Repérage et configurations du plan

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1 HPITRE 0 Repérage et configurations du plan Le programme L objectif de l enseignement de la géométrie plane est de rendre les élèves capables d étudier un problème dont la résolution repose sur des calculs de distance, la démonstration d un alignement de points ou du parallélisme de deux droites, la recherche des coordonnées du point d intersection de deux droites, en mobilisant des techniques de la géométrie plane repérée. Les configurations étudiées au collège, à base de triangles, quadrilatères, cercles, sont la source de problèmes pour lesquels la géométrie repérée et les vecteurs fournissent des outils nouveaux et performants. En fin de compte, l objectif est de rendre les élèves capables d étudier un problème d alignement de points, de parallélisme ou d intersection de droites, de reconnaissance des propriétés d un triangle, d un polygone toute autonomie pouvant être laissée sur l introduction ou non d un repère, l utilisation ou non de vecteurs. ans le cadre de la résolution de problèmes, l utilisation d un logiciel de géométrie dynamique par les élèves leur donne une plus grande autonomie et encourage leur prise d initiative. ontenus apacités attendues ommentaires oordonnées d un point du plan bscisse et ordonnée d un point dans le plan rapporté à un repère orthonormé. istance de deux points du plan. Milieu d un segment. Repérer un point donné du plan, placer un point connaissant ses coordonnées. alculer la distance de deux points connaissant leurs coordonnées. alculer les coordonnées du milieu d un segment. Un repère orthonormé du plan est défini par trois points (O, I, J) formant un triangle rectangle isocèle de sommet O. À l occasion de certains travaux, on pourra utiliser des repères non orthonormés. onfigurations du plan Triangles, quadrilatères, cercles. Pour résoudre des problèmes : Utiliser les propriétés des triangles, des quadrilatères, des cercles. Utiliser les propriétés des symétries axiale ou centrale. Les activités des élèves prennent appui sur les propriétés étudiées au collège et peuvent s enrichir des apports de la géométrie repérée. Le cadre de la géométrie repérée offre la possibilité de traduire numériquement des propriétés géométriques et permet de résoudre certains problèmes par la mise en œuvre d algorithmes simples. Notre point de vue e chapitre traite la partie oordonnées d un point du plan et onfigurations du plan du thème «Géométrie» du programme de la classe de Seconde. L objectif est de reprendre certaines notions fondamentales en géométrie vues au collège (à réactiver grâce aux notions abordées dans les exercices de début pour réactiver les savoirs), de les approfondir et de les retravailler à l aide d un nouvel outil : la géométrie repérée. En effet, les formules donnant les coordonnées du milieu d un segment, ainsi que la distance de deux points dans un repère orthonormé, permettent de résoudre de nombreux problèmes sur les quadrilatères usuels, les cercles ou les symétries. Les séquences et 3 du cours mettent l accent sur des notions essentielles en géométrie, notions connues, mais qui sont revisitées en utilisant en particulier les notions de logique au programme de la classe : l accent est mis sur la différence hapitre 0 Repérage et configurations du plan Indice de 83

2 entre une proposition et sa réciproque (dans le cas du théorème de Pythagore et du théorème de Thalès), on découvre la notion de contraposée à l occasion du théorème de Pythagore et on travaille sur la notion de condition nécessaire et suffisante à l occasion de la caractérisation des quadrilatères remarquables. Les divers types de raisonnement sont particulièrement mis en avant dans ce chapitre, aussi bien dans les activités (par exemple, l activité 3), que dans le cours et les savoir-faire (SF 5 : «démontrer avec un raisonnement par contraposée»), ou bien dans les exercices. Les notions abordées dans le chapitre 0 Repérage dans le plan Propriétés des triangles et des cercles Propriétés des quadrilatères Symétrie axiale et symétrie centrale Utilisation d un logiciel de géométrie dynamique Réactiver les savoirs Voir manuel page 333 et le site pour les corrigés détaillés. ctivités ctivité Pavages et repérages du plan ette activité revient dans un premier temps sur les repères orthonormés, déjà utilisés au collège. On découvre ensuite un nouveau type de repère, toujours à partir d une situation concrète : les pavages.. On définit un repère du plan en choisissant un point O, l origine : c est un sommet d un des carrés du pavage. Puis, on choisit un autre sommet I de ce carré et le sommet J opposé à I : (O, I, J) est alors un repère du plan.. a. oordonnées des points : (4 ; 3), (6 ; 5), (3 ; 0), E(0 ; 3). b. Figure avec les points F, G, H. J O ctivité I F G istance de deux points ette activité permet de découvrir la formule donnant la distance de deux points et dans un repère orthonormé. Pour cela, on fait d abord un calcul de distance à vol d oiseau sur une carte munie d un quadrillage GPS, ce qui donne la méthode de la démonstration dans un cadre plus général. On s intéresse ensuite à un cas plus général, mais avec quelques conditions sur la position des points et : on remarque enfin que la position des points n a pas d influence sur la formule générale. Fichier associé sur le site : 0_seconde_activite.url (fichier élève, GeoGebraTube) ; sur le manuel numérique premium : 0_seconde_activite.ggb (fichier élève, GeoGebra). H E. Le quadrillage permet de considérer un triangle rectangle dont les côtés de l angle droit ont pour longueur 4 km et km. L hypoténuse a donc pour longueur, en km : 4 + = 7 4,. La distance à vol d oiseau entre la roix de ormiaz et le refuge des rolles est environ 4, km.. a. a pour coordonnées (x ; y ). b. () et () sont respectivement parallèles à (OJ) et (OI). Puisque (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, () et () le sont aussi, donc le triangle est rectangle en. c. = PQ = PO + OQ. PO = x et OQ = x donc = x x. e la même façon : = SR = SO OR = y y. d. après le théorème de Pythagore dans le triangle : = +, soit = (x x ) + (y y ). d où : = ( x x ) + ( y y ). 3. a. P R J S 0 I Q b. = x x. c. La formule n est pas modifiée car (x x ) = (x x ). 84

3 ctivité 3 Une figure trompeuse! ette activité permet de découvrir plusieurs types de raisonnement à partir d une situation géométrique dans laquelle la perception est mise en défaut par la démonstration. ette activité offre la possibilité de revenir sur les thèmes essentiels vus au collège en géométrie : théorème de Thalès, théorème de Pythagore, cas particulier de l inégalité triangulaire, calculs d aires. Fichier associé sur le site : 0_seconde_activite3.url (fichier élève, GeoGebraTube) ; sur le manuel numérique premium : 0_seconde_activite3.ggb (fichier élève, GeoGebra).. a. On applique le théorème de Thalès aux parallèles () et (F) dans le triangle EF. b. E E = 3 et F = 3 8. c. es deux rapports sont différents puisque 3 = et 8 3 = 68. onc, l hypothèse faite au départ est fausse : les 73 points, E, F ne sont pas alignés.. a. vec le théorème de Pythagore dans les triangles E, F et EF, on trouve : E = 33 ; F = 89 ; EF = 60. b. E + F = E + F EF, donc les points, E, F ne sont pas alignés. En effet, E,, F alignés dans cet ordre implique l égalité E + F = EF. La contraposée de cette implication est : E + F EF implique E,, F non alignés dans cet ordre. 3. L aire du carré est 64. L aire de E est 5, celle de F est 0, celle de EF est 36,5. La somme des aires du carré et des triangles E et F est 36 : elle est inférieure à l aire du triangle EF. onc les points E,, F ne sont pas alignés. 4. a. oordonnées des points : (8 ; 8), E( ; 0) et F(0 ; 3). b. On pose f (x) = ax + b, avec a et b réels. On a : f () = 0 et f (0) = 3. où : a + b = 0 et b = 3. On en déduit : a = 3. insi : f (x) = 3 x + 3. f (8) = 69 : puisque f (8) 8, le point n appartient pas à la droite (EF), donc E, et F ne sont pas alignés. ctivité 4 Un isocerfvolant ette activité permet de travailler sur les quadrilatères classiques de la géométrie et leurs propriétés : parallélogrammes, rectangles, losanges, carrés. Elle est aussi l occasion de réaliser des constructions géométriques avec les outils du collège. Fichier associé sur le site : 0_seconde_activite4.url (fichier élève, GeoGebraTube) ; sur le manuel numérique premium : 0_seconde_activite4.ggb (fichier élève, GeoGebra).. a. Isocerfvolant en : b. Quadrilatère ayant un axe de symétrie et qui n est pas un isocerfvolant : il suffit de construire un losange qui n est pas un carré.. a. Vrai. b. Faux : en effet, la diagonale [] d un rectangle n est pas un axe de symétrie d un rectangle non carré. c. Vrai : un isocerfvolant dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme ; c est un rectangle car il a un angle droit, et c est un carré car c est un rectangle dont une diagonale est un axe de symétrie. 3. a. On construit d abord le segment [], puis la perpendiculaire à () en : le cercle de centre et de rayon 4 coupe cette perpendiculaire en deux points, soit l un d eux. On trace ensuite la médiatrice (d) de [] et le cercle () de centre et de rayon 3 : (d) et () se coupent en deux points et. On obtient ainsi deux isocerfvolants différents : l un est convexe, l autre pas. b. On calcule dans le triangle rectangle : = 4. c. L aire de est 8. On calcule ensuite I, où I est le milieu de [] : I + ( ) = 9, soit I =. L aire de est. d. L aire de l isocerfvolant convexe est égale à 8 +. L aire de l isocerfvolant non convexe est égale à 8. hapitre 0 Repérage et configurations du plan Indice de 85

4 E Exercices Pour démarrer. x I = ; x J = 0.. O (0 ; 0). 3. (OI) et (OJ) sont perpendiculaires. (3 ; ), (0 ; ), ( ; ), ( ; 0), E ( ; ). 3 P(3 ; ), Q( ; 3), R( ; ), S( ; ), T( 3 ; 0). 4 On obtient la représentation graphique suivante : y E 0 5 est l axe des abscisses. 6 est une droite parallèle à l axe des ordonnées. 7. Formule a.. Formule b ;. 5 ; 3. 5 ; 4. 0 = ;. 65 ; ; EF = 3 ; EG = ; FG = 8 =.. K = 5 ; K = 5.. K est équidistant de et.. Milieu de [] : (3 ; 3).. Milieu de [] : 3 ( ; 6 ). 3. Milieu de [] : 9 ( ; 5 ).. Milieu de [] : (8 ; 5). 4 Exercice corrigé, voir page 333 du manuel. 5 entre du cercle : Ω( ; 4). 6 = 6 ; = 58 ; = 65. e sont et les plus éloignés. 7. = ; = 8 ; = 0. = +, donc est un triangle rectangle en. 8. O = = 3, donc le triangle O est isocèle en. 9 Les deux phrases complétées sont : x prend la valeur (x + x )/ y prend la valeur (y + y )/. 0. Non, car OI =.. Oui, car O =. Son rayon est : = 5. Le symétrique de est (4 ; 3) et le symétrique de est. F x 3. La hauteur et la médiatrice.. On trace deux médiatrices du triangle : leur point d intersection donne le centre du cercle. 4. Le troisième côté peut être l hypoténuse ou non.. Si c est l hypoténuse, alors le troisième côté a pour longueur 544 cm = 4 34 cm. Sinon, il a pour longueur 6 cm. 5 = +, donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en. 6. Oui ;. Non ; 3. Non ; 4. Oui. 7. Il est rectangle en H.. H = 3. 8 Exercice corrigé, voir page 333 du manuel. 9 vec le théorème des milieux, on trouve : = 6 ; = 8 ; =. 30 après le théorème des milieux, (IJ) est parallèle à (). Puisque la médiatrice de [] est perpendiculaire à (), on en déduit que (IJ) est perpendiculaire à cette médiatrice. 3 On a : = 6 5 et = 6 5. Puisque = avec,, alignés et,, alignés dans le même ordre, la réciproque du théorème de Thalès prouve que () et ( ) sont parallèles. 3. O est le milieu de [], donc d après le théorème des milieux dans, M est le milieu de [].. (M) et (O) sont deux médianes du triangle, donc R est le centre de gravité de ce triangle. 33. est le milieu de l hypoténuse.. L hypoténuse a pour longueur 7, donc le rayon du cercle est OT et OT sont rectangles, respectivement en T et T.. T + OT = O et T + OT = O. Puisque OT = OT, alors T = T. 35 Le cercle passant par,, H a pour diamètre []. Puisque () est perpendiculaire à () en, la droite () est la tangente à ce cercle en. 36. Non : ce peut être par exemple un trapèze rectangle.. Oui, ce sont tous les carrés. 37. () et () sont sécantes, donc toute parallèle à l une des droites est sécante à l autre.. () est parallèle à (), donc à (M), et () est parallèle à (M), donc M est un parallélogramme. 38. Les centres de ces parallélogrammes semblent confondus.. omme est un parallélogramme, [] et [] ont même milieu O ; de même, [] et [EF] ont même milieu : ce milieu est O, donc [] et [EF] ont même milieu. insi, EF est un parallélogramme. 86

5 39 est un parallélogramme, car ses diagonales se coupent en leur milieu. Et c est un losange car elles sont perpendiculaires. 40 EFO est un rectangle. 4 MP = 5 cm. 4 Son côté mesure 8 cm = 4 cm. 43 Exercice corrigé, voir page 333 du manuel. 44. Les diagonales d un rectangle se coupent en leur milieu et ont même longueur.. Un rectangle a un cercle circonscrit car son centre est à égale distance des quatre sommets (ceci parce que les demidiagonales ont même longueur). 3. Son rayon est Les diagonales d un parallélogramme se coupent en leur milieu.. On construit le segment [], puis le milieu O de []. On trace alors la droite (O) qui n est autre que (). 46. Vrai.. Réciproque : «si a quatre côtés égaux, alors c est un carré». Elle est fausse : il suffit pour cela de considérer un losange non carré. 47. est lui-même.. O = O 3. L image de O par la symétrie de centre O est le point O. 48. L image de est ; celle de E est F.. E = F, car une symétrie centrale conserve les longueurs. 49, I, sont alignés, donc leurs points images, K, E par la symétrie d axe () sont aussi alignés. 50 I = I, car I et sont respectivement les symétriques de I et par rapport à (d). e même, I = I car I et sont respectivement les symétriques de I et par rapport à (d ). 5. OK = OI =, donc K appartient au cercle. insi, [IK] est un diamètre du cercle car I et K sont sur le cercle et O appartient à [IK].. IK est un triangle rectangle en. 5 OE est un losange. Pour s entraîner 53. oordonnées des points : ( ; 0,5), ( 0,5 ; ), (0,5 ;,5), ( ; ), E(,5 ; ). 54. = 0 ; = 65 ; = 45.. est rectangle en. 55 E = 3 ; E = 3 ; E = 3. Puisque E = E= E, E est le centre du cercle circonscrit à ; son rayon est = = 5, donc est sur la médiatrice de [].. = = 9, donc est sur la médiatrice de []. insi, () est la médiatrice de [] : elle coupe donc [] en son milieu. 57. vec ( ; ) : NON ; avec (0 ; ) : OUI.. doit appartenir au cercle de centre O et de rayon. 58. E( ; ) et F( ; ).. Oui, car [] et [] ont même milieu. 59 On résout 5+x = 3 et +y = 7. a pour coordonnées ( ; ). 60 Le milieu de [] a pour coordonnées 7 ( ; ). On résout x 4 = 7 y+3 et =. onc, a pour coordonnées ( ; ). 6 Exercice résolu, voir page 0 du manuel. 6 Exercice corrigé, voir page 333 du manuel. 63. (0,5 ; 0) ; ( ; ), F(0 ; ) ; G(0,5 ; ) ; H(0 ; ) ; K( ; ) ; J( ; 0).. (0 ; ) ; ( 0,5 ; ) ; ( ; ) ; ( ; ) ; F(0 ; 3). 64 Vrai, car E = E = Faux, car x + y = K est rectangle en K car K appartient au cercle de diamètre []. L est rectangle en L car L appartient au cercle de diamètre [].. (L) et (K) sont deux hauteurs du triangle : H est l orthocentre de ce triangle, donc la droite (H) est la 3 e hauteur du triangle. On en déduit que (H) est perpendiculaire à (). 67 ans le triangle F, () et (EF) sont des hauteurs. Elles se coupent en E, donc E est l orthocentre de ce triangle : la 3 e hauteur de ce triangle est (E), donc (E) est perpendiculaire à (F). 68 ans le triangle G, () et () sont des hauteurs : elles se coupent en F, donc (FG) est la 3 e hauteur de ce triangle. elleci est perpendiculaire à () et passe par F, c est donc aussi la droite (EF). insi, E, F, G sont alignés. 69 Exercice corrigé, voir page 333 du manuel. 70 (J) est la bissectrice issue de O dans le triangle O. La droite (OI) est une médiane du triangle O : elle est aussi bissectrice car O est isocèle en O (car O = O). es deux bissectrices se coupent en J, donc la troisième bissectrice de ce triangle passe aussi par J : (J) est bien bissectrice de O!. 7 Fichier associé sur le manuel numérique premium : 0_seconde_ ex7.ggb (fichier corrigé enseignant, GeoGebra). vec le logiciel, en modifiant le triangle, on conjecture que le triangle E est isocèle. La droite (EI) passe par le milieu I de [] et elle est perpendiculaire à () (car parallèle à (H) qui est perpendiculaire à ()), donc c est la médiatrice de []. On en déduit : E = E, donc E est isocèle en E. 7.! = I! car ces angles sont alternes-internes. On a aussi :! = I!, car ces angles sont correspondants. Le triangle est isocèle en, donc! =!. On en déduit : I! = I!, donc la droite (d) est la bissectrice de l angle!.. Le point I appartient à deux bissectrices du triangle, c est donc le point de concours des bissectrices de ce triangle. insi, (I) est la troisième bissectrice de ce triangle. hapitre 0 Repérage et configurations du plan Indice de 87

6 73 Soit P et P les deux palmiers, et les cimes des arbres et F la position du poisson. On note PF = x, et le théorème de Pythagore appliqué dans les triangles rectangles FP et FP donne : 9 + x = F et 6 + (5 x) = F. On a F = F car les oiseaux P F P ont même vitesse et même temps de vol, d où : 8 + x = x + x, soit x = 6. Le poisson est à 6 m du grand palmier. 74 Fichier associé sur le manuel numérique premium : 0_ seconde_ ex74.ggb (fichier corrigé enseignant, GeoGebra).. On conjecture que le point doit être tel que = 3,75.. On pose : = x, d où E = x (car EF est un carré) et on applique le théorème de Thalès dans le triangle : = E, soit 0 x = 0 6 x. où : 60 6x = 0x et x = 5 4 = 3, L aire de I est c r.. L aire du triangle est la somme des aires des triangles I, I et I, soit : cr+ ar+ br =S. Soit pr = S et r = S p. 3. Pour ce triangle rectangle, S = bc, soit : r = bc a+b+c. 76 = 6 ; F = 8,5 ; F = 7,5. F + F = 5,5. Puisque F + F est différent de, le triangle F n est pas rectangle, d après la contraposée du théorème de Pythagore. 77, = et =, M, N Si on avait M = N, alors on aurait,000 00, =, et ainsi :, =, soit + 0, = + 0, et 0 = 0, ce qui est faux. insi : M N, et d après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (MN) et () ne sont pas parallèles. 78 Exercice résolu, voir page du manuel. 79 orrectif : il se peut que dans certains manuels il y ait une erreur dans l énoncé. Il faut lire : «( ) elle obtient une aire de 6 ou de 59». Étude de la figure de gauche : on suppose les points,, alignés. La somme des aires des triangles colorés en bleu et rouge et des aires des parties de rectangles jaune et orange est égale à : 0, = 9,5. Or, l aire du triangle H, où H est le pied de la hauteur issue de dans le triangle E est égale à 30. es deux aires devraient être égales, donc,, ne sont pas alignés et est à «l intérieur» du triangle E. Étude de la figure de droite : on suppose les points,, alignés. La somme des aires des triangles colorés en bleu et rouge et des aires des parties de rectangles jaune et orange est égale à : 0, = 30,5. Or, l aire du triangle H, où H est le pied de la hauteur issue de dans le triangle E est égale à 30. es deux aires devraient être égales, donc,, ne sont pas alignés et est à «l extérieur» du triangle E. ans les deux cas, la figure est trompeuse : on n a pas un triangle. 80 Non, cela dépend de la position des points,,,. est faux en particulier si et sont de part et d autre de O, et et du même côté par rapport à O. 8 est faux : ils sont égaux à. 8 est faux : il est bien tangent aux trois côtés du triangle, mais pas nécessairement en leurs milieux. 83 M appartient au cercle de diamètre [], donc (M) et (M) sont perpendiculaires. K appartient au cercle de diamètre [E], donc (K) et (EK) sont perpendiculaires, et aussi (M) et (EK). On en déduit que (M) et (EK) sont parallèles. 84 Supposons que () soit la tangente au cercle en. lors, le triangle O est rectangle en et le théorème de Pythagore donne : O = O +, soit 7 = 5 + 5, ce qui est faux. onc, () n est pas la tangente à en. 85 Exercice corrigé, voir page 334 du manuel. 86. L orthocentre du triangle H est le point.. Le point M appartient au cercle de diamètre [H] car le triangle HM est rectangle en M. e même pour le point N, car le triangle HN est rectangle en N. 87 La diagonale du carré a pour longueur R, et le côté du carré a pour longueur R + r. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle d hypoténuse la diagonale du carré et de côtés les côtés du carré. On a : (R + r) = (R), soit (R + r) = R. où : R + r = R, et r = ( )R. insi : R r = = H = 3 et =. 89. Les points, P, R, H sont sur le cercle de diamètre [PR] : P et R de façon évidente, et H car les triangles PR et HPR sont respectivement rectangles en et H. Le centre O de ce cercle est le milieu de [PR].. Le cercle Γ contient, et H. Mais le triangle H est rectangle en H, donc [ ] est un diamètre de Γ : on en déduit que O est le milieu de [ ], donc O, et sont alignés. O 88

7 3. P R est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu : c est de plus un rectangle, car il a un angle droit en. 90 Vrai. ans le triangle rectangle OM, on a : OM = O + M, soit M = 5 9 = 6, ce qui donne M = 4. 9 Vrai. On note O et O les centres de ces deux cercles. Les tangentes en sont perpendiculaires si et seulement si le triangle OO est rectangle en, ce qui équivaut à OO = O + O, soit OO = r, ce qui équivaut à OO = r. 9. E est un rectangle (c est un parallélogramme avec un angle droit en ).. IJ est un losange car c est un parallélogramme dont les diagonales [] et [IJ] sont perpendiculaires. 93 O = 3= O avec, O, et, O, alignés dans le même O O ordre : d après la réciproque du théorème de Thalès, () est parallèle à (). insi, est un trapèze. e n est pas un parallélogramme, car = 3, donc n est pas égal à. 94. Vrai : si on note ce quadrilatère dont les angles droits sont en et, alors,, et sont sur le cercle de diamètre [].. Réciproque : «si les quatre sommets d un quadrilatère sont sur un même cercle, alors deux angles opposés de ce quadrilatère sont des angles droits.» Faux : si on note ce quadrilatère, ceci ne serait vrai que si [] ou [] était un diamètre de ce cercle. 95 Exercice corrigé, voir page 334 du manuel. 96. On a bien : = 600, donc le triangle est rectangle en.. J est le centre du cercle circonscrit au triangle : c est le milieu de []. 3. a. En utilisant le théorème des milieux, on montre que (I) est parallèle à (KJ) et que (K) est parallèle à (IJ), donc KJI est un parallélogramme. Il a un angle droit en, donc c est un rectangle. K H J b. (IK) est parallèle à (), donc (IK) est perpendiculaire à (H) : soit E le point d intersection de ces droites. lors, le théorème des milieux dans le triangle H montre que F est le milieu de [H]. insi, la droite (IK) est la médiatrice de [H] car elle est perpendiculaire à (H) en son milieu : on en déduit que tout point du segment (IK] est à égale distance des points et H. 97 Vrai. On le démontre en utilisant la propriété des angles correspondants, et celle des angles alternes- internes. F I 98 Faux. On peut dessiner un quadrilatère de ce type faisant office de contreexemple. 99. ans le triangle, le théorème des milieux permet de dire que (MQ) est parallèle à (). ans le triangle, le théorème des milieux permet de dire que (NP) est parallèle à (). On en déduit que (MQ) est parallèle à (NP). On applique de la même façon le théorème des milieux dans les triangles et, et on en déduit que (MN) est parallèle à (PQ). insi, MNPQ est un parallélogramme.. MNPQ est un rectangle si et seulement si (MN) est perpendiculaire à (NP), ce qui équivaut à () perpendiculaire à (). MNPQ est un losange si et seulement si MN = NP, ce qui équivaut à =. MNPQ est un carré si et seulement si = et () perpendiculaire à (). 00 Par la symétrie de centre I, et se transforment en et, donc =. Par la symétrie d axe (), et se transforment en E et, donc = E. On en déduit : = E. 0 est un losange car c est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs [] et [] sont de même longueur. 0 a pour image le triangle par la symétrie de centre I, milieu de [ ] (qui est aussi le milieu de [ ]). 03 Exercice résolu, voir page 4 du manuel. 04 Exercice corrigé, voir page 334 du manuel. 05 après le théorème des milieux dans, (IJ) est parallèle à (), donc (IJ) est perpendiculaire à (H) en un point que l on note K. après le théorème des milieux dans le triangle H, le point K est le milieu de [H]. insi, (IJ) est perpendiculaire à [H] en son milieu : il s ensuit que H est le symétrique de par rapport à (IJ). 06. OE est un losange : c est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu I, et il a deux côtés consécutifs de même longueur (O = O).. Le polygone E admet la droite (OE) comme axe de symétrie. On calcule : = 8 4 = 4 3. L aire du polygone E est : = Faux : un rectangle n a que deux axes de symétrie, les droites passant par son centre et perpendiculaires aux côtés. 08 Faux : dans cette figure, par exemple, les segments [MM ] et [NN ] n ont pas le même milieu. E hapitre 0 Repérage et configurations du plan Indice de 89

8 90 O N 09. = 3 + = 3 ; = = 5 ; = + 8 = 65. Puisque + =, le triangle est rectangle en, donc () et () sont perpendiculaires.. [] et [] ont même milieu, le point de coordonnées ( ; ), donc est un parallélogramme. omme il possède un angle droit (en ), c est un rectangle. 3. L aire de est égale à = 45 ; = 90 ; = 45. Puisque + =, le triangle est rectangle en. On a aussi : = = 45, donc est isocèle : c est bien un triangle rectangle isocèle.. est un parallélogramme car ses diagonales [] et [] se coupent en leur milieu E. est un carré car il a un angle droit (en ) et deux côtés consécutifs de même longueur ( = ). 3. Le périmètre de est égal à 5. On calcule : MN = 00 ; MH = 4 + h ; NH = 64 + h. Le triangle MNH est rectangle en H, d où : MN = MH + NH, soit : 00 = 4 + h h. où : h = 6, soit h = 4. Exercice corrigé, voir page 334 du manuel. 3 orrectif : il se peut que dans certains manuels, l énoncé demande de saisir (dans les entrées) une deuxième fois x ; il faut lire «x». lgorithme complété : Variables x, y, x, y, x, y, sont des réels Entrée Saisir x, y, x, y, x, y Traitement Si x + x = x et y + y = y et Sortie lors afficher «O est un parallélogramme» Sinon afficher «O n est pas un parallélogramme» Fin Si 4 O = a + a ; O = b + b ; = (a b) + (a b ) = a ab + b + a a b + b O est rectangle en O si et seulement si = O + O, ce qui équivaut à : a ab + b + a a b + b = a + a + b + b, soit ab + a b = = 8 ; = 3 ; = 50. = +, donc le triangle est rectangle en.. Le périmètre de est égal à 0. Son aire est égale à 6. M N N M M 3. Le point K est le milieu de [] : ses coordonnées sont ( ; ). Son rayon est égal à, soit = 0 ; = 80 ; = 00. Puisque = +, le triangle est rectangle en, et les droites () et () sont perpendiculaires.. Le point a pour coordonnées ( ; ). 3. I est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu. e plus, l angle I! est droit puisque () et (I) sont perpendiculaires, donc c est un rectangle. Enfin, I = 0 =, donc c est un rectangle qui a deux côtés consécutifs de même longueur : I est donc un carré. 4.,,, I sont sur le cercle circonscrit au carré : son centre est le centre Ω du carré, donc le point de coordonnées ( ; ). Son rayon est Ω = oordonnées des points : (5 ; 0), (0 ; 5), ( 5 ; 0), (0 ; 5), M( 3 ; 0).. EM = EO OM = 5 9 = 6, d où EM = 4. e même, on obtient : E = 0 ; E = EF est un parallélogramme car ses diagonales [] et [EF] se coupent en leur milieu. Il a un angle droit en E, donc c est un rectangle. 8 Vrai. M(x ; y) appartient à la médiatrice de [OI] si et seulement si OM = IM, ce qui équivaut à OM = IM, soit x + y = (x ) + y, soit x = 0. 9 Faux. M appartient à la partie du plan comprise entre deux droites parallèles à l axe des ordonnées, l une passant par I( ; 0), l autre par I ( ; 0). 0. = 7 ; = 04 ; = 3. = +, donc le triangle est rectangle en.. Les segments [] et [] ont même milieu, de coordonnées ( ; 3), donc est un parallélogramme. Il a un angle droit en, donc c est un rectangle. Le rayon du cercle circonscrit à ce rectangle est = 6.. a pour coordonnées ( ; 3) et (4 ; 5).. = 0 et = est un losange car c est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur.. J = 6 ; = J = et, J, sont alignés, donc J est le milieu de []. après le théorème des milieux, les droites () et (IJ) sont parallèles. 3. Le triangle MI est isocèle car I = IM = 4, donc la droite (IJ) qui est médiane du triangle MI est aussi la médiatrice de [M].. MN est un triangle rectangle en car est un point du cercle de diamètre [MN]. 3. MNE est un rectangle. Revoir des points essentiels 4 [] et [] ont même milieu, le point de coordonnées 5 ; ( ), donc est un parallélogramme.

9 5 [ ] et [] ont même milieu, de coordonnées ( ; 5), et = = 5, donc est un losange. 6 [] et [] ont même milieu, le point de coordonnées ( ; ). e plus, = = 5, donc est un losange. Puisque + = = 40 =, le triangle est rectangle en, et ce quadrilatère est un carré. 7 I = 3 par le théorème de Pythagore. IJ = =, par le théorème des milieux. 8 = 5 ; I = = 5. Le rayon du cercle circonscrit à est 5. 9 H = 5. L aire du triangle est 5. Elle est aussi égale à K = 3 K. On en déduit : K = Faire le point Voir livre page 334. Les corrigés détaillés sont disponibles sur le site Travaux pratiques TP Le trésor des pirates Fichier associé sur le manuel numérique premium : 0_seconde_TP_correction.ggb (fichier corrigé enseignant, GeoGebra). L objectif de ce TP est de trouver l emplacement d un trésor à partir de quelques indications laissées par le chef des pirates. ans un premier temps, on utilise les fonctionnalités d un logiciel de géométrie pour y parvenir, puis on résout le problème en utilisant un repère du plan... P a pour coordonnées (50 ; 0).. On crée les points, P et en tapant dans la ligne de saisie successivement : =(0,0), P=(50,0), =(60,0). 3. L ensemble est la médiatrice du segment [P]. Pour représenter, on utilise l outil Médiatrice (4 e menu). 4. a. On suit les consignes de l énoncé. b. Faire prendre au point M un très grand nombre de positions : des points de couleur verte et des points de couleur rouge apparaissent à l écran. c. Les points rouge semblent appartenir au disque de centre le point de coordonnées (80 ; 0) et de rayon 40, alors que les points verts sont tous extérieurs à ce disque. On peut conjecturer que est le cercle de centre (80 ; 0) et de rayon 40. d. Pour représenter, on définit d abord le point dans la barre de saisie, avec = (80, 0), puis on utilise l outil ercle (centre rayon) (6 e menu). e. On utilise l outil Intersection entre deux objets ( e menu). On peut lire les coordonnées de l emplacement du trésor au décimètre près : (55 ; 3,)... L abscisse des points de est 55 puisque P et ont respectivement pour abscisses 50 et 60.. a. M si et seulement si M = M, ce qui équivaut à M = 4M, en élevant au carré. b. M = x + y ; M = (x 60) + y. c. M si et seulement si x + y = 4 [(x 60) + y ], ce qui équivaut à : x + y = 4x 480x y, soit 3x + 3y 480x = 0, soit x + y 60x = 0. d. (x 80) = x 60x , d où : (x 80) + y 600 = x + y 60x e. M si et seulement si (x 80) + y = 600, c est-à-dire ( x 80) +y = 40, ce qui équivaut à M = 40, où est le point de coordonnées (80 ; 0). 3. a. Puisque x = 55, on en déduit : 55 + y = 0, soit y = 975. b. Le trésor étant au nord du chemin reliant l arbre mort au baril, y est positif, ce qui donne : y = 975 = Le trésor a pour coordonnées (55 ; 5 39 ). TP La droite d Euler Fichier associé sur le site : 0_seconde_TP_correction.gw (fichier corrigé enseignant, Geoplan) ; sur le manuel numérique premium : 0_seconde_TP_correction.ggb (fichier corrigé enseignant, GeoGebra) et 0_seconde_TP_correction.gw (fichier corrigé enseignant, GeoGebra). L objectif de ce TP est de découvrir expérimentalement une propriété des points remarquables d un triangle, puis de démontrer cette propriété : ceci permet de découvrir la droite d Euler d un triangle.. vec le logiciel GeoGebra. Utiliser l outil Polygone (5 e menu).. Utiliser l outil Médiatrice, puis Intersection entre deux objets. 3. onstruire d abord les milieux de chaque côté du triangle avec l outil Milieu ou centre ( e menu), puis tracer chaque médiane avec l outil roite passant par deux points (3 e menu). On utilise enfin l outil Intersection entre deux objets. 4. Pour construire la hauteur issue de, on utilise l outil Perpendiculaire (4 e menu). On termine avec l outil Intersection entre deux objets. 5. Utiliser l outil Segment entre deux points (3 e menu). 6. a. On conjecture que les points O, G, H sont alignés. b. ans la fenêtre lgèbre, on lit m = OG et p = OH. On peut conjecturer que OH = 3 OG. hapitre 0 Repérage et configurations du plan Indice de 9

10 7. Quand le triangle est isocèle en, les points O, G, H sont alignés sur la hauteur issue de. Quand il est équilatéral, les trois points O, G et H sont confondus. vec le logiciel Geoplan. On crée d abord les points,, avec le menu réer, suivi de Point, Point libre et ans le plan. Pour construire le triangle : menu réer, puis Ligne, Polygone et Polygone défini par ses sommets.. ans le menu réer, choisir Ligne, roite, puis Médiatrice. Pour déterminer le point d intersection, dans le menu réer, sélectionner Point, puis Intersection droites. 3. On construit d abord les milieux de chaque côté du triangle avec le menu réer, puis Point, puis Milieu. Pour tracer chaque médiane : menu réer, puis Ligne, puis roite, et enfin éfinies par points. 4. Pour construire la hauteur issue de, avec le menu réer, choisir Ligne, puis roite, puis Perpendiculaire. 5. ans le menu réer, utiliser Ligne, puis Segment, et éfinis par points. 6. a. On conjecture que les points O, G, H sont alignés. b. ans le menu réer, puis Numérique, on choisit alcul géométrique, et Longueur d un segment. On appelle m la variable donnant la longueur de [OG] et p celle donnant la longueur de [OH]. On peut faire afficher les variables m et p avec le menu réer, ffichage, puis Variable numérique déjà définie. On peut alors conjecturer que OH = 3OG. 7. Quand le triangle est isocèle en, les points O, G, H sont alignés sur la hauteur issue de. Quand il est équilatéral, les trois points O, G et H sont confondus... a. Le triangle est rectangle en car [] est un diamètre du cercle circonscrit au triangle. b. (H) est la hauteur du triangle issue de, donc (H) est perpendiculaire à (). Puisque () et () sont perpendiculaires, on en déduit que les droites (H) et () sont parallèles.. a. est un triangle rectangle en car [] est un diamètre du cercle circonscrit au triangle. b. (H) est la hauteur du triangle issue de, donc (H) est perpendiculaire à (). Puisque () et () sont perpendiculaires, on en déduit que les droites () et (H) sont parallèles. 3. Les droites (H) et () sont parallèles, ainsi que les droites (H) et (), donc H est un parallélogramme. 4. Puisque H est un parallélogramme, le point, milieu de [], est aussi le milieu de [H]. onc, est le symétrique de H par rapport à. 5. ans le triangle H, ( ) est une médiane, puisque est le milieu de [H] ; la droite (OH) est aussi une médiane de ce triangle, car O est le milieu de []. 6. Le point G est le point d intersection de deux médianes du triangle H, donc c est le centre de gravité du triangle H. 7. Puisque G appartient à la médiane (OH), les points O, G, H sont alignés. après la propriété admise au début de la partie, on en déduit que HG = 3 HO, ce qui donne HO OG = HO, donc 3 HO = OG, et ainsi OH = 3OG. 3 Pour approfondir 30 Fichiers associés sur le manuel numérique premium : 0_seconde_ex30_.ggb, 0_seconde_ex30_.ggb (fichiers corrigés enseignant, GeoGebra).. a. Le théorème de Pythagore dans le triangle E donne : = E + E. Or : = R + r, E = E = = R r, et E = = a, d où : (R + r) = (R r) + a. b. On développe : R + rr + r = R rr + r + a, soit a = 4rR, et a = 4rR. c. ans ce cas : a = 44 =. On peut alors construire et, puis tous les autres points.. a. après la question. b, on a : I = 4 9 c = 36c et I = 4 4 c = 6c. b. I I = 6 c 6 c = 3. où : I = 3I = 3( I). insi : 5I = 3, et I = 5 3 = 5 3 = 36 5 = 7,. c. On a alors : 36 ( 5 ) = 36c, soit : c = 36 5 =,44. d. On construit alors et comme en, puis le point I, puis les deux grands cercles et le cercle de rayon, Les quadrilatères GQ et GP sont des parallélogrammes car leurs diagonales se coupent en leur milieu. Le quadrilatère PQ est un parallélogramme car il est non croisé et il a deux côtés parallèles et de même longueur.. G est le centre du parallélogramme PQ, donc G est milieu de [Q]. Le théorème des milieux dans le triangle Q permet de dire que (IG) est parallèle à (Q). 3. Puisque (IG) est parallèle à (Q) et (Q) parallèle à (G), on en déduit que les droites (IG) et (G) sont parallèles, donc les points, I, G sont alignés. G E F (d) 9

11 4. G = Q = IG = (I G). où : 3G = I et G = 3 I. 3. a. Vrai. b. Faux : deux angles opposés ne sont pas tous les deux droits en général. c. Vrai : ce sont alors des carrés. d. Faux : on peut trouver un contre-exemple en accolant deux triangles rectangles ayant une hauteur commune. O e. Vrai. Soit un «amandin» avec les angles droits en et en. lors, le triangle est rectangle en donc, et sont sur le cercle de diamètre []. e même, le triangle est rectangle en, donc, et sont aussi sur le même cercle de diamètre []. omme et sont sur le cercle de diamètre [] et que = (par hypothèse), alors [] est un diamètre de ce cercle. Soit O le centre du cercle, O est donc le milieu de [] et de []. Les diagonales du quadrilatère se coupent en leur milieu O et elles sont de même longueur, donc le quadrilatère est un rectangle.. a. On trace d abord le segment [], puis le cercle de centre O, milieu de []. La perpendiculaire (d) à [] en O coupe ce cercle en deux points : l un des deux est noté. Pour placer, on place le point sur (d) tel que O = cm, de l autre côté de O par rapport à (afin que soit convexe) ; on trace ensuite la perpendiculaire à (d) passant par : celle-ci coupe le cercle en deux points, on note l un d eux. O b. = 3 4, cm. c. L aire de est, en cm : = après le théorème de Thalès : MH MK = OH LK, soit MH MH 3 = 0,8 0,76.. On en déduit : 0,76MH = 0,8MH,4 d où : MH = 60. e véhicule ne respecte pas la consigne de sécurité.. On a : MH MH 3 = 0,8, soit LK MH = 0,8 MH,4 et ainsi LK MH =,4 0,8 LK. MH 45 équivaut à,4 45 (0,8 LK) soit 45LK 33,6 et LK 33, ,6 0,747, donc la plus grande longueur, arrondie au cm, 45 qui permet de respecter la consigne de sécurité, est 0,74 m. 34. = = où : 44,87 m. On en déduit la pente du câble : 50,4 %.. a. Le théorème de Thalès dans le triangle donne : 50 = d où : 49 m. b. L altitude au point est, au mètre près : 899 m. 3. a. = 000 m, donc E = 000 m. b. Soit t le temps de parcours, en secondes : 000 = 5, donc t = 00 s = 3 min 0 s. t 35. = sin 30 =. = + = 5. = cos 30, d où : = 3 et = = 3.. OE! = 60, donc E! = 30, d après le théorème de l angle inscrit. Puisque! = 60, on en déduit que la droite (E) est la bissectrice de l angle!. 3. après le théorème de l angle inscrit : F! = OF! = 45. insi, la droite (F) est la bissectrice de l angle!. 4. a. EF = = 5. vec le théorème de l angle inscrit, on a EF = OF = 45. On en déduit : FE = 0. b. F = sin45 =. Soit E le point d intersection de (OF) et (). ans le triangle rectangle OE, on a : cos 30 = soit E = E 3. Puis : EE = OE, car le triangle OEE est isocèle (deux angles de 30 ), et : EE = E sin 30 = 3 d où : E = E + EE = 3 3 = 3. hapitre 0 Repérage et configurations du plan Indice de 93

12 36. y K M 0. = 0 ; M = a 5a ; M = a + 3a vec le théorème de Pythagore dans M : a + 3a = a 5a soit a = 3 3. Les points, M et sont alignés, car M est le milieu de [] : on le justifie en calculant les coordonnées du milieu de [] 0 ; 3 ( ). 4. On cherche N(x ; y) tel que [N] et [] aient même milieu M. On obtient : x 4 y = 0 3 et = 3. d où x = 4 et y = 9. N a pour coordonnées ( 4 ; 9 ). 5. K a pour coordonnées ( 0 ; 3 ). 6. K = 0 ; KN = 0 ; N = 40. Puisque N = K + KN, le triangle KN est rectangle en K. Il est aussi isocèle car K = KN = () est parallèle à (N), donc (K) et (N) aussi. (KN) est parallèle à (), car ces deux droites sont perpendiculaires à (K). onc, NK est un parallélogramme ; comme il a deux côtés consécutifs de même longueur et un angle droit, c est un carré. 37 Soit M le point de départ de oris sur [], M le symétrique de M par rapport à () et M le symétrique de M par rapport à (). Soit P et Q des points respectivement sur () et (). N x On a : MP + PQ + QM = M P + PQ + QM et ce trajet est minimal lorsque M, P, Q et M sont alignés. Le triangle M M est isocèle, car M = M = M. onc, l angle M M est constant, égal à!. insi, M M est minimal si et seulement si M est minimal, ce qui équivaut à M minimal, c est-à-dire M pied de la hauteur issue de dans le triangle. On démontre de même que P et Q sont les pieds des hauteurs issues de et respectivement. onclusion : oris doit partir du pied de la hauteur sur le premier côté, se rendre au pied de la hauteur sur le second côté, et se rendre ensuite au pied de la hauteur sur le 3 e côté. 38 On s intéresse aux points de l axe des abscisses. Le point de coordonnées ( ; 0) est atteint après une minute, celui de coordonnées ( ; 0) au bout de , soit 8 minutes, celui de coordonnées (3 ; 0) au bout de 9 minutes, celui de coordonnées (4 ; 0) au bout de , soit 4 minutes, et donc celui de coordonnées (5 ; 0) au bout de 5 minutes. On atteindra ainsi (6 ; 0) après 48 minutes, (7 ; 0) après 49 minutes, (8 ; 0) après 80 minutes, (9 ; 0) après 8 minutes et (0 ; 0) après 0 minutes. L escargot sera au point de coordonnées (0 ; 0) après heures de déplacement. 39 Les trois angles O!, O! et O! sont égaux car l aiguille avance à vitesse constante. Ils sont donc égaux à 30. O = 6 cm d après l énoncé. ans le triangle O : tan 30 = O, d où O = 6 tan30 = 6 3. ans le triangle O : tan 30 = O, d où = 6 tan 30 = 3. On en déduit : = = 4 3. La distance entre ces points est 4 3 cm. M Q P M M 94