle inscrit dans ce triangle. Exemple 2 : Construis un triangle ER et son cercle inscrit de centre. K K R E R E R E n trace les bissectrices de deux des trois angles du triangle ER. Elles se coupent en, le centre du cercle inscrit. n trace la perpendiculaire à (E) passant par le point. Elle coupe [E] en K. n obtient ainsi un rayon [K] du cercle inscrit dans le triangle ER. n trace le cercle de centre passant par K. À toi de jouer 9 Construis un triangle N. n note (d 1 ) la droite (), (d 2 ) la droite (N) et (d 3 ) la droite (N). Place le point U afin qu'il soit équidistant des droites (d 1 ) et (d 3 ) et équidistant des droites (d 1 ) et (d 2 ). 10 Construis un triangle RS tel que R = 7 cm ; S = 8 cm et RS = 9 cm puis son cercle inscrit. 11 Soit un cercle ( ). Trace un triangle ILE tel que ( ) soit inscrit dans le triangle ILE.