IUT GEII Nîmes. DUT 2 - Alternance Représentation fréquentielle - Séries de Fourier. Yaël Thiaux

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1 1 héorie DU2-Al IU GEII Nîmes DU 2 - Alernance Représenaion fréquenielle - Séries de Fourier Yaël hiaux Janvier 2015

2 2 DU2-Al héorie 1 héorie 2 3

3 3 DU2-Al Une somme de sinusoïdes? héorie v 1 () = 4 π sin(ω) v 1 ()

4 3 DU2-Al Une somme de sinusoïdes? héorie v 3 () = 4 3π sin(3ω) /3 v 1 () + v 3 ()

5 3 DU2-Al Une somme de sinusoïdes? héorie v 5 () = 4 5π sin(5ω) /5 v 1 () + v 3 () + v 5 ()

6 3 DU2-Al Une somme de sinusoïdes? héorie v 7 () = 4 7π sin(7ω) /7 v 1 () + v 3 () + v 5 () + v 7 ()

7 3 DU2-Al Une somme de sinusoïdes? héorie v 9 () = 4 9π sin(9ω) /9 v 1 () + v 3 () + v 5 () + v 7 () + v 9 ()

8 3 DU2-Al Une somme de sinusoïdes? héorie v 11 () = 4 11π sin(11ω) /11 v 1 () + v 3 () + v 5 () + v 7 () + v 9 () + v 11 ()

9 3 DU2-Al Une somme de sinusoïdes? héorie v 13 () = 4 13π sin(13ω) /13 v 1 () + v 3 () + v 5 () + v 7 () + v 9 () + v 11 () + v 13 ()

10 4 héorie DU2-Al Une somme de sinusoïdes? Un signal carré (de valeur efficace V) es donc la somme d une infinié de sinusoïdes : v() = 4 V π + 4 V 5π + 4 V... 9π sin(ω) + 4 V 3π sin(3ω) sin(5ω) + 4 V 7π sin(7ω) sin(9ω) + 4 V 11π sin(11ω)

11 4 héorie DU2-Al Une somme de sinusoïdes? Un signal carré (de valeur efficace V) es donc la somme d une infinié de sinusoïdes : v() = 4 V π + 4 V 5π + 4 V... 9π sin(ω) + 4 V 3π sin(3ω) sin(5ω) + 4 V 7π sin(7ω) sin(9ω) + 4 V 11π sin(11ω) peu donc s exprimer de la manière suivane : v() = + n=0 4 V sin((2 n + 1)ω) (2 n + 1) π

12 4 héorie DU2-Al Une somme de sinusoïdes? Un signal carré (de valeur efficace V) es donc la somme d une infinié de sinusoïdes : v() = 4 V π + 4 V 5π + 4 V... 9π sin(ω) + 4 V 3π sin(3ω) sin(5ω) + 4 V 7π sin(7ω) sin(9ω) + 4 V 11π sin(11ω) peu donc s exprimer de la manière suivane : v() = + n=0 4 V sin((2 n + 1)ω) (2 n + 1) π ou signal x() périodique peu êre exprimé sous la forme d une somme de sinus e de cosinus : + x() = a 0 + [a ncos(nω) + b nsin(nω)] n=1 On parle alors de séries de Fourier

13 héorie DU2-Al Une somme de sinusoïdes? Un signal sinusoïdal (v() = V 2sin(ω)) peu êre représené de 2 façons : 1 Représenaion emporelle : v() V 2 V = 1 f 2 Représenaion fréquenielle Specre en fréquence Valeur efficace (V) V f Fréquence (Hz) 5

14 héorie DU2-Al Une somme de sinusoïdes? éan composé d une infinié de sinusoïdes, voici ses représenaions possibles : 1 Représenaion emporelle : v() V = 1 f 2 Représenaion fréquenielle Specre en fréquence Valeur efficace (V) V 1 3 V 5 V 7 4 V π 2 f 4 V 3 π 2 3 f 4 V 5 π 2 5 f 4 V 7 π 2... Fréquence (Hz) 7 f 6

15 7 DU2-Al Une somme de sinusoïdes? héorie Valeur efficace (V) V 1 4 V π 2 V 3 V 5 V 7 4 V 3 π 2 4 V 5 π 2 4 V 7 π 2... Fréquence (Hz) f 3 f 5 f 7 f Fondamenal Harmoniques

16 héorie DU2-Al Calcul des coefficiens de Fourier Nous avons vu que ou signal périodique x() peu êre exprimé sous la forme suivane : + x() = a 0 + [a n cos(nω) + b n sin(nω)] n=1 Les coefficiens son calculés de la manière suivane : a 0 = 1 x()d : valeur moyenne 0 a n = 2 x() cos(nω)d 0 b n = 2 x() sin(nω)d 0 Exercice : Calculer les coefficiens de Fourier du signal ci-dessous E v() = 1 f Pour E=3V, calculer les ampliudes des 3 premières composanes de ce signal e représener les sur un graphe. 8

17 9 héorie DU2-Al Calcul des coefficiens de Fourier Soluion : Valeur moyenne : a 0 = 1 x()d = 1 2 ( Ed + Ed) a 0 = E ([] 2 0 [] 2 ) = E ( ) = 0 Coefficiens a n : a n = 2 x() cos(nω)d 0 a n = 2 E 2 ( cos(nω)d cos(nω)d) 0 2 a n = a n = 2 V ( 1 n ω [sin(nω)] n ω [sin(nω)] 2 ) 2 V n ω (sin( nω 2 nω ) sin(0) sin(nω ) + sin( )) = 0! 2

18 10 héorie DU2-Al Calcul des coefficiens de Fourier Soluion : Coefficiens b n : b n = 2 x() sin(nω)d 0 b n = 2 V 2 ( sin(nω)d sin(nω)d) 0 2 b n = b n = 2 V ( 1 n ω [ cos(nω)] n ω [ cos(nω)] 2 ) 2 V n ω b n = nω nω ( cos( ) + cos(0) + cos(nω) cos( 2 2 )) 2 V n ω nω nω ( cos( ) cos( 2 2 )) Les coefficiens b n seron non nuls uniquemen pour les valeurs impaires de n... b k = k=0 4 V (2 k + 1) π

19 11 héorie DU2-Al Calcul des coefficiens de Fourier Soluion : Ampliudes des 3 premières composanes du signal (n=1, n=3 e n=5) : b 1 = 4 3 π b 3 = π b 5 = π = 3, 82V = 1, 27V = 0, 76V 3V

20 12 DU2-Al Une somme de sinusoïdes? héorie Le aux de Disorsion Harmonique (DH ou HD) quanifie la par des harmoniques dans le signal, il es calculé (en %) de la manière suivane : V 2 V1 2 DH = 100 V1 2 Avec : V : valeur efficace du signal V 1 : valeur efficace du fondamenal Exercice Calculer les DH des signaux suivans : signal sinusoïdal signal carré de valeur efficace 3V

21 13 héorie DU2-Al Soluion : Signal sinusoïdal : un signal sinusoïdal n éan composé que d un fondamenal, la valeur efficace du fondamenal es égale à la valeur efficace du signal. DH = 0% (1) Signal carré de valeur efficace 4V : nous déerminons l ampliude du fondamenal de ce signal à l aide de la série de Fourier calculée précédemmen. b 1 = 4 3 π = 3,82V La valeur efficace de ce fondamenal peu donc êre déerminé : V 1 = b1 2 = 2,7V Le DH vau donc (e ce quelque soi le signal carré!) : 3 DH = ,7 2 2,7 2 = 48%

22 14 DU2-Al héorie 1 héorie 2 3

23 héorie DU2-Al Reconsrucion d un signal carré à l aide du logiciel SCILAB On souhaie reconsruire le signal ci-dessous à l aide de la décomposiion en série de Fourier du signal carré vue dans la parie héorique : E=2V = 1s Ouvrir Scilab e démarrer l édieur de exe Scinoes (en hau à gauche des icônes) Déclarer les consanes de nore signal (E e ) Déclarer le veceur emps : ce veceur emps aura pour valeur minimale 0, pour valeur maximale e on fxera un pas de emps égal à 1 ms. 1 Pour commencer, essayer d afficher le fondamenal du signal carré : sinusoïde d ampliude 4 E π e de période. Pour cela, vous devrez calculer les valeurs de ce fondamenal pour l ensemble des poins du veceur emps puis afficher ce fondamenal en foncion du emps On pourra s aider de la foncion linspace() 2. La foncion plo(x,y) perme de racer la courbe y=f(x) 15

24 16 DU2-Al Reconsrucion d un signal carré à l aide du logiciel SCILAB héorie Calculer mainenan les valeurs du premier harmonique de ce signal : sinusoïde d ampliude 4 E 3 π e de période 3. Afficher alors la somme du fondamenal e du premier harmonique. Nous pourrions calculer un à un chacun des harmoniques de ce signal puis les sommer e afficher cee somme mais le plus simple es de créer une foncion qui fera le ravail à nore place...une foncion sous Scilab se déclare de la manière suivane (exemple d une foncion somman 2 paramères d enrée) : funcion sorie=nom-foncion(enree1, enree2) sorie= enree1 + enree2 endfuncion Créer une foncion permean de renvoyer un signal carré avec n composanes. Faies appel à cee foncion e afficher le signal carré composé de 5, 20 e 100 composanes.

25 17 DU2-Al Reconsrucion d un signal carré à l aide du logiciel SCILAB Résula : héorie S il vous rese du emps, faies en de même pour le signal suivan : 0,5 v() -0,5 = 1s 1 v() = n π sin(nω) n=1

26 18 DU2-Al héorie 1 héorie 2 3

27 19 DU2-Al ravaux praiques Specre d un signal sinusoïdal héorie Ouvrir l oscilloscope sur PC (PicoScope6) A l aide du GBF, envoyer sur la voie A un signal sinusoïdal d ampliude 4 V, de valeur moyenne nulle e de fréquence 100 Hz. Sélecionner le mode de specre à l aide de symbole en hau à gauche de vore fenêre. Dans Opion de Specre, sélecionner une échelle linéaire. Sélecionner une largeur de specre adéquae compe enu de la fréquence du signal envoyé. racer alors le specre en fréquence de ce signal. Quel es le niveau de ension aein par la raie à 100 Hz? Exise--il des harmoniques? Ajouer une composane coninue de 5 V sur vore monage, le specre en fréquence es-il modifié?

28 20 DU2-Al ravaux praiques Specre d un signal carré héorie A l aide du GBF, envoyer sur la voie A un signal carré d ampliude 4 V, de valeur moyenne nulle e de fréquence 100 Hz. Sélecionner une largeur de specre adéquae compe enu de la fréquence du signal envoyé. racer alors le specre en fréquence de ce signal. Idenifier (fréquence e niveau de ension aein) le fondamenal e les 6 premières harmoniques Jusifier héoriquemen ces résulas. Calculer le HD (en %) de ce signal. racer alors sur vore copie, le specre en fréquence d un signal carré d ampliude 10 V, de valeur moyenne nulle e de fréquence 1500 Hz. Une fois le specre héorique racé, validez celui-ci expérimenalemen.

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