Taux (ti) [45 ; 47[ [47 ; 49[ [49 ; 51[ [51 ; 53[ [53 ; 55[ Effectif (ni)

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1 1 ère S4 Devoir de mathématiques Le Durée : heures Exercice 1 : Vrai-faux 6 points Pour chacune des affirmations proposées, indiquer clairement sur la copie si elles sont vraies ou fausses, en justifiant et rédigeant votre réponse Toute réponse non justifiée ne sera pas comptée Chaque réponse rapporte 1 point Plusieurs affirmations peuvent se trouver dans les exercices 1) Les tableaux ci-dessous indiquent les durées d ensoleillement, exprimés en heures, dans les villes de Brest et Strasbourg durant le mois de juin 010 (source météociel) : Brest : Strasbourg : Durée en heures (xi) Nombre de jours (ni) Durée en heures (xi) Nombre de jours (ni) Affirmation 1 : En étudiant le pourcentage de valeurs dans[ x σ ; x+σ ], on peut affirmer qu en juin, il a fait aussi beau à Brest qu à Strasbourg ) Une coopérative laitière fabrique un fromage qui doit contenir, selon l étiquette, 50 % de matière grasse Un organisme de contrôle de qualité prélève 100 fromages afin d analyser leur taux de matière grasse Voici les résultats de l analyse : Taux (ti) [45 ; 47[ [47 ; 49[ [49 ; 51[ [51 ; 5[ [5 ; 55[ Effectif (ni) Une production de fromage est conforme à l appellation «50 % de matière grasses» s il vérifie deux conditions : Condition 1 : 50 appartient à l intervalle t 0,; t+ 0, ; Condition : Plus de 9 % des fromages analysés appartiennent à l intervalle t σ ; t+ σ Affirmation : On peut affirmer que la production de la coopérative est conforme ) La répartition des salaires dans une entreprise privée est donnée par le diagramme en boîte cicontre : Affirmation : L écart-interquartile pour le salaire des hommes est le double de celui des salaires des femmes Affirmation 4 : Le pourcentage des salaires dont le montant est compris entre et est de 75 % 4) La répartition de 1074 «petits musées» suivant le nombre de visiteurs en 008 est représenté par l histogramme cidessous Affirmation 5 : En moyenne, les petits musées ont reçu un peu moins de visiteurs Affirmation 6 : Le diagramme des fréquences cumulées en pourcentages (arrondis à l unité, unité cm en abscisse et 1 cm en ordonnées), nous permet de dire que la moitié des musées ont reçus plus 9000 visiteurs

2 Exercice : 1,5 points Si on augmente de deux centimètres la longueur de l arête d un cube, son volume augmente alors de 40 cm Combien mesure l arête de ce cube? Exercice :,5 points 1 ) Factoriser x ² + x + ) Soit f et g deux fonctions telles que : f ( x ) = Donner leur ensemble de définition et g ( x ) = ² ) Etudier le signe de g ( x ) f ( x ) et en déduire pour quelles valeurs de x, la courbe de f est au-dessus de celle de g Exercice 4 : On considère l équation ( E ) : ²+ +9 = 1 + x points 1 ) Pour quelles valeurs de x, l expression ²+ +9 est-elle définie? ) Existe-t-il des solutions à l équation ( E ) si 1+ x est strictement négatif? Justifier la réponse? ) On suppose à présent que x - 1 Trouver une équation du second degré équivalente à ( E ),puis la résoudre ( rappel : Deux réels positif sont égaux si, et seulement si, leurs carrés sont égaux ) 4 ) Conclure en donnant l ensemble des solutions de ( E ) Exercice 5 : petits problèmes indépendants 7 points 1 ) A et B sont deux points distincts On se propose de construire le point M tel que + = A l aide de la relation de Chasles, démontrer que = Construire le point M ) ABC est un triangle, D le point tel que = Construire D Exprimer et en fonction de et En déduire que les points B, C et D sont alignés ) ABC est un triangle Construire les points I et J tels que : = + et = + Exprimer en fonction de et puis en fonction de et En déduire que (IJ) et (BC) sont parallèles

3 1 ère S4 Correction du devoir de mathématiques du 10/1/014 Exercice 1 : Vrai-faux 1) Pour Brest : x= 8 etσ= 4,6 L intervalle est[ x σ ; x+σ= ] [ 8 4,6;8+ 4,6] = [,7;1,6] 6 points 17 Il y a = 17 valeurs dans l intervalle parmi 0 soit un pourcentage p= 100= 57 % environ 0 Pour Strasbourg : x= 7, 9 etσ= 4, 94 L intervalle est[ x σ ;x+σ= ] [ 7,9 4,94;7,9+ 4,94] = [,96;1,84] 17 Il y a = 17 valeurs dans l intervalle parmi 0 soit un pourcentage p= 100= 57 % environ 0 Les pourcentages étant identiques, on peut affirmer qu en juin, il a fait aussi beau à Brest qu à Strasbourg VRAI ) Taux (ti) [45 ; 47[ [47 ; 49[ [49 ; 51[ [51 ; 5[ [5 ; 55[ Centres Effectif (ni) Utilisons les centres des classes : t= 49,8 Alors t 0,; t 0, + = [ 49,8 0,;49,8+ 0,] = [ 49,5;50,1] 50 appartient à l intervalle donc la condition 1 est vérifiée σ= 1,8 donc t ; t σ + σ= [ 49, 8 1,8; 49,8+ 1,8] = [ 46, ; 5, 4] Les effectifs des classes de 47 à 5 sont inclus entièrement ce qui donne = 91 La disposition en classe nous impose une proportionnalité dans la première et la dernière classe Dans [45 ; 47] : 47 46, 6=,4 donc et dans [5 ; 55] : 5, 4 5 = 0,6 donc Il y a donc en tout = 94 sur 100 fromages donc 94 % des fromages dans l intervalle La condition est donc vérifiée On peut affirmer que la production de la coopérative est conforme VRAI ) Affirmation : Pour les hommes, Q1 = 1100 et Q = 1700 ce qui donne un écart-interquartile égal à = 600 Pour les femmes, Q1 = 1000 et Q = 1550 ce qui donne un écart-interquartile égal à = 550 Ils sont à peu près égaux donc l affirmation est FAUSSE Affirmation 4 : Pour les hommes, Min = 1000 et Med = 1550 donc il y a 50 % des salaires entre 1000 et 1550 Pour les femmes, Q1 = 1000 et Q = 1550 donc il y a 50 % des salaires entre 1000 et 1550 Donc de manière générale, il y a 50 % des salaires compris entre et FAUX 4) Construisons un tableau avec les centres des classes, les fréquences en pourcentage (arrondies à l unité) et les fréquences cumulées en pourcentage Visiteurs (xi) [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 0[ [0 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ;100[ Total Centres,5 7, Effectif en milliers (ni) Pourcentages % Pourcentages cumulés Affirmation 5 : x= 17, En moyenne, les musées ont reçu 1700 visiteurs donc l affirmation est FAUSSE Affirmation 6 : Construisons le diagramme des fréquences cumulées en pourcentages (Le graphique est placé en fin de correction) On se place à 50 % sur l axe des ordonnées afin de déterminer la médiane et nous lisons 9 Donc on confirme que la moitié des musées ont reçus plus 9000 visiteurs VRAI

4 Exercice : 1,5 points Soit a la longueur de l arête du cube (a est donc un nombre positif) Alors le volume du cube est donné par V= a Si on augmente de deux centimètres la longueur de l arête d un cube, on obtient a + et le volume est V = ( a+ ) Or, on nous dit que ce volume vaut le volume de départ augmenté de 40 cm donc V = V+ 40 Nous obtenons donc une équation :( ) a+ = a + 40 Développons-la pour la simplifie par la suite :( )( ) a+ a+ a 40= 0 ssi ( )( ) a a 4a 4 a = ssi a + 4a + 4a+ a + 8a+ 8 a 40= 0 ssi 6a 1a = ssi a + a 99= 0 (En divisant par 6) Nous obtenons une équation du second degré qu il faut résoudre = 4 1 ( 99) = 1600= 40 0 Il y a donc deux racines distinctes a1= = 19 et a = = 1 Parmi les deux solutions, une seule est acceptable car positive On en déduit donc que le cube mesure 19 cm de coté Exercice : 1 ) Pour factoriser ce trinôme nous devons déterminer son discriminant,5 points = 4 1 = 9 8= 1 0 Le trinôme est factorisable car il admet deux racines x1= = 1et x= = Alors selon le cours, la factorisation est : x + x+ = ( x+ 1)( x+ ) ) Les deux fonctions f et g sont rationnelles donc elle existent si et seulement si leurs dénominateurs ne s annulent pas f existe ssi x+ 0 ssi x Alors D = R { } g existe ssi x + x+ 0 ssi x 1 et x Alors D = R { ; 1} ) Sur R { ; 1}, f ( x+ 1) 1+ x+ x+ g( x) f( x) = = + = = = x + x+ x+ ( x+ 1)( x+ ) x+ ( x+ 1)( x+ ) ( x+ 1)( x+ ) ( x+ 1)( x+ ) Construisons un tableau de signes x+ = 0 ssi x= g x *x+ 0 x+1 0 x+ 0 (*x+)/((x+1)*(x+) 0 g( x) f( x) 0 ssi x ] ; [ ; 1 ] ; [ ; 1 Exercice 4 : Donc la courbe de f est au dessus de la courbe de g pour les réels de points On considère l équation ( E ) : ²+ +9 = 1 + x 1 ) L expression existe ssi x + x+ 9 0 Calculons = 4 ( 1) 9= 4+ 6= 40 0 Il y a deux racines : x1= = = 1 10 et x= = Le trinôme a son premier coefficient a = -1 négatif donc ce trinôme est positif pour tout réel entre ses racines Donc la racine carrée de ce trinôme est définie sur 1 10;1+ 10 ) Une racine carrée est un nombre positif Pour que l égalité (E) soit vraie, il n est pas possible que 1 + x soit strictement négatif Il n y aura donc pas de solution dans ce cas ) On suppose à présent que x - 1 Les deux membres de l équation étant positifs, il est équivalent que leurs carrés soient égaux Elevons au carré, cela nous donne : x + x+ 9= ( 1+ x) ssi x + x+ 9= 1+ x+ x ssi x 8= 0 ssi x 4= 0 ssi x = ou x = - Une seule solution est supérieure à -1 et c est x = 4 ) Pour que (E) admette une solution, il faut qu elle appartiennent à 1 10;1+ 10 Ce qui est le cas de x = Donc ( E ) admet une seule solution et c est la valeur et que x 1

5 Exercice 5 : petits problèmes indépendants 7 points 1 ) Avec la relation de Chasles et le point A, MA+ MB= AB donne ( ) MA+ MA+ AB = AB ssi 1 MA+ MA+ AB= AB ssi MA= AB AB ssi MA= AB ssi AM= AB Alors AM= AB Il suffit de choisir A et B distant d une longueur multiple de et de construire M à partir de A dans le même sens que AB ) On construit D à partir de A, en ajoutant les vecteurs bout à bout BC= BA+ AC= AB+ AC et BD= BA+ AD= AB+ AB AC= AB AC On remarque que BC= BD Les vecteurs sont colinéaires et admettent un point commun donc les points B, C et D sont alignés ) On construit I et J à partir de A, en ajoutant les vecteurs bout à bout IJ= IA+ AJ= AI+ AJ= AB AC+ AB+ AC= AB AC= CA+ AB= CB Les vecteurs sont égaux et les points distincts non alignés donc (IJ) et (BC) sont parallèles Graphique de l exercice 1 :