Centre d inertie, Opérateur d inertie

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1 PI es Ulis Cous CI8 DYNAMIUE DE YTEME Cente d inetie, Opéateu d inetie I CENTRE D INERTIE Un point G est cente d inetie du sstème matéiel Σ s il véifie la elation : avec = µ ( dv ( et ( P Σ GP( = 0 µ la masse volumique au point P Position du cente d inetie G : Avec O un point quelconque fié m ( Σ ) OG = OP( P Σ i Σ pésente des éléments de smétie matéielle (smétie géométique et de la distibution massique) alos le cente d inetie appatient à ces éléments. II THEOREME DE GUDIN Idée : ne pas passe pa le calcul de l intégale afin de détemine le cente d inetie G dans cetains cas paticulies Théoème 1 : a suface latéale engendée pa la otation d une ligne (plane) autou d un ae coplanaie à et ne la coupant pas est égale au poduit de la ciconféence décite pa le cente d inetie G de la ligne et la longueu de la ligne. Remaque : a masse linéique de la ligne doit ête constante et est notée latéale = π. G. µ l Démonstation : M OG = OPµ dl P µ.. OG. = µ.. G = µ pdl avecµ constante O P latéale = π. Pdl = π. G. P O G G : longueu () Théoème : e volume engendé pa la otation de la suface plane autou d un ae coplanaie à et ne la coupant pas est égale au poduit de la ciconféence décite pa le cente d inetie G de la suface et l aie de la suface. Remaque : a masse sufacique de la suface doit ête constante et est notée µ : aie () Vengendé = π. G. G Démonstation : M OG = OPµ ds P O G ciences Industielles pou l Ingénieu - Page 9 -

2 PI es Ulis Cous CI8 DYNAMIUE DE YTEME µ.. OG. = µ.. G = µ Pds avecµ constante P O Vengende = π. Pds = π. G. P III MOMENT D INERTIE PAR RAPPORT A UN AXE Notons : u u ( ; δ ),δ étant unitaie H la pojection de othogonale de P su On appelle moment d'inetie d'un solide pa appot à un ae la quantité I = / PH ( P P H δ e moment d'inetie caactéise la manièe dont la masse est épatie dans le solide autou de l'ae et est lié à la facilité ou non de mette en otation autou de : plus I est gand, plus est difficilement mis en otation autou de. / 'unité d'un moment d'inetie est le kg.m. IV OPERATEUR D INERTIE D UN OIDE / P P e moment d'inetie I = PH ( ) peut facilement ête calculé en utilisant le fait que PH = PH = P δ = ( P δ ) ( P δ ) = δ ( P δ ) Donc I / = PH ( = δ ( P δ ) ( = δ ( P δ ) ( P P application linéaie qui a tout vecteu u fait coesponde le vecteu P uuu ( u P uuu ) ( p) est appelé opéateu d inetie du solide () au point. On a la elation I / = δ.( I (, ).δ ) P Cette application est linéaie (poduit vectoiel + intégales) et est epésentable pa une matice smétique dans une base donnée. Calculons les temes de la matice d inetie : on pose a u = b dans R ( O,,, ). c ciences Industielles pou l Ingénieu - Page 10 -

3 PI es Ulis Cous CI8 DYNAMIUE DE YTEME P ( u = a b c = b c c a = a b a + a. b. c b + b. c. a c + c. a. b En utilisant la notation maticielle, on emaque que ce teme peut s écie comme le poduit de deu matices : + a P u P = +. b. En intégant su on obtient finalement en + c simplifiant pa u : I (, ) = ( + )... (. + ).. (. A. = F E ). + F B D E D C, (,, ) A, B, C sont appelés espectivement moments d inetie pa appot au aes (, ), (, ), (, ). D, E, F sont appelés espectivement poduits d inetie pa appot au plans (,, ), (,, ), (,, ). a matice est smétique à valeus éelles, il est donc possible de touve une base othonomée pou laquelle la matice d inetie est diagonale. Cette base est appelée base pincipale d inetie du solide.,, A 0 0 u B u 0 0 C 1 Ι (, ) = [ ] sont les aes pincipau d inetie. A 1, B 1, C 1 sont les moments pincipau d inetie (,,, ) e epèe dont l oigine est le cente d inetie G du solide et dont les aes sont paallèles à ceu de la base pincipale d inetie du solide, est appelé epèe cental d inetie. ciences Industielles pou l Ingénieu - Page 11 -

4 PI es Ulis Cous CI8 DYNAMIUE DE YTEME V CA DE YMETRIE MATERIEE But : Réduie les calculs (et donc les eeus) en mettant en évidence des popiétés simplifiant la matice d inetie et en choisissant des bases d epession paticulièes métie matéielle=smétie géométique + smétie au niveau de la épatition des masses. V.1 olide possédant un plan de smétie possède un plan de smétie Π passant pa. Choisissons un epèe R (,,, ) tel u que le plan (,, ) soit confondu avec Π. a smétie associe à tout point P(,,) le point P (,,-). a matice d inetie en dans la base considéée s écit alos : A F 0 (, ) u = F B 0 u 0 0 C [ Ι ] (,,, ) i est la nomale d un plan de smétie matéielle de alos les poduits d inetie en à savoi D =. ( et E =. ( sont nuls. V. olide possédant deu plans de sméties i possède deu plans de smétie pependiculaies (ce qui est le cas s il en a deu), les poduits d inetie en sont nuls dans une base othonomée dont les aes appatiennent au plans de smétie. a matice est diagonale. A 0 0 Ι (, ) u = 0 B 0 u 0 0 C [ ] (,,, ) V.3 olide de évolution pésente une smétie matéielle de évolution autou d un ae (, ).a matice d inetie en dans un base contenant l ae est. A 0 0 Ι (, ) u = 0 A 0 u 0 0 C [ ] = + avec A C ( p) (,,, ) ciences Industielles pou l Ingénieu - Page 1 -

5 PI es Ulis Cous CI8 DYNAMIUE DE YTEME VI THEOREME DE HUYGEN But : détemine la matice d inetie de en à pati de I(G,) avec G, le cente d inetie. [ Ι (, ) ] u = P ( u ( p) uuu uuu uuu P = G + GP uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu Ι (, ) u = ( G + G ( u = G ( u + GP ( u P { ) uuu uuu ( p) ( p) ( p) G+ GP uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu m 0 I ( G, ) u G [ Ι (, ) ] u = G u P ( p) + GP ( p) ( u G) + GP ( u G ( p) uuu uuu Ι (, ) u = I( G, ) u + m G ( u G) Conclusion : a matice d inetie en de s epime à pati de la matice d inetie de G en et d une matice d inetie I(,G m (s) ). u I G u I G m u [ ] [ ] Ι (, ) = (, ) + (, ( ) ) G uuu avec G = G G [ ] [ ] G G G G G G ( ) ( ) G G G G G G G G GG G + G on a I (, G m ) = m + uuu uuu Ι (, ) u = I( G, ) u + m G ( u G) + Remaque : C est pa appot à des aes passant pa le cente d inetie d un solide que les moments d inetie sont minimau. ciences Industielles pou l Ingénieu - Page 13 -

6 PI es Ulis Cous App CI8 DYNAMIUE DE YTEME VII APPICATION VII.1 Clinde plein et ceu On considèe un clinde plein de aon R et de hauteu h, de masse volumique µ unifome. Détemine la position du cente d inetie. Détemine l opéateu d inetie en O Détemine l opéateu d inetie en G O u Détemine la position du cente de gavité ainsi que l opéateu d inetie en G d un clinde ceu de aon etéieu R et de aon intéieu uelques opéateus à connaîte (pa cœu) ciences Industielles pou l Ingénieu - Page -

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