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1 Lycée El Hadji Omar lamine Badji Année scolaire Cellules de sciences physiques Classe : TS1 OSCILLATIONS MECANIQUES LIBRES EXERCICE 1: Un oscillateur harmonique est constitué d un ressort de masse négligeable suspendu à un point fixe A, auquel est accroché un solide ponctuel S de masse m = 200g et de centre d inertie G. 1. La longueur à vide du ressort est l0 = 20 cm. Quand on accroche le solide S, le ressort s allonge de 8 cm. On prendra g = 10 m/s 2. b. Ecrire les conditions d équilibre de la masse dans le champ de pesanteur. c. Calculer la constante de raideur k du ressort. 2. On tire le solide S verticalement vers le bas en donnant un allongement supplémentaire a = 2 cm au ressort. On lâche ensuite le solide sans vitesse initiale. a. Faire un bilan des forces qui s exercent sur S. On prendra comme origine des déplacements la position d équilibre du ressort avec le solide accroché. L axe vertical (O, j ) est orienté vers le bas. b. Etablir l équation différentielle du mouvement. c. Déterminer l équation horaire t y (t) EXERCICE 2 : Un oscillateur mécanique est constitué d'un ressort à spires non jointives de raideur k dont une extrémité est fixée à un solide S de dimensions telles qu'il peut être assimilé à un solide ponctuel de masse m. L autre extrémité du ressort est fixe (voir figure ci-contre). On donne : m = 100 g ; k = 40 N.m -1 Dans cette expérience, on néglige tous les frottements. Le plan sur lequel se déplace le solide S est horizontal. La position du centre d'inertie G est donnée par le vecteur position OG = xi. L'origine du repère est choisie de telle sorte que lorsque l'oscillateur passe par sa position d'équilibre, on ait OG = Indiquer sur un schéma les forces appliquées à S lorsque l'on a OG = xi.pour x différent de zéro. 2. Établir l'équation différentielle du mouvement de S. Calculer la pulsation propre 0 et la période propre T0 de l'oscillateur. 3. Donner la forme générale de l'équation horaire du mouvement de S. 4. On écarte S de sa position d'équilibre d'une quantité Xo = + 3 cm et on libère S sans vitesse initiale à une date prise comme origine des temps. Etablir l'équation horaire du mouvement de S. 5. Donner en fonction du temps les expressions numériques de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle élastique de cet oscillateur. Vérifier que son énergie mécanique est constante. EXERCICE 3: Un solide S, de masse m = 200 g et de centre d inertie G, peut se déplacer d un mouvement de translation rectiligne, sans frottement, le long d un banc à coussin d air. Celui-ci fait un angle α = 10 avec l horizontale. Le solide est attaché à l extrémité inférieure d un ressort de masse négligeable, à spires non jointives et à réponse linéaire ; l autre extrémité du ressort est fixée en A (voir figure). On prendra g = 10 m/s Le solide S étant en équilibre, son centre d inertie est en G0. Le ressort dont l axe est parallèle à la direction du banc, a subi un allongement l0 = 6 cm. a. Représenter les forces qui s exercent sur le solide S. b. Ecrire la condition d équilibre du solide S sous forme vectorielle et projeter la relation suivant les deux axes (O, i ) et (O, j ). c. Exprimer le coefficient de raideur k du ressort en fonction des données. Calculer sa valeur numérique. 2. On écarte le solide de sa position d équilibre vers le bas. Son centre d inertie est alors en G1. La distance G0G1 mesurée le long du banc vaut d = 5 cm. On abandonne le solide sans vitesse à une date que l on prendra pour origine des temps. La position G0 sera prise comme origine des abscisses Ecrire la relation de la dynamique (ou théorème du centre d inertie) Etablir l équation différentielle du mouvement Déterminer l équation horaire du mouvement. y' j M. MBODJ PC Page 1 Ce document a été téléchargé sur

2 EXERCICE 4 : Un solide ponctuel S de masse m = 0,2 kg mobile sur une table à coussin d air horizontale, est accroché à deux ressorts identiques R1 et R2 de masse négligeable tendus entre deux points A et B comme l indique la figure ci-après. La longueur à vide de chaque ressort est lo = 15 cm et sa constante de raideur k = 10 N/m. La distance des points d attache A et B vaut L = 40 cm. 1. Déterminer à l équilibre, l allongement de chaque ressort. 2. S étant en équilibre, on l écarte horizontalement de 3 cm vers B et on le lâche sans vitesse initiale à la date t= 0. Le centre d inertie G du solide est repéré par l axe horizontal X OX ; l origine O des abscisses coïncidant avec la position de G à l équilibre. On néglige les frottements Etablir l équation différentielle du mouvement du centre d inertie G par application du théorème du centre d inertie Ecrire l équation horaire du mouvement du centre d inertie en précisant les valeurs numériques de l amplitude, de la pulsation et de la phase initiale A quelle(s) date(s) le mobile passe-t-il par l abscisse 1,5 cm en allant dans le sens négatif des élongations? Quelle(s) valeur(s) prend sa vitesse Exprimer à la date t l énergie mécanique totale Em du système (ressorts-solide) en fonction de k, m, l abscisse instantanée x du centre d inertie du solide et sa dérivée première par rapport au temps x =dx/dt En déduire l expression de Em en fonction de k et l amplitude Xm du mouvement de S et l allongement initial xo de chaque ressort. L énergie potentielle de chaque ressort est nulle lorsqu il n est ni comprimé, ni tendu Retrouver l équation différentielle du mouvement de S établie à la question 2, en utilisant l expression de l énergie mécanique. EXERCICE 5 : Un ressort à spires non jointives, de constante de raideur k, de masse négligeable est suspendu à un support vertical par l une de ses extrémités. Un solide S, de masse m, est accroché à l autre extrémité inférieure du ressort. Le ressort s allonge alors de x0 et une position d équilibre est atteinte : phase statique. 1. Etablir la relation liant x0, g0, m et k (g0 représente la valeur du champ de pesanteur). 2. A partir de sa position d équilibre, on étire le ressort en faisant descendre le solide verticalement puis on le lâche : phase dynamique Montrer que le solide S effectue des oscillations de part et d autre de sa position d équilibre d amplitude Xm et de période propre T L amplitude du mouvement ne reste en fait pas constante au cours du temps. Pourquoi? 3. Le tableau ci-dessous nous donne les valeurs de T0, mesurées pour différentes valeurs de m et x0. m en g X0 en cm 4,0 8,1 12,2 16,2 20,2 T0 en s 0,406 0,575 0,695 0,803 0,895 m k 3.1. On établit théoriquement T0 = 2. Exposer succinctement, sans la justifier, une démarche graphique qui, à partir des résultats rassemblés dans le tableau ci-dessus, permettait de déterminer la valeur k de la constante de raideur du ressort En utilisant la relation trouvée en 1., établir celle donnant T0 en fonction de x0 et g Calculer T 0 2 pour chaque situation correspondante aux valeurs de x0. Présenter les résultats sous forme de tableau Tracer la courbe donnant x0 en fonction de T Déduire de la courbe la valeur du champ de pesanteur g0 sur le lieu de l expérience. EXERCICE 6 : Un ressort (R) à spires non jointives, parfaitement élastique et de masse négligeable, a une constante de raideur k. Il est relié à un solide (S) de masse m, à l'une de ses extrémités, l'autre est fixe. Les oscillations de (S) sont entretenues grâce à une force F horizontale telle que F = Fm.cos ( t + ). Dans son mouvement, le solide (S) est soumis à une force de frottement fluide F = -αv ; V étant le vecteur vitesse du solide (S) en 1. En utilisant le théorème du centre d'inertie, montrer que l'élongation x vérifie l'équation différentielle : m d2 x dt 2 + α dx dt + kx = Fm.cos ( t + ). M. MBODJ PC Page 2 Ce document a été téléchargé sur

3 2. On prendra comme solution d'une telle équation x = Xmcos t. A l'aide de la construction de Fresnel, déterminer les expressions de tan et de Xm en fonction de Fm, α,, k et m a. Pour quelle valeur de notée r, a-t-on la résonance d'amplitude. (C'est-à-dire que l'amplitude Xm est maximale). 3.b. Quelle condition doit vérifier α pour que r, existe? Calculer r, pour k = 150 N.m -1 ; m = 500 grammes et α = 10 SI. (Extrait BAC S1S3 2000) EXERCICE 7 : On considère un pendule simple constitué d'un objet ponctuel B, de masse m, suspendu en un point O par un fil tendu sans raideur et sans masse, de longueur l dans le champ de pesanteur terrestre supposé uniforme ; on considérera le référentiel terrestre comme galiléen. On note αl'angle que fait le fil de suspension avec la verticale ; on étudie les mouvements dans le plan vertical de la figure ci-contre. 1. A quelle condition sur la durée de l'expérience le référentiel terrestre peut-il être considéré comme galiléen? 2. Etablir l'équation différentielle du mouvement du point B, vérifiée par l élongation angulaire du pendule? 3. A quelle condition le pendule sera-t-il considéré comme un oscillateur harmonique? Quelle est alors l expression littérale de sa pulsation 0? EXERCICE 8 : On considère le dispositif représenté ci-dessous. Le fil vertical a pour constante de torsion C = 4, N.m.rad -1. Il est lié au centre O du disque (S) horizontal, homogène, de moment d'inertie par rapport à l'axe, J =3, kg.m 2. A la date t = 0, le disque (S), en rotation autour de l'axe à passe à sa position d'équilibre, caractérisée par = 0, avec la vitesse angulaire θ = 3, rad.s -1, dans le sens positif indiqué sur le schéma. 1. En négligeant tout frottement, établir l'équation différentielle du mouvement du disque (S). 2. En déduire l'équation horaire de ce mouvement. Rechercher la vitesse angulaire θ du disque après une rotation de +3 à partir de la date t = 0. EXERCICE 9 : Le pendule pesant Données : m = 200 g ; g = 10 m.s -2 ; L = 60 cm ; 0 = 9. Une tige homogène OA, de masse m et de longueur L peut osciller sans frottement autour d un axe ( ), passant par son extrémité O. 1. Calculer le moment d inertie J du pendule. Rappels : Moment d inertie d une tige homogène de masse m et de longueur L par rapport à un axe passant par son centre d inertie G : JG = 1 12 ml2 Théorème de HUYGHENS : Soit un solide homogène de centre d inertie G. Son moment d inertie par rapport à un axe ( ) ne passant pas par G est donné par : J = JG + md 2 Cours à domicile: L axe passant par ( ) et l axe passant par G sont parallèles et distants de d. 2. On écarte le pendule d un petit angle α0 (α0 < 16 ) puis on l abandonne sans vitesse initiale. 2.a- Etablir l équation différentielle du mouvement du pendule. 2.b- Calculer la période propre T0 et la pulsation propre 0 de l oscillateur. 3. En utilisant la méthode énergétique, retrouver l équation différentielle du pendule. 4. calculer la longueur L du pendule simple synchrone à ce pendule pesant. M. MBODJ PC Page 3 Ce document a été téléchargé sur

4 EXERCICE 10 : On dispose d'un ressort R, de masse négligeable et de raideur k. L'une des extrémités est fixée à un support rigide et à l'autre extrémité est suspendu un solide (S) de masse M = 0,1 kg. On déplace le solide (S) verticalement vers le bas d'une longueur X. 1. Étudier le mouvement de (S) lorsqu'on le lâche sans vitesse initiale. On mesure la durée de dix oscillations de (S), on trouve t = 2,98 s. Calculer la constante de raideur k1. 2. Le ressort R1 et le Solide (S) sont disposés sur un plan incliné comme l'indique la figure 1 ci-contre. On néglige tous les frottements. Calculer la période des oscillations du solide (S). 3. On associe au ressort R1 un ressort R2 comme l'indique la figure 2. Il est de masse négligeable et de constante de raideur k2. À l'ensemble, on suspend le solide (S). 3.a- Le système étant à l'équilibre, donner l'expression des allongements X1 et X2 des 2 ressorts. 3.b- Déterminer, en fonction de k1 et k2 la raideur k du ressort équivalent qui, à l'équilibre, sous l'influence de (S) subirait l'allongement X = X1 + X2. figure 1 figure 2 4. On déplace (S) verticalement vers le bas et on le lâche. Calculer la Période T' des oscillations du solide (S). Faire l'application numérique avec k2 = 20 N.m -1. EXERCICE 11 : Un système est constitué de deux palets de masses m1 et m2 placés sur une table à coussin d air horizontale et reliés par un ressort de raideur k et de masse négligeable. Les centres d inertie des deux palets occupent les positions O1 et O2 à l équilibre (voir schéma). On écarte les deux palets l un de l autre et on les lâche simultanément sans vitesse initiale. On pose O 1 O 2 = l0i ; O 1 M 1 = x 1 i ; O 2 M 2 = x 2 i M1 et M2 sont les positions des centres d inertie des palets à une date t Montrer que le centre d inertie du système reste fixe au cours du mouvement Trouver la relation reliant à chaque instant les écarts algébriques x1 et x2 des palets par rapport à leurs positions d équilibre respectives. 2. Etablir la relation algébrique de la force de rappel exercée par le ressort sur chaque palet. 3. Déterminer l équation différentielle du mouvement de chaque palet et la période des oscillations du système. m 4.1. Montrer que le mouvement de chaque palet est identique à celui d un point matériel de masse 1 m 2, sollicité par un ressort de m 1 +m 2 raideur k (oscillateur équivalent) Exprimer l énergie potentielle d interaction des deux palets et leur énergie cinétique. En déduire l énergie mécanique de l oscillateur équivalent en fonction de k et de l amplitude des oscillations. 5. APPLICATION A LA MOLECULE DE CHLORURE D HYDROGENE Calculer la fréquence d oscillation N1 de la molécule de H-Cl constituée de l isotope 1 H de l hydrogène et de l isotope 17Cl du chlore Calculer en picomètres l amplitude des oscillations de la molécule des oscillations de la molécule précédente, sachant que l énergie de vibration E est fournie à la molécule par absorption d une radiation électromagnétique de fréquence égale à N Soit N2 la fréquence d oscillation de la molécule H-Cl constituée avec l isotope 1 H de l hydrogène et l isotope 17Cl du chlore. Calculer le rapport N 1. N Masses molaires en g/mol 1 H :1 ; 17Cl :35 ; 17Cl :37 Constante d Avogadro ; N = 6, ; Constante de raideur de la liaison H-Cl : k = 4, N/m (pour les deux molécules) ; Constante de Planck h = 6, J.s EXERCICE 12 : M. MBODJ PC Page 4 Ce document a été téléchargé sur

5 On considère un disque plein, homogène, de masse M = 500g, de rayon R = 20 cm et de centre C. 1.- Le disque peut osciller, dans un plan vertical, autour d un axe horizontal fixe (Δ), perpendiculaire à son plan et passant par un point O de sa circonférence. Au point B diamétralement opposé à O, on fixe un corps ponctuel (S), de masse m =M/2 (voir figure 1). Montrer que : 1.1. La distance du centre d inertie G du système {disque + corps (S)} à l axe (Δ) est OG = a =4R/3. (1,00 pt) 1.2. Le moment d inertie du système {disque + corps (S)} par rapport à l axe (Δ) est JΔ = 7 mr Le système {disque + corps (S)} constitue un pendule composé. On considère les oscillations de faible amplitude autour de l axe (Δ) de ce pendule. Calculer la longueur l du pendule simple synchrone de ce pendule composé. 3. On enlève le corps (S). On fait tourner le disque, seul, à l aide d un moteur. Lorsque le disque atteint la vitesse de rotation égale à 300 tours par minute, on arrête le moteur et on applique sur le disque un couple de freinage de moment M f constant. Il s arrête après avoir effectué 250 tours, comptés à partir de l arrêt du moteur Calculer M f Calculer la durée de cette phase d arrêt du disque. EXERCICE 13 : (Bac TS2 2007) Un groupe d élèves utilise deux méthodes différentes pour déterminer la constante de raideur K d un ressort à spires non jointives. 1. La méthode statique L extrémité supérieure du ressort est fixée. A son extrémité libre, sont suspendues successivement des masses de différentes valeurs (figure a). Pour chaque masse m l allongement Δl du ressort est mesuré à l aide d une règle (non représenté sur la figure). Le tableau de valeurs suivant est obtenu : m(kg) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Δl(cm) 2,5 5,0 7, ,4 15,1 17,5 19,8 a. Tracer le graphe Δl en fonction de la masse m. En déduire la relation numérique entre Δl et m. b. Sur le schéma, représenter les forces s exerçant sur la masse m. traduire alors la condition d équilibre et en déduire l expression de K en fonction de m, Δl et l intensité de la pesanteur g. c. En déduire la valeur de la constante de raideur K. On prendra g = 9,81 m.s La méthode dynamique Dans cette partie le ressort précédent est utilisé pour réaliser un oscillateur horizontal. Le solide de masse M, de valeur inconnue, solidairement lié au ressort, se déplace sur un support horizontal (figure b). Tous les frottements sont négligés. On utilise un axe X X horizontal orienté par le vecteur unitaire i et on repère la position du centre d inertie G du solide par son abscisse x sur cet axe. A l équilibre le ressort n est ni comprimé, ni allongé et l abscisse x est nulle (le point G est confondu avec l origine de l axe X X). Faire l inventaire des forces qui s exercent sur la masse M à un instant t donné et les représenter sur un schéma. Par application du théorème du centre d inertie appelé aussi deuxième loi de Newton, établir l équation différentielle du mouvement. En déduire l expression de la période T0 des oscillations en fonction de la constante de raideur K et de M. La mesure de 10 oscillations donne 10,6 s. Calculer T0. L objet précédent de masse M est surchargé d une masse m1 = 20g fixée sur lui. Le système est à nouveau mis en oscillation comme précédemment. Cette fois la durée de 10 oscillations donne 10,7s. Exprimer la nouvelle période T en fonction de K, m1 et M En déduire l expression de K en fonction de T0, T et m1. Calculer K. Comparer avec le résultat obtenu par la méthode statique. Expliquer. (K) (M) (K) i X G M. MBODJ PC Page 5 Ce document a été téléchargé sur

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